CC BY
11
УДК 517.938 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 4 МБС 39А30
Синтез стабилизирующих управлений по выходам для некоторого класса непрерывных и импульсных неопределенных систем*
И. Е. Зубер1, А. Х. Гелиг2
1 Институт проблем машиноведения РАН,
Российская Федерация, 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В. О., 61
2 Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Синтез стабилизирующих управлений по выходам для некоторого класса непрерывных и импульсных неопределенных систем // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 4. С. 597-605. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.405
Рассматривается система: х 1 = ^1(-) + р1Х1+1,... хт = <рт(-) + ртхп, гхт+1 = + и1г... Хп = фп(-) + иг, где х1,...,хп — состояние системы, и1,...,П1 — управления, т = те — у не является целым числом и / > 2. Предполагается, что доступны измерению лишь выходы х1,...,х1 (I < те). Функции являются неупре-ждающими функционалами произвольной природы, а р1 = р1(1,х1,...,х{), причем 0 < р- < рг(^,х1,... ,х{) < р+. С помощью метода backstepping строится квадратичная функция Ляпунова и синтезируются управления, при которых замкнутая система становится глобально экспоненциально устойчивой. Рассмотрена также стабилизация с помощью синхронных модуляторов при достаточно высокой частоте импульсации.
Ключевые слова: неопределенные системы, стабилизация по выходам, глобальная экспоненциальная устойчивость.
1. Введение. В [1-3] с помощью аналитических методов было построено стабилизирующее управление по скалярному выходу для систем, матрица которых содержит неопределенные элементы, расположенные ниже первой наддиагонали, состоящей из единичных элементов. В [4] были построены стабилизирующие как непрерывные, так и импульсные управления по двумерному выходу для неопределенных систем с единичной второй наддиагональю. В [5] были синтезированы непрерывные и импульсные управления по /-мерному выходу для неопределенных систем с единичной 1-й наддиагональю. В предлагаемой статье рассматриваются неопределенные системы, у которых 1-я наддиагональ состоит из знакоопределенных элементов, являющихся функциями от времени и наблюдаемых координат. С помощью построения функций Ляпунова методом Ъаскв1ерр1^ получены стабилизирующие как непрерывные, так и импульсные управления по /-мерному выходу.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 17-01-00102а). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018
2. Постановка задачи. Рассматривается система
Х1 = <£>1 (■) + Р1Х1+1,
& т + ртХп^
•Ё т+1 = ¥>т+1(-) + и1,
- щ,
где х\,... ,хп — состояние системы, и\,... ,щ —управления, то = п — I, у не является целым числом и I > 2. Предполагается, что доступны измерению лишь выходы Х1,Х1 (I < п). В (1) — неупреждающие функционалы произвольной природы, удовлетворяющие условиям
< С(\Х1 \ +
< С(\Х1 \ +
< С(\Х1 \ +
< С(\Х1 \ +
+ |ж;|), г € 1,1,
+ \Х2(\), г е 1+1,21,
(2)
+ \хр11), ге{р-1)1,р1, + \х„-1\), гер1 + 1,п,
где п = р1 + т, < т < I, с — постоянная. В (1) р^ = р^(Ь,Х1,...,Х1), причем
0 < Р- < Рг(Ь,Х1 ,...,Хь) < р+, (3)
где р-, р+ — известные константы. Ставится задача синтеза непрерывных и импульсных управлений п1,...,п\, при которых замкнутая система становится глобально асимптотически устойчивой.
3. Непрерывное управление. Обозначим через Х^ (г = 1,...,п) координаты наблюдателя и введем ошибки наблюдения
£г =
где Л ^ 1, а величины ^ определяются формулой
Ш-1 + 1 = Ч1к-1+2 = ... = Ч1к = к — 1,
к = 1,22,....
то есть = ... = д1 = 0, = ... = = 1 и т.д. Выберем управления п2,...,п1 по формулам
щ = Х^+т+1хн, г е 277, и определим следующие уравнения наблюдателя:
(4)
(5)
, П1
(6)
ХН = Ащ + + РгХг+1 (г € 1
Хт+1 = Л<1т+1 + 1а„+1ЛХ1 + П1,
Хт+г — Л^т+г ат+1,1 Х1
(7)
Л^т+'+1ат+ц х-1 + щ
(ге2,1).
