Инвариантная стабилизация нелинейных дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг

ИНВАРИАНТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*

1. Введение. Под инвариантностью понимается независимость выхода системы от внешнего возмущения. Первой работой по инвариантности была статья [1], которая явилась предметом оживленной дискуссии, описанной в книге [2]. Обзор исследований по теории инвариантности приведен в [3]. В большинстве работ по проблеме инвариантности изучались линейные системы (из последних работ упомянем [4-6]). Инвариантности нелинейных систем посвящено значительно меньше работ (см. обзор [3]), в которых использовались либо различные методы линеаризации, либо подходы, близкие к теории чувствительности. В [7] было построено инвариантное управление линейной нестационарной дискретной системой.

В предлагаемой статье инвариантное стабилизирующее управление синтезировано для нелинейной дискретной системы.

2. Постановка задачи. Рассматривается система

xk+1 = A(k,xk )xk + b1(k,xk )uk + b2(k,xk )vk + дфк, (1)

ak = c*xk, k = 0, 1, 2, . .., (2)

где A £ Rmxm, b1,b2,g,c £ Rm, uk,vk £ R1, g и c — постоянные столбцы, фк —про-

извольная ограниченная числовая последовательность, все величины вещественные. Предполагается, что эвклидовы нормы ||A(k,x)||, ||b1(k, x)||, ||b2(k,x)|| равномерно ограничены при всех k £ Z, x £ Rm.

Задача заключается в построении управлений uk и vk, обеспечивающих при любых xo выполнение условий

lim sup ||xk|| < Yo lim sup |ф^, Yo > 0 (3)

k—k—

и

ak+1 = ß&k (k = 0,1, 2,...), (4)

где ß — заданный ненулевой параметр, |в| < 1. Свойство (4) означает инвариантность

выхода ak по отношению к внешнему возмущению фk.

3. Формулировка результата. Введем обозначения: A(k, xk) = Ak, b1(k, xk) = bk, b2(k,xk) = bk. Подставив в равенство (4) выражения (1) и (2), получим соотношение

c*(Ak'xk + bk u + bkv + дф^ = ßc* xk.

Отсюда, предположив, что при всех k имеет место неравенство

c*bk = 0, (5)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00290 и 05-01-00238).

© И.Е.Зубер, А.Х.Гелиг, 2007

находим управление

'Ок = ~^7п{Рс*хк - С* Акхк - с*Ь\ик - с*дфк), (6)

с Ьк

при котором выполнено условие инвариантности (4).

Осталось выбрать управление пк таким образом, чтобы удовлетворить условию (3). После подстановки (6) система (1) примет вид

хк+1 Акхк + Ьк ик + дк Фкі (7)

где

Ак

Ьк

С

ы

Ь2

I -

С

к

^ъ1 ъг >Ьк

¥Ь2’

9к — д —

с*д

¥ЬЇ'

ук' ^ и к

Предположим, что матрица -Ак и столбец Ьк в системе (7) имеют вид

0 1 0 ■ . 0 РЇ

0 0 1 ■ . 0 $

Ак = , ък =

0 0 0 ■ . 1 РІ-і

а\ акк а3к ■ (ук т ¡зкт

Будем искать стабилизирующее управление ик в виде

ик вкхк ■

где в к — т-мерный столбец. Фиксируем числа 'уг, і — 1, ■ ■ ношению

0 <71 <72 < ■■■ <7т,

и рассмотрим функцию Ляпунова

Ук — х*к Нхк ■

(8)

■ т, удовлетворяющие соот-

(9)

(10)

где Н = diag{7l, ^2, ■ ■ ■, 7т}- Тогда приращение функции (10) в силу системы (7) примет вид

(11)

Здесь

Ук+1 — Ук — хк^кхк + тк ■ Lk = Як + вк /¡І + !квк + вкЬк НЬк вк ■ Як — Ак НАк - Н, /к — Ак НЬк, тк — 2фкдк(НАк хк + Ьквкхк)+ gkHgkФ2■

Положим

вк — —

/к

ЬкНЬк

(12)

=1=

=1=

С

С

Тогда матрица Ь* примет вид

Ьк = Як~ ■ (13)

к Чк ъ*кнък у ’

Нашей дальнейшей целью является установление отрицательной определенности матрицы Ьк, при этом рассуждения будут основаны на предположении о доминировании

вт над остальными элементами столбца Ьк- Обозначим через Ьк т-мерный столбец, в который превращается Ьк при вт = 0, то есть Ьк = Ьк — в**,ет, где ет —последний единичный орт. Тогда /* = вт А**Нет + А* НЬк и справедлива формула

/кП = (вт )2мм *+вкп N+р, (14)

где м = А* Нет, N = мъ* НА* + А* НЪ*М *, Р = А* НЪф* НА*.

