Робастная стабилизация некоторого класса неопределенных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

РОБАСТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

НЕКОТОРОГО КЛАССА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ*

И. Е. Зубер1, А. Х. Гелиг2

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р техн. наук, ведущий научн. сотрудник, a@ag1050.spb.edu

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, a@ag1050.spb.edu

1. Введение

Рассмотрим систему

х = Ах + 6и,

где А Є М”х”, 6 Є М”х1, и Є М1. Для случая, когда А = А(х), 6 = 6(х), причем коэффициенты матрицы А(х) и вектора 6(х) являются достаточно гладкими функциями, известен метод стабилизации этой системы, основанный на линеаризации системы с помощью обратной связи [1, 2]. Однако этот метод применим лишь в том случае, когда существует такая знакоопределенная скалярная функция ^(х), что вектор, полученный в результате умножения на нее последней строки матрицы, обратной к матрице управляемости, образует потенциальное поле [3]. Относительная степень [4] таких систем равна п. Стабилизация гладких систем при относительной степени меньшей п рассматривалась в [5]. Полученные там результаты были распространены [6] на случай, когда А = А(і, х), 6 = 6(і, х).

В предлагаемой статье будет рассмотрена задача стабилизации системы

х = А()х + В()и, (1)

где А() Є М”х”, В() Є Мпхт, и Є Мт, а элементы (•) и вз(•) матриц А() и В() соответственно являются функционалами произвольной природы. Предполагается лишь, что для системы (1) справедлива локальная теорема существования решения и продолжимость на [¿о, +то) любого решения, остающегося в ограниченной области.

Для случая т =1 и знакопостоянства коэффициентов аі,і+і(^) (і = 1,..., п — 1), стоящих на первой верхней наддиагонали при некоторых ограничениях на диапазон изменения коэффициентов аіз (•) (і, і = 1,...,п) и віз (•) (і = 1, ...,п; і = 1,...,т) матриц А() и В(), в [7] было синтезировано стабилизирующее управление и, зависящее лишь от границ изменения коэффициентов аіз(•) (і, і = 1,..., п) и не зависящее от их видов.Такое управление будем называть робастным относительно матрицы А().

В предлагаемой статье рассматривается задача робастной стабилизации неопределенной системы (1) в предположении знакопостоянства коэффициентов, стоящих на любой верхней наддиагонали.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00245) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-2387.2008.1).

© И.Е.Зубер, А.Х.Гелиг, 2009

2. Формулировка результата

Фиксировав ] € [2, п] и г € [1,п — _?’], предположим, что коэффициенты а^(•) матрицы А() удовлетворяют следующим условиям:

где C = C* G Rnxn, H = H* G Rnxn, В G Rnxm, S G Rmxn, H > 0, причем C имеет k < n отрицательных собственных значений. Тогда для наличия свойства D < 0 необходимо, чтобы rank В = n — k и существовало такое Л G R1, что D < 0 при S = ЛВ* H-1.

Определение. Матрица В G Rnxm называется допустимой относительно матриц A G Rnxn, H = H* G Rnxn, S G Rmxn и a G R1, если

Лемма 2 [8]. Для того чтобы матрица В € Кпхт была допустимой относительно матриц А € R”x”, Н = Н* € R”x”, Б = ЛВ*Н-1 и а € R1 необходимо и достаточно, чтобы для всех г € R”, удовлетворяющих равенству

sup |aifc()| < ао.

(2)

Здесь

г = 1, гг; /г = 1, j + і — 1 при г < г и /г = 1, п при і > г; inf |aj,j+i-i(-)l > «* при г Є 1, г; sup |o!jjfc(-)| < (5 при і є l,r, k<j + 1.

(3)

(4)

Предполагается, что матрица B() известна и представима в виде

(5)

где Ві() Є R(

n-m)xm, В2(^) Є Rmxm, m = n - r, sup |B(-)| < в0, inf |det B2()| > 0.

(6)

В этих условиях sup и inf берутся по всей области задания функционалов. В дальнейшем потребуются следующие леммы.

