CC BY
22
УДК 517.938
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2(60). 2015. Вып. 4
СТАБИЛИЗАЦИЯ ПО ВЫХОДУ
НЕКОТОРОГО КЛАССА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ*
И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
Рассматривается система
^ = А(-)х + В(-)и,
^ = А(-)у + В(-)и + В(С*у-ь), <ж
где
V = С*х — выход, и = Я* у — управление,
А(-) е кпХп, £(•) е к"х(п-Р), с е к«х(п-Р), д е .
Элементы а] (•), в] (•) матриц А(^) и Б(^) являются произвольными функционалами, удовлетворяющими условиям
sup \otij(-)\ < оо (i,j € 1 , га), sup \[3ij(-)\ < ОО (г € 1 ,n;j € 1 ,п — р). (•) (•)
Предполагается, что A(^) € Zi U Z3, € Zi U Z3, где Zi — класс матриц, у которых первые
p элементов k-й наддиагонали знакоопределенные, а элементы, стоящие выше них, достаточно малы. Класс Z3 отличается от класса Zi тем, что достаточно малы элементы, стоящие ниже этой наддиагонали до (k + 1)-й строки. Если k > p, то достаточно малы также элементы (p X р)-квадрата, расположенного в верхнем левом углу матрицы. С помощью специальных квадратичных функций Ляпунова сначала находится матрица D, при которой y(t) — x(t) ^ 0 экспоненциально при t ^ те, а затем определяется матрица S, при которой x(t) и y(t) обладают этим же свойством. Библиогр. 3 назв.
Ключевые слова: неопределенные системы, стабилизация по выходу, глобальная экспоненциальная устойчивость, наблюдатель.
1. Введение. Стабилизация неопределенных систем по выходу рассматривалась в [1, 2]. В этих работах неопределенная матрица объекта управления являлась обобщенной матрицей Фробениуса. В настоящей статье предложен синтез стабилизирующего управления по выходу для других классов неопределенных систем [3].
2. Постановка задачи. Рассмотрим систему
— = А{-)х + В{-)и, ¿>¿0. (1)
Здесь х £ К", А(-) £ К"х", Е() £ К"хт, а управление и определяется формулой
и = Б*х, (2)
где Б £ К"хт, * —знак транспонирования (все величины вещественные). Элементы матриц А(-) и Е(-) являются произвольными функционалами, значения которых в момент £ не зависят от х(А) при А > Например, они могут быть функциями от
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 14-01-00107а) и СПбГУ (тема 6.38.230.2015).
x(t), x(t — т), J0 |х(Л)|2dЛ и т.п. Предполагается ограниченность всех элементов а^(■) и ftij(■) матриц A(-) и B(-):
sup < оо (г, j G 1, n), sup |/%(-)| < /?о (г G 1, n; j G 1, то). (3)
(•) (•)
Также предполагается справедливость теоремы существования решения и продолжимости при t G [to, то) любого решения, остающегося в ограниченной области. В [3] были определены классы Zi и Z3 матриц A(-), для которых построено управление (2), робастное по отношению к коэффициентам матрицы A(-), при котором замкнутая система (1), (2) глобально экспоненциально устойчива. Класс Zi образуют матрицы A(-), у которых первые p элементов верхней части какой-либо наддиагонали являются знакоопределенными, а элементы, стоящие выше них, достаточно малы. Иными словами, для некоторого k > 1 имеют место оценки
inf |aM+fc_i(-)| >0, i G Т~р, (4)
sup \ai j(-)| < 5a при i G l,p] j G к + г, к + p - 1. (5)
(•)
Матрицы A(-), входящие в класс Z3, обладают следующим свойством. Первые p элементов верхней части какой-либо наддиагонали являются знакоопределенными, то есть для некоторого k > 1 справедлива оценка (4). Если k < p, то элементы, стоящие левее этой наддиагонали до (k — 1)-го столбца достаточно малы, то есть удовлетворяют оценке (5). Если k > p, то достаточно малы еще и элементы, заполняющие (p х p)-квадрат, расположенный в левом верхнем углу. Иными словами, оценка (5) справедлива для элементов ajj(-) с индексами г G 1 ,р, j G к, к + г — 2, если к < р, и с индексами i, j, принадлежащими множеству
{г & 1,р] ] & к,к г — 2\ 'О {г £ 1 ,р; ] С 1 ,р}, если к > р.
