Канонические преобразования и стабилизация нелинейных дискретных систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50.59 И. Е. Зубер

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 1 (№ 1)

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ*

1. Введение. Задача стабилизации нелинейных систем управления остается одной из самых актуальных задач теории систем управления. Общие вопросы стабилизации нелинейных систем рассмотрены в [1], [2]. Решение задачи, т. е. синтез стабилизирующего нелинейную систему допустимого управления, проводится многообразными методами, основными из которых являются: линеаризация [3], [4], частотные и геометрические методы [5], [6] и преобразования нелинейных систем к виду, для которого известен метод решения [7].

Наиболее разработанными методами решения задачи синтеза стабилизирующего управления для нелинейной системы остается тот или иной вид линеаризации [8], но при этом обычно приходится решать задачу стабилизации для линейной нестационарной системы, что также затруднительно. Кроме того, как показано в [4], линеаризация приводит к резкому сокращению области притяжения.

Авторы обзора [9] предлагают свой подход, сводящийся к определению преобразования, переводящего нелинейную гладкую систему х = А(х)х + Ь(х)и, и = з*(х)х в «почти линейную» систему в канонической форме. Условия существования такого

г йЛ(х) 4Ь(х) г-

преобразования — малость —, ^ ; — обеспечивают существование управления, гарантирующего локальную стабилизацию замкнутой системы.

Возможен и другой подход к синтезу преобразований подобия для нелинейных систем, позволяющий получить в явном виде решение задачи стабилизации в целом в предположении полной управляемости системы. Для линейных стационарных систем известны преобразования подобия [10, с. 437], обеспечивающие матрице преобразованной системы форму сопровождающей матрицы для характеристического полинома /(А) = Ап + ахХ"1-1 + ... + ап [11], короче называемой формой Фробениуса [10, с. 38], [12]. Для нелинейных гладких вполне управляемых систем аналогичные преобразования строились в [13-15].

В предлагаемой статье стабилизация нелинейных дискретных систем проводится на основе двух специальных преобразований подобия, построенных по аналогии с преобразованиями, используемыми в линейном стационарном случае.

Рассмотрим нелинейную дискретную систему управления

хи+\. = А(хк )хк + Ь(хк)и(хк), и(хк) = в*(хк )хк,

где А(хк) € Кп*п, Ь(хк), ¡(хк) € Кп, все величины вещественны, "*" — знак транспонирования.

Преобразование подобия

Ук = Т (хк )хк

называем каноническим преобразованием I, если матрица объекта преобразованной системы имеет форму Фробениуса с последним функциональным столбцом, а вектор распределения управления преобразованной системы есть первый единичный орт в\.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 02-01-00542.

© И. Е. Зубер, 2004

Преобразование Т(хк_п+1, ■ ■ ■ хк) называем каноническим преобразованием II, если оно переводит и матрицу объекта и матрицу замкнутой системы в горизонтальную форму Фробениуса с последней функциональной строкой. (Сильно усложненный вариант преобразования II рассматривался в [16].)

В предлагаемой статье рассматриваются канонические преобразования I и II, условия их существования, явный вид и решение задачи стабилизации, основанное на преобразованиях I и II.

2. Постановка задачи. Рассматривается нелинейная дискретная система управления

х к+1 = А кх к + Ь ки к, (1)

где А к = А(х к) — заданная матрица объекта, А к € М пхп, Ь к = Ь(х к) € М п — заданный вектор распределения управления.

Допустимым предполагается скалярное управление с

и к = и(х к ) = в* (х к )х к, (2)

где в к = в (х к) € М п — подлежащий определению вектор обратных связей.

Задача: определить достаточные условия существования и явный вид вектора в(хк), обеспечивающего замкнутой системе (1), (2) асимптотическую устойчивость в целом.

Далее рассматриваются два решения поставленной задачи.