Здесь ак,1 —элементы матрицы А, у которой первый столбец состоит из элементов ак,1, 1-я наддиагональ состоит из элементов р1,... ,рт, (т + 1)-я поддиагональ состоит из элементов ат+1,1,1,..., 1. Остальные элементы матрицы нулевые.
п
Легко проверить, что вектор е с координатами е\,...,еп удовлетворяет уравнению
е = ХАе + Ь + г, (8)
где Ьг = —Аах^жх, = Ь® и —координаты векторов Ь и г.
Найдем постоянную и положительно определенную матрицу Н, удовлетворяющую неравенству
А*Н + НА < —I, (9)
где ^ > 0, I — единичная матрица, * — знак транспонирования (все величины вещественные). Представим матрицу А в следующем виде:
А = Q + М,
где Q получается из А при рх = ... = рт = 1. У матрицы М 1-я наддиаго-наль состоит из элементов Рг — 1 (г € 1,т), все остальные ее элементы равны нулю. Очевидно, что Q = Ао + вв*, где в* = (1,0,...,0), в* = («1,1 — 1, «2,1,..., ат,1, ат+1,1, ат+2,1,..., ап,1). Матрица А0 имеет следующий вид. У первого столбца первый и (т + 1)-й элементы равны 1, остальные элементы нулевые; 1-я наддиагональ и т-я поддиагональ состоят из единиц.
Рассмотрим матрицу Q* = А* + в1в*. Пара (А*,в1) управляемая, поскольку у ёе!(в1, А*в1,..., (А0)п-1 в1) каждый столбец отличается от предыдущего наличием еще одного ненулевого элемента и, следовательно, все его столбцы линейно независимы. Выберем различные числа Хп < Хп-1 < ... < Х1 < 0, отделимые от спектра матрицы А*, и определим в из системы уравнений
в*¿г = -1, i е Т~п, (10)
где ¿г = (А* — Хг1 )-1в1. Разрешимость этой системы вытекает из управляемости пары (А*,в1) [6]. Покажем, что Хг являются собственными числами матрицы Q*. Рассмотрим равенство Q* — Хг1 = М(А* — Хг1), где М = в1в*(А0 — Хг1)-1 + I. Поскольку ёе1(А0 — Хг1) = 0, то достаточно убедиться в справедливости равенства ёе! М = 0, которое вытекает из соотношения Мв1 = 0. Рассмотрим спектральное разложение матрицы Q*:
п
Q* = £
1=1
где
^ = {£!=% (11)
¿4 — собственные векторы матрицы Q*, дг — собственные векторы матрицы Q, и положим
Н = £ ЗцЗ*. (12)
1=1
п
Очевидно, что Н > 0, поскольку х*Нх = ^(¿г,х)2 > 0 при х = 0 ввиду линейной
г=1
независимости векторов Из (11) следуют соотношения
п п п
Q*H = 53 ХгЛгд*^2 ¿3¿* = ^ ХгЗ,гЗ,*.
г=1 3=1 г=1
Поэтому в силу (12) получим
п
д*Н + Нд = 2^\idid* < 2А1 н. (13)
i=1
Оценим В = М*Н + НМ. Положим Н = Р2, где Р = Р*. Очевидно соотношение
Р-1ВР = Р-1М *Р + РМР-1.
Обозначим через |1-|| спектральную норму матрицы. Тогда справедливы неравенства
\\Р-1М*Р|| < 11Р-11111М*||||Р||, 11РМР-111 < 11Р1111М||||Р-1||.
Поскольку \\Р~1\\ = р^, то \\Р-1БР-1\\ < 2||М||. У матрицы М*М на диагонали стоят элементы (1— Рг)2, остальные элементы равны нулю. Поэтому ||М|| = тах 11 —
ри\. Из (3) следует оценка ЦМ|| < 1 + р+. Следовательно, имеем -1ВР-1|| < 2(1 + р+) и Р-1ВР-1 < 2(1 + р+)1. Из последнего неравенства вытекает оценка В < 2(1 + Р+)Н. Учитывая (13), приходим к соотношению А*Н + НА < 2(А1 + 1+ р+)Н. Выбрав А1 = —р+ — 1.5, получаем оценку А*Н + НА < —Н, из которой в силу неравенства Рэлея следует формула
А*Н + НА < —р-1, (14)
где — минимальное собственное число матрицы Н. Итак, доказано, что матрица (12) удовлетворяет неравенству (9).
