Синтез модального терминального управления для нестационарных дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.376.654 И. Е. Зубер

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 4 (№25)

СИНТЕЗ МОДАЛЬНОГО ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*

1. Введение. Решение задач терминального управления известно для линейных стационарных систем и для очень узкого класса систем нелинейных или нестационарных. Обычно это решение получается в виде программного управления. В работе [1] решение задачи синтеза терминального управления для линейных дискретных нестационарных систем сводится на базе преобразования подобия специального вида [2] к решению задачи синтеза терминального модального управления для линейной стационарной системы. При этом в [1] наложен ряд ограничений на задание начального и конечного состояний, в частности нулевые начальное и конечное состояния не допускаются. Кроме того, в [1] утверждается при выполнении определенных условий существование решения системы терминальных уравнений, но не указан способ ее решения.

Предлагаемая статья представляет собой продолжение [1], при этом за счет выбора модифицированного вида управления значительно ослаблены ограничения на задание начального и конечного состояний и задается способ решения системы терминальных уравнений. Определены достаточные условия существования терминального управления в виде требования отделимости от нуля детерминанта матрицы управляемости.

2. Постановка задачи и основные результаты.

Рассматривается система управления

xk+i = Ак хк + bkUk, xo = x0, (1)

где xk G 1" — вектор состояния системы в момент к, bk G К" — вектор распределения управления в момент к. xo G 1" — вектор начального состояния. Тройка Ak,bk,xo задана.

Допустимым предполагается управление вида

Uk = s*kxk + c, (2)

где sk — вектор обратной связи, c = const. Заданными предполагается вектор r и число m > n. Требуется определить вектор sk и число c так, чтобы выполнялось условие

xm = r• (3)

I. Решение поставленной задачи начнем с рассмотрения линейного стационарного случая.

Рассмотрим систему

xk+i = A°xxk + b°Uk, Uk = s0 *xk + c (4)

с терминальным условием xm = r, где пара (A0, b0) вполне управляема.

Произведем преобразование подобия [2]

y = T0x, T0 = BTi,

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 02-01-00542.

© И. Е. Зубер, 2003

где В — матрица управляемости (4),

1 о

а1 1 о

ап-1

.. 0 .. 0

.. а1 1

аг — коэффициенты характеристического полинома матрицы А0, ¿е^А0 — XI) = Хп + а1\п-1 + ... + ап.

Тогда матрица преобразованной системы А 0 = Т-1А0То имеет вид матрицы Фро-бениуса

' 0 10 ... о 0 0 1 0

А0

0 0

ап ап—1

... 0 1 ... а1

(5)

Ь0 = Т— 1Ь0 = (0,...,0,1)* = вв*п. Замкнутая преобразованная система (1), (2) имеет вид

уи+1 = В 0Ук + ¿0 = А0 + впИ0 где I0 * = *Т0,

т.е. В0 есть матрица Фробениуса,

7 =(0,...,0,с)*. Терминальное условие (3) приняло вид

Ут = Г = Т0 1Г.

Выпишем ут в силу системы (6):

1

Ут = Вт У0 + £ В0 Г

3=0

(6) (7)

(8)

(9)

(10)

Рассмотрим спектральное разложение [3] матрицы В0, соответствующее спектру Х1,..., Хп, Хг = Х3, % = у

п

В0 = ^2 Хг^д*,

г=1

где ¿г — правые собственные векторы матрицы В0, т.е. = (1,Хг,...,Хп )* [2], дг левые собственные векторы матрицы £>0. Тогда, согласно [4], векторы дг имеют вид

дз =

Рз

пп=з (X — Х3 у

где Рз = ^^-^пУ,

p" = (-1)"-\ p"-1 = (-i)"-2£

p1 = П Ai

из - 14=3-

т.е. компоненты вектора р) есть коэффициенты характеристического полинома f3 = Пг=з(А _ А»), а, следовательно, компоненты последней строки сопровождающей его матрицы Фробениуса порядка (п — 1) х (п — 1). Вернемся к терминальному условию (9), (10)

п— 1

г = П отуо + ^ £ о3 7 3=о

и умножим его слева на векторы рз, т.е. на левые собственные векторы матрицы По. Отсюда

т — 1

р*Г = \тр*уо +А)р*7- (12)

¿=о

Покажем теперь, что, полагая

А = А1 + ( — 1)5, А1 = А, (13)

можно найти решение системы терминальных уравнений (12). Пусть

Г = (Г1,•••,Гn)*, Уо = (у1,...,у'п)*.

