Экспоненциально устойчивый наблюдательдля управляемых и наблюдаемых нелинейных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-501-55

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 2

И. Е. Зубер

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО УСТОЙЧИВЫЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ

ДЛЯ УПРАВЛЯЕМЫХ И НАБЛЮДАЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ*

1. Введение. Построению асимптотически или экспоненциально устойчивых наблюдателей для нелинейных гладких систем уделяется в последнее время много внимания в научной литературе [1, 2]. При этом подавляющее большинство результатов получено посредством той или иной формы линеаризации рассматриваемой системы, т. е. сведение задачи синтеза наблюдателя для нелинейной системы к аналогичной задаче для линейной нестационарной системы, как показано в работах [2-4].

В работе [4] синтез наблюдателя производится заменой линеаризации исходной системы линеаризацией уравнений ошибок наблюдателя. В работе [5] произведено некоторое расширение класса систем, рассмотренных в [4], и проведена конструктивная процедура синтеза устойчивого наблюдателя для рассматриваемого класса вполне наблюдаемых гладких систем, заданных в замкнутой ограниченной области.

В предлагаемой статье выделен класс гладких нелинейных систем, для которых синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя проводится непосредственно, т. е. без предварительной линеаризации уравнений исходной системы и уравнений ошибок наблюдателя. При этом показано, что стабилизация нелинейной системы обратной связью, нелинейной относительно состояния, может быть произведена обратной связью по наблюдателю, нелинейной относительно наблюдателя.

2. Постановка задачи. Рассматривается система

y = A(y)y + b(y)u, a(t) = c*y(t), (1)

где y € 1" —вектор состояния системы, b(y) € К", c € 1" —заданные векторы распределения управления и наблюдения соответственно, c = const, A(y) — заданная n х -га-матрица объекта, a(t) —скалярный выход.

Пара (A(y),b(y)) предполагается равномерно ограниченной вместе со своими частными производными до порядка (2n — 1) включительно. Предполагается равномерная невырожденность в целом матрицы управляемости системы

W (y) = (b(y), L\(y)b(y),..., Lri-i(y)b(y)), (2)

где Li(y) —матрица г-той производной от y в силу системы y = A(y)y (производная Ли), т.е. выполнение условия

37 > 0 |det W(y)\ > y y € К". (3)

Предполагается равномерная невырожденность в целом матрицы наблюдаемости:

3yi > 0 |det M(y)\ > yi, (4)

где M(y) = \c(y), L*(y)c(y),..., L"_ 1(y)c(y)\. Полагаем, что допустимое управление

u(y) = s*(У)У, (5)

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта №НШ-2257.2003.1 Совета по грантам президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ, программы "Университеты России", грантов РФФИ №02-01-00542, №02-01-00544.

© И. Е. Зубер, 2004

где з(у) —вектор обратной связи, определяемый в соответствии с требованиями, предъявляемыми к замкнутой системе (1)—(5), заменено управлением по выходу

(1 = и1(а(г)).

(6)

Задача: определить оценку у(Ь) вектора состояния у(Ь), экспоненциально и с заданной скоростью стремящуюся к у(Ь), обеспечить экспоненциальную устойчивость замкнутой системы (1)—(6) при и1 = и 1(11).

3. Основные результаты. Введем в рассмотрение преобразование

У = Т (у)у, (7)

переводящее матрицу объекта системы (1) в матрицу Фробениуса [6] с последней функциональной строкой, а вектор распределения управления в последний единичный орт еп. Согласно [7], преобразование (5) определяется формулами

Т (у) =

<в-1(у)

(8)

в (у) = \\ъ0 (у), ..., ь„-1Ы1Г, Ък(у) = Л - Е ^ жЛ-зЫ. ь° (у) = Ъ(у), Ыу) = (ьк(у) -

м>

-)Ъ(у), к = 1,п — 1, С°к —биномиальные коэффициенты.

Равномерная невырожденность матрицы Т(у) обеспечивается выполнением условия (2) [9]. При этом преобразованная система (1)—(5) имеет вид

У = А((у)у + Ъ(у)и, и = у (у)у, а = У ((у)у,

А (У)

(9)

(10)

0 0 ... 0 1

а1 (у) а2(у) ... а.п(у)

А(у) = А(Т (у)у) = Т (у)А(у)Т-1(у)+Т(у)Т-1(у), Ь(у) = Т (у)Ъ(у) = еп = (0,...,0,1) *, у * (у) = 8* (у)Т-1(у), у (у) = с*Т-1(у).

(11)

Сформируем наблюдатель в форме Калмана-Луенбергера [9] для преобразованной системы (9)

А(у)у + еПу * (у)у + &Уу * (у)(у - у), (12)

где & — искомый вектор коэффициентов усиления наблюдателя. Зададим вектор обратной связи ((у) в виде

((() = -а(у)+к, (13)

где а(у) = (а.1(у), ..., ап(у))*, к —произвольный постоянный вектор. Тогда матрица замкнутой системы (9), (13)

В (у) = А(у) - епа * (у) + епк * = Во

(14) 35

к

й

есть постоянная матрица Фробениуса с последней строкой к*. Вычитая из уравнения наблюдателя уравнения (9), (11), получаем уравнение ошибок наблюдателя г = у — у в виде

* = А(у)г + Су* (у)г, (15)

и задача синтеза наблюдателя свелась к определению вектора С, обеспечивающего экспоненциальную устойчивость в целом системе (15). Введем в рассмотрение преобразования

!. (16)

у1 = с (y)z,

- А

м^1 м

= = шс*(у)г + с*(у)А(у)г>

(17)

-^с* (у)г + • • • + с * (у)Ап-\у)г,

~~ йР

т.е. производные от г берутся в силу системы г = А(у)г, а дифференцирование У* (у) производится в соответствии с последней из формул (9) и в силу однородной системы

У = А(у)у.