Рассмотрим функцию Ляпунова Уо = ке* Не, где к — положительная константа. В [5] было показано, что ввиду свойства (2) для ее производной, взятой в силу системы (8), справедлива оценка
Уо < —АвоИ2 + ко,1 Ах2 + ко,яЯ, (15)
где
п
к- ^
А2» '
п2
д = (16)
к=2
во пропорциональна к, а к^ здесь и далее — абсолютные константы, не зависящие от А.
Введем обозначение £1 = х\ и рассмотрим функцию Ляпунова У\ = Уо + Очевидно, что
V = Уо+аа. (17)
В силу (1) и (4) имеет место соотношение
£1 = ¥>1 + Р1(хг+1 + Ае+1). (18)
Положим
£2 = хг+1 + Ав1^1, где в1 > 0. (19)
Тогда
£16 = £1^1 + Р1(£1 £2 — Ав1£2 + А£1 е,+1). (20)
Очевидно неравенство С1У1 < С2 + у2. В силу (2) справедлива оценка
У < с(е2 + Ех22 + \е\2). (21)
2
Воспользовавшись свойством (3), получаем соотношения
Р1Ы2 < < р-\
-АР1/З1Й < -А/З1Й, А = Р1 тдп(р1,1).
Из (15), (17), (20), (22) вытекает оценка
(22)
_ р1
< -А(/30 - ^од)|е|2 - А(/?1 - + ^ + (23)
Введем последовательности
'к = к1 +1(тоа п) (к = 1, 2,...), (24)
] гй, если ]к+1 = ' + I < п,
тк+1 = \ __(25)
[ тк + Чзк + 1, если ]к+1> П и = ]к+1 ~ ЧкП.
Отметим, что = ш + 1, если </п_2 = / — 1- Эти последовательности обладают следующим свойством. Лемма Ь.
тк + 3 — к = 0. (26)
Доказательство. Рассмотрим ук = тк + 3 — к. Очевидно, что = т1 + ®+1 — 1 = 0. Предположим, что ук = 0, и рассмотрим ^к+1 = тк+1 + Чзк+1 — (к + 1). Если 'к+1 > %'к, то согласно (22), (23) имеем тк+1 = тк, 'к+1 = 'к + I и ук+1 =
Ввиду (5) = и поэтому =0.Если^'д;+1 =
то =0 и, согласно (25), тк+1 = тк + дзк +1 и ук+1 = Ук =0. Введем новые переменные
6+1 = +\Мк (к £ 1,п- 1), где рк > 0, (27)
и докажем справедливость при к < п — 1 соотношения
Скк = Х^+^ + ^+к-м Х1 + (Ск+1 — Хвк Ск )р*к-1 + Хвк-1 Ск-1, (28)
где
* ( Р3к-1, если 'к-1 < т,
3к-1 1 1, если'к-1 > т.
Из (27) следует равенство
= ХТк-1 Х3— + Х&-1 Ск-1. (29)
Предположим, что 'к-1 < т. Тогда в силу (7) будем иметь
Х3к-1 = Х<1зк-1 а3к-1,1Х1 + р3к-1 Х3к-1 +1 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 4 601
и, следовательно,
£к = АТк-1+^-1 +1азк-1ЛХ1 + Рз— АТк-1 Хзк-1+1 + Авк-1 £к-1.
Поскольку jk-1 + I = ]к, тк-1 = тк, то второе слагаемое в правой части этого равенства имеет вид Рзк-1 (£к+1 — Авк£к), и соотношение (28) доказано.
Пусть теперь jk-l = т + г, 1 < г < I. Тогда согласно (7) имеем хт+г = 1 ат+г,1Х1 + А^т+Т+1 Хг. Поэтому ввиду (29) можем записать
£к = АТк-1+^т+г+1 ат+Г11x1 + АТк-1 +1-«г Хг + Авк-1^к-1.