Лемма 1 [8]. Рассмотрим матрицу

D = C + HS*B* + BSH,

AH + HA* + 2а/ + HS*B* + BSH < 0.

z*B = 0,

(7)

выполнялось соотношение

z*(AH + HA* + 2а/)z < 0.

(8)

Для синтеза стабилизирующего управления воспользуемся функцией Ляпунова

V = х*Н-1х. (9)

35

Здесь Н Є Мпхп —трехполосная матрица вида /2^1 К'

Ъ'1

К

\

Кп,п — ' + 1

п—'+1,п

2Кп /

где ^ >0 (г = 1,п), = —0, 5■\fhihj. Эта матрица положительно определенная

при всех ^ > 0 (г = 1, п). Чтобы убедиться в этом, представим матрицу Н в следующем виде

Н = diag(v//м, • • •, \/Кі)Но diag{\Дн, • • •, \Ай)>

где

2

Но

(')

(')

і

2

\

2

Согласно теореме Гершгорина [9] любое собственное число Л* матрицы Но удовлетворяет оценке

П

\\ -2| < ^2 \рг]|, (10)

о=1; з=г

где рг] —элементы матрицы Но. Из структуры матрицы Но видно, что согласно (10), Л — 2\ < 1 и, следовательно, Лг > 0.

Стабилизирующее управление будем искать в виде

и = Бх, (11)

где Б € Rmx”. Если производная V, взятая в силу системы (1), удовлетворяет оценке

V < —ах*Н 2х,

(12)

где а > 0, то, очевидно, эта система глобально экспоненциально устойчива. В силу (1), (9), (11) эта оценка равносильна матричному неравенству

А*()Н—1 + Н—1А(^) + Б*В*()Н—1 + Н—1В(^)Б + аН—2 < 0,

которое после умножения слева и справа на матрицу Н принимает вид

НА*(• ) + А(• )Н + НБ*В*( • ) + В( • )5Н + а/ < 0. (13)

Представим матрицу А( • ) в виде А( • ) = А1( • )+ А2( • ), где А1( • ) —матрица, получающаяся из А(• ) обнулением элементов первых г строк, расположенных выше наддиагонали с элементами, удовлетворяющими условию (3), т. е. = 0 при і = 1,г, к > ] і. Оче-

видно, элементы матрицы А2( • ) = А( • ) — А1( • ) удовлетворяют оценке (4). Неравенство (13) можно представить в виде

План дальнейших рассуждений следующий. Сначала выберем элементы матрицы Н таким образом, чтобы первые г главных диагональных миноров матрицы С имели нужное для применения критерия Сильвестра чередование знаков. Затем, воспользовавшись леммами 1 и 2, определим Б и допустимую матрицу В( • ) таким образом, чтобы выполнялось неравенство

Действительно, этого всегда можно достичь, идя снизу вверх, умножая в случае необходимости і-ое уравнение на —1 и заменяя — х на новую переменную.

Обозначим через Дк ( • ) матрицу, составленную из первых к строк и к столбцов матрицы С, и пусть Дк( • ) = ііеі Дк ( • ). Легко проверить, что

Положив ^1 = 1, выберем к] таким образом, чтобы выполнялась оценка Д1( • ) < —1. В силу свойства (17) для этого достаточно, чтобы к] удовлетворяло неравенству

Ь + М — а/ < 0,

(14)

где

Ь = С ( • ) + НБ*В*( • ) + В( • )БН, С ( • ) = НА*( • ) + А( • )Н + 2а/, М = НА2( • )+ А2( • )Н.

Ь < 0.

(15)

После этого выберем 6 в условии (4) так, чтобы выполнялась оценка

М < а/.

(16)

Из (15), (16) вытекает (14) и, следовательно, (12).

Не умаляя общности, можно заменить условие (3) на свойство

ІПҐ аі'+і— 1 ( • ) ^ а* .

(17)

Ді(-) — — «у + 4ац(-)/іі + 2 о..