3. Стабилизация нелинейных дискретных систем на основе канонического преобразования I. Введем в рассмотрение матрицу управляемости системы (1)

Wk = \\ь к,РкЬ к,---Рп-1ь к У, (3)

где

Рк = А кЛ (4)

Л — оператор сдвига назад на один шаг, т.е. Wk = \\Ьк,АкЬк-\,АкАк_1Ьк А к ■ ■ - А к _п+\Ь к _п+1\\. Предположим, что

3 7> 0: ^ Wk | >7, к = 0,1, 2 ■■■, (5)

т.е. [16] матрица Wk равномерно невырождена. Рассмотрим преобразование

у к = W_1x к. (6)

Матрица объекта А к = А(ук) преобразованной системы

У к +1 = А(у к )у к + Ь(у к )и к, и к = вк (у к )у к (7)

имеет вид W_+1 АkWк = W_+l1PkW к +1. При этом 6к = Ъ(ук) = W+ 6к, в = в(ук) = W*sк. В силу тождества W|_1Wk = I = ^^■■вп) получаем W|_1Wk = ^_1Ьк, W_1PkЬк,■ ■ ■ Wt_1Pn_ 1Ьк) = I, откуда следует

^ = в1 (8) w__1PkЬ к = вíl,■■■ W_1pn _ 1ь к = вп,

откуда

А к = 1в2,...вг^+ pnЬ к I

0 0 1 0 0 1

0 0

0 а1

0 а2

0 аз

1 а.п

(9)

Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема 1. Преобразование подобия с равномерно невырожденной матрицей управляемости переводит матрицу объекта в вертикальную матрицу Фробениуса с последним функциональным столбцом, а вектор распределения управления переводит

1

есть каноническое

в первый единичный орт в1, т. е. преобразование с матрицей W __ преобразование I.

Перейдем к задаче стабилизации системы (7)—(9). Сначала рассмотрим более общую задачу. Введем в рассмотрение нелинейную дискретную систему достаточно общего вида, линейную относительно управления:

х к+1 = Ао (х к )х к + Я(х к )и к, и к = Б* (х к )х к,

(10)

где х € Мп, матрица распределения управления К(хк) и матрица обратной связи Б(хк) имеют размерность п х т, т < п. Заданными предполагаются матрица объекта Ао(хк) и постоянная положительно определенная матрица Но = Н** > 0.

Задача состоит в определении матриц К(хк), Б(хк), при которых квадратичная форма &(х к) = х к Но х к является функцией Ляпунова замкнутой системы (10).

Введем в рассмотрение матрицы

Со(хк) = А*(хк)НоАо(хк) - Но

(11)

Во(х к ) = Ао(х к )+Ео(х к )Б*(х к), (12)

Мо(хк) = В*0(хк)НоБо(хк) - Но (13)

и обозначим через рк число неотрицательных собственных значений матрицы Со(хк) для некоторого к.

Лемма 1 (О размерности управления). Для существования п х т матриц К(хк), Б(хк), обеспечивающих выполнение условия

Мо(хк) < 0 к = 0,1 ■■■, (14)

необходимо и достаточно выполнение условия

т > р, где р = М рк■ (15)

к

Доказательство. Справедливость утверждения леммы 1 непосредственно следует из утверждения теоремы 1 [17].

Будем называть заданную п х р матрицу распределения управления К(хк) допустимой, если существует парная ей матрица обратных связей Б(х ), такая что пара К(хк),Б(хк) обеспечивает выполнение условия (14). Аналогично определяется допустимость заданной матрицы Б(х ).

Лемма 2. Для того, чтобы п х р .матрица Я(хк) была допустимой, необходимо и достаточно, чтобы для всех к = 0,1 ... выполнялось условие

Но - АО(хк)н1/2П(хк)Н10/2Ао(хк) > 0, (16)

где 0.(хк) — матрица оператора проектирования на нуль-пространство матрицы Н1/2К:

П(хк) = I - Н10/2Я(хк)(Я*(хк)НоЕ(хк)Т1Е*(хк)Н^/2.

