CC BY
24
МАТЕМАТИКА
УДК 517.938
ГЛОБАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА*
И. Е. Зубер1, А. Х. Гелиг2
1. С.-Петербургский государственный университет,
д-р техн. наук, ведущий научн. сотрудник, [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
1. Введение. Рассмотрим нелинейную систему
у = / Ы + д(у)и, (1)
где /(у) и д(у) — п-мерные достаточно гладкие вектор-функции, /(0) =0, и — скалярное управление. Для стабилизации такой системы популярен метод управления обратной связью [1, 2], основанный на приведении системы с помощью нелинейного преобразования у = у>(х) к нормальной форме
х = А(х)х + ^(х)епи, (2)
где еп — последний единичный орт, А(х) — матрица Фробениуса с функциональной
нижней строкой, а ^(х) —знакоопределенная скалярная функция. После этого элементарный выбор и(х) позволяет сделать систему (2) линейной стационарной с любым заданным спектром, в частности, с гурвицевой матрицей коэффициентов. Однако этот метод применим лишь к системам вида (1), для которых существует такая знакоопределенная функция ^(х), что вектор, полученный умножением на у«(х) последней строки матрицы, обратной к матрице управляемости, образует потенциальное поле [2]. Существенное расширение класса стабилизируемых систем вида (1) получено в [3], где
система (1) приводится к виду
х = А(х)х + Ь(х)и, (3)
* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-2387.2008.1). © И.Е.Зубер, А.Х.Гелиг, 2010
в котором элементы aij (ж) матрицы А(ж) и элементы вг(ж) вектора Ь(ж) обладают свойством ai,i+1 = 1, aj = 0 при j < i + 1 и j > i + 1 (i = 1, . .., r — 1), в = 0 (i = 1, .. ., r — 1), т. е. система имеет относительную степень г. Результаты, полученные в [3], были распространены в [4] на системы вида
ж = A(t, ж)ж + b(t, ж)и. (4)
В [5, 6] был произведен синтез стабилизирующего управления системой (4) при условии, что у матрицы A(t, ж) элементы ajjj+i(t, ж) (i = 1,..., n — 1) знакоопределенные,
последний элемент en(t, ж) вектора b(t, ж) знакоопределен и превалирует над остальными его элементами. Предполагается лишь ограниченность элементов матрицы A(t, ж) и вектора b(t, ж), при этом элементы aj (t, ж) при i<n — 1, j > i + 1 должны быть достаточно малы.
В данной статье при t > to, ж G Rn рассматривается система
ж = A(t, ж)ж + B(t, ж)и, (5)
где A(t, ж) и B(t, ж) — непрерывные матрицы размерностей соответственно nxn и nх m. При некоторых предположениях относительно A(t, ж) и B(t, ж) предложен метод синтеза управления u(t, ж), при котором система (5) становится глобально асимптотически устойчивой.
2. Формулировка результата. Рассмотрим систему (5) в предположении, что элементы aij (t, ж) матрицы A(t, ж) обладают свойствами
ai,i+1 = 1 при i = 1, . . . , r — 1, aij = 0 при i<r и j = i + 1,
sup |aij(t, ж)| < a* (i = r, .. ., n; j = 1, .. ., n). (6)
Представим матрицу B(t, ж) в виде
*<*•*>=(в&з
где B1(t, ж) G R(n-m)xm, B2(t, ж) G Kmxm, и обозначим через | • | евклидову норму матрицы. Предполагается наличие следующих свойств:
sup |Bi(t, ж)| < во (i = 1,2), (7)
t>t0, x£Rn
inf |detВ2(^ж)| > 0. (8)
t>to,xeRn
Рассмотрим функцию Ляпунова
V (ж) = ж*Н-1ж, (9)
где Н — положительно определенная матрица, которая будет выбрана ниже. Поскольку все величины вещественные, знак * означает транспонирование. Производная от функции (9), взятая в силу системы (5), имеет вид
V = ж*(А* (t, ж)Н-1 + H-1A(t, ж))ж + u*B*(t, ж)Н-1ж + ж*H-1B(t, ж)и. (10)
Представим матрицу B(t, x) в виде
B(t, x) = ^i(i, x)+ B2(t, x), (11)
где матрица i?i(t, x) получена из B(t, x) обнулением последних m строк, а матрица
^2 (t, x) получена из B(t, x) обнулением первых n — m строк. Определим управление u(t, x) формулой
u(t, x) = AB2*(t, x)H-1x, (12)
где A — число, которое будет выбрано ниже. Тогда равенство (10) примет вид
У = x*(A*(t, x)H-1 + H-1A(t, x) + AH-1B2(t, x)B*(t, x)H-1 +
+ AH-1B(t,x)B2*(t,x)H-1)x. (13)
Потребуем выполнения оценки
V < — ax*H-2x, (14)
из которой следует глобальная экспоненциальная устойчивость системы (5). В силу (13) свойство (14) эквивалентно матричному неравенству
A* (t, x)H-1 + H-1A(t,x) + AH-1B2(t,x)B* (t, x)H-1 +
+ AH-1B(t, x)B2*(t, x)H-1 + aH-2 < 0.
Умножив это неравенство слева и справа на H, придём к соотношению, которое в силу (11) примет форму
HA*(t, x) + A(t, x)H + AB2(t, x)(B1*(t, x) + B2*(t, x))+
+ A(Bi_ (t, x) + B2 (t, x) )B2* (t, x) + aIn < 0,
где In —единичная n x n матрица. Представим это неравенство в следующем виде
Lh + D — aIn < 0, (15)
где
Lh = HA*(t, x) + A(t, x)H + 2aIn + 2AB2(t, x)B2*(t, x),
D = A(B2(t,x)B1*(t,x) + B?1(t,x)i?2* (t, x)). (16)
Определим теперь матрицу H и параметр A таким образом, чтобы выполнялось матричное неравенство
Lh < 0. (17)
В качестве H = {hj} возьмем трехполосную матрицу, у которой
hjj = hj > 0 при i = 1,..., r, hjj = 1 при i = r + 1,..., n,
^¿,¿+1 = ^¿+1,» =-^V^ï+ï ПРИ * = 1, • • •, r - 1,
а остальные элементы равны нулю. Эта матрица положительно определенная при любых положительных hj [5].