При к > 1 представим матрицу Дк ( • ) в блочном виде

где Дк—1(• ) Є м(к—1)х(к—1), дк(• ) Є М(к—1)х1,

рк( • ) — 2ак,'+к —1( • )К'+к —1 + ^к ( • ),

(18)

причем •&к(• ), дк( • ) и Дй_1(• ) зависят лишь от к2,..., к]+й_2 и не зависят от к; при

I > ] + к — 1. Убедимся, что можно так выбрать параметры кг функции Ляпунова, что справедливы неравенства

Д;( • )(—1); > 1 (I = 2,..., г). (19)

Предположим, что свойство (19) выполнено при I = к — 1, и убедимся, что оно имеет место при I = к, если выбрать соответствующим образом к^+к-ь По лемме Шура

Дк( • ) = Дк-1( • )Рк( • ) — Дк-1( • )д*( • )^к-11( • )дк( • ).

Отсюда в силу (17) и индукционного предположения следует представление

( —1 )кАк(-) = IЛ*— 1 (•) I (ак^+к-1(:)\/Ь'кЬ^+к-1 —'!?&(•)) +

+ \Дк-1 ( • )\д*( • )Д-Л( • )дк( • ),

из которого ввиду неравенства \ Дк-1 (• )\ > 1 вытекает оценка

(-l)fcAfc(-) > ak,j+k-i(-)V^khj+k-i ~ |Л*_1 (-)|(-)| + \g*k(-)Rk-i(-)9k(-)\)-Поэтому неравенство (19) выполнено при l = k, если

------ 1 + sup |Afc_i(-)|(|i9fc(-)| + \g*k(-)Rk-i(-)9k(-)\)

v hj+k-l > ------------------------7=-------------------- •

a* у

Таким образом, за счет выбора коэффициентов матрицы H удалось сделать отрицательными r собственных чисел матрицы С( • ). По лемме 1 для выполнения неравенств

(15) необходимо и достаточно, чтобы оно выполнялось при

S( • )= ЛВ*( • )H-1 (20)

и rank В( • ) = n — k. Ввиду (20) неравенство (15) примет вид

HA*(• )+ A(• )H + 2ЛВ( • )В*( • ) < 0. (21)

Определим теперь вид допустимой матрицы В( • ) ранга n — r, при которой выполняется неравенство (21). Воспользуемся условиями (5), (6) и леммой 2. Положим z = ( Z2 ), где z1 G R(n-m)xm, z2 G Rmxm. Тогда равенство (7) примет вид

^В1( • ) + ^В2( • ) = 0.

Отсюда находим выражение

Z* = —z*Bl( • )В-1( • ). (22)

Представим матрицу квадратичной формы (8) в блочном виде

( R( • ) p( • ) ^

A( • )H + HA*( • ) + 2a1 = ,

\P*( • ) Q( • ) )

где R( • ) G R(n-m)x(n-m), p( • ) g Rnxm, Q( • ) G Rmxm. Тогда условие (8) примет вид z*R(• )z1 + z*P( • )z2 + z*P*( • )z1 + z*Q(• )z2 < 0.

Подставив в это неравенство выражение (22), получим соотношение

z* (й( • ) — P ( • )В*-1( • )В* ( • ) — В1( • )В-1( • )P*( • )+ + В1(• )В-1( • )Q( • )В*-1(• )В*( • ))Z1 < 0.

Таким образом, получено следующее квадратичное неравенство, которому должна удовлетворять матрица Y( • ) = В1( • )В—1(• ) :

Y( • )Q(• )Y*( • ) — Y( • )P*( • ) — P( • )Y*( • ) + R(• ) < 0. (23)

Поскольку Д( • ) < 0, это неравенство выполняется при достаточно малом |В1 (• )|.

Выберем теперь параметр S в условии (4) таким образом, чтобы выполнялась оценка

(16). Введем обозначения:

\М\ — эвклидова норма матрицы М,

\\М\\ = v/Amax(MM*) — ее спектральная норма.

Для справедливости (16) в силу неравенства Релея достаточно выполнения оценки

max |ЛДМ( • ))| < а.

