Синтез стабилизирующего управления по выходу для нелинейных Системс конусоидальным возмущением Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. Е. Зубер

СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КОНУСОИДАЛЬНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ*

1. Введение. Задача стабилизации нелинейных систем остается актуальной и обычно решается посредством того или иного вида линеаризации исходной системы. Начиная с работы [1], для решения задачи стабилизации нелинейных систем используются преобразования подобия специального вида, переводящие исходную систему к виду, позволяющему получить явное решение поставленной задачи. Преобразование I, рассмотренное в [1], обеспечивает матрице объекта преобразованной системы вид матрицы Фробениуса [2] с последним функциональным столбцом, а вектору распределения управления вид первого единичного орта. Преобразование II, условия его существования и явный вид были рассмотрены в [2, 3]. Это преобразование обеспечивает матрице объекта преобразованной системы вид матрицы Фробениуса с последней функциональной строкой, а вектору распределения управления вид последнего единичного орта, т.е. матрица замкнутой преобразованной системы также имеет форму Фробениуса. Решение задачи стабилизации нелинейной и нестационарной системы на базе преобразований I и II приведено в [2, 3] при управлении обратной связью по состоянию и в [4] при управлении по выходу.

В предлагаемой статье рассматривается нелинейная система с конусоидальным возмущением. В работах 50-80-х годов рассматривались аналогичные структуры, т. е. рассматривалась задача стабилизации линейной системы с конусоидальной нелинейностью [5-9]. В предлагаемой статье решение задачи стабилизации проводится при управлении по скалярному выходу, которое интерпретируется как управление обратной связью по экспоненциально устойчивому наблюдателю.

2. Постановка задачи. Рассматривается система

х = А(х)х + Ь(х)и + у>(а)д, V = с* х, (1)

где х € К" —вектор состояния системы, А(х) — п х п-матрица, Ь(х) € К", д € К" — векторы распределения управления и возмущения, v(t) —скалярный выход системы, <^(а) —скалярная функция возмущения а(Ь) = с*х(Ь), с € К", удовлетворяющая при всех а условиям

^(а)а > 0, / ф(т)ё,т < ж. (2)

Jo

Матрицы А(х),Ь(х) предполагаются заданными и равномерно ограниченными вместе со своими частными производными порядка до 2п-1 включительно, с и д — постоянные векторы. Матрица управляемости пары А(х), Ь(х)

Ш(х) = \Ь(х), Ь\(х)Ь(х),..., Ь"—1_(х)Ь(х)\,

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2257.2003.1), программы «Университеты России» и РФФИ (грант №02-01-00544).

© И. Е. Зубер, 2004

где Ь^(х) — матрица г-й производной от х в силу системы х = А(х)х, предполагается равномерно невырожденной, т.е.

3 ^> 0: \det Ш(х)\ >^, х € К".

Матрица наблюдаемости пары А(х), с

N(х) = \с Ь*(х)с Ь*, (х)с ..., Ь*"—1(х)с\ также предполагается равномерно невырожденной, т. е.

3 71 > 0: \det N(х)\ > 7ь х € К".

Задача: определить управление

и = и(V),

(З)

(4)

(5)

обеспечивающее экспоненциальную устойчивость в целом замкнутой системе (1), (5).

3. Основные результаты. Решение поставленной задачи проведем в два этапа. На первом этапе решается задача стабилизации системы (1)—(3) скалярным управлением обратной связью по состоянию

п\ = я* (х)х, (6)

на втором этапе строится экспоненциально устойчивый наблюдатель х для системы (1)—(4) и управление и(у) формируется как управление и = я* (Х)х.

Введем в рассмотрение преобразование подобия II [3]:

= T( x) x,

(7)

T (x) =

e"B-1(x)

(e"B 1(x)) + e"B 1(x)L1(x)

d_fD — 1 dt

-*j= 1 n—1 dV

B(x) = \\bo(x),... ,Ь„_і(ж)||*, bk(x) = fk(x) - Yl^=iCimfk-j(x)’ bo(x) =b(x), fk(

•j = 1 j dti J '

x), fk (x)

(Lk(x) — )b(x), к = 1, n — 1, C3k —биномиальные коэффициенты.

