CC BY
31
ИНВАРИАНТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ*
И. Е. Зубер1, А. Х. Гелиг2
1. С.-Петербургский государственный университет,
д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник, [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
1. Введение. Под инвариантностью понимается независимость выхода системы от возмущения, постоянно действующего на систему. Первой работой в этой области была статья [1], в которой было предложено решение задачи инвариантности для линейной стационарной системы шестого порядка. Эта работа явилась предметом оживленной дискуссии, описанной в книге [2], и стимулировала многочисленные исследования, обзор которых приведен в [3].
В большинстве работ рассматривались линейные системы. Существенное развитие теории инвариантности таких систем получено в [4-9].
В предлагаемой статье излагается метод синтеза инвариантного стабилизирующего управленния для неопределенных систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых являются ограниченными функционалами произвольной природы.
2. Построение стабилизирующей обратной связи для неопределенных систем. Рассмотрим при £ > 0 систему функционально-дифференциальных уравнений
х = А(^)х + Ь()и, х(0) = хо, (1)
и = в*(-)х, (2)
где А(-) £ М”х”, б(-) £ М”х1, в(-) £ М”х1, все величины вещественные, * —знак транспонирования. Элементы матрицы А(-) и столбцов б(-), в(-) являются функционалами произвольной природы. Например, они могут быть непрерывными функциями от £, x(t), х(£ - т), /о ||х(т)||2 <1т. Предполагается лишь конечность супремума евклидовых норм ||А(•)|, ||Ь(-)||, ||з(-)||, справедливость теоремы существования решения и продолжимости на [0, то) любого решения, остающегося в ограниченной области. Ставится задача определения таких б(-) и в(-), при которых система (1), (2) глобально асимптотически устойчива. Ниже будут рассмотрены некоторые классы систем, для которых эта задача имеет решение с помощью квадратичной функции Ляпунова с постоянной матрицей коэффициентов.
Назовем матрицу А(-)
— нижнетреугольной со знакопостоянной наддиагональю, если ее элементы а^(•) удовлетворяют условиям
aij(•) = 0 при ] > г +1, г = 1, .. ., п — 2;
Ш |ai,i+l (•) | > 0 при г = 1,...,п — 1;
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00245). © И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг, 2010
— верхнетреугольной со знакоопостоянной поддиагональю, если матрица А* (•) является нижнетреугольной со знакоопостоянной наддиагональю;
— нижнетреугольной со знакопостоянной поддиагональю, если
а^(•) = 0 при ] > г, г = 2, .. . ,п; т4 | аi,i_ 1 (•) | > 0 при г = 2, ...,п;
— верхнетреугольной со знакопостоянной наддиагональю, если матрица А* (•) является нижнетреугольной со знакопостоянной поддиагональю;
— нижнетреугольной с отрицательной диагональю, если
яир а^(-) < 0 при г =1, ...п;
(•)
а^- (•) = 0 при ] > г, г = 1, .. ., п — 1;
— верхнетреугольной с отрицательной диагональю, если матрица А* (•) является нижнетреугольной с отрицательной диагональю.
Примером нижнетреугольной матрицы со знакопостоянной наддиагональю может служить матрица Фробениуса с функциональной нижней строкой, у которой на наддиа-гонали стоят единицы, а остальные элементы, кроме элементов нижней строки, равны нулю.
Рассмотрим задачу синтеза стабилизирующей обратной связи для всех перечисленных видов матрицы А(-).
I. Нижнетреугольная матрица А(-) со знакопостоянной наддиагональю В [10] была рассмотрена функция Ляпунова
V (х) = х*Н-1х (3)
с положительно определенной матрицей Н, и было показано, что свойство
V < —ах*Н-1х при х = 0, (4)
гарантирующее при а > 0 глобальную экспоненциальную устойчивость системы (1), (2), при
в(-) = АН-1Ь(-) (А — скаляр) (5)
эквивалентно матричному неравенству
НА*(•) + А(-)Н + 2А6(-)6*(-) + а/ < 0, (6)
где / — единичная п х п-матрица. В предположении что Ь* = (0,..., 0, вп(:)) и
М |вп(01 > 0, была построена положительно определенная якобиева матрица Н и найдено такое А, что неравенство (6) выполняется для всех матриц А(-) рассматриваемого класса. При этом Н и А зависят лишь от границ изменения коэффициентов а^-(•) и не зависят от их видов. Таким образом, построенная стабилизирующая обратная связь является робастной по отношению к матрице А(-).