Перепишем равенство (12) для

(14)

в виде

п—1 / п—1

pjУ0 + (-1)"-М А",0 ^ ^

i=1 \ i=0

p* ? =A" Е pj у0 + (-1)"-1 ( ""+^ Aj

Выберем c в виде

п

c = кЦ(Ai - 1). (15)

1

An

i=0 Aj

Тогда с учетом равенства ^гП—о А) = (АП — 1)/А — 1) имеем в силу (11) систему терминальных уравнений

p*F = А" П Ai • в + Pj (A, S, У0,к), (16)

i=j

где

в = у1 + ку", (17)

Pj — полином от A, S, y0, к, причем степень Pj по А меньше 2n - 1. Выберем теперь число к из условия

sign F1 = sign в. (18)

mn

Согласно [4], в предположении (13) векторы^-, j = 1, п, связаны соотношением

pi - (п - 1)p2 + (п - 1)рз - ••• (-1)" Р = ((-1)n-1,0,...,0)*(п - 1)!Sn-1.

Введем обозначения

n

Vj = p*r, Xj = А" П Л • в + Pj(Л, S, У0, к).

(20)

Тогда, очевидно,

Vi - (п - 1)V2 + ... (-1)n-1Vn = (-1)"_1(п - 1)! Sn-1h

(21)

или в силу (16)

X1 - (п - 1)X2 + ... (-1)n-1Xn = (-1)п-1(п - 1)! Sn-1n.

(22)

Отметим, что соотношения (19), а следовательно, (20) не зависят от у (номера терминального уравнения), и, следовательно, уравнение (22) эквивалентно системе (16). Перепишем равенство (22) в виде

л" П Л - (п - 1)An П Л + ... (-1)п-1Л" П М в + Pa = (-1)n-1(n - 1)! Sn-1n,

i=1 i=2 i=n J

где Р\ = Р1 — (п — 1)Р2 + ... ( — 1)п— 1Р\ (т.е. степень Р\ по X меньше 2п — 1), и будем с учетом равенства (13) рассматривать соотношение (23) как уравнение относительно X и 5. Покажем теперь, что уравнение (23) разрешимо относительно X при каждом заданном 5.

Перепишем уравнение (23) в виде

Тогда при Л > 0 sign F1 = sign A2n-1, т.е. f (Л, S) < 0. При Л = 0 f (Л, S) > 0. (Отметим, что Л = 0 не является корнем (23).) Таким образом, на интервале (0, ж) уравнение (23) имеет корневое значение Л = A(S) для любого значения S, удовлетворяющего условию (25). Аналогично убеждаемся в существовании корневого значения Л в предположении

(23)

(25)

S> 0, \Л\ » \S\, Л< 0.

(26) 37

Таким образом доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для любого 6 существует и решением степенного уравнения (23) определяется значение А = А^ при котором Л^ = Ах + (г — г = 1, п, представляет собой решение системы терминальных уравнений (16).

Следствие. Пусть А^ = Ах + (г — 1)6 — решение уравнений (16) для заданного 6. Тогда управление вида (2), где в — вектор обратной связи, обеспечивающей матрице £>о выбранный спектр г = 1,п, а с определяется формулами (15), (18), есть терминальное управление для системы (4).

II. Вернемся к рассмотрению нестационарной системы (1), (2) и ее терминальному условию (3). Предположим, что пара (Ак ,Ък) равномерно ограничена, и введем в рассмотрение преобразование подобия [1]

гк ТкХк,

(27)

где матрица Тк задана соотношениями

Тк

I*

1к

1* Т1

1к-1 Ьк

1 тп—1

1к-и+1^к

(28)

Здесь Ь\ — матрица оператора сдвига с шага к на шаг к — г в силу системы Хк+1 =

АкХк, т.е. Ьгк = П. соотношениями

А

1

т=1 к—т

а векторы I,, ] = к, ...,к — п +1, к = 0,1, 2 ..., заданы

И,

1*И, = е 1 = (1, 0,...,0)*, (Ъз ,Ь]+1Ъз+1,..., Ъ3+и-1) .

(29)

Тогда в предположении равномерной невырожденности матриц И, (] 0,1, 2,...), Тк ( к = 0,1, 2 ...) система (1), (2) преобразуется в систему

гк+1 = Ак Хк + еивз* +

(30)

где

Ак = Тк+1Ак Тк 1 =

с* = в* Т-1 ьк = вкТк .

0 1 0 0 0 1

0 0

ак ак 1

п п—1

... 0 0

... 0 1

Введем в рассмотрение матрицу

О к = Ак + епв*

При этом терминальное условие (3) при т = п примет вид

—п, . ..

Г = ТпГ = Хп.

и обратимся к уравнению относительно A и S, получаемому из уравнения (23) при замене матрицы преобразования T0 на матрицу Tk, т.е. при замене r на 3, У0 на Z0, в

на /3 = zQ + кz" :

A" П Ai - (n - 1)A" П Ai + ... + (-1)"-QA" П A I 3 + Pj = (-1)"-Q(n - 1)!S"—Q3i.

i=1 i=2 i=" J

3 (32)

Матрица Dk есть матрица Фробениуса, т.е. полностью задается своим спектром. Выберем спектр матрицы Dk в виде Л = (Aq, Aq + S,. ..,Aq + (n - 1)S), где Ai = Aq + ( - 1)S удовлетворяют уравнению (32). Тогда матрица Dk постоянная, а ее левые собственные векторы gi, i = 1, п, задаются соотношениями (11). Таким образом при выбранном спектре Л система (30) имеет вид системы (6) и терминальное условие (31) имеет вид терминального условия (9).

