CC BY
35
А. Х. Гелиг, И. Е. Зубер
СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ*
1. Введение
Если проблеме стабилизации непрерывных нелинейных систем посвящена обширная литература (см. обзор [1]), то аналогичная проблема для дискретных нелинейных систем изучена значительно меньше. В [2] для общего вида таких систем развита теория стабилизации на языке существования соответствующих функций Ляпунова, однако задача построения этих функций до сих пор осталась актуальной. В [3] рассматривалась нелинейная дискретная система с векторным управлением. Для заданной функции Ляпунова в виде квадратичной формы с постоянной матрицей были получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости и явный вид стабилизирующего управления. В [4-6] задача синтеза стабилизирущих управлений для нелинейных дискретных систем решалась с помощью различных видов линеаризаций рассматриваемой системы.
В предлагаемой статье предложено решение этой задачи для систем, описываемых уравнением
хи+1 = Л(к,хк-ь )хк + Ъ(к,хк~ь )и, (1)
где А — непрерывная т х т-матрица-функция, Ъ — непрерывный т-мерный столбец-функция, и — скалярная величина, к = 0,1, 2,...; хк = хо при к < 0; I ^ 0
Задача стабилизации системы (1) заключается в построении такой функции и = и(к, хк,хк-1,... ,хк—1—т), при которой система (1) становится экспоненциально устойчивой в целом. Ниже будут изложены два подхода к решению этой задачи. Первый (модальный) основан на приведении матрицы А к форме Фробениуса с нижней функциональной строкой, столбца Ъ — к последнему единичному орту и последующем выборе управления таким образом, чтобы замкнутая система стала линейной и асимптотически устойчивой. Однако если в уравнении (1) I = 0, то такой подход приводит к управлению ик, зависящему от х^ при г > к, и, следовательно, практически нереализуемому. Ниже мы определим минимальное I, при котором будет построено модальное стабилизирующее управление ик. Второй подход, основанный на построении специальной функции Ляпунова, позволил синтезировать стабилизирующее управление при любом I ^ 0.
2. Модальная стабилизация
Для удобства дальнейших выкладок воспользуемся обозначениями:
А(к, хк—1 )= Ак, Ъ(к,хк—ь) = Ък.
Введем новые координаты у\,..., у™ следующим образом. Положим
Ук = Ркхк ,
В силу системы (1) справедливо равенство
у&+1 рк+1(Ак хк + Ъкик').
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №05-01-00290 и №05-01-00238).
© А.Х.Гелиг, И.Е.Зубер, 2006
Положим y\ = pk+iAkxk и pk+ibk = 0. Тогда в силу системы (1) справедливо равенство
ук+1 pk+k Ak + 1(Ak xk + bk uk)*
Положим yf+i = pk+kAk+iAkxk и pk+kAk+ibk = 0. Продолжая этот процесс, получим соотношения
yk = pk+m-kAk+m-3 • • • Akxki
yk+i = pk+m-i Ak+m-k • • • Ak+i (Akxk + bkuk ) •
Положив yk = pk+m-i Ak+m-k • • •AkXk и pk+m-iAk+m-k • • •Ak+ibk = 0, приходим к уравнению для yk^:
yk+i = pk+mAk+m-i • • • Ak + i(Akxk + bkuk)•
Положим теперь pk+m Ak+m-i • • •Ak + ibk = 1. В результате получим систему
у1+i = у1+1 (i = 1,-,m-1), (2)
m ___ | ( )
yk+i — ^k + uki
где &k = pk+mAk+m-i • • • AkXk при условии, что строка pk удовлетворяет уравнениям
pk+ibk = 0, (Ci)
pk+kAk+ibk = 0, (Ck)
pk+m-iAk+m-k • • • Ak + ibk = ° (Cm-i)
pk+mAk+m-i • • • Ak+i bk = 1 (Cm )
Заменяя в уравнении (Cj) к на к — i, приходим к системе
pk bk-i = 0, pk Ak-i bk-k = 0,
pk Ak-i • • • Ak + 1 — (m—1) bk-(m-1) 0,
pk Ak-1 • • • Ak + 1-mbk-m = 1,
которую можно записать в виде
pk Wk-i = ekn, (3)
где
W'k \\bk,Akbk — 1, • • • , Ak • • • Ak-(m-k) bk-(m-1) У •
Предположим теперь, что при всех к матрица Wk невырождена:
inf | det Wk | > 0 • (4)
k
Тогда из (3) следует формула
em W k— 1
pk = e*mW-}v (5)
67
Фиксируем полином эт(А) = Ат — ртАт 1 — ... — рь все корни которого лежат внутри единичного круга, и положим в системе (2)
ик = Р1у1 + ... + РтУ™ — шк . (6)
Тогда система (2) примет вид
Ук+1 = Рук (к = 0,1, 2,...),
где у к = (Ук,...,Ут)*, а Р — постоянная матрица Фробениуса с характеристическим полиномом эт(А) и, следовательно, устойчивая по Шуру. Поэтому существует 6 € (0,1), при котором справедлива оценка
\Ы\ < 6к||уо||. (7)
Найдем условия, при которых из (7) следует экспоненциальная устойчивость в целом системы (1). Введенные выше величины у1к (г = 1,..., т) удовлетворяют соотношениям
ук ркхк ,ук рк+1Ак хк ,...,ук рк+т-1Ак+т-к . . .Ак хк. (8)
Убедимся, что преобразование (8) неособое. С этой целью обозначим через Як матрицу этого преобразования и рассмотрим матрицу $ = Кк+гШк. Легко видеть, что в силу соотношений (С\),...(Ст) элементы зг- (1 ^ г, ] ^ т) матрицы $ обладают свойством: зг,г = 1, при г = 1,...,т, зг- = 0 при г < ], то есть стоящие на побочной диагонали элементы равны единице, а элементы, стоящие выше нее, равны нулю. В силу (4) преобразование (8) неособенное и имеет место неравенство
Ш \ det Ек \ > 0, (9)
к
поскольку det $ = det Як+1 det Шк. Если предположить справедливость оценки
8ир(||Ак|| + \\Ьк\\ < ж, (10)
к
то из (7), (9) вытекает экспоненциальная устойчивость в целом системы (1).
Выясним теперь, при каком I в уравнении (1) построенное управление ик не будет зависеть от хг при г > к. Пусть некоторая величина зависит от хч, хч+1,..., хч+г. Назовем индексом I этой величины число ц + г. Например, I(Ак) = I(Ьк) = к — I. Очевидно, что I (у\) < I (ук) при г = 1, 2,...,т — 1, I (Ак+т-к) = к + т — 2 — I, I(Шк) = к — I, и, следовательно, I(ук) = шах{!(рк+т-^^ (Ак+т-к)} = к + т — 1 — I, I(шк) = max{I(pk+m),I(Ak+m-l)} = к + т — 1 — I. Таким образом, согласно (6) I(ик) = к + т — 1 — I ^ к при I ^ т — 1. Сформулируем полученный результат.
Теорема 1. Пусть в системе (1) I ^ т — 1, выполнены свойства (4), (10) и управление ик определяется по формуле (6). Тогда система (1) экспоненциально устойчива в целом.
3. Стабилизация с помощью функции Ляпунова
Если в системе (1) матрица А является матрицей Фробениуса с последней функциональной строкой, то эту систему можно стабилизировать при любых I ^ 0, если использовать специальную функцию Ляпунова.
Итак, рассмотрим систему (1) в предположении что матрица Лк и столбец Ьк имеют
вид
Ль
0 1 0 • 0
0 0 1 • 0
0 0 0 • 1
ak ak ak • ak m
ek
ek
, bk =
em-1
em
Будем искать стабилизирующее управление uk в виде
uk SьXfc ,
(11)
где Эк — т-мерный столбец. Фиксируем числа ^ = 1,...,т, удовлетворяющие соотношению
0 <71 <72 < ■■■ <7т, (12)
и рассмотрим функцию Ляпунова
Vk = xk Hxk
(13)
где Н = diag{7l, 72,..., 7т}- Тогда приращение функции (13) в силу системы (1) примет вид
Ук+1 — Ук = хк Ькхк . (14)
Здесь
Положим
Lk = Qk + sk f* + fksk + sk bkHbksk, Qk = A% HAk - H, fk = A% Hbk.
sk = -
fk
bk Hbk
Тогда матрица Lk примет вид
Lk = Qk -
AIL
ъ*кнък'
(15)
(16)
Нашей дальнейшей целью является установление отрицательной определенности матрицы Ьк, при этом рассуждения будут основаны на предположении о доминировании вт над остальными элементами столбца Ьк- Обозначим через Ьк т-мерный столбец, в который превращается Ьк при вт = 0, то есть Ьк = Ьк — втет, где ет — последний единичный орт. Тогда /к = втЛ*к Нет + Лк НЬк и справедлива формула
fkfk = (вт )2mm*+em n+р,
(17)
где M = AkHem, N = Mb*kHAk + A\HbkM*, P = A*kHbkb*kHAk.