Положим m = n — r +1 и представим матрицу L в виде
Lh = ( ^"(H) 1 , (18)
y M * (H) P(H) + 2AB2B* y
где Cr-1(H ) G R(r-1)x(r-1), M (H ) G R(r-1)x(n-r+1), P (H ) g Rmxm. убедимся сначала, что можно выбрать параметры hj (i = 1,..., r) таким образом, чтобы выполнялось свойство
Cr_1(H) < 0. (19)
Обозначим через матрицы, составленные из первых к строк и первых к столбцов
матрицы Cr-1(H) и = det Д^. Поскольку Д1 = 2(h12 + a), верно Д1 < 0, если,
фиксировав h1, выбрать h-2 из неравенства h2 > 4a2/h1. Матрица Д^ имеет вид
( Дк—1 gk \
Дк = , (20)
V 2(hfc,fc+1 +a) у
где матрица Д&_1 и столбец g^ зависят только от h1,..., h^ и не зависят от h^+1. Из (20) по формуле Шура получим соотношение
Дк = Дк-1 [2(hfc,fc+1 + a) — g* Дй JL1gfe].
Ввиду свойства (6) выражение, стоящее в квадратной скобке, будет отрицательным, если выбрать hfc+1 достаточно большим. Поэтому signДfc = — signДfc_l и согласно критерию Сильвестра неравенство (19) справедливо.
Выберем теперь параметр A в формуле (12) таким образом, чтобы выполнялось свойство (17). Для этого потребуется следующая лемма.
Лемма [7]. Рассмотрим матрицу
K = ( *11 V
V K12 *22 )
где K11 G Rsxs, K22 G Rpxp, K12 G Rsxp. Для справедливости свойства
K<0
необходимо и достаточно выполнения условий
K11 < 0, K22 — K12K-11K12 < 0.
В силу представления (18) и этой леммы неравенство (17) вытекает из соотношения
P(H) + 2AB2B* — M * (H)CrT_11(H)M(H) < 0.
Ввиду предположения (8) для справедливости этого соотношения достаточно выбрать A из неравенства
1
А1п < -{В2В1)-1{М*С~}ХМ - Р). (21)
Очевидно, неравенство (21) справедливо при всех і, ж, если Л < 0 и величина |Л| достаточно велика. Таким образом, за счет выбора параметров ^і,...,^г и Л удалось обеспечить выполнение свойства (17).
Для доказательства соотношения (15) осталось выбрать параметр во в условии (7) таким образом, чтобы имело место неравенство
Б < а/„. (22)
Пусть ||£>|| = тах \(РР*) — спектральная норма матрицы В. Ввиду симметрично-
у і=1,т
сти матрицы Б справедливы соотношения
Ш\ = ^/тахЛ*(_02) = ^/тах(Л*(_0))2 = тах |Л*(_0)|. (23)
Из представления (16) и условия (7) вытекает оценка
|Б| < 2|Л||В?!В?2*| < 2|Л||Ві| • |В2| < 2|Л|в02. (24)
Поскольку [8] ||Б|| < |Б|, из (23), (24) следует соотношение
тах |Лг(Б)| < 2|Л|в0,
І
из которого в силу неравенства Релея вытекает оценка
ж*Бж < 2|Л|в°|ж|2.
Соотношение (22) справедливо, если выполнено неравенство
2|Л|в0 < а. (25)
Таким образом, получен следующий результат.
Теорема. Предположим, что т = п — г + 1 и выполнены свойства (7), (8), (25). Тогда система (5) глобально экспоненциально устойчива, если управление и определяется формулой (12), где матрица Н построена указанным выше способом, а параметр Л удовлетворяет соотношению (21).
Замечание. Замена в формуле (9) матрицы Н на любую другую положительно определенную матрицу Q не уменьшит числа т. Действительно, записав Ьц в блочном виде
= ( С„_т^) М^) \
ц V М * №) Р + 2ЛВоВ| ) ,
убеждаемся, что п — т < г — 1. Иначе в последовательности главных диагональных миноров матрицы Ьц будет п — т — г +1 знаконеопределенных миноров, т. е. матрица Ьц не является отрицательно определенной.
1. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd ed. London, 1995.
2. Zak S. H. Systems and Control. Oxford Univ. Press, 2002.
3. Крищенко А. П., Панфилов Д. Ю., Ткачев С. Б. Глобальная стабилизация афинных систем с помощью виртуальных выходов. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. №11. С.1503-1510.
4. Ткачев С. Б. Стабилизация нестационарных афинных систем с помощью виртуальных выходов // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. №11. С. 1507-1517.
5. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006.
6. Zuber I. E., Gelig A. Kh. Synthesis of robust stabilizing control for nonlinear systems // EN0C-2008. Saint Petersburg. June 30-July 4 2008.
7. Boyd S., Chaoui L. El., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory. SIAM. Philadelphia, 1994.
8. Вилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных чисел. М.: Наука, 1970.
9. Зубер И. Е. О структуре обратных связей монотонно стабилизируемой импульсной системы // Автоматика и телемеханика. 1969. №2. С. 22-27.
Статья поступила в редакцию 10 октября 2009 г.