Согласно [4] выполнение условия (3) обеспечивает равномерную невырожденность T (x). Тогда система (1) переходит в систему

x = A(x)x + enui + ^’(a)'g(x), ui = J*(X)x, g(x) = T (x)g, (8)

X*(x) = s*(x)T-1(x), X (x) = c*T-1(x),

A(X) = T (x)A(x)T-1(x) + T(x)T-1(x),

где T(x) —производная по времени от T(x(t)) в силу системы (1), A(x) — матрица Фробениуса с последней функциональной строкой a*(x) = (ai(x), . an(x)).

Введем в рассмотрение функцию

V(x) = x *H-1x + ( ф(т)dT,

Jo

(9)

Но = {Ы, }"з=1,

% = ~2 \fhiihjj при 2 = г - 1, г + 1,

к, = 0 при 2 < г — 1, 2 > г +1.

Очевидно, Но > 0 при Ьц > 0, * = 1, п. Рассмотрим вектор г = (ж*, ср)* и сформируем

производную функции (9) в силу системы (8): У(г) = г*Ь(г)г, где

Ь(г) =

Я(х) я(х) Я* (х) с*д

д(х) = Н01д+ -с*£>(ж),

1

— с

2

I (х) = А(х) + в"7*(х),

Я(х) = I *(Х)Н—1 + Н—11 (х).

Согласно [2], для каждого а > 0 определяются числа кц (а) > 0 и Х(а) такие, что вектор

X = \(а)Н0в" (10)

обеспечивает выполнение условия

Я(х) < —аН— 1. (11)

Выпишем условие отрицательной определенности Ь(г). Согласно [2] это условие сводится к неравенству

с*д — Я*(х^ 1(х)д(х)^ (det Q(х)j < 0,

которое выполняется при достаточно большом а в силу (11). Таким образом определяется число а, и, следовательно, вектор (10), обеспечивающий асимптотическую устойчивость в целом системы (8), (10). Равномерная невырожденность матрицы Т(х) и равномерная ограниченность матриц Т(х) и Т —1(х) позволяют по устойчивости системы (8) сделать вывод об устойчивости системы (1)-(3).

Таким образом, доказана следующая Теорема 1. Пусть для системы (1)-(3) выполняется условие

с*д < 0. (12)

Тогда существует и определяется в явном виде вектор обратной связи з(х), обеспечивающий асимптотическую устойчивость в целом системе (1)-(3), замкнутой управлением (6).

Переходим ко второму этапу, вводя дополнительное условие на функцию возмущения ^(а): предполагаем, что ^(а) удовлетворяет условию Липшица

3 М> 0: \^>(а1) — р(а*)\ <М\а1 — а*\. (13)

Сформируем наблюдатель для системы (8), (13) в форме Калмана—Луенбергера

х = А(х)х + впи1 + у>(а)д(х) + с!с(х)(х — х), (14)

где а = с*(х)х, ! — искомый вектор коэффициентов усиления наблюдателя. Полагая и1(х) = х* (х)х, и1(х) = х*(х)х, выбираем вектор 'х(х) в виде

х(х) = —а(х) + к, (15)

где а(х)* —последняя строка матрицы А(х) в (8), к — произвольный постоянный вектор.

Сформируем уравнения ошибок наблюдателя х = х — х, вычитая из уравнения (14) уравнение (8):

х = 10х + (р(а) — р(а))д(х) + !х* (х)х, (16)

1о — постоянная матрица Фробениуса с последней строкой к*. В силу условия Липшица условие экспоненциальной устойчивости в целом системы (16) следует из экспоненциальной устойчивости в целом системы [10]:

у = 1оу + М (х)д(х)е* (х)у + !х* (х)у, (17)

где

М(х) = ! М х*(с)^(с) >0,

1 ' \—М ^(^(х) < 0.

Для того, чтобы определить вектор !, обеспечивающий экспоненциальную устойчивость в целом системе (17), введем в рассмотрение еще одно преобразование подобия

х = Р(х)у, (18)

полагая

У = (У1,...,У")*, у = (У1,...,У")*,

ух1 = сх (х)у,

У2 = (19)

Уп — , Уп — Ъ №

где производная от у берется в силу системы у = Іоу, производная от х берется в силу однородной системы х = А(х)х.

Равномерная невырожденность этого преобразования обусловлена согласно [10] равномерной невырожденностью матрицы наблюдаемости (4). Тогда преобразованная (18) система (17) принимает вид

У = В о(у)у + Х(у)в\, Х(у)= Р (х)(а + д(х)), (20)

где Іо = Р(х)ВоР-1(х) + Р(х)Р-1(х) —матрица Фробениуса с последней функциональной строкой, Р(х) —производная по Ь от Р(х(Ь)) в силу системы (8).