Предположим, что существует такое ж > 0, что при всех к имеет место неравенство
ini < ж\@т\.
(18)
Поскольку Ь*кНЬк < 7т(\\Ьк\\2 + (вт)2), из (16)—(18) следует оценка
Ьк ^ В — О, (19)
гда в=«* - да?)™’ с+Р)
Обозначим через ак столбец с элементами ак,...,акт, то есть ак = (ак,...,акт)-Тогда М = 7так и справедливо выражение
ММ* = ак а*к. (20)
Легко убедиться, что матрица Qk имеет вид
Як = 1т ака*к — dІag{Yl, 12 — Ц,...,1т — 1т-\}.
Отсюда в силу (20) вытекает представление
ж2
В = —(^{71,72 - 71, • • - ,7т - 7т—1} + 2акак- (21)
1 + ж
Оценим теперь ||О||- Очевидны следующие неравенства: \\М|| ^ 7т||ак||, ||Ж|| ^
27т 1|ак||||Лк||||Ьк||, ||Р|| < ЦЛкЦ^Ц’Ък^^^'т, 1т(вт)2 < Ь\НЬк- Поэтому справедливо соотношение
„ п|| . 271|^||Ий||||ай|||Гбй|| + |Ий||271||6й||2
" " " 1М,)2 '
Отсюда в силу (18) вытекает оценка
||О|| < ж^та1, (22)
где а1 = эирк(2а2 + ж||Лк||)||Лк||, а2 = эирк ||ак||-
Введем обозначение: ц = ш1п{71, 72 — 11,..., 1т — 1т-1}- Тогда в силу (19), (21), (22) справедливо соотношение
Х*к Ьк хк ^ —(И — и)хк 2 , (23)
где
ж2 а2
^ = Ж7т«1 + '
Предположим, что выполнено неравенство
V < ц. (24)
В силу (12) 7т является максимальным собственным числом матрицы Н. Поэтому из (14), (23) вытекает оценка
Цк + 1 ^ ёЦк , (25)
где (5=1 — —------ < 1 ввиду предположения (24). Если 3 ^ 0, то из (25) следует, что
'Ут
VI = 0, то есть Хк за один такт попадет в состояние равновесия. При 0 < ё < 1 из (25) вытекает оценка
^к < ёкЦ,,
из которой следует экспоненциальная устойчивость в целом системы (1). Таким образом, получен следующий результат.
Теорема 2. Если управление Uk определяется формулами (11), (15) и выполнены условия (10), (12), (18), (24), то система (1) экспоненциально устойчива в целом.
Замечание. Если матрицы Ak в ситеме (1) не имеют форму Фробениуса с функциональной нижней строкой, то сделав преобразование (8), мы придем к системе, в которой соответствующая матрица является матрицей Фробениуса с функциональной нижней строкой. При этом строки pk,pk+i, .. . ,Pk+m-i могут выбираться произвольно с одним лишь ограничением: должно выполняться свойство невырожденности (9).
Summary
A. Kh. Gelig, I. E. Zuber. Stabilization of nonlinear discrete systems with delay.
The problem of synthesis of stabilizing control is solved for a nonlinear discrete system with delay.
Литература
1. Голубев А.Е., Крищенко А. П., Ткачев С. Б. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем // Автоматика и телемеханика. 2005. №7. С. 3-42.
2. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез ситем атоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука. 1977. 397 с.
3. Зубер И. Е., Якубович Е. Д. О модальном подходе к стабилизации дискретных нелинейных систем управления // Известия ВУЗ, 1989. №11. С. 35-37.
4. Бунич А. Л., Бухтадзе Н.Н. Синтез и применение дискретных систем управления с идентификатором. М.: Наука. 2002. 272 с.
5. Бунич А. Л. О некоторых нестандартных задачах синтеза дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 2002. №1. C. 19-29.
6. Вишняков А. Н., Поляк Б. Г. Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2000. №9. С. 112-119.
Статья поступила в редакцию 20 февраля 2006 г.