Парная допустимой матрице распределения управления Я(хк) матрица обратных связей Б (хк) .задается формулой

Бк(Е(хк)) = -А*оНоЯ(хк )(Я*(хк )НоЯ(хк ))-1. (17)

Доказательство. Справедливость утверждения леммы 2 непосредственно следует из утверждений теорем 1, 2 [18].

Лемма 3. Пусть det Со(хк) = 0, к = 0, 1 ... Для того, чтобы заданная п х р матрица обратных связей Б (хк) была допустимой, необходимо и достаточно выполнение условия

Б*(хк)Со(хк)Б(хк) > 0, к =0, 1...

Парная допустимой матрице Б (хк) матрица распределения управления Я(Б (хк)) задается формулой

Я(хк) = А(1 + АБ(хк)Б* (хк))-1(1 - Ао(хк))Б(хк), (18)

где А — число, удовлетворяющее соотношению

А > вир Ак, к

-Со(хк) + АкБк(хк)Бк(хк) > 0.

Доказательство. Справедливость утверждения леммы 3 непосредственно следует из утверждения теоремы 3 [18].

Вернемся к преобразованной системе (7) и сформируем матрицу

Н = diag Нг, г = 1, п, > > ... > 1гп > 0

и формы

У (Ук)= Ук Нук, (19)

ДУ (Ук) = У (Ук) - У (ук+1) = Ук М(ук)ук, (20)

М(ук) = В *(Ук)НП (Ук) - Н, В (Ук) = А(Ук) + в1§ * (Ук).

Задача стабилизации системы (1) свелась таким образом в условиях равномерной невырожденности матрицы управляемости Ш(хк) к определению вектора Ик(Ук), обеспечивающего выполнение неравенства

М(ук) < 0.

Докажем сначала существование такого вектора в к (у к). Выпишем матрицу С] (у к) = А * (ук)НА(ук) - Н:

С(ук

Н2 - Ьл 0

й2Ь,2

0 ■■■

Ь-2 - Нз ■■■

й2Ь,2

аз Нз

азНз Тн=1 а1,Ы - Нт

Согласно критерию Сильвестра [19] число неотрицательных собственных значений матрицы С](ук) равно единице, так как последовательность знакопостоянных главных диагональных миноров имеет не менее чем п- 1 перемену знака. Таким образом, требуемая для стабилизации системы (7) необходимая и достаточная размерность управления равна единице.

Непосредственно по лемме 2 проверяем допустимость вектора распределения управления Ь(ук) = в1 и выписываем парный ему вектор обратных связей

С(ук) = -А *(у к )е1,

обеспечивающий асимптотическую устойчивость системы (7). Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема 2. Пусть матрица управляемости системы (1) W(хк) равномерно невырождена, матрицы А(хк),Ь(хк) равномерно ограничены. Тогда вектор обратных связей

з к = з*(х к) = -е_ 1(х к+1 )А(х к)

обеспечивает асимптотическую устойчивость системе (1) и функцию Ляпунова системы (1) в виде

V (ук ) = х*к W *(х к ^(х к )х к.

Выполнение требования равномерной ограниченности матриц А(хк), Ь(хк) обеспечивает существование конечного X в формуле (18) и конечного значения вектора з(хк) для каждого к.

4. Каноническое преобразование II и решение задачи стабилизации на его основе. Введем в рассмотрение преобразование подобия

2к = Т_п+1 + к (х_п+1+ к , ■ ■ ■ хк )х_п+1+ к,

(21)

полагая 2 к = (г^^^ ¿п)*

г1 = т к_п+1х к,

2* 2 к = т к_п+2ркхк,

п _ * п_ 1

2 к = т кр к х к ,

2 к+1 = т к _п+2х к+1,

гк+1 = тк _п+зР к+1х к+Ъ

1

т. е.