Ввиду симметричности матрицы M ( • ) имеет место соотношение

max |Л*(М( • ))| <= ум( • )||.

i

Оценим ||М( • )||. В силу симметричности матриц H и A2( • )A*( • ) справедливо неравенство (см. [9])

Лтах [HA2 ( • )A2( • )H] < (Лтах (H))^ma*[A2( • )A*( • )],

то есть

|HA2(• )||2 < ЛН|A2(• )|2,

где Ан = max Aj(H). Аналогичным образом выводится неравенство

г= 1,п

|A2(• )Hу2 < ЛН|A2(• )||2.

Таким образом, получена оценка

ум( • )у< 2ЛнУA2( • )у.

Поэтому для справедливости свойства (16) достаточно, чтобы выполнялось неравенство

а

Поскольку [10] имеет место соотношение уA2(• )у < |A2(• )|, неравенство (16) будет выполнено, если

а

|А2(-)|<2^. (24)

В силу предположения (4)

|A2(• )| < S7„, (25)

где 7^ = 0, 5[(п — і)2 + г(п — і — г +1)]. Из (24), (25) вытекает следующая оценка для

а

5 < ^----' (26)

2Аи7„

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 1. Если выполнены условия (2)—(6), (23), (26), матрица Н построена указанным выше способом и управление определяется формулами (11), (20), то система (1) глобально асимптотически устойчива.

Предположим теперь, что стабилизирующее управление подается в систему не непосредственно, а с помощью импульсной модуляции. В этом случае система имеет вид

Х = А( • )х + В( • )у, (27)

где у* = (у1,..., ут), у* — сигнал на выходе і-го модулятора, м* — сигнал на его входе,

являющийся і-й составляющей вектора управления (11). Предполагается, что все моду-

ляторы работают синхронно и осуществляют комбинированную амплитудно-частотную модуляцию первого рода [11, 12]. Для простоты будем считать, что статические характеристики всех модуляторов линейные и при іп < і < іп + 1

Уг^)=щ{гп) (г = 1, то). (28)

Частотная модуляция применяется для повышения точности при малых значениях модулирующей величины.

Предполагается выполнение при всех п оценки

0 < tn+l — < Т, (29)

то есть ограниченность частоты импульсации снизу. Очевидно, при Т ^ 0 правая часть

системы (27) сходится в ^[0, ц] к правой части системы (1), которая называется „эквивалентной“ непрерывной системой. Выше было доказано, что эквивалентная система (1), замкнутая управлением (11), (20), глобально асимптотически устойчива. Будет ли при этом обладать этим же свойством импульсная система (27), (28), если частота импульсации 1/Т достаточно велика? Известно [13], что в общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Далее будет получена верхняя оценка на Т, при которой импульсная система (27), (28) глобально асимптотически устойчива.

Представим систему (25) в виде

X = ^( • )х + В( • )(у — и), (30)

где Д( • ) = А( • ) + В( • )Б( • ). Взяв функцию Ляпунова (9), получаем для ее производной,

взятой в силу системы (30), выражение

V = ж*(£*( • )Н-1 + Н-1Д • ))ж + (у — и)*В*( • )Н-1х + ж*Н-1В( • )(у — и).

В силу оценки (12) получаем соотношение

V < —аж*Н-2х + /, (31)

где / = 2\х\ \у — и\ \Н-1В( • )\. Пусть V = вир\Н-1В( • )\. Тогда справедливо неравенство

V

2

< ц\х\ н---1у - и| , (32)

где положительный параметр ц будет выбран ниже. Оценим выражение

¿тг+1 ¿тг+1

71 = J \у — м\2й; = J \Б(¿п)ж(;п) — Б(¿)ж(^)\2^^. tn гп

Предположим, что матрица Б(;) удовлетворяет условию Липшица

\5(4п) — Б(;)\ < кТ при ; е [¿п,*п+1]. (33)

Поскольку

\б(¿п)ж(^п) — б(;)х(;)\ < \Б(;п)\ \х(;п) — х(;)\ + \Б(;п) — б(;)\ \х(;)\, в силу условия (33) справедлива оценка

\Б(;п)х(;п) — б(;)х(;)\2 < 2а2\ж(;п) — х(;)\2 + 2х2т2\ж(;)\2,

где ао = вир \Б( • )\. Поэтому имеет место неравенство

*гг+1

71 < 2к2Т2 J \х(;)\2+ 2а^72, (34)

где

*гг + 1

^2 = ^ \х(;п) — ж(;)\2^;.

