Терминальное управлениедля нестационарных дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.376.54 И. Е. Зубер

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 2 (№9)

ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ1

Для нестационарных дискретных линейных систем определяются условия существования и явный вид терминального управления обратной связью по состоянию.

1. Введение. Решение задачи терминального управления известно для линейных стационарных систем и для очень узкого класса нестационарных систем. Полученные решения этой задачи, как правило, представлены программным управлением. В предлагаемой статье приводятся достаточные условия существования и явный вид терминального управления обратной связью по состоянию для линейных нестационарных дискретных систем.

2. Постановка и решение задачи синтеза терминального управления обратной связью по состоянию для линейных стационарных дискретных систем.

Рассматривается линейная стационарная дискретная система управления

хк+1 = Лхк + Ъпк

хо,

хк е М" к = 0,1,...

Пара (Л, Ъ) задана.

Задача — сформировать скалярное управление обратной связью по состоянию

4=

Пк = в Хк,

при котором для решения замкнутой системы

Хк+1 = Охк, О = Л + Ъв* и заданных т, т ^ п, г выполняется условие

(1)

(2)

(3)

(4)

Рассмотрим решение поставленной задачи. Проведем хорошо известное преобразование подобия [1]

у = Т0х, То = ББ,

(5)

где Б — матрица управляемости системы (1),

Б = (Ъ, ЛЪ,...,Л"-1Ъ)

Б:

1

«1

00 00

а-п-1 «и-2 ... «1 1

1 Работа выполнена пpи поддеpжке РФФИ (проект №02-01-00542) и гранта №00-15-96028 Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ. © И. Е. Зубер, 2003

х

г.

т

ai — коэффициенты характеристического многочлена матрицы A. Тогда матрица объекта преобразованной системы (1) A = T0AT-1 есть матрица Фробениуса с последней строкой (an_i ...ai 1)*, вектор распределения управления преобразованной системы Tob есть последний единичный орт, т.е. матрица замкнутой преобразованной системы

yfc+i = D yk,

(6)

D = A + bS*

есть матрица Фробениуса независимо от выбора вектора

—* 4= ГТ1

s = s To.

Будем полагать, что собственные значения матрицы D, т. е. собственные значения матрицы D, различны, Лi(D) = Лj(D), i = j. Тогда матрица D имеет спектральное разложение [2]

D = СЛН *, (7)

тогда С = ||di,..., dn|| — матрица собственных векторов матрицы D, отвечающих собственным числам Л^ т. е. di = (1, Л^ ..., Л"-1)*,

Л = diag^i,... ,ЛП).

Н = ||gi,..., gn||, gi — собственные векторы матрицы D*, отвечающие собственным числам Л^ т.е.

Н * = С-i.

Таким образом, матрица D полностью задается выбором своего спектра. Перепишем терминальное условие (4) для системы (6):

Ут = Tor = s. (8)

Тогда r = Dmy0, где y0 = T0x0. В силу (7) имеем

n

r = £ Лт^д*У0, (9)

i=i

т. е. ei = д*У0 — i-я координата вектора y0 в базисе из di,... ,dn,

n

Уо = ^2 fiidi. i=i

Умножая (8) слева на д*, i = 1, п, получаем полиномиальную систему уравнений относительно Лт

Yi = g**s = \mg*yo = ЛтА, (10)

где Yi — i-я координата r в базисе из (ai,..., an).

Выписав в явном виде векторы д^, г = 1,п как функции от A j, j ^ г, получим систему полиномиальных уравнений, каждое решение которой, т.е. набор Л^ Лi = Лj при i = j обеспечивает выполнение терминального условия (4). Методом индукции проверяется

существование решения при то Js п, fy ^ 0 г = 1, п. Таким образом, справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть система (1) вполне управляема, вектор x0 есть вектор общего положения. Тогда существует и определяется уравнениями (10) набор собственных значений матрицы D .замкнутой системы, обеспечивающий выполнение терминального условия (4).

Перейдем теперь к постановке и решению задачи терминального управления для линейной нестационарной системы.

3. Задача. Определить условия существования и явный вид скалярного управления

Uk = SfcXfc, (12)

при котором для решения замкнутой системы

Xk+i = DkXk, Dk = Ak + bksk (13)

и заданных m, r выполняется терминальное условие (4).

Решение поставленной задачи проводится в два этапа. На первом этапе рассматривается система специального вида

zk+i = Ak z„ + e„sgu, Uk = SgZk, (14)

где en = (0,..., 0 1)g, A^ — матрица Фробениуса с последней функциональной строкой. Тогда решение задачи почти дословно повторяет решение той же задачи в стационарном случае. Собственные векторы матрицы Dk = Ak + ens0 имеют вид

(1Л,..., (Ak Г-1)0,

при ее собственных значениях Xk, г = 1,п, Хк ^ Хк для всех г, j, к. Собственные значения матрицы Dk можно сделать постоянными выбором вектора sk. Тогда матрица Dk = const. Таким образом, мы приходим к системе уравнений (10) для определения чисел Aj Aj = Aj, при которых выполняется условие (4) и к формированию модального управления (12), реализующего выбранный спектр матрицы D0.

На втором этапе рассматривается система (11) общего вида и производится формирование преобразования подобия

zk = Tk Xk, (15)

приводящего систему (11) к виду (14).

Система (1) после преобразования (15) принимает вид

zk+i = AkZk + bkUk, Uk = S*kzk, (16)

где Ak = Tk+iAkT—1, bk = Tk+ibk, = skTk-i.