Согласно [10] равномерная невырожденность матрицы Р(у), определяемой (17), гарантируется равномерной невырожденностью матрицы наблюдаемости (4). Система (15), преобразованная (16), (17), имеет вид

У-= у (У)У + у(У)У* (У)Р-1(у)г, (18)

где По (у) = Р(у)А(у)Р-1(у) + Р(у)Р-1(у) —матрица Фробениуса с последней функциональной строкой г* (у),

у *(у)Р-1(у) = е* = (1,0,...,0), у(у)= Р (у)С. (19)

Теорема 1. Для системы уравнений ошибок наблюдателя (15) существует и определяется для произвольного .заданного а > 0 вектор коэффициентов усиления наблюдателя С = С(у, а), обеспечивающий экспоненциальную устойчивость в целом системы (15) и выполнение для ее функции Ляпунова V(г) = г*Н(у)г, Н = Н* > 0, условия У(г) < —аV(г).

Доказательство теоремы 1. В силу равномерной ограниченности параметров системы (1), (9), (15), а также в силу равномерной ограниченности и равномерной невырожденности преобразований Т(у),Р(г) определение постоянного стабилизирующего вектора коэффициентов усиления наблюдателя су(у) производится как указано в доказательстве теоремы 1 в [5], т.е. вводится в рассмотрение постоянная трехполосная матрица Н0 = Щ > 0, Н0 = {%}".,■=1, > 0, % = -^у/КЦ7^7, % = 0 для ] <1-1 и;>1 + 1, числа кц определяются из условия наличия п — 1 перемены знаков в последовательности главных диагональных миноров матрицы производной функции V(у = г*Ноу, отсчитываемых от нижнего конца главной диагонали. Последняя перемена знака в последовательности главных диагональных миноров матрицы производной функции Ляпунова системы (18), (19) достигается выбором вектора су(а) в виде

С(а) = Х(а)Н-1 е1.

й

Вектор коэффициентов усиления наблюдателя системы уравнений ошибок наблюдателя (15) определяется, таким образом, соотношением

а функция Ляпунова V (г) = г * Н (у) г, Н (у) = Р* (уу)НР (у) удовлетворяет соотношению У(г) < -аV(г).

Из доказательства теоремы 1 следует справедливость утверждения:

Теорема 2. Пусть система (1) удовлетворяет условиям (2)-(4), вектор ¡(у), преобразованный (7), принадлежит множеству, определяемому соотношениями (13).

Тогда существует экспоненциально устойчивый в целом наблюдатель вида (12), (20), стремящейся с заданной скоростью а к вектору состояния системы (1), (13).

Теорема 3. Стабилизация системы (1)-(5), (13) достигается формированием наблюдателя (12), (20) и заменой управления и = в*(у)у управлением и,1 = в*(у)у.

Доказательство теоремы 3 повторяет с очевидными изменениями доказательство теоремы 3 в [8].

4. Заключение. Для выделенного заданного множества векторов обратной связи вида (18) и для класса гладких нелинейных равномерно управляемых и наблюдаемых в целом систем с равномерно ограниченными параметрами произведен синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя. Выбирая в формуле (13) вектор к как вектор, компоненты которого суть коэффициенты гурвицева многочлена, обеспечиваем асимптотическую или экспоненциальную устойчивость исходной системе (1)-(5), т.е. формируем искомый вектор 9У(у). Формируя экспоненциально устойчивый в целом наблюдатель (12), (20), с заданной скоростью стремящийся к вектору состояния системы у, формируем допустимое управление и1 = (У(у)у и определяем вектор в * (у) = У * (у)Т * (у).

Построение функции Ляпунова для системы (1) с наблюдателем (12), (20) и оценка скорости ее убывания производится как в [8].

Отметим, что требование равномерной ограниченности параметров системы (1)-(5) не является очень существенным. Можно заменить это требование условием ||у|| < К, тогда область притяжения функций Ляпунова примет вид

где Amin(T(y)),Amax(T(y)) —минимальное и максимальное для фиксированного y значения собственных чисел матрицы T(у).

I. E. Zuber. An exponentially stable observer for controllable and observable nonlinear systems.

A smooth nonlinear system with uniformly bounded parameters is considered. Supposing the total nonsingular controllability and observability of the system the synthesis of an exponentially stable observer and stabilization by the observer are performed.

Литература

1. Vidyasagar M. On the stabilization of nonlinear systems using state detection // IEEE Trans. Autom. Contr. 1981. V. 25. N3. P. 504-509.

2. Castle D., Zeitz M. Canonical form observer design for non-linear time-varying systems // International J. Control. 1983. V. 38. P. 413-431.

d(y,a)= P l(y)d(a),

(20)

Summary

3. Krener A., Isidory A. Linearization by output injection and non-linear observers // Systems & Control Letters. 1983. V. 3. P. 47-51.

4. Deza F., Ganthier J. P. A simple and robust non-linear estimator // CDC Conference. Brighton. 1991. P. 531-533.

5. Зубер И. Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для нелинейных систем с одним выходом // Автоматика и телемеханика. 1998. №3. С. 22-27.

6. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир. 1989. С. 178.

7. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация нелинейных систем на основе специального преобразования подобия // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2000. Вып. 2 (№8). С. 8-13.

8. Зубер И. Е. Стабилизация нелинейных систем управлением по выходу // Вестник СПбГУ, сер. 1. 2002. Вып. 17 (№3). С. 27-35.

9. Справочник по теории автоматического управления. (Под ред. А. А. Красовского.) М., 1987.

10. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М., 1977.

Статья поступила в редакцию 3 июня 2003 г.