Строим управление (2), задавая число c соотношениями, получаемыми из (18) при замене r на 3, y0 на Z0, т.е.

sign 3q = sign 3. (33)

Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть пара .матриц (Ak,bk) равномерно ограничена и равномерно невырождены матрицы Mj, j = -n, . .., 0,1, 2 ..., Tk, к = 0,1,..., .заданные соотношениями (29) и (28) соответственно. Пусть числа Aj = Ai + (г — 1)(5; г = 1,п, удовлетворяют уравнению (32). Тогда терминальное управление, обеспечивающее выполнение условия (3), задается соотношением

* I

Uk = Sk xk + c

при

rp— 1

s

= 3k T—1, (34)

где вектор И'к задается решением системы уравнений

(Ак - \{1)~1еп = -1, г = 1,п,

а число с задано соотношениями (15), (33).

Рассмотрим теперь связь условий равномерной невырожденности матриц (28) и (29) с условием равномерной управляемости системы (1) (т.е. отделимости от нуля детерминанта матрицы управляемости системы (1) [2]).

Жк = (Ък ,Ек Ък,...,Е1—1Ък), (35)

где

Як = Ак!,

с! — оператор сдвига на один шаг назад, т.е.

Я Ък = Як (Як Ък ) = АкАк — 1 Ък — 2,

к—п+2

Я-к 1Ък = П А) Ък—п+1 •

3 = к

Введем в рассмотрение преобразование подобия

г = Ж— 1Хк. (36)

Тогда преобразованная система имеет вид

Ук+1 = АкУк +Ъкук, (37)

Акк = Ак Шк = Шк+1. (38)

Введя в рассмотрение тождество

получаем

и в силу равенства (38)

Ш—+11Шк+1 = (е1,е2,...,еп),

Ьк = е1 = (1,0,...,0)*, (39)

А к = (е2,ез,...,еп-1>п), где Кп = Ш-^Ъ к. (40)

Таким образом, преобразование (36) переводит систему (1) в систему с матрицей объекта в вертикальной форме Фробениуса с последним функциональным столбцом. При этом вектор распределения управления Ък переходит в первый единичный орт е1. В предположении равномерной управляемости системы (1) такое преобразование существует и приводит к единственному виду (37), (39), (40).

Как было указано, в предположениях равномерной невырожденности матриц (28), (29) система (1) единственным образом преобразуется в систему (30).

Сформируем матрицу управляемости системы (30). Согласно лемме 2 [4], матрица управляемости системы имеет вид треугольной матрицы, в которой выше второй диагонали, состоящей из единиц, расположены нулевые элементы. Поэтому

^ Ш1\ = 1.

Произведя преобразование

Ук = Ш—1г к,

приводим систему (30) единственным образом к системе с матрицей объекта в форме вертикальной матрицы Фробениуса с последним функциональным столбцом, вектор еп переводится при этом в е1. Таким образом, Ук = Ук, гк = у к = Ш-1хк, откуда в обозначениях (28)

Тк = Ш1Ш-1.

Итак, условия равномерной невырожденности матриц (28), (29), т.е. существования и единственности преобразования подобия, переводящего замкнутую систему (1), (2) в систему с матрицей Фробениуса, эквивалентны условию равномерной управляемости системы (1). Отсюда следует, что справедлива

Теорема 3. Пусть система (1) равномерно управляема. Пусть Л = (А1 ,...,Ап), А.I = А+(г —1)6, удовлетворяет уравнению (32). Тогда управление вида (2), .заданное соотношениями (34), где число с задано условиями (15), (33), обеспечивает выполнение терминального условия (3).

3. Заключение. Для линейной нестационарной дискретной системы определены достаточные условия существования терминального управления, которые совпадают с условием отделимости от нуля детерминанта матрицы управляемости.

Терминальное управление задается формулами (2), (34), где s'k — вектор обратной связи преобразованной (28) системы (30), соответствующий модальному управлению, обеспечивающему постоянной матрице замкнутой системы (30) спектр, удовлетворяющий уравнению (32).

Summary

Zuber I. E. The synthesis of modal terminal control for time-varying discrete systems.

For time-varying discrete linear systems the synthesis of terminal control is performed. Its sufficient conditions are identical to those of performing special similarity transformation for discrete time-varying systems.

Литература

1. Зубер И. Е. Терминальное управление для нестационарных дискретных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 2 (№9). С. 21-26.

2. Мироновский Л. А. Функциональная диагностика динамических систем. М., 1998.

3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1966.

4. Зубер И. Е. О некоторых свойствах матриц Фробениуса // Электронный журнал. Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2002. №4. http://www.neva.ru//journal//.

Статья поступила в редакцию 17 декабря 2002 г.