II. Верхнетреугольная матрица А(-) со знакопостоянной поддиагональю Возьмем функцию Ляпунова в виде
V (х) = х* Нх. (7)
Легко убедиться, что свойство
V < —а||ж||2 (а > 0) (8)
при б(-) = АН-1в() эквивалентно матричному неравенству
А*()Н + НА() + 2Ав(>*(0 + а/ < 0,
то есть неравенству (6) при замене А() на А*() и 6() на в(). Поскольку матрица А*(-) является нижнетреугольной со знакопостоянной наддиагональю, построенная в п. I матрица Н гарантирует свойство (8) и, следовательно, глобальную экспоненциальную устойчивость системы, если
в*(-) = (0,..., 0,о-„(-)), ті |о-„(-)| > 0.
III. Нижнетреугольная матрица А() со знакопостоянной поддиагональю Не умаляя общности, будем считать, что
аг,г_1 (•) > ао > 0 (г = 2, ...,п).
(9)
Этого можно достичь, идя сверху вниз и в случае необходимости умножая г-е уравнение на —1 и заменяя xi на — х^ В рассматриваемом случае матрица А(-) имеет вид
0 0 0 . . . 0
а21 (•) 0 0 . . . 0
А() = аз1() аз2() 0 . . . 0
^ а-и 1(•) аи2(^) аиз() 0
Рассмотрим функцию Ляпунова (3), где H - якобиева матрица вида
/ ^і Л-12 0 ... 0 \
Л-12 Л-2 Л-23 . . . 0
0 Л-23 Лз . . . 0
Н= ,
0 0 0 . . . Ли-1,и
0 0 0 . . . Ли У
в которой Ні >0 (і = 1, ,п), = —0, Ъ^ТцЬ^. Свойство (4) при связи (5) сводится к
матричному неравенству (6), эквивалентному в случае
&*(•) = №(•), 0,..., 0)
(10)
отрицательной определенности матрицы Q вида
( 2A^l+ а
a2lhl
a2lhl 2a2lhl2 + а
a3lhl + a32hl2 a3lhl2 + a32h-2
a3lhl + a32hl2 a3lhl2 + a32h-2 2a3lh-23 + а
anlhl + an2hl2 anlhl2 + an2^2+ a^h.23 + an3^3+
+an3^23 +an4h-34
anlhl + an2^l2 \
anlhl2 + an2^2+ +an3^23
an2^23 + an3^3+ +an4^34
2an,n—lhn-l,n + а
/
(Здесь, как и выше, ajj = a^-( • ), в = А.( • )•)
Обозначим через Д*( • ) (i = 1,..., n) главные диагональные миноры матрицы Q, отсчитываемые сверху. Пусть
inf |в1(• )l > 0. (11)
Тогда Д1(• ) < 0 при достаточно большом |А| и signA = — signal (• )• Поскольку Дг (*) = A1(-)(—a2i(-)v/h1h2 + а) —
фиксировав hi, можно в силу свойства (9) выбрать h-2 столь большим, что будет выполняться неравенство Д2( • ) > 0.