3_1

Ркхк = (хк )хк, Ь3к = Л А

к+г ■

(22)

гк +1 = тк +1Рк +1 х к+1, где рк — оператор сдвига на один шаг вперед с шага к, в силу системы хк+1 = Акхк,

(23)

Векторы mj, j = —n +1,... 0, 1,... определяем из соотношения

T-n+1+k(X-n+1 + k , . . . Xk )bk-1

0

(0,...0,1)* к > n — 1, к < n — 1.

Предполагается, что Ьу = Ьо, Л у = I, ] < 0.

Рассмотрим в качестве иллюстрации преобразования (21) для п = 3:

* m_ i o* * mi * m2

T-i = * mo * mi , To = mi Lio m*2Ll , t* = m*Li m%L\ , T2 = m3 L 2 m\L 2

При этом из условий T*ibo = 0, Tobo = Tibi-i =0, i = 1, 2 получаем выражения для

m-i, mo, mi:

m_ ibo = 0, m0bo = 0, mi bo = 0, m0bo = 0, mi bo = 0, m* bo = 0,

т.е. m-i, mo, mi определены только условием ортогональности к bo. Для m2 имеем условия

m^L^jbo = 1, m^L^o = 0, m^bi = 0,

т.е. mj, начиная с j = 2, определены.

Вернемся к случаю произвольного n. Вектор m*k впервые появляется как последняя строка матрицы T-n+i+k, следовательно, он определяется соотношениями при —n +1 + к> 0:

* Т П-i L

-n+i + k b-n+k

1,

"*L-J+i+k+jb-n+k+j = 0, j = l,n - 1

или

m

mi = M-iei, Mk =

L-n+i + kb-n+k, L-n+2 + kb-n+i+k . . . bk-i

к > п - 1, т*Ь0 = 0 для ] < 0. (25)

Отметим, что в силу соотношений (22) матрица объекта преобразованной системы имеет вид матрицы Фробениуса с последней функциональной строкой тЩЬП-1, где тЩ задается соотношениями (25).

В силу условия (24) вектор распределения управления преобразованной системы есть последний единичный орт еп, следовательно, матрица преобразованной замкнутой системы также есть матрица Фробениуса с последней строкой

тПЬП-1 +1*. (26)

Таким образом, задача стабилизации преобразованной системы решается просто. Например, можно положить

—* ,

1 (гк ) = -тПЬП-1 + а*, (27)

где а* = (а1,... ап) —вектор коэффициентов постоянного гурвицева полинома, 1(гк) — вектор обратной связи системы (1), преобразованной согласно формулам (21), (25).

Рассмотрим условия существования канонического преобразования II и стабилизации системы (1) на его основании. Очевидно, что достаточными условиями существования преобразования (21), (25) и стабилизирующего вектора S(zk) является равномерная ограниченность матриц A(yk), b(yk) и равномерная невырожденность матриц Mk, определяемых формулой (25).

Покажем, что условие равномерной невырожденности матриц Mk можно заменить более простым условием.

Теорема 3. Для существования канонического преобразования II необходима и достаточна равномерная невырожденность .матрицы управляемости (3) системы (1).

Доказательство. Перейдем от системы (1) каноническим преобразованием I с матрицей W k, определяемой формулой (3), к системе

y k +i = A(y k )y k + e{s*(y k). (28)

При условии равномерной невырожденности матрицы Wk такое преобразование существует и приводит к единственному виду преобразованной системы.

Рассмотрим теперь систему (1), преобразованную каноническим преобразованием II, определяемым формулами (21), (25),

zk+i = A(zk)zk + ens (zk) (29)

и сформируем ее матрицу управляемости W(zk). Очевидно, W(zk) имеет вид треугольной матрицы, по второй диагонали которой расположены единицы, т.е. W(zk) равномерно невырождена для всех к.

Перейдем от системы (29) каноническим преобразованием I к виду (28). Тогда имеем

Tk(zk ) = W-1(xk )W (zk),

т.е. Tk(zk) равномерно невырождена тогда и только тогда, когда равномерно невырождена W (xk).