Предположим, что существует такое к > 0, что при всех к имеет место неравенство

ИМ < К1вкт1- (15)

Поскольку Ь*к НЬк < 7т(ИЬкИ2 + (вт )2), из (13)-(15) следует оценка

Ьк < В — В, (16)

где В = Як-----------±—ММ*, П = -^—{[Зк^ + Р).

7т(1 + к2) Ь*к НЬк

Обозначим через ак столбец с элементами а*,..., о^, то есть а* = (ак,... ,0.^)-

Тогда М = 7так и справедливо выражение

ММ * = 0*0* . (17)

Легко убедиться, что матрица Як имеет вид

Як = 1т ОкОк — diag{7l,72 — 11, ...,1т — 1т-1}.

Отсюда в силу (17) вытекает представление

к2

В = —(^{71, 72 - 7ъ • • •, 7т - 7т—1} + ---пака*к. (18)

1 + к2

Оценим теперь И В И - Очевидны следующие неравенства:

им и< 1т\\ак и, и N и< 27т КИ \\Ак\\ им,

ир ниА^т им2, 7т(вт)2 < ь**нь*.

Поэтому справедливо соотношение

иви <

27т 1вт1 иаки и^4ки им + ца*^ иь*и2

1т (Д

к )2 т

Отсюда в силу (15) вытекает оценка

ИВИ < к^т$1, (19)

где $1 = вир(2$2 + к||А*||)||Ак И, $2 = вир ||а*И-кк Введем обозначение 7 = шш{71, 72 — ^1,..., 7т — 7т-1}- Тогда в силу (16), (18), (19) справедливо соотношение

х*Ь*х* < —(7 — ^х*, (20)

где

к2 $2

V = ^тЬх + ——

1 + к2

Оценим выражение тк следующим образом:

|т*|< 2|ф*| |Ы| ИНА* + Ь*в*И Их*И + 1тИ9кИ2'Ф2к < М||хк||2 + $3ГФ*,

где

бз = — вир ||б'А;||2(7г« + ||НАк +Ьк8*кII2),

М к

М — положительный параметр, который будет выбран ниже- Из полученного неравенства, формул (11) и (20) вытекает оценка

У*+1 — V* < —(7 — у — М)Их*||2 + $3'Ф^. (21)

Пусть к столь мало, что выполнено неравенство

V <^- (22)

Выбираем параметр м из условия

0 < м <1 — V. (23)

Тогда из (21) следует соотношение

У*+1 < $У* + $з'фк, (24)

^ — V — м

где ¿=1----------------. Пусть ц помимо (23) удовлетворяет неравенству

^т

М>1 — V — 2^т.

Тогда будет выполнена оценка

|$| < 1. (25)

Из рекуррентного соотношения (24) вытекает неравенство

К < $”^о + $3£п, (26)

где

Си = $П 1ф2 + $П 2ф2 + ... + $*фП-1-к + $* 1фп-к + ... + $фи-2 + фП-1.

Оценим следующим образом:

Си < Sk(Sn-1-k + ... + S + 1)sup+ (1 + S + ... + Sk-1) sup <

i>0 i>n-k

Sk ,2 1 ,2

< i----7 sup^i + ------- sup V’i •

1 — S i>0 1 — S i>n-k

Теперь по любому £ > 0 выберем к столь большим, чтобы выполнялось неравенство

Sk

S2 ------ sup^ < е.

1 - S i>0

Затем возьмем N столь большим, чтобы при n > N имела место оценка

1 2 1 2

--- sup V’i < -л----7 lim supV>fc + e.

1 — S i>n-k 1 — S k—tt

Тогда при n > N из (26) вытекает неравенство

Vn < 5п\о + 263е + Ц lim supV^.

1 — S k—— tt

Отсюда в силу произвольности £ следует оценка

S3 2

lim supV^ < -------- lim sup-0„,

n—— tt 1 — S n—— tt

из которой вытекает свойство (3). Таким образом, получен следующий результат.

Теорема. Предположим, что управления Uk и Vk определены формулами (6), (8), (12) и выполнены условия (5), (15). Тогда любое решение системы (1), (2) обладает свойствами (3), (4).

Summary

I. E. Zuber, A. H. Gelig. Invariant stabilization of nonlinear discrete systems.

The nonlinear discrete system with outer action is considered. Two-dimensional control is formed which provides an invariant stabilization of closed-loop system.

Литература

1. Щипаное Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. №1. С. 4-37.

2. Левина З. М., Левин В. И. Г. В. Щипанов и теория инвариантности. М.: Физматлит, 2004.

3. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. №2. С. 3-13. 1985. №2. С. 3-14. №6. С. 3-14.

4. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания // ДАН СССР. 1995. Т. 343. №2. С. 172-175.

5. Якубович В. А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия // Докл. РАН. 2001. Т. 380. №1. С. 25-30.

6. Якубович В. А., Проскурников А. В. Задача об инвариантности системы управления // Докл. РАН. 2003. Т. 389. №6. С. 742-746.

7. Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Инвариантная стабилизация дискретных нестационарных систем с внешним воздействием // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2006.

Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.