Робастная Инвариантная стабилизация непрерывных и дискретных нелинейных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 2

И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг

РОБАСТНАЯ ИНВАРИАНТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ*

1. Введение

Под инвариантностью понимается независимость данного выхода системы от возмущения, постоянно действующего на систему через один из её входов. Первой работой в этой области явилась статья [1], в которой было предложено решение задачи инвариантности для линейной стационарной системы шестого порядка. Эта работа стала предметом оживлённой дискуссии, описанной в книге [2], и стимулировала многочисленные исследования, обзор которых приведён в [3]. В большинстве работ по проблеме инвариантности изучались линейные системы (из последних работ см., например, [4-7]). Инвариантности нелинейных систем посвящено значительно меньше работ (см. обзор [3] и статьи [8, 9]).

В данной статье для нелинейных непрерывных и дискретных систем осуществлен синтез робастных управлений, обеспечивающих инвариантность. Термин «робастное» означает, что возмущение и матрица коэффициентов объекта измеряются с погрешностями. При этом управление не зависит от этих погрешностей, а выход системы не зависит от внешнего возмущения.

2. Инвариантная стабилизация нелинейных непрерывных систем

Рассмотрим при t > 0 систему

x = (A(x) + Д(х))х + bi(x)ui + b2(x)u2 + g(x)(^(t) + S(t)), (1)

a = c*x, (2)

где A(x) и Д(х) — непрерывные и ограниченные на Rm матрицы-функции размерности m х m, bi(x), 62(x) и g(x) —непрерывные и ограниченные на Rm столбцы-функции, с — постоянный m-мерный столбец, ^(t) и S(t) —непрерывные и ограниченные при t > 0 скалярные функции, * — знак транспонирования. Здесь все величины, кроме Д(х), S(t) и скалярных управлений ui и U2 считаются известными. Предполагается, что погрешности Д(х) и S(t) удовлетворяют оценкам

sup | S(t) |= So, sup У Д(х) ||= До. (3)

t>0 x£Rm

Задача заключается в построении управлений ui и U2, обеспечивающих при любом x(0) выполнение следующих свойств:

lim | a(t) \< Si^o, So), (4)

t—

lim || x{t) ||< 70 lim I ф(г) | +(5i(A0, S0), (5)

t—— ^ t—— ^

где Si^o, So) + S2(Дo, So) —> 0 при До + So ^ 0.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №05-01-00238 и 05-01-00290).

© И.Е.Зубер, А.Х.Гелиг, 2008

Следуя [8], будем искать управления м* и м2 в виде

М* = в*ж, (6)

м2 = в2(ж)ж + а(4, ж), (7)

где в! —постоянный т-мерный столбец, в2(ж) — т-мерный столбец-функция, а(4, ж) — скалярная функция.

Зафиксируем £ > 0 и рассмотрим выражение СТ + ест. Ввиду (1), (2), (6) и (7) оно имеет вид

СТ + ест = с*[А(ж)ж + б!(ж)в*ж + б2(ж)в* (ж)ж+

+ 62(ж)а(4, ж) + д(ж)^(£) + еж] + ^(4, ж), (8)

где ^(£, ж) = с*Д(ж)ж + е*д(ж)£(£).

Предположим, что выполнено свойство

М | с*&2(ж) |> 0, (9)

и положим

с*д(ж)

«(М) = —;ГТТ^)’

С*&2(ж) (10)

*, ч с*(А(ж)+ Ь* (ж) 5* + еж) ( )

5о(ж) =---------------;——--------•

^ У с*Ь2(ж)

После подстановки выражений (10) в равенство (8) последнее примет следующий вид:

СТ + ест = ^(£, ж). (11)

Поскольку функция ^(£, ж) не ограничена по ж, сначала построим управление (6) таким

образом, чтобы выполнялась оценка (5). В силу выражений (10) уравнение (1) примет

следующий вид:

ж = А*(ж)ж + 6(ж)в*ж + /(4, ж), (12)

где

b2(x)c*\ b2(x)c*

Аі(ж) - (/ ■ JА{х) -є^йх)+ А(ж)’ b(a') = (/-^))bl(a')’

/(t, ж) = ^(ж) - c*b2(x)b2(X‘>') ^ + 9^5^-

Задача свелась к такому выбору si(x), при котором выполняется свойство (5). Предположим, что система

z = Al(z) + b(z)ul (l3)

принадлежит к одному из двух классов, для которых в [lG, гл. 2] было построенном робастное стабилизирующее управление. В первом классе Al(z) является матрицей Фробениуса с функциональной нижней строкой, а у вектора b(x) последний элемент превалирует над остальными. Во втором классе матрица Al(z) является треугольной,

а вектор Ь(ж) является последним единичным ортом. Для обоих классов робастное стабилизирующее систему (13) управление имело вид

м* = в*ж, в* = ЛНет, (14)

где ет — последний единичный орт, Н — постоянная положительно определенная матрица специального вида, Л — скалярная величина. При этом матрица Н при всех г

удовлетворяет неравенству

(А*(г) + 6(Ф!)*Н-1 + Н-1(А*(г) + 6(ф*) + вН-1 < 0, (15)

где в — положительная постоянная.

