CC BY
29
И. Е. Зубер
РАСШИРЕНИЕ КЛАССА СТАБИЛИЗИРУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*
1. Введение. В связи с исследованием странных аттракторов [1] в последние годы возрос интерес к динамике нелинейных дискретных систем. Если вопросы устойчивости этих систем привлекли внимание многих ученых (см., например, [2-4]), то оптимизация нелинейных дискретных систем изучена значительно меньше. В [5] было синтезировано стабилизирующее управление для класса нелинейных дискретных систем, у которых матрица коэффициентов объекта управления имеет форму Фробениуса с функциональной нижней строкой, а у нелинейного вектора распределения управления доминирует последний элемент.
В данной статье сделана попытка значительно расширить класс стабилизируемых систем путем замены матрицы Фробениуса матрицей общего вида. При этом стабилизирующее управление получено в виде функции от вектора состояния системы.
2. План исследования. Цель предлагаемой статьи — расширение класса стабилизируемых нелинейных систем. Это расширение будет производиться в три этапа. На первом этапе рассматривается система
где Хк Є К”, Пк Є К1, е,
хк+1 А0(хк )хк + е”ик?
(0,..., 0,1),
(1)
Ао =
Ыхк) 0
0
0
Ыхк)
0
0
0
С”—1 (хк) а”(хк)
(2)
аі(хк) «2 (хк) аз (хк) .
Предполагаются следующие ограничения на коэффициенты матрицы Ао: 0 < С* <Цг(хк )| < т*, |аі(хк)| < П*, к = 0,1, 2,...
Для системы (1)—(3) определяется скалярное управление вида
ик £ (хк )хк ,
обеспечивающее замкнутой системе (1)—(4) устойчивость в целом.
На втором этапе рассматривается система
хк+1 А(хк )хк + e”uk,
(3)
(4)
(5)
где А(хк) = Ао(хк) + Ак. Определяется оценка спектральной нормы матрицы Ак, при выполнении которой устойчива в целом система (4), (5).
* Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума РАН (Программа №22) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проект НШ-2387.2008.1).
© И. Е. Зубер, 2008
На третьем этапе рассматривается система
хк+1 = Ао(хк)хк + (Є” + 6к)«к. (6)
Находится оценка нормы вектора 6к, при выполнении которой устойчива в целом система (4), (6).
3. Формулировка результата. Введем обозначения
Ао(хк) = Ак, в(хк ) = вк (7)
и обратимся к задаче первого этапа. Для системы (1)—(4) рассмотрим функцию Ляпунова
Ук = хк Нхк, (8)
где
Н = diag(hl,..., ^”), ^ > 0, ^ < ^і—1, і = 2,..., п. (9)
Приращение функции (8) в силу системы (1)-(4) имеет вид
Ук = Ук+1
где
ДУк = Ук+1 — Ук = хкЬкхк,
Ьк = В*НВк - Н, (10)
Вк = Ак + е”4. (11)
Нашей целью является определение коэффициентов (і = 1,..., п) и вектора в к таким образом, чтобы выполнялись неравенства
Ьк < 0, к = 1, 2,... (12)
Согласно [6] устойчивость в целом системы (1)—(4) эквивалентна устойчивости в целом системы
Ук+1 = Ак Ук + «к«к, «к = е”ук. (13)
Лемма. Пусть в системе
^к+1 Ак^к + ^к ик Pkzk, (14)
где Ак € М”х”, Дк € Мтх”, Рк € М”хт, задана матрица Рк. Рассмотрим функцию
Ляпунова Ук = ^Но^к, где Но > 0.
Тогда для существования матрицы Дк, при которой приращение функции Ляпунова Ук+1 — Ук в силу системы (14) отрицательно, необходимо и достаточно выполнение неравенства
Рк (АкНоАк — Но)-1Рк > 0. (15)
При выполнении (15) матрица Дк определяется формулой
Дк = А(/ + ЛРк Рк*)-1(/ — Ак )Рк, (16)
где Л > Ло, а Ао удовлетворяет соотношению
-(А кНоАк - Но) + ЛоРкР* > 0. (17)
Доказательство этой леммы почти дословно повторяет доказательство теорем 3 и 4 в [7], где оно проводилось для постоянных Ак, Рк, Дк.