Введем в рассмотрение квадратичную форму

ш (у) = х *Н\Х,

а

где матрица Н1 имеет ту же форму, что и матрица Но в формуле (9), т. е.

Н1 = {к1,}"э=1 , ки > 0

Ч? = при 3 = г~1,г+1,

к1, = 0 при 2 < г — 1, 2 > г +1.

Тогда, согласно теореме 2 [10], вектор с[(у), обеспечивающий экспоненциальную устойчивость в целом системе (19), определяется формулой

х(у) = МН—1в1,

где скалярный параметр А1 определяется в соответствии с условием Ш(у) < —аШ(у) для заданного произвольного а > 0 соотношением

А1 < яир ^е! 0.(х)/Аи—1(х)), (21)

х е К п

где 0,(х) = 10*(х)Н1 + Н11*(х) + а1. Здесь Аи—1(х) —главный диагональный минор

матрицы 0,(х) порядка п — 1, отсчитываемый с нижнего конца главной диагонали, при

этом числа к1 определены соотношениями, обеспечивающими п — 1 перемену знаков в последовательности главных диагональных миноров матрицы 0.(х), отсчитываемых с нижнего конца главной диагонали.

Таким образом, доказана следующая Теорема 2. Вектор коэффициентов усиления наблюдателя, обеспечивающий экспоненциальную устойчивость в целом системе уравнений ошибок наблюдателя х, определяется формулой

!(х) = Р —1(х)(А1 Н—1е1 — М (х)х(х)). (22)

Возвращаемся к исходной системе (1)—(4) и формируем управление по выходу как управление обратной связью по наблюдателю

и(у) = в * (х)х, (23)

где вектор в(х) задан соотношениями (10). Согласно теореме 2 [4], управление (23) обеспечивает экспоненциальную устойчивость в целом замкнутой системе (1)—(4), (23). Итак, доказана

Теорема 3. Пусть система (1)—(4) равномерно управляема и равномерно наблюдаема, а конусоидальное возмущение удовлетворяет условиям Липшица,. Тогда существует и определяется в явном виде управление обратной связью по экспоненциально устойчивому в целом наблюдателю, обеспечивающему замкнутой им системе асимптотическую устойчивость в целом.

4. Заключение. Решение задачи стабилизации системы (1)—(4) управлением по выходу состоит из решения двух задач: 1) стабилизации управлением обратной связью по состоянию, 2) синтеза экспоненциально устойчивого в целом наблюдателя. Решение задачи 1) проводится на базе преобразования подобия II, решение задачи 2) проведено на базе аналога преобразования подобия I. Нетрудно видеть, что и решение задачи 2) можно осуществлять, используя преобразование II, а именно, преобразованием (7) при замене А(х) на I* и вектора Ь(х) на вектор х(х), т.е. брать за основу преобразования не матрицу управляемости, а матрицу наблюдаемости рассматриваемой системы.

I. E. Zuber. The synthesis of stabilizing control by output for nonlinear systems with conusoidal perturbation.

The smooth nonlinear totally controllable and observable system with cone-shaped perturbation is considered. The function of perturbation complies with the Lipschiz conditions. The stabilizing control as scalar feedback by state-vector is constructed. The stabilizing control as scalar feedback by the constructed exponentially stable observer is constructed. The synthesis of control is performed by two similarity transformations of a special kind.

Литература

1. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg, London, Paris. 1989.

2. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация нелинейных систем на основе специального преобразования подобия // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Вып. 2 (№8). 2000. С. 8-13.

3. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация динамических систем // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 1. 2001. Вып. 1 (№1). С. 15-22.

4. Зубер И. Е. Стабилизация нелинейных систем управлением по выходу // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 3 (№17). С. 21-31.

5. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951.

6. Пятницкий Е. С. Абсолютная устойчивость нелинейных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика. 1970. №1. С. 5-15.

7. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

8. Пятницкий Е. С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования: Обзор // Автоматика и телемеханика. 1968. №6. С. 5-36.

9. Zames G., Falb P. L. On the Stability of Systems with Monotone and Odd Monotone Nonlinearities // IEEE Trans. Automat. Control. 1967. V.AC-12. N2. P. 221-223.

10. Зубер И. Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для нелинейных систем с одним выходом // Автоматика и телемеханика. 1998. №8. С. 37-46.

Статья поступила в редакцию 3 июня 2004 г.