Поскольку г < I, то дг = 0, поэтому тк-1 + дт+г + 1 = тк. Кроме того, jk = jk-1 + l(mod п) = т + г + l(mod п) = п + r(mod п) = г. Итак, соотношение (28) доказано. Рассмотрим последовательность функций Ляпунова
¿2 _
^ = + 2д5(Ь)' Ле1'та'
Очевидно равенство
^ = й + (30)
Из (28) при к = 2 следует соотношение
£2 = А«+1 + 1 а,+ 1,1Х1 + (£3 — Ав2 £2 )Р*1 + Ав&. Поэтому справедливо равенство
— = аг+1ДЖ1б + ---^-+ Л • (31)
£2
Первое слагаемое в правой части этого равенства оценивается суммой ^ + где величина п = Аа'2+1 1 (£2 + £2) поглощается правой частью неравенства (23) в том смысле, что она мажорируется ею за счет увеличения ко1 и кц. Справедливы соотношения
Р'пЬЬ {р*31Ь? й
Л2 Д0.5 Д1.5 - л + ДЗ •
Ввиду (18) имеет место равенство
в1£2£1 в1£2 , в1Рп £2Х1+1 , д с
-Т— = -Т--1----V +
i=2
Х1+1 = £2 — Ав1£1, то
Очевидна оценка < ^ + В силу (21) ^ < ^ + { Ё х\ + |е|2. Поскольку
Р\Рз&Х1 +1 Р\РпЦ о2 сс ^ Р1Р+И , Л^2 , Р\Р+& -Л-=-Л--Р1Рп^1 < —д--Ь л^ н---—.
Из полученных оценок, а также (23), (30) с учетом поглощений вытекает неравенство
Ъ < -А(/Зо - ^о,2)|е|2 - А(А - - (/?2 + || +
где /32 = /32 тах(р_, 1).
Продолжая этот процесс построения функций Ляпунова, приходим к оценке
С2
К-1 < + +Жп_1,дД, (32)
где
к=1
Отметим, что зависит от (г < /г) и не зависит от /Зк. Поэтому, выбрав последовательно ¡Зк > ъ убеждаемся в отрицательной определенности квадратичной формы ^.
Покажем, что Д поглощается положительными членами в правой части неравенства (32). Из (27) следует формула х^к = Х-ТкСк+1 — Х1-Тк¡ЗкСк. Поэтому для содержащегося в Д члена Х?к/Х2ч^к справедлива оценка
Х2 С 2 «2^2
Зк < *»&+! , РкЛк (оо\
\2Чзк ~ Х2к \3k-2 ' ^
поскольку в силу леммы L тк + = к.
Очевидно, что содержащиеся в правой части неравенства (33) слагаемые поглощаются членами —(Ик+1£,1+1/Х2к^1 и ~/Зк0./Х2к~3, стоящими в правой части неравенства (32). Поэтому далее будем полагать Д = 0.
Рассмотрим К = + -фЬтт- Ввиду (29) = А+ По-
скольку 'п-1 = т +1, то согласно (7) Хзп-1 = ХЧт+1+1ат+1,1X1 + -1. Ввиду леммы L имеем тп-1 + = п — 1, поэтому Сп = Хпат+1дХ1 + и1 + Хвп-1Сп-1. Согласно
(28) Сп-1 является линейной формой относительно Сп,Сп-1,...,С1 и 6. Член СпС,1 оценивается с помощью (18) и (21). В результате приходим к оценке
К. < ^1(е,С1,...,Сп) + Сп(-1 — 11),
где W1 — отрицательно определенная квадратичная форма, а Ь1 — линейная форма относительно Х1, С1,...,Сп. Полагая
-1 = Ь1, (34)
приходим к следующему результату.
Теорема. Если выполнены условия (2), (3), и управления выбраны по формулам (6), (34), то система (1) становится глобально экспоненциально устойчивой.
4. Импульсное управление. Рассмотрим теперь систему (1), в которой
fi(-) = Y aik{-)xk, i е 1, l, k=1
2l
fi(-) = Y a>ik(-)xk, i e 1 + 1,21,
k=1
pl
fi(-) = Y a>ik(-)xk, ie(p-l)l,pl,
k=1 n— 1
fi(-) = Y a>ik(-)xk, iepl+l,n,
k=1
где агк(■) — неупреждающие функционалы произвольной природы, удовлетворяющие условию равномерной ограниченности \агк (-)| < с. Предполагая, что управления щ являются сигналами на выходах модуляторов : щ = Жг\(г]. Требуется синтезировать сигналы на входах этих модуляторов таким образом, чтобы система стала глобально асимптотически устойчивой. Будем считать, что модуляторы работают синхронно, и последовательность {Ьп} моментов импульсации обладает свойством 3Т < Ьк+1 — Ьк < Т, где 3 £ (0,1), Т > 0. Предполагаем, что щ(£) не зависит от (¿(т) при т > Ь и на каждом промежутке \Ьк, tк+l] не меняет знака. Кроме того, существует такая непрерывная и монотонно возрастающая функция <г(С), удовлетворяющая условию <£>¿(0) = 0, <г(С) ^ при ( ^ что при всех к существует
й,к £ [Ьк,Ьк+1), при котором
Возьмем в качестве Q функции Q = ^—1[Пг], где ф—1 — обратная к функция, а n — выражения, стоящие в правых частях уравнений (6) и (34). Тогда согласно лемме C из [5] при достаточно малом T система будет глобально асимптотически устойчива.