Вернемся к системе (13) и рассмотрим матрицу
<3к = АкНАк - Н,
(18)
которая имеет вид
Выбирая
(С1)2^2-Л1 0 0 (С2)2Лз-Л2
С1^2а2
С2^3а3
(С” 1)2^” - Л”—1 С”—1Л”«”
С1^2а2
С2^3а3
С”—1Л”«”
”— 1
У~!(С& )2^і-Л”
(19)
^1 = 1, лі <
Лі
і—1
С*
(20)
где —параметр из неравенств (3), убеждаемся в том, что для вектора еп условие (15) леммы выполняется, то есть справедливо неравенство еП^-1е„ > 0. Следовательно, вектор в к, обеспечивающий устойчивость в целом системы (13), а следовательно, и системы (1)-(4) может быть задан соотношением
в к = Л(1 + Ле”е”) 1(1 - Ак )е”.
Здесь Л > Ло, а Ло выбирается из условия
(21)
(22)
Отметим, что и матрица Н > 0, и вектор обратной связи в(х к), обеспечивающие отрицательность приращения функции Ляпунова в силу того, что система замкнута, определяются неоднозначно.
Рассмотрим функцию
Ук =х кН 'х k, (23)
где
и матрицу
Н' = diag(h/l,...,h”),
Ьк = (А к + е”вк*)*Н'(А к + е”вк*) - Н' + 2а1
(24)
(25)
Отрицательная определенность этой матрицы при а > 0 обеспечивает устойчивость в целом системы (1)-(4). Рассмотрим сначала приращение функции (23) в силу системы (1) при отсутствии управления и сформируем матрицу
да = АкН'А к - Н' + 2а1.
Очевидно, эта матрица имеет следующий вид:
а1 Л” — ^1 + 2а «1«2Л” . . .
а1«2^” С2Л1 + а2^” - Л-2 + 2а ...
(26)
да
а1а” Л” а^апЫ”
а1а”Л”
а2а,”Ы”
С”—1Л1 + а”Л”- Л” +2а
0
0
Убедимся, что выбором Л* > 0 (г = 1,..., п) для первых п — 1 главных диагональных миноров Д* матрицы можно обеспечить выполнение свойства
Д^-1 < 0. (27)
Полагаем ЛП = 1. Тогда Д1 < 0 при > т2 + 2а. Отметим теперь, что только г-й сверху диагональный элемент матрицы зависит от Л', а остальные элементы ф^, входящие в Д*, зависят только от ..., Л*_1. Поэтому, используя формулу Шура, выбором Л* можно добиться выполнения свойства (27). Пусть ..., ЛП, обеспечивающие соотношение (27), найдены. Тогда, согласно [5], положив
вк = —А*кН'еп(е*пН'еп) 2, (28)
обеспечим выполнение соотношения
Таким образом, получаем следующий результат.
Теорема 1. Управление «к = ^кхк, где вк определяется либо формулой (28), либо соотношениями (21), (22), стабилизирует в целом систему (1)—(4).
Второй этап. Вернемся к системе (5) и найдем матрицу Н' и вектор вк по формуле (28), которые обеспечивают выполнение соотношения
(Ак + е”вк)*Н'(Ак + е”вк) < -2а/ (29)
Рассмотрим следующее условие, обеспечивающее устойчивость в целом системы (5):
(Ак + Дк + е”вк)* Н'(Ак + Дк + е”вк) < -а/. (30)
Ввиду (29) для справедливости (30) достаточно выполнения неравенства
ДкН'Ак + АкН'Дк + ДкН'Дк < а/. (31)
Обозначим через || • || спектральную норму. Тогда справедливы неравенства
IIДкН'Ак|| < IIДк| ||Н'|| ||Ак|,
II ДкН 'Дк || < II Дк|2|Н '||.
Очевидно, что ||Н'|| = Л* = тах ЛІ. Поэтому соотношение (31) будет выполнено, если
||Дк|| + 2|АкУ ||Дк||Л* < а.
