Расширение класса стабилизируемых неопределённых дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАСШИРЕНИЕ КЛАССА СТАБИЛИЗИРУЕМЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*

И. Е. Зубер

С.-Петербургский государственный университет,

д-р техн. наук, ведущий научн. сотрудник, [email protected]

1. Введение. Исследования странных аттракторов [1] обусловили рост интереса к динамике нелинейных дискретных систем. Вопросы устойчивости таких систем исследовались, например, в работах [2-4]. Стабилизация нелинейных дискретных систем изучена значительно меньше. В [5] произведён синтез скалярного стабилизирующего управления обратной связью по состоянию для систем, матрица объекта которых имеет форму Фробениуса с нижней функциональной строкой, а вектор распределения управления имеет доминирующий нижний элемент. В работе [6] получено расширение класса стабилизируемых нелинейных дискретных систем. Предполагалось, что матрица объекта управления имеет общий вид с знакопостоянной первой наддиагональю. Стабилизирующее управление было получено в виде обратной связи по состоянию. Недавно в рассмотрение был введён класс нелинейных дискретных систем с большей долей неопределённости. В работе [7] рассматривается стабилизация нелинейных дискретных систем класса А. И. Лурье со многими нелинейностями.

В предлагаемой статье содержится постановка и решение задачи стабилизации неопределённой дискретной системы п-го порядка специального вида. Все элементы матрицы объекта управления ограничены. Определена размерность управления, необходимого и достаточного для стабилизации с помощью квадратичной функции Ляпунова.

2. Постановка задачи. Цель предлагаемой статьи — расширение класса стабилизируемых дискретных неопределённых систем. Рассматривается система

(1)

х к +1 Ак О к + в 0( с<Г 1-4 д ... ,

є кпх", в0(.) Є кпхт, матрица А к имеет вид

( 0 (0) 1 0 • • 0 \

0 0 ек (■) ••• 0

А (■) = 0 0 0 ■ ■ ■ (0) (

а к+1,1 (') аг+1,2(') аг+1,3(') ■ ' ■ «к+1 ,и('.

V «П,і( ) ап,2(') аП,3(') ••• <п(0 /

(2)

Предполагается, что элементы матриц Ак() и В0() являются функционалами произвольной природы, о которых известны лишь границы их изменения:

К-(■) < ао, Ш-)| < ао, |в 0(.)| < во.

(3)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00245) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-2387.2008.1).

© И. Е. Зубер, 2009

Допустимым предполагается векторное управления обратной связью по состоянию

« к = ^0(^)ж к , (4)

где —подлежащая определению (ш х n)-матрица, обеспечивающая замкнутой си-

стеме (1)-(4) устойчивость в целом.

3. Основные результаты. Начнём с утверждений общего характера, относящихся к дискретной неопределённой системе

х к+1 = Ак ()х к + Вк (•)« к, «к = #*(-)ж к, (5)

где А к £ М”х”, В к € М”хт, йк € М”хт. Рассмотрим квадратичную форму

V (х к )= хк Нх к, (6)

где Н = Н* —положительно определённая постоянная матрица. Приращение функции (6) ДVk = V(хк+1) — V(х к) в силу системы (5) имеет вид

ДVk = хк Ь к (• )х к,

где

Ь к (•)= Ак ()НА к (•) — Н + Ак ()НВ к (•)£*(•) + ^к ()В* ()НА к (•)+ 5к ()В* ()НВ к (•)£*(•). Перейдём к определению матрицы йк (•), обеспечивающей выполнение условия

Ьк(•) < 0. (7)

Теорема 1. Размерность управления и к, обеспечивающего выполнение неравенства (7), удовлетворяет соотношению

ш > яирр(), (8)

где р() —число неотрицательных собственных значений матрицы

Ск (•)= Ак ()НА к (•) — Н. (9)

Доказательство почти дословно повторяет доказательство теоремы 3 в [8].

Будем называть (п х ш)-матрицу распределения управления Вк(•) допустимой, если существует такая (п х ш)-матрица йк(•), что выполнено неравенство (7). При этом матрица йк (•) называется парной матрицей для В к (•). Отметим, что понятие допустимости и парности определяются относительно заданных А к (•) и Н > 0.

Аналогично определяется допустимость матрицы обратных связей йк(•) и парной ей матрицы распределения управлений В к (•).

Обозначим через Рк матрицу оператора проектирования на нуль-пространство матрицы Н 1/2Вк (•):

Рк = I — Н1/2В к (0(В * ()НВ к (^))-1В*(^)Н1/2. (10)

Теорема 2. Для того, чтобы (п х ш)-матрица распределения управлений Вк(•) была допустимой, необходимо и достаточно выполнения условия

Н — Ак()Н 1/2РкН 1/2А() > 0. (11)

где и — произвольная п х т-матрица, удовлетворяющая соотношению

Ск( ■ ) + ВД - Ак( ■ )Н 1/2РкН 1/2А к( ■ ) < 0.

Теорема 4. Для того чтобы матрица обратных связей йк( ■ ) была допустимой, необходимо и достаточно, чтобы существовало число Л, при котором выполнено соотношение

где Л — число, удовлетворяющее неравенствам Л ^ Ло и (12), и — произвольная (п х т)-матрица такая, что

Б — произвольная ортогональная (т х т) -матрица.

Доказательство теорем 2-5 почти дословно повторяет доказательства соответствующих теорем для линейных систем (сМ' [9, 10])'

Вернёмся к системе (1) и займёмся её стабилизацией' Согласно [4] устойчивость системы (1), (4) эквивалентна устойчивости системы

и выберем положительно определённую матрицу Но из условия отрицательной определённости (г — 1) х (г — 1)-матрицы Жг-1( • ). Матрица Жг_1 имеет диагональный вид

Ск( ■ ) - Лйк ( ■ )й* ( ■ ) < 0.