Рассмотрим теперь для системы (12) функцию Ляпунова V(ж) = ж*Н!ж. Ввиду (15) ее производная по 4, взятая в силу системы (12), удовлетворяет неравенству

V < + 2ж* Н-1/. (16)

При любом м > 0 очевидно соотношение

|2х*Я-1/|<м||х||2+-||Я-1/||2. (17)

М

Поскольку || ж ||2 < -—У(ж), гдеА_—минимальное собственное число матрицы Я-1, Л_

из (16), (17) вытекает оценка

V < -«V + 7(4), (18)

где 83 = /3 - 7(4) = 1 II Я-1 II2 вир^ц™. II /(4, ж) ||2.

Из неравенства (18) после умножения его на ехр(ж4) и интегрирования получим соотношение

V(ж(4)) < [V(ж(0)) + / ежЛ7(Л)ЙЛ]е-жЬ. (19)

Jo

Введем обозначения 7* = Ит 7(£) и рассмотрим функцию

ь——

7(4), если 7(4) > 7*,

* ,

^1(4) ^ 7*, если 7(4) < 7*,

которая обладает свойствами

7(4) < 71(4) .11т 71(4)= 7*. (20)

ь——

Заменим в правой части неравенства (19) 7 на 71 и представим полученное неравенство в виде

V(ж(4)) < V(ж(0))е-жь + е-^ / вжЛ(71(Л) - 7*)^Л + е-^ / ежЛ7*^Л. (21)

00

Пусть введенный в (17) параметр м удовлетворяет неравенству м < вЛ-. Тогда

ж > 0 и ввиду (20) первые два слагаемых в правой части соотношения (21) стремятся к

нулю при t ^ +го, а последнее слагаемое стремится к величине 7*/ж. Таким образом, доказана оценка

lim V(x(t)) < —,

t—+то

из которой вытекает свойство (5). Из (5) следует равномерная по t > 0, x £ Rm, ограниченность функции v(t, x). Поэтому согласно (11) справедливо свойство (4). Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 1. Предположим, что выполнены условия (3), (9) и управления ui и U2 определяются формулами (6), (7), (10), (14)- Тогда любое решение системы (1) обладает свойствами (4), (5).

3. Инвариантная стабилизация дискретных нелинейных систем

Рассматривается система

xfc+i = (A(k, xfc) + Дд^д + bi(k, xfc)ufc + b2(k, xfc)ufc + д(фд + Sk) (22)

ад = c*xfc, k = 0, 1, 2, • • • , (23)

где A и Дд — m х m-матрицы, Ь1, b2, g и с — m-мерные столбцы, фд и Sk — скалярные величины. Здесь и в дальнейшем будут иногда применяться обозначения, уже использованные в предыдущем разделе, что не приведет к недоразумениям, поскольку разделы 2 и 3 независимы. Предполагается, что g и с — известные постоянные столбцы, а A(k, xk), bi(k,xk), b2(k, xk) —известные непрерывные и ограниченные на Z х Rm функции, Дд и Sk — неизвестные помехи, удовлетворяющие оценкам

sup II Дк ||= Д*, sup \ Sk \= S*. (24)

k£Z k£Z

Требуется построить управления uk и ид таким образом, чтобы выполнялись следующие свойства:

lim | ак |< <5i(А*, (5*), (25)

к—— ^

lim || хк ||< 7о Ит | фк | +^(А*, J*), (26)

к—— ^ к—

где Si^*, S*) + S2^*, S*) —> 0 при Д* + S* ^ 0.

Для построения управлений uk и ид воспользуемся методикой, развитой в [9]. Введем обозначения:

A(k,xk )= Ak, bl(k,xk )= bk, b2(k,xk )= b|.

Зафиксируем параметр в £ (0,1) и рассмотрим выражение ад+i — вад. В силу системы (22), (23) оно имеет следующий вид:

ад+i — вад = c*(Ak xk + bkuk + ЬД^д — exk + дфк) + Vk, (27)

где

Vk = с*Дк xk + c*gSk. (28)

Предположив выполнение условия

c*bk =0 при k = 0,1,2,..., (29)

выберем управление и; в виде

'Ок = ~1ГГа{Рс*Хк - С* Акхк - с*Ъ\ик - с* дфк)• (30)

С*Ьг

Тогда равенство (27) примет вид

СТЙ+1 = встк + (31)

Поскольку величины V; в силу (28) не ограничены относительно ж;, оценим сначала

Иш || ж„

П—— ^

В силу (30) система (21) примет следующий вид:

