Квазиканонические преобразования подобияи стабилизируемость нелинейных систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. Е. Зубер

КВАЗИКАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ И СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ*

1. Введение. Стабилизация нелинейных систем управления продолжает оставаться одной из самых актуальных задач теории систем управления.

С начала 70-х годов прошлого века нелинейные системы вида х = Г(х, и) линейные относительно управления и часто рассматриваются в векторно-матричной форме

и с 80-х годов появились и продолжают появляться работы, использующие для стабилизации нелинейных объектов канонические преобразования подобия [2-5]. Этим термином обозначаются преобразования подобия, обладающие свойством диффеоморфизма и удовлетворяющие двум требованиям.

I. Матрица объекта преобразованной системы есть матрица Фробениуса с последней функциональной строкой.

II. Вектор распределения управления преобразованной системы есть последний единичный орт.

Таким образом, матрица преобразованной замкнутой системы также имеет форму Фробениуса независимо от выбора вектора обратной связи. Решение задачи стабилизации таких систем приводится в [6]. При формировании канонического преобразования подобия выполнение требования I тривиально. Если

Выполнение требования II достигается значительно сложнее. Формирование канонических преобразований рассмотрено в ряде работ [2-5]. Полученные решения задачи стабилизируемости отличаются двумя свойствами:

1) в каждой работе приводится решение задачи стабилизируемости для выделенного подкласса вполне управляемых систем, причем условия принадлежности системы к выделяемому классу проверяются весьма трудоемко [2, 3];

2) для получения явного вида требуемого преобразования приходится решать дифференциальное уравнение в частных производных [3-5].

В результате вышеизложенного представляется целесообразным ввести в рассмотрение преобразования подобия, удовлетворяющие только требованию I. Такие преобразования будем называть квази-каноническими. Формирование квази-канонических

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00238) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-2257.2003.1).

© И. Е. Зубер, 2005

х = А(х)х + Ь(х)и, и = в*(х)х,

(1)

У = ¥(х) = Г (x)x, Р(х) = (^1(x), ■ ■ ■,¥и(х))* ,

(2)

то для выполнения требования I достаточно положить

д

преобразований значительно проще формирования канонических преобразований, поскольку снимается и требование диффеоморфизма, а требование II заменяется требованием невырожденности матрицы преобразования (2) Г(х) для х € К".

Однако стабилизируемость и стабилизация системы, подвергнутой квази-канониче-скому преобразованию, представляет собой самостоятельную задачу. В предлагаемой статье приводятся достаточные условия стабилизируемости системы, подвергнутой ква-зи-каноническому преобразованию, и решение задачи стабилизации при выполнении полученных условий стабилизируемости.

2. Постановка задачи. Рассматривается нелинейная система управления в векторно-матричной форме

X = А(х)х + Ь(х)и, (3)

где х € К" —вектор состояния системы, А(х) —заданная матрица объекта, Ь(х) —заданный вектор распределения скалярного управления и(х), которое допустимо в виде

і(х) = в*(х)х■

(4)

Задача: определить достаточные условия на пару А(х), Ь(х), при которых существует и определяется вектор в(х), обеспечивающий асимптотическую устойчивость в большом замкнутой системы (3), (4).

3. Основные результаты. Начнем с рассмотрения частного случая, т. е. системы

У = Ао(у)у + Ьо(у)и,

so(У)У,

(5)

где Ао(у) — матрица Фробениуса с последней функциональной строкой ао(у)

(а1(у), ■■■, а0і(у))*:

Ап

а1(у) а2(у)

а°и(у)

(6)

Ьо(у) = (в\(у),...,в"(у))* —произвольно заданный вектор. В предположении равномерной ограниченности в К" норм Ао(у) и Ьо(у) рассмотрим условие стабилизируемости этой системы и решение задачи стабилизации в целом.

Введем в рассмотрение форму

V (у) = у* Ну,

(7)

где

Н

1

Ні = {Ыз }

и

Із }і,з=1,

% = - 2 ПРИ З = і - 1, З = і + 1,

кц = 0 при і < і — 1, і > і + 1 ■

(8)

Ь'И > 0—числа, подлежащие в дальнейшем определению, г = 1,п. Согласно [6] Н > 0. Рассмотрим производную формы (7) в силу системы (5)

V (у) = У*L(y)y, Ь(у) = д(у) + Шо(у)в* (у) + во(у)Ь0 (y)H,

(9)

и

Q(y) — матрица производной формы (7) в силу системы (5) при отсутствии управления, т. е.

Q(y)= А*(у)И + НА(у).