Зададимся последовательностью векторов pk, k = 0, ±1, ±2,... и положим

z„ = (zi,...,zn)0, zi = pkxk, zj = Pk0-j LJkXk, (17)

j = l,n — 1, Lk— матрица оператора сдвига с шага к на шаг к — j в силу системы Xk+i = Ak Xk, т.е.

i

L = A--j • ... • A-— = П A--m. (18)

m=j

Тогда = , ] < п, т. е. матрица А имеет форму Фробениуса с первой функциональной строкой. Перейдем к определению последовательности рк из условия

Tfc+ibfc = ei = (1, 0 ... 0)*. Введем в рассмотрение «предисторию» системы (1), т.е. рассмотрим

(19)

i * zo = Ро x0,

zo = P-iLoxo,

z0 = p-n+1Lo x0, 1 * zi1 = p* 1x-1,

2 _ Г 1

z

1

= Р-2L11x-b

(20)

~n

z-1 1

n1

p-nL—1 x-b

z—n+1 = p-2—+2L-n+1x-n+1.

При этом предполагается, что Aj = Ao, bj = bo j ^ 0, т.е.

т m _ л —m

L-n+j = Ao

при j < n, n = 0, 1, 2,

Рассмотрим теперь матрицу преобразования (15), (17)

Tk

pk

pk- 1 Lk

Pk-n+1 Lk

Ln-1

Собирая уравнения (21), (22) при po, получаем p*Mo Ln-1bn-2). Аналогично получаем

p-1M-1 = e1,

(21)

(22)

e1, Mo = (bo,L1bo,L2b1,...,

p* j M-j = e1,

-j -j

M-1 = (bo, Lgbo, L2bo, L3b1,..., Ln-1Ь—-3),

M-j = (bo, L-j+1bo,..., LjboL1+1b1,..., Lnjn -j). Собирая уравнение (20) при p* j > 0, получаем

p*Mj = e1 Mj = (bj ,L1+1 bj+1,...,Ln^n-1bj+n-1). (23)

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. Пусть для системы (1) матрица Mj, j = —n, —n + 1,..., 0,1,... равномерно невырождена, т. е. 3Yj > 0 : | det Mj | ^ Yj > 0 для всех j. Тогда существует и

определяется формулами (18)-(23) преобразование подобия (15), переводящее матрицу ззамкнутой системы (1) в форму Фробениуса независимо от выбора вектора обратной связи.

Проведем теперь преобразование (15)-(18) для системы (1). Очевидно, преобразованная система с точностью до порядка переменных имеет вид (14).

Таким образом, терминальное условие (4) выполняется для преобразованной системы, если спектр матрицы замкнутой преобразованной системы удовлетворяет уравнениям (10). Следовательно, справедливо следующее утверждение:

Теорема 3. Пусть для системы (1) пара (Лд, Ьи) равномерно ограничена, и матрица Мд (21)-(23) равномерно невырождена. Тогда существует вектор обратной связи вп, обеспечивающий выполнение терминального условия (4) системе (1). Вектор определяется формулами

= вдТд, где вд = -Н1 I = (1,1,..., 1)*

Н * = С

-1

где С =

А1

п1

п Лп

1

Лг = Л^-, I = 3

Лг — выбранный спектр матрицы преобразованной системы, удовлетворяющей уравнениям (10).

Пример. Рассмотрим решение уравнений (10) для п = 2. Полагаем Хо = (2, 2)*, Х = (1,1)*, т = 2. Тогда собственные векторы матрицы замкнутой преобразованной системы имеют вид ¿1 = (1, Л1)*, ¿2 = (1,Л2)*, т.е. собственные векторы транспонированной матрицы имеют вид

91 = ~—92 = т——— (-Аь1).

Л2 - Л1

Л2 - Л1

Терминальные уравнения принимают вид

£*х = л2£1Хо , = Л2 хо,

5'

1

Л

п

1

откуда

Л2 - 1 = 2Л2(Л2 - Л1), Л1 - 1=2Л2(Л1 - 1),

т.е. А^ = = Полагаем Х\ = = И строим модальное управление,

реализующее выбранный спектр матрицы преобразованной замкнутой системы в виде Хд = -(1, 0)*, а затем строим вектор обратных связей исходной системы вд = ХдТд.

Отметим, что при т = 1 терминальные уравнения (10) для п = 2 решения не имеют, так как сводятся к требованию на соотношение между координатами векторов Х и Хо.

Заключение. Определены условия существования и явный вид вектора обратной связи по состоянию, обеспечивающий переход системы в заданное состояние за заданное число шагов т, т ^ п.

Уравнения (10), определяющие спектр матрицы преобразованной системы, обеспечивающий выполнение терминального условия, решаются, очевидно, неоднозначно, что позволяет ставить и решать задачи оптимизации. Синтез терминального управления обратной связью по состоянию можно заменить синтезом терминального управления

обратной связью по асимптотически устойчивому наблюдателю [3]. Полученное решение задачи терминального управления для линейных нестационарных дискретных систем задает подход к решению задачи управления автономным транспортным средством. В работе [4] иселедуется нестационарная линейная модель автономного транспортного средства, требуемая траектория которого может быть обеспечена решениями последовательности терминального управления для заданной последовательности опорных точек.

Summary

Zuber I.E. Terminal control for nonstationary descrete systems.

For linear time-varying discrete systems the conditions of existence and an explicit form of feedback terminal control are received. The solution is based on special similarity transformation.

Литература

1. Lee E.B., Markus L. Foundations of Optimal Control Theory. New York; London, 1967.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1966.

3. Зубер И.Е. Стабилизация нестационарных дискретных систем при управлении по выходу. Автоматика и телемеханика. 2002. №3. С. 35-47.

4. Зубер И.Е., Петрова К.Ю. Синтез регулятора для нестационарной модели автономного транспортного средства // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2001. №2. http: // www.neva.ru/journal

Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.