Обозначим через D^( • ) матрицу, составленную из элементов минора Д&( • ), и предположим, что hfc выбрано таким образом, что sign Д&( • ) = (—1)к. Матрица Dfc+i( • ) имеет вид
Dk+ !(■)=( Ы'] 9к{'] V
\ 9к(') ~ак+1,к(')\/hkhk+i + a. J
где столбец gk( • ) зависит от выбранных hi,..., h^ и не зависит от hfc+i. По лемме Шура
Afc+i(') = Afc(-)[a — ak+i,k(-) V hkh-k+i — 9к^к 1(')9к(-)]-
Ввиду свойства (9) можно выбрать h^+i столь большим, что sign Дй+1(• ) =
—sign Дк ( • ) = (—1)fc+i. Продолжая таким образом селекцию параметров hj, выберем их так, что будет выполняться свойство Дк( • ) = (—1)к при к = 1, 2, ...,n. Согласно критерию Сильвестра матрица Q станет отрицательно определенной и, следовательно, система (1), (2), у которой матрица А( • ) является нижнетреугольной со знакопостоянной поддиагональю, при условиях (10), (11) стабилизируется обратной связью (5).
IV. Верхнетреугольная матрица А( • ) со знакопостоянной наддиагональю Рассуждая так же, как при рассмотрении случая II, легко убедиться, что система (1), (2) стабилизируется обратной связью b( • ) = AH-is( • ), если
s*( • ) = М • ^°...,0) и ^nfЫ • )| >0.
V. Нижнетреугольная матрица А( • ) с отрицательной главной диагональю В [11] с помощью построения функции Ляпунова (3) с матрицей Н = diаg(hl,..., ^) было показано, что система
х = А( • )х (12)
lOl
глобально асимптотически устойчива, если
яирaii( • ) < 0; (г = 1,...,п). (13)
(•)
При этом матрица Н удовлетворяет неравенству
НА*(• ) + А(• )Н < —а/ (а > 0). (14)
VI. Верхнетреугольная матрица А( • ) с отрицательной главной диагональю Возьмем функцию Ляпунова (7). Тогда оценка (8) производной V эквивалентна матричному неравенству
А*(• )Н + НА(• ) < —а/,
которое при выполнении условия (13) разрешимо относительно матрицы Н =
diаg(hl,..., hn) в силу (14), поскольку матрица А*( • ) является нижнетреугольной с
отрицательной главной диагональю.
3. Инвариантная стабилизация. Рассмотрим при £ > 0 систему
П
У = ^ а^- ( • )у- + &( • )м + 7^ • )и2 + ^( • ) (г = 1, .. . ,п) (15)
.7=1
со скалярным выходом
п
а = ^ с^. (16)
І= 1
Предполагается, что элементы а^-( • ), $(• ), 7i( • ), ^(• ) являются функционалами произвольной природы, удовлетворяющими ограничению
вирОоу( • )| + |вД • )| + |7i( • )| + |^( • )|) < ^
(•)
при которых решение существует при всех у(0) € Кп и продолжимо на [0, +то), если не покидает ограниченной области.
Ставится задача определения таких м и м2, при которых любое решение системы (15) удовлетворяет условию инвариантности
а + еа = 0, е > 0 (17)
и ограниченности
п
Ит \у(г)\<х Ит (18)
Ь——Ь——' * i= 1
Не умаляя общности, будем считать, что с1 = 0, с2 = . . . = сп = 0. Этого всегда можно достичь, сделав в системе (15) линейное неособенное преобразование координат.
