Задачи инвариантности и отслеживания для некоторых классов дискретных систем с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧИ ИНВАРИАНТНОСТИ И ОТСЛЕЖИВАНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ*

И.Е. Зубер1, А.Х.Гелиг2

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. Под инвариантностью понимается независимость выхода системы от постоянно действующего возмущения. Теория инвариантности, по существу, началась со статьи Щипанова [1], в которой было получено решение задачи инвариантности для некоторой непрерывной линейной системы. Эта работа вызвала оживленную дискуссию, описанную Левиными [2], и стимулировала многочисленные исследования, обзор которых сделал Кухтенко [3]. Существенное развитие теории инвариантности непрерывных систем получено в [4-7]. В [8, 9] рассматривалась инвариантность дискретных систем. В отличие от этих работ в данной статье будет синтезировано инвариантное стабилизирующее управление для неопределенной дискретной системы с запаздывающими аргументами. Для некоторого класса дискретных систем с запаздыванием также будет предложено решение задачи отслеживания выходом системы внешнего сигнала.

2. Постановка задачи инвариантности. Рассмотрим систему

i

Xk+1 = AkXk + ^ A-к^xk-ms + вk11 uk1 + B^u^ + gk, (1)

s=1

где k = 1,2,...; Ak,A[s) eRnxn (s elj), B{k1] e Rnxp, ) e Rnxm, й e K", ms -целые положительные числа. Элементы матриц Ak, Aks, В^\ B^ могут быть функционалами произвольной природы, о которых известны границы а, в и y их изменения:

sup \Ak \ = а, (2)

k

sup \A(ks) \ = в, (3)

k,s

suP(|Bk1} \ + \Bk]\)= y■ (4)

k

Здесь и в дальнейшем под \ ■ \ понимается евклидова норма матрицы или вектора. Выход системы zk описывается уравнением

Zk = C*Xk, (5)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00245).

© И.Е.Зубер, А.Х.Гелиг, 2010

где C — заданная постоянная (n х р)-матрица, rank C = p, * —знак транспонирования (все величины вещественные).

Ставится задача определения таких управлений и и^\ при которых выполняется свойство инвариантности

Zk+i = qzk, (6)

где заданное число q € (0,1), и свойство ограниченности всех решений имеет вид

lim \хк \ < XI lim \дк\. (7)

k—— Ж k—— Ж

Здесь и далее кi — некоторые постоянные, не зависящие от начальных условий.

3. Постановка задачи отслеживания. Дана система

i

Xk+1 = AkXk + ^2 AkXk-mi + B('k')u('k1 + B^uk2, (8)

i=1

где Ak, A«, Bk\ Bтакие же, как в системе (1), и измеряемый сигнал фk € Кр. Требуется построить такие управления 4^^ и uk\ при которых выход (5) системы обладает

свойством

lim \zk — фk\ =0. (9)

k—— Ж

4. Решение задачи инвариантности. Рассмотрим сначала систему

Xk+1 Ak Xk + Bk uk, (10)

где к = 1, 2,...; Ak € Rnxn,

/ ("yn — l \

Bk = ( O^ ), Dk € R(n—ll)x(n—ll),

ОП-1 —нулевая l х (n — 1)-матрица. Предполагается, что матрица распределения управлений Bk обладает свойствами

sup\Dk\ < ж, inf \det Dk\ > 0. (11)

kk

В [10] для системы (10) были рассмотрены следующие три класса матриц Ak с

(к) / • . ~л-\

элементами aij (i,j € 1,n):

laii^l < 1 ПРИ * € 1l <Щ

(к) ---------------------------------------

aj’ = 0 при j > i, i € 1, n;

II < 1 ПРИ * € 1,/, I < n;

(к) -------------------------------------------

aj' = 0 при j < i, i € 1, l;

I

(к) ----------------------------------------------------

) = 0 при і > і + р — 1, і Є 1,1, 1 <р < п — I;

і > р + I — 1 при і > I.

Для всех трех классов в [10] была построена такая матрица Н = с!1а§{^1,Нп}, Н > 0 (* € 1, гг), что при управлении

Пк = Б*кхк, (12)

где

Бк = -Л*кНБк (ВкНВк )-1, (13)

приращение АУк = Ук+1 — У к функции Ляпунова

Ук = хк Нхк

удовлетворяет при заданном ао > 0 оценке

АУк < —аоУк,

то есть справедливо неравенство

х*кЬ*кИЬкхк < (1 — ао)х*кИхк,

(14)

где Ьк = Ак + ВкЬ *к.

Рассмотрим теперь систему с запаздыванием

(15)

г=1

где Ак2 Є И"х" (г Є 1,/), а матрицы Ак и Вк такие же, как в системе (10). Найдем

Лг)

условия, накладываемые на матрицы Ак , при которых найденное выше управление (12) стабилизирует систему (15).