Задача стабилизации системы (5) свелась к определению условий существования и явного вида вектора зо(у), при котором выполняется условие

Ь(у) < 0, у е Условие (10) эквивалентно условию

Ьі(у) < 0, где Ьі(у) = Н-1ЬН-1 = Яі(у) + Ьо(у)8*о(у)Ні + Ні8о(у)к*о (у),

где

или

где

Яі(у) = Ао (у)Ні + НіАо (у)

Яі(у)

(10)

(11)

(12)

Яо а(у)

а* (у) 2аи(у)

а(у) = (ао(у)кі, ■■■, а*оки-і)*,

аи = аоки, кі — і-й столбец матрицы Ні

(13)

и Яо(у) имеет вид:

2кі2 к22 к23

к22 2к2з кзз

0 0 ■■■

0

кз4

ки.— 1 и — 2 ки. — 2 и — 2 2 ки.— 1 и — 2 ки і и і

-1 и-2 0

ки—1и — 2 ки—1и—1 2 ки — 1

(14)

т. е. Яо есть постоянная матрица. В работе [6] показано, как выбором п чисел кц > 0,■■■, кии > 0 обеспечивается отрицательная определенность матрицы Яо. Обозначим через Яі матрицу из первых і строк и столбцов матрицы Яо, ді — ее последний столбец, діі — последний диагональный элемент, Аі — ее детерминант. Отметим, что от числа кі+і зависит только элемент діі. Тогда из формулы [7]

Аі = Аі-і [дц — д*Я-_11

1,п — 1

получаем п чисел ки, для которых выполняется условие

А^А—1 < 0, До = 1, кц > 0 — произвольное число.

Таким образом, в (п — 1) х (п — 1)-матрице Qо имеет место п — 1 перемена знаков главных диагональных миноров, т. е. согласно критерию Сильвестра [7] матрица Qо отрицательно определена.

Вернемся к рассмотрению матрицы Ql(y), заданной соотношением (11). Введем обозначения:

в(у) = (в1(у),...,в"-1 (у))* (15)

0

— вектор, составленный из первых п — 1 компонент вектора Ьо(у), ви(у) —последняя компонента вектора Ьо(у) и положим

*о = А(у)Н (0,0,■■■,вn)*■ (16)

Отметим, что первые п—1 главных диагональных миноров, начиная с Аі, матриц Яі(у), Ьі(у) и Яо совпадают, и для отрицательной определенности матрицы Ь(у) остается определить условия существования и явный вид скалярной функции А(у), при которой выполняется условие

аеіЬі(у) ■ Аи-і < 0, (17)

т. е. условие

2аи(у) — 2Чу)в1 (у) — р*(Ку),у)Я-1р(Ку),у) < 0, (18)

где p(А(y), у) = а(у) + Чу)в(у)ви (у).

Теорема 1. Пусть

3 т : ||Ао(у)У < т, 3 п : \\Ьо(у)\\ < п, у е

Тогда для того, чтобы замкнутая система (5), (16) была асимптотически устойчива в целом и имела функцию Ляпунова вида (7), необходимо и достаточно выполнения (с учетом обозначений (13), (14), (16)^ условия

{рп -а*Шо1т)2+р*Шо1^у)Аеі^і{у) >о- (із)

Аи-1

Доказательство. Рассмотрим условие (18) как условие отрицательной определенности квадратичного трехчлена относительно А(у):

Сі А2 (у)+С2 А(у) + Сз < 0, (20)

где

Сі = —в*Ш-Чв(у)в1 > 0,

С2 = —20П — 2а(у)Яо 1 в(у)ви,

-1 , ч _ ^еіЯі(у)

Сз = 2аи(у) — а*(у)Я0 а(у) =

Аи

л"-1

Тогда необходимым и достаточным условием существования вещественного решения неравенства (18) является условие

С2(у) — 4С\(у)С3(у) > 0, у € К",

которое принимает вид (19). Стабилизирующее управление для системы (5) имеет вид (17) при \1(у) < Му) < ^2(у), где \1(у), ^2(у) —корни трехчлена (20). Итак, условия стабилизируемости для системы специального вида (5) получены.

Вернемся к рассмотрению системы общего вида (3), (4) и произведем преобразование подобия

у = ц>(х) = Г (х)х,

полагая

¥(х) = (Р1(х),...,Р"(х))*,

дуч_1(ж) (21)

Х’ =-----дх---АУХ)Х’ <РЛХ) = У (ж)ж’

где д(х) —дифференцируемая п — 1 раз вектор-функция.