(13)

Теорема 5. Пусть (п х ш)-матрица обратных связей йк( • ) допустимая. Тогда вид парной ей матрицы распределения управления задаётся формулой

в к( ■ ) = (I + Лйк( ■ )й*(■ )+ йк( ■ )и*)-1 (и1/2Би-1/2 - А (Лйк( ■ ) + и), (14)

Ск+ЛоВД£*(0-т-ад: >°,

Ло

(15)

у к +1 = А0*( • )ук + й0( • )и, ик = В 0*( • )у к.

Введём в рассмотрение форму

^0(у к) = у *Ноу к-

Приращение Д^о(ук) в силу системы (16) имеет вид

Д^0(у к) = у *Ь0( • )Ук,

(16)

(17)

(18)

где

Ьо( ■ ) = Ак( ■ )НоА0* - Но + Ак( ■ )Яо5°(■ )В*( ■ ) +

+ Вк ( ■ )5°*( ■ )НоАк* + Вк ( ■ )5°* ( ■ )Яо5°( ■ )В* ( ■ ). (19)

Представим матрицу Ьо( ■ ) в блочном виде

(20)

поэтому в силу свойства (3) для справедливости неравенства Жг_1 < 0 достаточно взять

^ > ^^+1 при 1 ^ ^ г — 1, ^ = 1 при * ^ г. (21)

В системе (16) В °(-) является матрицей обратных связей, а $0() — матрицей распределения управлений. Поэтому допустимость матрицы В°(-) задаётся соотношением

Я = А0*(-)Н0Ак(•) — Н0 — АВ 0( • )В 0*(•) < 0. (22)

Предположим теперь, что матрица В 0( ) имеет вид

В °°(■ ) = В N Г (23)

В0,

В0( • )

где В0 —ненулевая (г — 1) х (г — 1)-матрица, а (п — г + 1) х (п — г + 1)-матрица В°( • ) имеет ранг п — г +1.

Лемма [9]. Пусть К = К * — (п х п)-матрица вида

К = Г К11 К12 К V К * 2 К22

Тогда для отрицательной определённости матрицы К необходимо и достаточно, чтобы либо

Кц < 0, К22 — К*2К221К12 < 0,

либо

К22 < 0, Кц — К12К221К*2 < 0.

Запишем блочное представление матрицы Я из (22) в виде

N,-1 Мк ( ■ )

м* ( ■ ) р ( ■ ) - лв2( ■ )В2 * ( ■ )У Г

^ = ( М*(.) (.) ЛВ0(.)Во*(.) ) , (24)

где

( Щ(1) М?(° ) = Ак(•)НоА0*(-) - Но. (25)

Воспользовавшись леммой, определим число Л, при котором ^ < 0' Очевидно, что

Л > Ло, (26)

где

Ло/ > (В20(■ ))-1(Рк( ■ ) - М*( ■ )Ж-11( ■ )Мк( ■ ))(В20(■ ))-1,

I — единичная матрица' Теперь согласно теореме 5 матрица £°( ■ ) задаётся формулой

5°°(■ ) = (/ + В 0(■ )В 0*( ■ ))-1(/ - Акк( ■ ))ЛВ0( ■ ). (27)

Итак, получаем следующий результат'

Теорема 6. Система (1) стабилизируется в целом при В°( ■ ), $0( ■ ), заданных формулами (23), (26), (27).

Замечание 1. Отметим, что замена матриц Но в форме У0 = У*Ноуо на любую другую постоянную положительно определённую матрицу Н не уменьшает требуемой размерности управления' Действительно, каждый главный диагональный минор матрицы

Lo( ■ ) производной функции Ляпунова порядка выше r — 1 содержит строки матрицы Ak ( ■ ), содержащие знаконеопределённые элементы, и не может быть сделан знакоопределённым при любой постоянной матрице H.

Замечание 2. Вместо матриц A k и В0 можно рассмотреть матрицы A k = A k + ДА k и B k = B 0 + ДВk. При этом определение допустимых ДAk и ДВ k проводится как в [10].

Литература

1. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 144 с.

2. Donraki M. J., Dehyh M., Razzaghi M. Oscillation and Asymptotic Behavior of a Class of Higher Order Nonlinear Recursive Sequences // Applied Mathematics and Computation. 2002. Vol. 14. P. 275-289.

3. Peng Y. Asymptotic Stability for Nonlinear Difference Equation // Applied Mathematics and Computation. 2006. Vol. 182. P. 67-72.

4. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2006. 270 с.

5. Зубер И. Е. Стабилизация дискретных систем управления посредством преобразования подобия // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 1998. №4. http://www.neva.ru/journal

6. Lee S. M., Park J. Robust stabilization of discrete-time nonlinear Lurie system with sector and slope restriction nonlinearities // Journal of Applied Mathematics and Computation. 2008. Vol. 208. P. 429-436.

7. Зубер И. Е. О монотонной стабилизации линейных импульсных систем регулирования // Автоматика и телемеханика. 1968. №3. С. 29-39.

8. Зубер И. Е. О структуре обратных связей монотонно стабилизируемых импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1969. №2. С. 17-28.

9. Boyd S.,Chaoui L. El., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

10. Зубер И.Е. Расширение класса стабилизируемых нелинейных дискретных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2008. Вып. 3. С. 19-24.

Статья поступила в редакцию 17 февраля 2009 г.