Синтез инвариантно стабилизированных дискретных неопределенных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИНТЕЗ ИНВАРИАНТНО СТАБИЛИЗИРОВАННЫХ ДИСКРЕТНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ*

И. Е. Зубер

С.-Петербургский государственный университет,

д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник, [email protected]

1. Введение. Под инвариантностью системы понимается независимость выхода системы от внешнего возмущения, постоянно действующего на входы системы. Первой работой в этой области была статья [1], где результат был получен для линейной системы шестого порядка. Дискуссия по поводу этой статьи описана в книге [2] и стимулировала многочисленные исследования, обзор результатов которых приведен в [3]. Инвариантности нелинейных систем посвящено значительно меньше работ [3, 4, 5].

В предлагаемой статье рассматривается дискретная неопределенная система, элементы матрицы которой ограничены и являются функционалами произвольной природы, а выход системы задается матрицей произвольной размерности и структуры. С помощью построения специальной квадратичной функции Ляпунова значительно расширен класс стабилизируемых дискретных неопределенных систем и решена задача синтеза инвариантного стабилизирующего управления.

2. Постановка задачи. Рассматривается дискретная неопределенная система

xk+1 = Akxk + Bj,ul + + gфk (k = 0,1,...),

&k C X^

где Ak — n x n-матрица, элементы которой по абсолютной величине ограничены числом а и являются функционалами произвольной природы, B^ G Rnxp, B| G Rnxm, C — постоянная n x m-матрица наблюдения, * — знак транспонирования (все величины вещественные), д — заданный постоянный n-мерный вектор, фk — ограниченная скалярная функция внешнего воздействия.

Задача заключается в построении управлений uk и uk, обеспечивающих выполнение условий

^k+1 = ß°k (k = 0,1,...), (2)

где ß G (0,1) —заданный параметр, и

lim sup ||xk|| < Yo lim sup |ф^, Yo > 0. (3)

k—k—

3. Основные результаты. Положим

uk = Sk*xk, (4)

uk = SI* Xk + Mk, (5)

где Mk G Rmx1, S'! G Rnxp, S'! G Rnxm. Цель управления uk заключается в удовлетворе-

нии условию инвариантности (2), целью управления uk является выполнение свойства

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00245).

© И. Е. Зубер, 2010

стабилизируемости (3). Подставив в (1) выражение (5), сформируем

ай+1 = (С*Ак + + СВ^* )хк + С*В^Мк + С*^ь

Предположим, что для всех к справедливо соотношение

ае1 С *в2 = 0.

Тогда, подставив в (6) выражения

Ик = -(С*В)-1С*д^,

(7)

(8)

-(С*В2)-1с*(Ак + )+ вС*, (9)

получим соотношение (2). Итак, выбранные Мк и обеспечивают выполнение свой-

ства инвариантности (2). Отметим, что для удовлетворения равенству (2) достаточно лишь единственного предположения о невырожденности матрицы С*В ^ при к = 0, 1, .. .

Перейдем к определению матрицы й^, обеспечивающей выполнение свойства (3). Подставив выражения (8), (9) в (5), перепишем уравнение (1) в виде

х к+1 = А к х к + В кй\х к + 5^ к, (10)

где

А к В к 5І

= (I - (С*В2)-1В|С*)А к + в(С*В 2)-1В 1с*, = (I - (С*В2)-1В1С*)В1,

= д - (С* В 2)-1С*дВ2.

(11)

Очевидно, что выполнение условия (3) эквивалентно глобальной асимптотической устойчивости системы

хк +1 Акх к + Вкйк х к. (12)

Рассмотрим задачу стабилизации системы

х к +1 А кх к + Вки k,

(13)

где и к Є Крх1, Вк Є М”хр, а матрица А к = {а^} принадлежит одному из следующих трех классов:

I

кї'і < і, а<‘> =0

і = 1,1, I < п, при І > і, і = 1, Щ

II

к4к) 1 < 1

а<‘> = 0

і = 1,1, I < п, при і > і, і = 1,1',

III

4к) =0

при і = 1,1, j <1 -\- і — 1.

Теорема. Если А*к Є I и II и III и р = п — I, то существует такая матрица 5к Є М(”-г)хт, что управление и к = стабилизирует систему (13).