Отсюда вытекает следующая оценка для ||Дк||:
||Дк|| < -||Ак|| + у ИАк||2 + (32)
Сформулируем полученный результат.
Теорема 2. Система (5) устойчива в целом, если вк определяется формулой (28), а ||Дк | удовлетворяет оценке (32).
Третий этап. Предположим теперь, что в системе (1)—(4) вектор распределения управления заменен на вектор en + bk, где
НМ < в, к = 0,1, 2,... (33)
Найдем оценку параметра в, при которой устойчива в целом замкнутая система
xk+1 Akxk + (en + bk)uk? , ,
,* (34)
Uk Sk Xk ,
где sk определяется формулой (28). Матрица приращения функции Ляпунова (23) в силу системы (34) имеет вид
Lk = AkH ,Ak — H' + Ak H ,(en + bk)sfc* +
+ sk(en + bk)+ HAk + sk(en + bk)H,(en + bk)sfc*. (35)
В силу проведенного выше построения матрицы H/ и вектора sk справедливо неравенство
AkH/Ak- H/ + AkH/ensk* + skеПн/Ak + 4<H,en4* < —2a/. (36)
Из (35), (36) следует, что для выполнения оценки Lk < —а/ достаточно, чтобы вектор bk удовлетворял неравенству
AH/bksk* + skbkH/Ak + skbkH/bksk* + skenHbksk* + skb£H/e„sk* < а/.
Очевидно, что это неравенство выполнено, если Н bk Н удовлетворяет соотношению
2||Afc|| ||HН ||bfesk*Н + HHН l|bfesk*Н2 + 2||HН HskenH 1МЛ1 < а. (37)
Поскольку для любых векторов а и b справедливы соотношения
||ab*|| = \Amax(ab*ba*) = v/|b|2Amax(aa*) = л/|Ь|2|а|2 = |а| |Ь|,
оценка (37) будет выполнена, если евклидова норма |bk| удовлетворяет неравенству
||HН |sk|2|bk|2 + 2(IIAk| IHН + ||HН |sk|) |skl |bk|— a < 0.
Это соотношение выполняется, если при всех к имеет место неравенство
|bk| < , (38)
где _______________________
^ = щ {^Ш\ + К\)2 + 1Щ - (Ш\ +141
В силу (33) для выполнения (38) достаточно, чтобы параметр в удовлетворял оценке
в< inf ^k. (39)
k
Таким образом, получен следующий результат.
Теорема 3. Рассмотрим систему (34), где вектор sk определяется формулой (28), а вектор bk удовлетворяет оценке (33). Тогда система (34) устойчива в целом, если справедлива оценка (39).
4. Заключение. Синтезированы два вида скалярного управления, которое стабилизирует в целом нелинейную дискретную систему, у которой вектор распределения управления является последним единичным ортом, а матрица коэффициентов объекта получена из матрицы Фробениуса с функциональной нижней строкой путем замены стоящих на наддиагонали единиц отделенными от нуля ограниченными функциями. Получены оценки нормы матрицы возмущений коэффициентов объекта или нормы возмущения вектора распределения управления, при которых стабилизация сохраняется.
Литература
1. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 144 с.
2. Douraki M. J., Dehyhan M., Razzaghi M. Oscillation and Asymptotic Behavior of a Class of Higher Order Nonlinear Recursive Sequences // Applied Mathematics and Computation. 2006. Vol. 179. P. 175-189.
3. Edwards J. T., Ford N. J. Boundedness and Stability of Solutions to Difference Equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2002. Vol. 140. P. 275-289.
4. Peng Y. Asymptotic Stability for Nonlinear Difference Equations // Applied Mathematics and Computation. 2006. Vol. 182. P. 67-72.
5. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 270 с.
6. Зубер И. Е. Стабилизация дискретных систем посредством преобразования подобия // Электронный журнал «Диференциальные уравнения и процессы управления». 1998. №4. http://www.neva.ru/journal.
7. Зубер И. Е. К вопросу об оптимальной структуре обратных связей монотонно стабилизируемой импульсной системы // Управляемые системы. Труды института математики СО АН СССР. 1969. Вып. 3. С. 23-33.
Статья поступила в редакцию 10 февраля 2008 г.