В силу неравенства Виртингера [11,12] справедлива оценка

£г+1

4Т2

т2 < —у \х(г)\2л.

Подставив сюда выражение (30), получим соотношение

8Т 2 ■Ь < —2“

п2

Пусть Т удовлетворяет оценке

J \х(;)\ вир\д( • )\ + во^1 . (35)

Т2<т^ (зв)

Тогда из (34), (35) вытекает соотношение

*гг+1

71 < к1Т^ у \ж(;)\2^, (37)

*гг+1

где

7Г2Х2Т2 + 16Og sup\D(-)\2

1 7Г2 — 16 <Тд /Зд Т2

Проинтегрировав неравенство (31) с учетом (32), (37), приходим к оценке

tn+1

Г V2

Уп+1 — Уп < \—ах*Н 2x + jj,\x\2-\-------------xiT2|x|2]iit, (38)

J М

tn

где Vn = V(x(tn)). Поскольку ввиду неравенства Релея справедливы соотношения

—ах*Н~2х < — а\т-т(Н~2)\х\2 = ——^¡х^,

Аи

из (38) следует оценка

tn+1

К+1 - Vn < —7 j |x|2dt, (39)

tn

где 2 2 2

«М — М2 — v2kiT 2 7 '

Очевидно, найдется м > 0, при котором 7 > 0, если дискриминант квадратного трехчлена а2 — 4v2k1T2 > 0, то есть

2

Т2 < . (40)

4v2k1 v '

Просуммировав неравенства (39), придем к соотношению

tN

Vn — Vo < —7 J |x|2dt, (41)

to

из которого ввиду произвольности N следует |x| G L2[to, +^) и VN < V0. Отсюда в силу уравнения (27) вытекает |x| G L2[to, +го) и, следовательно, |x(t)| ^ 0 при t ^ +то. Осталось убедиться в устойчивости состояния равновесия x = 0 по Ляпунову. Согласно (41) t

sup |x(tn)| ^ 0, sup / |x|2dt ^ 0 при |x0| ^ 0.

n n J

to

В силу (27) ||i||L2[i0i+TO) ^ 0 при |x0| ^ 0. Отсюда следует, что sup |x(t)| ^ 0 при

t——+ ^

|xo| ^ 0. Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 2. Импульсная система (27) глобально асимптотически устойчива, если управление определяется формулами (11), (20), а T удовлетворяет оценкам (36), (40).

Литература

1. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Berlin: Springer, 1995.

2. Khalil N. K. Nonlinear Systems. New York: Prentice Hall, 2002.

3. Zak S. H. Systems and Control. Oxford: Oxford Univ. Press, 2002.

4. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

5. Крищенко А. П., Панфилов Д. Ю., Ткачев С. Б. Глобальная стабилизация афинных систем с помощью виртуальных выходов // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. №11. С.1503-1510.

6. Ткачев С. Б. Стабилизация нестационарных афинных систем с помощью виртуальных выходов // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. №11. С. 1507-1517.

7. Zuber I. E., Gelig A. Kh. Synthesis of robust stabilizing control for nonlinear systems // EN0C-2008. Saint Petersburg. 2008.

8. Якубович Е.Д. О синтезе систем управления с заданной экспоненциальной оценкой затухания переходного режима // Автоматика и телемеханика. 1970. №9. С. 25-32.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

10. Вилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

11. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-modulated Systems. Boston: Birkhauser, 1998.

12. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008.

13. Кипнис М. М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсной системы управления // Доклады Росс. Акад. Наук, 1992. Т. 324. №2. С. 273-276.

Статья поступила в редакцию 4 декабря 2008 г.