Синтез стабилизирующих управлений м и м будем производить при следующем условии
т! |в1(• )1 > 0. (19)
Полагая в системе (15)
= _ /?!(•)
1 Г ж \
М1(-) =£у1 + 53ау(')%' + 71(-)М2 + ФЛ') > (2°)
7=1
приведем ее к виду
У1 + £У1 = 0,
где
Полагая в (21)
У = $3 а^ ( • )У7 + ^( • )м2 + ^( • ) (г = 2, ...,п), (21)
7 = 2
— / \ \ (*) / \ аЮ\') — аго\') ~ а1Л'Ь
— / \ ( \ ^ (*) ( \
1г\') =1А-) ~
/ N _ £&(•) А(-) , м . , м
м2 = ^3 в7( • )У7, (22)
7=2
и вводя столбцы х = (у2, . .., Уп)*, д( • ) = (д2(• ), . .., £п( • ))*, запишем систему (21), (22) в виде
х = Р ( • )х + д( • ). (23)
Предположим, что элементы ( • ), 7Д• ) и вД • ) таковы, что однородная система
х = Р ( • )х
принадлежит к одному из рассмотренных выше шести классов. Тогда существует такая положительно определенная матрица С, что выполнено неравенство
Р*( • )С + СР( • ) < —V/, (24)
где V — положительная постоянная. Дифференцируя функцию V(х) = х*Сх в силу системы (23), получаем выражение
V = х* (Р*( • )С + СР ( • ))х + 2д*( • )Сх. (25)
Очевидны соотношения
2д*(-)Сх = 2(С1/2д)*С1/2х < 1л\\С1/2д\\2 + -\\С112х\\2, (26)
М
где м — произвольный положительный параметр. Поскольку ||С1/2х||2 = V(х), из (25), (26) вытекает неравенство
V <-ф\\2 + -У + ^\\С1/2д\\2. (27)
М
Ввиду соотношения Рэлея имеет место оценка
—И1ж11 ^
где Л+ — максимальное собственное число матрицы С. Выберем теперь м таким образом, чтобы постоянная = --------------была положительной. Тогда из (27), (28) следует
Л+ М
соотношение
V + VIV < М||С1/2||2|Ы|2.
Умножив обе части этого неравенства на ехр^£) и проинтегрировав, приходим к оценке
г
V(*(*)) < е-^1^(х(0))+ мУС1/2У^ ||3(• )у2е-"1(г-л)ЙЛ,
0
из которой вытекает неравенство
Ит Vг(ж(t)) < ц\\С1/2\\2 Ит \\д(-г—г—
Таким образом, оценка (18) установлена при
" = ||с‘/2“Утк
где Л_(С) —минимальное собственное число матрицы С. Сформулируем полученный результат.
Теорема. Пусть выполняется условие (19), матрица {а^( • )} принадлежит к одному из классов 1—У1, столбцы (72 (•),..., 7п( • ))* и (в2( • ),..., в„( • ))* соответствуют выбранному классу и управления М1( • ) и М2( • ) определяются формулами (20), (22). Тогда любое решение системы (15) обладает свойствами (17), (18).
4. Заключение. Рассматривается система дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются функционалами произвольной природы. С помощью построения квадратичной функции Ляпунова с якобиевой матрицей коэффициентов решена задача синтеза двух скалярных управлений, при которых скалярный выход системы не зависит от внешнего возмущения и экспоненциально затухает, а вектор состояния системы остается ограниченным при любых начальных условиях.
Литература
1. Щипанов Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. №1. С. 4-37.
2. Левина З. М., Левин В. И. Г. В. Щипанов и теория инвариантности. М.: Физматлит, 2004.
3. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. №2. С. 3-13. 1985. №2. С. 3-14. 1985. №6. С. 3-14.
4. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания // ДАН СССР. 1995. Т. 343. №2. С. 172-175.
5. Якубович В. А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия // Докл. РАН. 2001. Т. 380. №1. С. 25-30.
6. Якубович В. А., Проскурников А. В. Задача об инвариантности системы управления // Докл. РАН. 2003. Т. 343. №6. С. 742-746.
7. Проскурников А. В., Якубович В. А. Приближенное решение задачи об инвариантности системы управления // Докл. РАН. 2003. Т. 392. №6. С. 750-754.
8. Proskurnikov A. V., Yakubovich V. A. The Problem of Absolute Invariance of a Linear Discrete-Time Control System // Doklady Mathematics. 2008. Vol. 78. N 3. P. 956-960.
9. Proskurnikov A. V., Yakubovich V. A. Synthesis of an Adaptive Regulator in the Problem of Invariance of an Uncertain Discrete Linear Systems // Doklady Mathematics. 2009. Vol. 89. N2. P. 1-4.
10. Зубер И.Е., Гелиг А. Х. Робастная стабилизация некоторого класса неопределенных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 1.
11. Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Устойчивость неопределенных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 2. С. 23-30.
Статья поступила в редакцию 24 ноября 2009 г.