При управлении (12) систему (15) можно представить в виде

(16)

г=1

Рассмотрим дискретный аналог функционала Ляпунова—Красовского

Ук = хк Ихк + ^2^2 \хк-з |2

г=1 j=1

и исследуем его приращение ДУк = Ук+1 — Ук. Очевидны соотношения

АУк = (Ькхк +^2 А^хк-т^ И [Ьк'хк + ^2 А'к хк-т^ +

г=1

г=1

ті

+ ^^2 \хк+1— \2 — хк Ихк —^^2\хк— \2

г=1 j=1

г=1 j=1

l

\L*kHLkXk - x*kHxk + 2(LkXk')*H^A^2Xk-mi +

i=1

l * l l + Ak ) xk-m^ H У~] Ak ) xk-mi + lIxk |2 - |xk-mi |2.

i=1 i=1 i=1

В силу неравенства (14) ДVk оценивается следующим образом:

l

Д ^k < (l — ao )|xk |2 + 2 53 IHI' IAk )I ' Ixk I ' Ixk-mi | + i=1

I I I

+ £ | • Хк-т | • |Н ^Л3 | • Хк-т \—^\хк-т |2. (17)

г=1 3=1 1=1

Воспользовавшись свойством (3), получаем из неравенства (17) следующую оценку:

I I 2 I

АУк < (1 — а0)|хк |2 + 2РН | • ]\хк | ^к-т1 | + 0* Н | (Е ^к-т1 \ 2— ^к-т1 |2. (18)

г=1 г=1 г=1

Поскольку

l 0 l

22

^ ^ Ixk-mi | j < l ^ ^ Ixk-mi | i=1 i=1

из (18) вытекает неравенство

ДVk < (l + fJIHI - ao)Ixk I2 + (в(І + e)|H11 - І) 53 Ixk-mi I2. (І9)

l

22

mi I

i=1

Возьмем ao > l и потребуем выполнения неравенств

eIH I <ao - l, IH I l(e2 + в) - І < 0.

Второе неравенство удовлетворяется при /3 < 1/2 (\Jl + 4/(|ії| I) — l) . Таким образом, приходим к оценке

ДVk < -К2Vk, (20)

где К2 = ao - f^IHI - l. Из (20) вытекает глобальная экспоненциальная устойчивость системы (16). Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 1. Пусть матрицы Ak принадлежат одному из классов I—III, выполнены свойство (11) и неравенство

tSi4*>i< m»{w4\/i+i4-T

а управление определяется формулами (12), (13). Тогда система (15) глобально экспоненциально устойчива.

x

Перейдем теперь к задаче инвариантности. Не умаляя общности, будем считать, что система (1) с выходом (5) имеет вид

і і

4 + 1 = РЦ'Ч + £ + ЯЇУ + Ц Я^Ук-т, + в;1-1'»'11 + Вк^и? + ат, (21)

= 1 і=1

№+, = Р<2>« + £ РЯ}:к-т. + 4Ч}Ук + £ д<!>Ук-т. + Б^4> + В?'2»..™ + г<2>. (22)

1=1 1=1

Этого можно достичь с помощью линейного неособенного преобразования переменных. Предположим, что матрица В(1,1) обладает свойством

Тогда, положив

іі

(1)

' ‘■’А;

— (В (1,1)) 1 Р(1^г к + 53 Рік)гк-т, + Я к^Ук + 53 Яік ук-т, +

г=1 г=1

+ В(1,2)и(2) + д(1)

+ В к ик + 9; — Я* к

, (24)

приведем уравнение (21) к виду (6). После подстановки выражения (24) в уравнение (22), оно примет вид

і

Ук + 1 = А к Ук +53 А к г У к-т, + В ки ; ' + 9к, (25)

1

где

а ; = Я к2) — в(2-1) (в(1-1))-1я к1),

А() = Я(2' — в(2-1) (в(1-1))-1я(1) ,

В = в(2,2) — в(2,1)(в(1,1) )-1 в(1,2)

к к к \ к ) к ,

в = Р(2)^ + V Р(2)^ В(2,1)(В(1,1))-1 Р(1)^ + V Р(1)^ + 9(1) ^

9 к = Рк Хк + 2_^ Ргк хк-т, —Вк (Вк ) Рк Хк +^Рік 7к-т, + 9; — Я7к

+ 9(2'.

Поскольку \г; \ ^ 0 при к ^ ж, из (2), (3), (4), (23) вытекает оценка

Ит \дк\ < х3 Ит \д(к1]\ + Ит \д{к]\. (26)

к—к —к —

Стабилизируем систему (25). Предположим, что однородная система

і

У к +1 = А к Ук +53 А к ' Ук-т, + В; и к ' (27)

удовлетворяет условиям теоремы 1 и, следовательно, существуют такие матрица Бк и функция

ук = уіи Ук + 1313\у к -\2,

і=1 j=1

что при управлении

(2)

uk = SkVk

приращение AVk

(27)

функции (28) в силу системы (27) удовлетворяет следующему

неравенству, аналогичному (19):

AVk

(27)

< (1 + [31 НI — <V0) | уk I 2 + (V(1 + V) I нI l — 1) 53 I Ук-mi I 2

(29)

где /3 = яир |1 . Очевидно, что приращение АУк

к, в

(25) имеет следующий вид:

(25)

в силу неоднородности системы

AVk

(25)

AVk

(27)

+ Wk,

(30)

где

i

wk = 2gkH (Lkyk + 53 Ak yk-mi + tjkj , Lk = Ak + Bk Vk ,

Vk = — AkHVk (VkHVk )-1.