жк+1 Акжк + Ькмк + ^^, (32)

где

Ак = {1-щ)Ак+[3щ: дк = {1~щ)д’

/ ь2е* \

у ^ 9кФк + Н~“ ^к^к-

Предположим, что матрица А; имеет форму Фробениуса с функциональной нижней строкой

а; = (ак,...,ат), Ьк = (вк, .. ., в^-1, в!),

причем последний элемент столбца Ьк превалирует над остальными элементами:

т-1

Е | вк 1< ж | вт I, вт=0. (зз)

5=1

Следуя [9], будем искать стабилизирующее управление м; в виде

Мк = 4жк. (34)

Рассмотрим функцию Ляпунова

Vk = жк Нж; , (35)

где Н = diag{Yl,..., 7т} и

0 <71 < ... < 7т. (36)

В силу (32), (34), (35) справедливо представление

Vk+l - Vk = жк^кжк + тк, (37)

где

^к = ^к + вк/* + /к вк + 5кЬкНЬк ^*, ^к = Ак НАк — H, /к = А; НЬк

т к = 2г *(НА; + НЬ к4 )ж к + г * Нг;. (38)

113

Положим

Sk = ~ъ*кнък (39)

*

Lfc = Qk — 7ТТ7Г~ ■ (^0)

Тогда матрица Lk примет вид

fkf,

Ъ*кНЪк'

В [9] было показано, что матрица Lk при выполнении условия доминирования (33) удовлетворяет соотношению

xfc Lkxk < —(Y — v)xfc , (41)

22

•г . Ж>2 ,

где 7 = mm{7i, 72 - 7ь • • • > 7m - 7m-1}, ^ = К83) = щ = supfc(2/х2 +

1 + 86

ж II Ak II) II Ak II, М2 = supk II ak ||.

Потребуем, чтобы ж из условия (33) удовлетворяло неравенству

0 < v(ffi) < 7. (42)

Оценим величину (38). Очевидно неравенство

I Гк ||2< 3(мзФ2+ I g I2 S2 + Д2 I xk II2), (43)

где мз = sup I gk I2. В силу (38) справедлива оценка

keZ

\ mk \< 2^4 I гд II xk I +7m I Гк I2, (44)

где М4 = sup I HAk + Hbksk I. Поскольку при любом м > 0 имеет место соотношение

keZ

2 II rfc nil II< ^ Гк ^ + ц II xk ||2,

из (44) вытекает неравенство

I rnk \< ЦЦ4 II xk ||2 + +7II rfc ||2 .

Отсюда в силу (43) получаем оценку

I mfc |< [/x/x4 + 3 ( — + 7m ) Д2] \\xk ||2 +ipk, (45)

1m I [P3Ф1+ II g II2 Si)

Из (37), (41), (45) следует соотношение

Vk+l — Vk < —А У xk ||2 +^k,

где A = 7 - V - jj/ji - 3 + 7m ) Д*.

Поскольку V; < 7т || ж; ||2, из последнего соотношения вытекает неравенство

^к+1 < 6^к + ^к, (46)

в котором (5=1 — —. Согласно (42) можно выбрать сначала /л, а затем Д* столь От

малыми, чтобы выполнялась оценка 0 < 6 < 1. Из (46) с помощью рассуждений, проведенных в [9], вытекает неравенство

1

ІІП1 14 < z-7 ІІП1 (fik.

k—1 — S k—

Отсюда следует оценка (2б), а следовательно, и свойства инвариантности (25) в силу (31). Сформулируем полученный результат.

Теорема 2. Если управления Uk и Uk построены по формулам (30), (34), (39) и выполнены условия (29), (33), то при достаточно малых ж и Д* любое решение системы (22), (23) обладает свойствами (25), (2в).

Литература

1. Щипанов Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. №1. С. 4-37.

2. Левина З. М., Левин В. И. Г. В. Щепанов и теория инвариантности. М.: Физматлит. 2004.

3. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. №2. С. 3-13. 1985. №2. С. 3-14. №6. С. 3-14.

4. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживавния // ДАН СССР. 1995. Т. 343. №2. С. 172-175.

5. Якубович В. А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия // Докл. РАН. 2001. Т. 380. №1. С. 25-30.

6. Якубович В. А., Проскурников А. В. Задача об инвариантности системы управления // Докл. РАН. 2003. Т. 343. №6. С. 742-746.

7. Проскурников А. В., Якубович В. А. Приближённое решение задачи об инвариантности системы управления // Докл. РАН. 2003. Т. 392. №6. С. 750-754.

8. Зубер И. Е. Инвариантная стабилизация и задача слежения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 4. С. 41-47.

9. Зубер И.Е., Гелиг А. Х. Инварантная стабилизация нелинейных дискретных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 1. С. 91-95.

10. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2006.

Статья поступила в редакцию 20 февраля 2007 г.