Теорема 4. Для того, чтобы система (1) была стабилизирована на основе канонического преобразования II, необходимы и достаточны равномерная невырожденность пары A(xk), b(xk) и равномерная невырожденность матрицы управляемости W(xk).

Доказательство. Равномерная ограниченность пары A(xk), b(xk) необходима и достаточна для выполнения равенства (27).

5. Заключение. Определены необходимые и достаточные условия существования и явный вид двух канонических преобразований подобия, приводящих нелинейную дискретную систему к виду, позволяющему получить явное решение задачи стабилизации.

Отметим, что преобразование I строится значительно проще, чем преобразование II, но решение задачи стабилизации проводится значительно проще, если система преобразована посредством канонического преобразования II. Условия существования этих преобразований совпадают.

Summary

Zuber I. E. The canonical transformations and stabilization of nonlinear discrete control systems.

A nonlinear discrete control system is considered. Canonical similarity transformation I providing Frobenius vertical form to an object matrix of a transformed system and canonical similarity

transformation II providing Frobenius horizontal form to both an object matrix and that of a closed transformed system are introduced into consideration.

The existence conditions and explicit forms of transformations I and II are defined. System stabilization problem solution is performed on the basis of each of these canonical transformations.

Литература

1. Desoer C. A. On stabilization of nonlinear systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1984. Vol. 29. N 6. P. 569-572.

2. Desoer C. A., Lin C. A. Simultaneous stabilization of nonlinear systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1984. Vol. 29. N 5. P. 455-487.

3. Lewis J. Challenge to Control. A collective view // IEEE Trans. Autom. Contr. 1988. Vol. AC-32. N 2. P. 1187-1195.

4. Kokotovic P. V. and Marino R. On Vanishing Stability Region on Nonlinear Systems with High-Gain Feedback // IEEE Trans. Autom. Contr. 1986. Vol. AC-31. N 10. P. 967-969.

5. Якубович В. А. Частотные критерии абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования // Тр. межвуз. конф. по прикладной теории устойчивости движения и аналитической механике. Казань, 1964. С. 135-142.

6. Banks S. P. On nonlinear systems algebraic geometry // Int. J. Control. 1985. Vol. 42. N 2. P. 333-339.

7. Von. R. Sommer. Entwirt nichtlinear systeme aut endliche einsteelizeit // Regelungstechnin. 1983. Vol. 31. N 7. P. 223-230.

8. Видьяссагар М. Новые направления исследований в теории нелинейных систем // ТИ-ИЭР. 1986. Т. 74. № 8. С. 5-41.

9. Michalska H., Mayn D. Q. Design of stabilizing control laws for smooth nonlinear systems // Int. J. Control. 1991. Vol. 53. N 3. P. 541-548.

10. Справочник по теории автоматического регулирования / Под ред. А. А. Красовского. М., 1987.

11. Ланкастер П. Теория матриц. М., 1982.

12. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., 1989. С. 178.

13. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Berlin; Heidelberg; London; Paris, 1989.

14. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация нелинейных систем на основе специального преобразования подобия // Вестн. С.-Петерб. Сер. 1. 2000. Вып. 2 (№ 8). С. 8-13.

15. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация динамических систем // Вестн. С.-Петерб. Сер. 1. 2001. Вып. 1 (№ 1). С. 15-23.

16. Зубер И. Е. Стабилизация нелинейных наблюдаемых систем при управлении по выходу // Вестн. С.-Петерб. Сер. 1. 2002. Вып. 3 (№ 3). С. 17-29.

17. Зубер И. Е. О монотонной стабилизации дискретных систем регулирования // Автоматика и телемеханика. 1968. № 3. С. 29-37.

18. Зубер И. Е. К вопросу об оптимальной структуре обратных связей монотонно стабилизированной импульсной системы // Управляемые системы. ИМ. ИК. СО АН СССР, 1969. Вып. 3. С. 23-32.

19. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1966.

Статья поступила в редакцию 11 марта 2003 г.