Введем обозначение Ло = sup ILk I. Тогда Wk I можно оценить следующим образом:

i

Iwk I < Iyk P + Н ^ ^Vjk I2 + (32 53 Iyk-mi I2 + IVkI2 Н P + ^НI • I<7kI2.

i=1

Из этой оценки и соотношений (29), (30) вытекает неравенство

AVk

(25)

< (l + 1+ РIНI — а0) I yk I 2 + (/^ + V(1 + в) IНI l — 1) 53 Iyk-mi I 2 + K3 I gk 12, (31)

i=1

где = I НI 2Л0 + I НI 2 + 2 I HI. Возьмем а0 > l +1 и потребуем, чтобы в удовлетворяло

неравенствам

VI НI <50 — l — 1, (1 + I Н11)в2 + I НIIV < 1.

Тогда из (31) вытекает оценка

(32)

AVk

(25)

< — K4Vk + к3 I Vk I2,

где К4 = (а0 — l — 1 — VIНI)/Лтах(Н). Отсюда следует неравенство

Vk + 1 < vVk + к3 I Vk I 2 ,

(33)

где V = 1 — ^4 < 1. Если г/ < 0, то из (33) сразу вытекает требуемая оценка для Ит V]..

к—

Рассмотрим случай 0 < V < 1. Приращение АШк = Шк+1 — Шк функции Шк = Т/2

ввиду (33) оценивается следующим образом:

АШк < (у!4 + к3\/к\2)2 — /2 = — 1)/2 + 2ь'Кз'/к\дк\2 + кз\/к\4 <

2 2

< -(1 - V2 - \)\¥к + (—^ + ^з) Ы4,

где параметр Л € (0,1 — V2) будет выбран ниже. Из последней оценки следует, что АШк < 0, если Шк > 7(Л)\/к\4, где 7(Л) = к|(Л + v2)/(Л(1 — Л — V2)). Поэтому

Ит Т¥к < 7(Л) Ит \дк\4. к—к—

Функция 7(Л) принимает при Л = V — V2 наименьшее значение: — V2) = к§/(1 — V)2.

Таким образом, получена оценка

Ит 14 < ^— Ит \дк\2,

к—1 — V к—

из которой в силу (26) вытекает требуемое неравенство (7). Сформулируем полученный результат.

Теорема 2. Если в системе (21), (22) управления и и^ определяются формулами (24), (28), параметр / удовлетворяет неравенствам (32), выполнено свойство (23) и однородная система (27) удовлетворяет условиям теоремы 1, то решение (гп,уп) системы (21), (22) обладает свойства,ми инвариантности (6) и ограниченности (7).

(8) приведена к виду (21), (22) с д'1' = 0, д'2' = 0. Сделав в этой системе замену

5. Решение задачи отслеживания. Будем считать, что рассматриваемая система приведена к виду (21), (22) с д'1' = 0 переменной г к = фк + /к, получим систему

/к +, = Р<‘>/ + £ Р? /—т, + в (1'ук + £ Я^Ук+ В^'и'1» + В < «и ?' + /<1>,

= 1 г=1

Ук+1 = р2>/ + £ -т. + в Ч}Ук + £ «>2’ук + В <2-‘»и <■> + в <2'2>и <2> + /2>

г=1 г=1

где

/,( > = Рк^фк + 5^=1 РИ ф к—т, Фк + 1,

/2) = Рк 2)ф к + Е!=1 Р1к)ф к—т, .

Таким образом, задача отслеживания сигнала Ф свелась к рассмотренной выше задаче инвариантности.

Литература

1. Щипаное Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. №1. С. 4-37.

2. Левина З. М., Левин В. И. Г. В. Щипанов и теория инвариантности. М.: Физматлит, 2004.

3. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. №2. С. 3-13. 1985. №2. С. 3-14. 1985. №6. С. 3-14.

4. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания // ДАН СССР. 1995. Т. 343. №2. С. 172-175.

5. Якубович В. А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия // Докл. РАН. 2001. Т. 380. №1. С. 25-30.

6. Якубович В. А., Проскурников А. В. Задача об инвариантности системы управления // Докл. РАН. 2003. Т. 343. №6. С. 742-746.

7. Проскурников А. В., Якубович В. А. Приближенное решение задачи об инвариантности системы управления // Докл. РАН. 2003. Т. 392. №6. С. 750-754.

8. Proskurnikov A. V., Yakubovich V. A. The Problem of Absolute Invariance of a Linear Discrete-Time Control System // Doklady Mathematics. 2008. Vol. 78. N 3. P. 956-960.

9. Proskurnikov A. V., Yakubovich V. A. Synthesis of an Adaptive Regulator in the Problem of Invariance of an Uncertain Discrete Linear Systems // Doklady Mathematics. 2009. Vol. 89. N2. P. 1-4.

10. Зубер И. Е. Синтез инвариантно стабилизированных дискретных неопределенных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. С.

Статья поступила в редакцию 22 апреля 2010 г.