В настоящей статье будет синтезировано стабилизирующее управление для системы (1) при т = п — р не по формуле (2), а по выходу V, определяемому формулой
V = С*х, где С С (6)
3. Формулировка результата. Рассмотрим систему
пх
-=А(.)х + В(.)3*у, (7)
^=А(.)у + В(.)3*у + /, (8)
где
! = БС*г, г = у — х, Б С К"х("-р). (9)
Из (8), (9) вытекает следующее уравнение для ошибки наблюдения
пг
- = А(.)г + ДЛ. (10)
Для нахождения матрицы Б, при которой г(£) экспоненциально стремится к нулю при £ ^ то, рассмотрим функцию Ляпунова
V (г) = г*Нг, (11)
в которой элементы матрицы Н определяются следующим образом: Кц = Ь^ > О (г €= 1,"-), = = — 0, Ь^ТцЪ^ sign при г (Е 1,р] 2 = к г — 1. Остальные
равны нулю. Известно [3], что Н > 0. Представим матрицу А(-) в виде
¿(•) = ¿1(-) + А2(^),
где Ах(^) получается из А(^) обнулением всех элементов, удовлетворяющих оценке (5).
Производную ¿У/Л, взятую в силу системы (10), можно представить следующим образом:
^ = (12)
где а > 0, Q = Q1 + <2,
<^1 = А*(-)Н + НАх(^) + СБ*Н + НДС* + 2а/, Q2 = Л*(0Н + Н4г(0 - а/,
/ — единичная (п х п)-матрица. Положим
Б = АН-1 С. (13)
Тогда матрица <1 примет вид
<1 = (^)Н + НА^) +2АСС* + 2а/. Предположим, что матрица С имеет форму
с =( СО- (14)
где С1 £ к("-р)х("-р), 0"-р — нулевая рх (п—р)-матрица, и выполнено предположение
ае! С =0. (15)
Если (•) £ ^1, то выполнение неравенства
<1 < 0, (16)
следуя [3], обеспечим следующим образом. У матрицы Н фиксируются положительные параметры Л-1, Л.р+2,..., а параметры Л-2,..., выбираются последовательно таким образом, чтобы главные диагональные миноры Д^ матрицы <1, отсчитываемые сверху, при г (Е 1 ,р обладали свойством signД¿ = ( — 1)г. Затем с помощью леммы Шура выбирается А ^ — 1, при котором <1 < 0.
Если А*(-) £ Я3, то фиксируются ..., а параметры Нр, ..., последовательно выбираются таким образом, чтобы был нужный знак у отсчитываемых снизу главных диагональных миноров (р х р)-матрицы, стоящей в левом верхнем углу матрицы <1. Затем с помощью леммы Шура находится А ^ —1, при котором справедливо неравенство (15).
Найдем оценку для 6 а в неравенстве (5), обеспечивающую наличие свойства
<2 < 0. (17)
Неравенство (17) выполняется, если максимальное собственное число матрицы М = А|()Н + НА2(•) удовлетворяет оценке Атах(М) < а. Ввиду симметрии матрицы М Атах(М) = ||МЦ, где ||М|| —спектральная норма матрицы М. В силу предположения
(5) ||А2()|| < ¿АК,где
{•\/0, 5р(р — 1), если к < р,
•у/0, 5р(р — 1) + р, если к > р,
поскольку ||М|| < 2|А2(-)| |Н|| и ||А2(•)| < |А()|, где |А2(•)| —эвклидова норма матрицы А2(•). Поэтому неравенство (16) справедливо, если
а
^ < 2,ХтаЛНУ (18)
Из (12), (16) и (17) при некотором е > 0 вытекает оценка
|г(£)| < К1|г(£о)| ехр(-е(£ — ¿о)) (19)
при условии, что А*(-) С ^ и^з и выполнены соотношения (13), (14), (15), (18). Здесь и далее кг — абсолютные константы.
Обратимся теперь к уравнению наблюдателя (8). Из (9), (19) вытекает оценка
|/(¿)| < *2|г(*о)| ехр(—е(£ - ¿о)). (20)
Предположим, что А() С ^ и ^з, а матрица В() имеет вид
В() = | 51(0 , (21)
V В2 (•) )'
где В1(^) С Крх(п-р), В2() С К("-р)х("-р),
М ^е^О > 0. (22)
Предположим также, что элементы в] (•) матрицы В (•) удовлетворяют оценке
вир |вг]()| <5в, (23)
(•)
где
а
5В <
2|Л|@0рл/р(п - р)
В этом случае, как показано в [3] с помощью функции Ляпунова V = у*Н-1у, для
5 = А£(-)£* (•), А < —1, (24)
решение уо(£) системы (8) при условии / = 0 обладает свойством
|уо(£)| < кз|у(£о)| ехр(—е(£ — ¿о)). Отсюда и из (20) следует, что для у(£) справедлива оценка
|у(£)| < К4(|у(£о)| + |г(£о)|) ехр(—е(£ — ¿о)). (25)
527
Положим y(to) = 0. Тогда |z(t0)| = |x(to)| и из (19), (25) вытекает неравенство
< К5|ж(^о)| ехр(— £(* — ¿о)). (26)
Сформулируем полученный результат.