Литература
1. Jia R., Qian C., Zhai J. Semi-global stabilization of uncertain non-linear systems by homogeneous output feedback controllers // IET Control Theory and Application. 2012. Vol. 6. Iss 1. P. 165—172.
2. Zhai Jun-yong, Li Wei-ging, Fei Shu-min. Global output feedback stabilization for a class of uncertain non-linear systems // IET Control Theory and Application. 2013. Vol. 7. Iss 2. P. 305—313.
3. Man Yongchao, Liu Yungang. Global output-feedback stabilization for a class of uncertain time-varying nonlinear systems // System and Control Letters. 2016. Vol. 90. P. 20—30.
4. Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Стабилизация по выходу непрерывных и импульсных неопределенных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2017. Т. 4 (62). Вып. 4. С. 577-585.
5. Гелиг А. Х., Зубер И. Е. Стабилизация по многомерному выходу некоторого класса неопределенных систем // Автоматика и телемеханика. 2018. №9. С. 3-17.
6. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.
Статья поступила в редакцию 10 марта 2018 г.; рекомендована в печать 2 июля 2018 г.
ífc+i
Контактная информация:
Зубер Ирина Ефремовна — вед. науч. сотр.; zuber.yanikum@gmail.com Гелиг Аркадий Хаимович — проф.; agelig@yandex.ru
The synthesis of stabilization control by output for certain class of continuous and pulse modulated undefined systems
I. E. Zuber1, A. Kh. Gelig2
1 Institute for Problems in Mechanical Engineering RAS, Bolshoy pr., V. O., 61, St. Petersburg, 199178, Russian Federation
2 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Zuber I.E., Gelig A. Kh. The synthesis of stabilization control by output for certain class of continuous and pulse modulated undefined systems. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 4, pp. 597-605. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.405 (In Russian).
Consider the system xi = fi(-)+pixi+i,... xm = pm(-)+pmxn, xm+i = fm+i(-)+ui,. .. X n = fn (•) + щ, where xi,... ,xn is state of the system, m,... , щ are controls, у is not integer and l > 2. It is supposed that only outputs xi,...,xl are measurable (l < n), fi(■) are non-anticipating arbitrary functionals, 0 < p- < pi(t,xi,... ,xxl) < p+. With the help of backstepping method, we construct the square Lyapunov function and stabilize control for global exponential stability of closed loop system. The stabilization with the help of modulators with sufficiently elevated frequency of impulsation is also considered. Keywords: uncertain systems, output stabilization, global exponential stability.
References
1. Jia R., Qian C., Zhai J., "Semi-global stabilization of uncertain non-linear systems by homogeneous output feedback controllers", IET Control Theory and Application 6(1), 165—172 (2012).
2. Zhai Jun-yong, Li Wei-ging, Fei Shu-min, "Global output feedback stabilization for a class of uncertain non-linear systems", IET Control Theory and Application 7(2), 305—313 (2013).
3. Man Yongchao, Liu Yungang, "Global output-feedback stabilization for a class of uncertain time-varying nonlinear systems", ¡System and Control Letters 90, 20—30 (2016).
4. Zuber I. E., Gelig A. Kh., "Stabilization by Output of Continuous and Pulse-Modulated Uncertain Systems", Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 50(4), 342—348 (2017).
5. Gelig A. Kh., Zuber I. E., "Stabilization by multi-dimensional output for certain class of undefined systems", Avtomation and Remote Control 79(9), 1543—1555 (2018).
6. Yakubovich V. A., Leonov G.A., Gelig A. Kh., Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities (World Scientific, London, 2004, 334 p.).
Received: March 10, 2018 Accepted: July 2, 2018
Author's information:
Irina E. Zuber — zuber.yanikum@gmail.com Arkadiy Kh. Gelig — agelig@yandex.ru