Замечание. Легко видеть, что полученные условия стабилизируемости и решение задачи стабилизации для системы (5) не изменяются при замене системы (5) системой

у = Ао(х)у + Ьо(х)п, и = (х)у, (22)

где Ао(х) —равномерно ограниченная матрица Фробениуса, Ьо(х) —заданный равномерно ограниченный вектор.

Действительно, процедура формирования функции Ляпунова V = у* Ну и обеспечение отрицательной определенности ее производной в силу системы (22) повторяет дословно аналогичную процедуру для системы (5).

Вернемся к рассмотрению системы (3), (4) общего вида в условиях дифференцируемости матрицы А(х) п раз и произведем преобразование подобия

у = р(х) = Г (х)х,

полагая

Р(х) = (Р1(х),...,Р"(х))*, д

¥г(х) = ■т—'Л-! (х)А(х)х, ср1(х) = д*(х)х, дх

где д(х) — дифференцируемая п—1 раз вектор-функция, ограниченная вместе со своими производными порядка до п—1 включительно. Тогда матрица объекта преобразованной системы

А(х) = А(х)Р~1(х)

дх

есть матрица Фробениуса, вектор распределения управления преобразованной системы др

Ъ{х) = -7—Ь(х), вектор обратных связей преобразованной системы 5г*(ж) = з*(х)Е~1(х) дх

и при условии невырожденности Г (х) для всех х мы находимся в условиях системы (20) с тем отличием, что матрица А(х) ограничена только для ограниченных х, т. е. добиваться можно не устойчивости в целом, а устойчивости в большом. Таким образом, доказана следующая

Теорема 2. Пусть матрица А(х) ограничена для каждого ограниченного х вместе со своими частными производными порядка п — 1 включительно.

Пусть вектор-функция д(х) ограничена для каждого ограниченного х вместе со своими частными производными порядка п — 1 включительно.

Пусть матрица Г(х), заданная соотношениями (21), невырождена для всех ограниченных х.

Тогда для стабилизируемости замкнутой системы

у = А(х)у + Ъ(х)1* (х)у

достаточно выполнения условия

(в" — а* (х)<-1 Жх)? + ]3* (х)<-)1]3(х)(2^п(х) — а *(х)<-1а(х)) > 0,

где в(х) — вектор, составленный из первых п — 1 компонент вектора Ь(х), вп — его последняя компонента,, а(х) — вектор, соста,вленный из первых п — 1 компонент последней строки матрицы

<в1 = А(х)Н1 + Н1А * (х),

а.п (х) — последняя компонента этой строки, <о — постоянная отрицательно определенная матрица,, заданная соотношением (14).

Заключение. В полученных достаточных условиях стабилизируемости в большом для системы общего вида (3), (4), сформулированных в виде теоремы 2, остается открытым вопрос о выборе первой компоненты преобразованного вектора состояния. Условие невырожденности матрицы Г (х) —

F (x)

g*(x)

дх

д(р гг-

дх

г-А{х)

д

где tpi(x) = g*{x)x, <pi(x) = —tpi-iA(x)x для произвольного гладкого вектора д(х),

при g(x) = c = const сводится к условию наблюдаемости пары (c*,A(x)), т. е. условию невырожденности матрицы

c*L\(x)

c*Ln-

-i(x)

где Ъ (х) — матрица г-й производной Ли для системы (3). Таким образом, требования управляемости пары А(х),Ь(х) для решения задачи стабилизации нет, оно заменено требованием (19). Отметим отсутствие требования диффеоморфизма, которое имеет место в работах [2-5].

Summary

I. E. Zuber. Quasi-canonical transformations and stabilizability of nonlinear systems.

Nonlinear systems with object matrix in Frobenious form are considered. Sufficient conditions of stabilizability for such systems and obvious form of stabilizing control are defined. Sufficient conditions of existence and an obvious form of similarity transformation which transfer a nonlinear system into indicated form are defined.

Литература

1. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967, 224с.

2. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, London, Paris,

1989.

3. Khalil H. Nonlinear systems. Prentiss Hall: Jersey, 1996.

4. Zak S.H., Maccarley C. A. State-feedback control of nonlinear systems // Int. J. Control,

1986. Vol. 43. N 5. P. 1497-1514.

5. Watanabe K., Himmelblaw D. A new method to design feedback controllers for nonlinear systems // Int. J. Control. 1982. Vol. 36. N 5. P. 857-865.

6. Дубров А. М., Зубер И. Е. Стабилизация нелинейного объекта, представимого последовательным соединением нелинейных одномерных звеньев // Автоматика и телемеханика. 1986, №2. С. 156-159.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

Статья поступила в редакцию 29 марта 2005 г.