Теорема. Предположим, что матрицы А(-) и А*(^) принадлежат классу либо классу Я3 и выполнены условия (13)-(15), (18), (23), (24). Тогда существует такое А* > 0, что при А < —А* справедлива оценка (26).
Замечание. Равномерные оценки (5), (18), (22), (23) исключают из рассмотрения системы, у которых коэффициенты являются неограниченными функциями от х £ К". Однако, если эти оценки справедливы при |х| < V, то свойство (26) будет иметь место при |х(£о)| < v/к5.
4. Заключение. Рассмотрены системы, матрицы коэффициентов объекта управления которых являются неопределенными и принадлежат некоторому классу. В предположении, что измеряется выход системы, с помощью наблюдателя синтезировано управление по выходу, при котором замкнутая система становится глобально экспоненциально устойчивой.
Литература
1. Zhai Jun-yong, Ai Wei-ging, Fei Shu-min. Global output feedback stabilization for a class of uncertain nonlinear systems // IET Control Theory Appl. 2013. Vol. 7, Issue 2. P. 305—313.
2. Li Ji, Qian Chunjiang, Ding Shihong. Global finite-time stabilization by output feedback for a class of uncertain nonlinear systems // International Journal of Control, http://dx.doi. org| 10.1080|00207179.2010.511658.
3. Zakharenkov M., Zuber I., Gelig A. Stabilization of New Classes of Uncertain Systems // MICN0N-2015. Saint Petersburg, June, 24-26, 2015.
Статья поступила в редакцию 26 марта 2015 г.
Сведения об авторах
Зубер Ирина Ефремовна —доктор технических наук, ведущий научный сотрудник; [email protected]
Гелиг Аркадий Хаимович — доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]
STABILIZATION BY OUTPUT FEEDBACK FOR A CLASS OF UNCERTAIN SYSTEMS
Irina E. Zuber, Arkadiy Kh. Gelig
St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected]
Consider the system
^ = A(-)x + B(-)u,
^ = A(-)y + B(-)u + D(C*y-v), at
where
v = C*x — output, u = S*y — control,
A(-) e RnXn, B() e Rnx(n-p), c e Rnx(n-p), d e Rnx(n-p).
Elements aij (•) and ßij (•) of matrices A() and B() are arbitrary functionals for wich the following conditions are fulfilled:
sup |«ij(-)| < °° (i,j € 1 ,n), sup \ßij(-)\ < oo (i € 1 ,n;j € 1 ,n — p).
( ) ( )
It is supposed that A(-) € Zi U Z3, € Zi U Z3, where Zi —class of matrices with the following
properties: the first p elements of superdiagonal with index k are sign-definite and elements pleaced higher are sufficiently small. Class Z3 contains matrices with small elements placed lower sign-definite elements of superdiagonal with index k and above p +1 line. If k > p then too sufficiently small elements (p X p)-square are placed in left upper angle of matrix. The special forms of quadratic Lyapunov functions are considered. With its help we begin with definition of matrix D for which z(t) ^ 0 for t ^ <x exponentially. Then we constructed matrix S for which vectors y and x have too this property. Refs 3.
Keywords: uncertain systems, output stabilization, global exponential stability, abserver.
References
1. Zhai Jun-yong, Ai Wei-ging, Fei Shu-min, "Global output feedback stabilization for a class of uncertain nonlinear systems", IET Control Theory Appl. 7(2), 305—313 (2013).
2. Li Ji, Qian Chunjiang, Ding Shihong, "Global finite-time stabilization by output feedback for a class of uncertain nonlinear systems", International Journal of Control, http://dx.doi. org| 10.1080|00207179.2010.511658.
3. Zakharenkov M., Zuber I., Gelig A., "Stabilization of New Classes of Uncertain Systems", MICNON-2015. St. Petersburg, June, 24-26 (2015).
