CC BY
37
УДК 517.929
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1
СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ДИНАМИЧЕСКИМ РЕГУЛЯТОРОМ*
И. Е. Зубер
С.-Петербургский государственный университет,
д-р техн. наук, ведущий научн. сотрудник, [email protected]
1. Введение. При рассмотрении задачи стабилизации дискретной нелинейной системы п-го порядка прямым скалярным управлением вида обратной связи по состоянию в [1] предполагалось, что для заданной матрицы объекта Ак существует такая положительно определенная матрица Н, что в последовательности знакоопределен-ных главных диагональных миноров матрицы А*кНАк — Н имеется п — 1 перемен знаков. При этом был найден общий вид допустимого вектора распределения управления Ьк, то есть такого вектора, при котором вектор коэффициентов обратной связи вк = —А*кНЪк(Ъ*кНЪк)~1 обеспечивает глобальную асимптотическую устойчивость замкнутой системы. Анализ полученной в [1] формулы для вектора распределения управления показывает, что в случае совпадения знаков г- и (г + 1)-го главного диагонального минора матрицы АкНАк — Н компонента (г + 1) вектора Ьк необходимо должна быть знакоопределенной. Например, если матрица Ак является матрицей
Фробениуса, Н — диагональная матрица и Ьк = (/з[к\ ... ,/3^)*, то М¡3^> 0.
к
В случае, когда вектор распределения управления не является допустимым, целесообразно использовать непрямое управление (динамический регулятор). При этом необходимым условием существования такого регулятора при выборе функции Ляпунова в виде квадратичной формы с постоянной матрицей коэффициентов является существование решения для матрицы Ак задачи синтеза прямого управления для некоторого постоянного вектора распределения управления.
В предлагаемой статье построено непрямое стабилизирующее управление для
(к)
системы, у которой матрица объекта Ак имеет форму Фробениуса и /3„ = 0.
2. Постановка задачи. Рассмотрим систему
Хк+1 = Акхк + Ъкик, (1)
ик+1 = т*кхк, (2)
где к = 0,1,2,... Здесь (1)—уравнение объекта управления, (2) — уравнение регулятора, Ак £ Мпхп, Ък £ М™, тк £ М™, * — знак транспонирования (все элементы вещественные). Требуется по заданным Ак и Ьк определить тк таким образом, чтобы система (1), (2) была глобально асимптотически устойчива, то есть хк —> 0 при ¿-¡•оои любых хо, «о и, кроме того, состояние равновесия хк = 0, ик = 0 устойчиво по Ляпунову. В системе (1) коэффициенты матрицы Ак и столбца Ьк могут зависеть от XI при г <к.
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00107). © И. Е. Зубер, 2012
3. Формулировка результата. Предположим, что матрица Ак является матрицей Фробеииуса вида
Ак
/О 1 О О 0 1
ООО
(к) (к) (к)
а столбец Ьк имеет вид
О 0 \
О о
О 1
(к) (к)
ап-1 <*П /
( № \
о{к)
Рп- 1
V 0 /
При этом выполняются свойства
вир виР 1/5г I < Р (г€1,п-1)
(3)
где а и ¡3— известные положительные параметры. Положим
тк = ~ак,
где а*к = ((у\к\ • • •, аи запишем систему (1), (2) в матричном виде
Ук+1 = Окук,
(4)
(5)
где
Ук
ик
Хк
Ок
О т*к
Ьк Ак
Рассмотрим функцию Ляпунова
в которой матрица Н имеет вид
Ук = У*кНук,
н
к г/* г/ Ь
(6)
(7)
где Ь = сИа§(Л1,..., Л„), г/* = (0,..., О, Л„). Положительные параметры к, Ах,..., Л„ будут выбраны ниже. Приращение АУк = — Ук функции (6) в силу (5) имеет вид
АУк = у*кЯкУк,
где дк = СГкНСк - н. 28
Нашей дальнейшей целью является нахождение условий, при которых Н > 0 и
выполняются свойства С^к < О, М |с!е1: <5А; I > 0) обеспечивающие глобальную асимп-
к
тотическую устойчивость системы (5).
Легко видеть, что справедлива формула
Як = (С!11 9Н.
\ <712 422 )
Здесь
п — 1
дп = ыьък-н = ^ ЧрТу)2-К (8)
¿=1
4*12 = (0; М^ь • • • 1 ~ А„), (9)
®2 = А*кЬАк -Ь+{к- 2Хп)ака*к = {к - \п)ака*к - М, (10)
где М = сИа§(Л1, Л2 — Ах,..., Л„ — Лп_1). Положив
1г = \п + т, т> 0, (И)
\к = 5к (6 > 0, кеТ^п), (12)
приходим к выражению
422 = така*к - 61,
где I — единичная п х п-матрица. Отсюда в силу предположения (3) вытекает неравенство
</22 <-{5-та2)1. (13)
Пусть параметр 6 удовлетворяет условию
6 > та2. (14)
Тогда в силу (13), (14) (/22 < 0, и для отрицательно определенной матрицы <^к достаточно на основании леммы Шура [2] выполнения неравенства
911 - Ч12Я22Я12 < 0. (15)
Из (13), (14) следует оценка
-422 < 7-21'
о — таА
Поэтому для справедливости соотношения (15) достаточно выполнения неравенства
<711 + 77-< и>
(о — тогу
где |^121 —евклидова норма вектора (/12. В силу (8), (9), (11) это неравенство примет вид
п— 1 ^ _п — 2
Е ш(к))2 + [ + (^п-г - К
= 1 1=1
< Ап+т.
Чтобы удовлетворить этому соотношению, потребуем выполнение следующих оценок:
п—2 л п—2
¿=1 ¿=1
с , , {Рп\{п - 1)5 - п5)2 т
(п-Щ/?^) -пс5 +-¿_та2- < 2- (17)
Ввиду условия (3) для справедливости неравенства (16) достаточно, чтобы параметр ¡3 удовлетворял соотношению
п-2 Л2Д2 п—2
^^ о — га^ ^^ 2
г=1 г=1
то есть оценке
Ввиду (12) неравенство (17) примет вид
Г/ т^дСй) л2 г , (Рп-Ап ~ 1) ~ 6п? ^ Т
5{п-1Шп-1) -5п+-з-та2- 2' ^ ^
Легко видеть, что коэффициенты удовлетворяющие неравенству (19), образуют
непустое множество. Действительно, при = п/(п — 1) неравенство (19) примет вид
2 6п
т >
п — 1
Параметр г, удовлетворяющий этому неравенству и условию (14), найдется, если
< ^ (»)
Таким образом, получен следующий результат.
Теорема. Пусть коэффициенты регулятора выбраны по формуле (А), выполнены свойства (3), (18), (20), коэффициенты удовлетворяют неравенству (19) и параметры т и 5 связаны соотношением (14). Тогда система (1), (2) глобально асимптотически устойчива.
Литература
1. Зубер И.Е. Расширение класса стабилизируемых дискретных систем // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2009. Вып. 3. С. 19-23.
2. Yakubovich V.A., Leonov G.A., Gelig A. Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. London: World Scientific, 2004.
Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.