Доказательство теоремы. Предположим, что Ак € I. Введем в рассмотрение функцию Ляпунова

V]- = х*кНх]~, Н = сИа§(^г-1,..., /г„), /г* > 0 (г = 1, п)

(14)

и ее приращение ДУк = хкЬхк, где Ьк = (Ак + ВкЬк)*Н(Ак + ВкЬ*) — Н. Рассмотрим матрицу ^к = АкНАк — Н = {^¿Д} (*,7 = 1,..., п). Согласно [6] размерность стабили-

зирующего управления в системе (13) равна п — р, где р — число перемен знаков в последовательности главных диагональных миноров матрицы ^к. Будем строить матрицу Н таким образом, чтобы максимизировать число р. Рассмотрим подробнее миноры Д* матрицы ^к. По формуле Шура [7] имеем представление Д* = Д*_1(^ — к^), где

— столбец (^¿, ?2®,..., Зи)* элементов матрицы ^к, составленной из первых * столбцов и строк матрицы ^к. Выписывая ^к, убеждаемся в том, что линейно зависят от ^¿+1, а ф, ^¿-1, Дд (7 < *) от ^¿+1 не зависят. Таким образом, каждый минор Д* (* = 1,..., 1) может быть выбором ^¿+1 сделан знакопостоянным и требуемого знака. Следующие миноры Дд (7 > 1) не могут быть сделаны знакопостоянными выбором матрицы Н > 0 произвольной структуры, поскольку Дд при 7 > 1 включают элементы акД, для которых знак аД — 1 не определен. Случаи, когда Ак € II и Ак € III, рассматриваются аналогично.

Построим теперь стабилизирующее управление для системы (13). Пусть Н — матрица функции Ляпунова, обеспечивающая максимальное количество перемен знаков в последовательности знакопостоянных главных диагональных миноров матрицы ^к = АкНАк — Н. Согласно [6, 8] матрица Вк является допустимой матрицей распределения управлений, то есть для нее существует матрица Ьк стабилизирующей обратной связи, если Вк удовлетворяет неравенству Н — АкН 1/2РкН 1/2Ак > 0, где Рк — матрица оператора проектирования на нуль-пространство матрицы Н1/2Вк. Непосредственной проверкой убеждаемся в допустимости матрицы вида

где матрица Вк невырождена, а 1 — число перемен знаков в последовательности главных диагональных миноров матрицы ^к для классов I, II, III. При этом матрица обратной связи формируется в виде

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь систему (13) с матрицей Ак, принадлежащей стабилизируемым классам I, II, III, и сформируем по формуле (11) матрицу Ак системы (10). Выясним структуры матриц В^ и С заданной размерности, при которых матрица Ак остается в том же классе, что и матрица Ак, или переходит в другой класс при минимальном увеличении требуемой размерности стабилизирующего управления и = хк.

Не слишком умаляя общность (7), будем полагать, что матрица С имеет вид

00... 0

В к = 0 0 ... 0

Вк € К(п-0х(п-0

V Вк /

/00 ... 0 \

тхт

Тогда полагаем Є К”хт той же структуры:

В2

/00 ... 0 \

00 ... 0

V о

Отсюда у матрицы В 1С* первые п — т строк и п — т столбцов нулевые.

Легко проверить, что если А к € I, то А к € I в том и только том случае, если В2 = (0,..., 0, вк )*, С* = (С1,...,е„).

Если А к € II и III, то А к принадлежит тому же классу, но требуемая размерность стабилизирующего управления р = тах(т, п — 1).

Если А к € III, то А к € III при размерности стабилизирующего управления равной тах(т, п — 1).

Если С € М”хт, то для инвариантной стабилизации достаточно, чтобы В 2 € К”хт и (¿е1;С*В2 = 0. При этом Ак € II, а размерность стабилизирующего управления и к равна тах(т, п — 1).

Замечание. В некоторых случаях управление и к является стабилизирующим и, следовательно, можно положить и к = 0. Например, пусть для всех к аД =0 (* =

1,... ,п - 1; і > і),

< 1 при і < п, но |аПп! > 1 Для некоторых к. Тогда если у

матрицы (С*ВI) 1В 2С* все строчки, кроме последней, нулевые, а элементы последней строки по абсолютной величине меньше единицы, то А к Є I, причем все ее диагональные элементы по абсолютной величине меньше единицы и, следовательно, система (12) при = 0 глобально асимптотически устойчива [9].

ог є мтхт

к

а

Литература

1. Щипаное Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. №1. С. 4-37.

2. Левина З. М., Левин В. И. Г. В. Щипанов и теория инвариантности. М.: Физматлит, 2004.

3. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности. // Автоматика. 1984. №2. С. 3-13. 1985. №2. С. 3-14. 1985. №6. С. 3-14.

4. Зубер И. Е. Расширение класса стабилизируемых неопределенных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2009.

5. Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Робастная инвариантная стабилизация непрерывных и дискретных нелинейных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2008. Вып. 2. С. 109-115.

6. Зубер И. Е. Расширение класса дискретных стабилизируемых нелинейных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2008. Вып. 3. С. 18-24.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

8. Зубер И. Е. Расширение класса стабилизируемых неопределенных дискретных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2009.

9. Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Устойчивость неопределенных дискретных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2009. Вып. 1. С. 3-9.

Статья поступила в редакцию 8 декабря 2009 г.