CC BY
13
УДК 517.938 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 4
MSC 39A30, 93D05
СТАБИЛИЗАЦИЯ ПО ВЫХОДУ НЕПРЕРЫВНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ*
И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Рассматривается система Xi = fi(-) + 2, г £ I, п — 2, хп—1 = ¥>n—1(-) + Ш, in = ¥>n(-) + «2, где ipi(•) —произвольные неупреждающие функционалы, обладающие свойством <
\xk(t)\, г € 1 ,п, с = const, а и\ и «2 — управления. Предполагается, что доступны измерению лишь выходы x\ и Ж2.
Решается задача синтеза как непрерывных, так и импульсных управлений ui и «2, при которых система становится глобально асимптотически устойчивой. Решение задачи основано на построении уравнений наблюдателя, квадратичной функции Ляпунова и методе усреднения. Библиогр. 9 назв.
Ключевые слова: стабилизация неопределенных систем, стабилизация по выходу, глобальная экспоненциальная стабилизация, импульсные системы.
1. Введение. Стабилизации неопределенных систем, у которых наблюдается весь вектор состояния, посвящено много работ, в том числе и авторов этой статьи. Стабилизация непрерывных неопределенных систем по скалярному выходу с помощью построения наблюдателя рассматривалась в статьях [1-5]. В [1] синтез стабилизирующего управления осуществлялся с помощью решения линейных матричных неравенств. В [2] рассматривались системы, у которых неопределенными являются не сами матрицы системы, а лишь их вариации. В [3-5] были синтезированы аналитические стабилизирующие управления по выходу систем, у которых неопределенными являются элементы, расположенные ниже первой наддиагонали, а элементы этой наддиагонали являются единичными. В предлагаемой статье с помощью построения наблюдателя и функции Ляпунова методом backstepping произведен аналитический синтез стабилизирующего управления по двумерному выходу неопределенных непрерывных и импульсных систем, у которых единичными являются элементы второй наддиагонали.
2. Стабилизация непрерывной системы. Рассмотрим систему
Xi = (fii{-) + xi+2, г €= 1, n — 2, (1)
¿n-1 = fn-l(0+ Ul, ¿„ = fn (•) + U2, где fi(/) —произвольные неупреждающие функционалы, обладающие свойством
i
l^ii')! < С \xk(t)\, i£l,n, с = const, (2)
fc=1
а ui и U2 —управления. Предполагается, что выполнены условия теоремы существования и продолжимости на [0, любого решения, остающегося в ограниченной
*Работа выполнена при финансовой поддержке СПбГУ (тема 6.38.230.2015) и РФФИ (грант №17-01-00102а).
© Санкт-Петербургский государственный университет, 2017
области. Ставится задача синтеза управлений « и «2, при которых система (1) становится глобально экспоненциально устойчивой в ситуации, когда доступны измерению лишь и Х2 (выходы системы).
Поставленная задача будет решаться с помощью построения наблюдателя и квадратичной функции Ляпунова методом Ъаскв1ерр1^.
Сначала построим гурвицеву матрицу
A =
ai а<2
a„-2 0
a„_i 1 an 1
Покажем, как выбрать aj, при которых A является гурвицевой матрицей. Обозначим через Ao матрицу, получающуюся из A при ai = 1, aj = 0 (г > 1). Прибавим к первому столбцу матрицы Ao столбец s. Полученная матрица имеет вид Ao + sef, где ef = (1, 0, • • • , 0). Гурвицевость этой матрицы равносильна гурвицевости A0 + eis* (* — знак транспонирования, все величины вещественные). Известно [6], что если пара (A0, ei) управляема, то при любых числах Ai,...,An, отличных от собственных чисел матрицы A*, матрица Af + eis* имеет спектр Ai,..., An, если s определяется из системы
s*(A*0-XiI)-1e1 = -1 (iel~rä),
где I — единичная матрица n х n. Поскольку все элементы матрицы Af принимают значения 0 либо 1, то, согласно кругам Гершгорина [7], ее собственные числа ^ принадлежат области \/j,i\ < п. Поэтому положим Aj = — (п + 1) — i (г £ 1, п) и убедимся, что выполняется
Дп = det(ei,Af ei,..., (Af )n-iei) = 0.
Все элементы Дп принимают значения 0 либо 1. При этом структура определителя Дп такова, что если первый столбец вычесть из остальных, затем второй столбец вычесть из остальных, третий столбец вычесть из остальных и так далее, то получается определитель, у которого в каждом столбце и в каждой строке имеется лишь один отличный от нуля элемент, и этот элемент равен 1. Поэтому |Дп | = 1.
Обозначим через fj (г € 1,п) координаты наблюдателя и введем ошибки наблюдения
Xi{t) - Xi{t)
£i(i) =
А?»
г G l,n, А > 1,
q2fc-i = q2k = k - 1, k = 1,2,...
Легко убедиться, что вектор e(t) = (ei(t),..., en(t))* удовлетворяет уравнению
(3)
(4)
e = AAe + d + z,
(5)
где d = (di,..., dn)*, z = (zi,..., Zn)*
dj = — AajXi, Zj =
fi(-) A n '
(6)
и
если координаты наблюдателя определяются системой
Ж = А^+^Ж! + ж4+2 (г = 1, .. ., п - 2),
Жп-1 = А9"-1+1ап-1 Х1 + А9"-1 + 1Ж2 + и1 - А9"-1+!Ж2, (7)
= А9п+1а„Х1 + А9"+1Х2 + и2 — А9п+1Ж2.
Рассмотрим функцию Ляпунова У0 = е*Не, в которой положительно определенная матрица Н удовлетворяет уравнению А*Н + НА = —к/, где к > 0. Производная Уо, взятая в силу системы (5), имеет вид
Уо = —Ак|е|2 + Ш1 + Ш2, (8)
где Ш1 = ¿*Не + е*Нй, Ш2 = г*Не + е*Нг, |е| —евклидова норма. Ввиду (6) справедливы оценки
|т1| < 0.5А|е|2 + 0.5Ак1ж1, (9)
|Ш2| < К2 И2 + И2. (10)
Здесь и далее к с индексами — абсолютные константы, не зависящие от А. Оценим |г|2. Ввиду (6) и (2) справедливы соотношения
г=1 г=1 г=2 г=3
Поскольку в силу (3) имеем ж = А®+ то правая часть последнего неравенства мажорируется выражением
" Ж |
пс|ж!| + х3\е\ + я4\х2\ +
к=3
Отсюда следует оценка |г|2 < к5ж2 + кб|е|2 + Д, где
п А2 к=3
Поэтому согласно (10) справедливо неравенство |т2| < к8|е|2 + к5ж2 + Д, из которого в силу соотношений (8), (9) вытекает оценка
Уо <— Аво|е|2 + кдАх1 + Д, (12)
в которой во является линейной функцией от к.
Пусть р — максимальное нечетное число, не превосходящее п и т = 0.5(р + 1). Введем переменные
£1 = Ж1, £ = Ж2г-1 + вг-1 А£г-1 при 1 <г < т, (13)
£т+г = А9р+1ж2г + А/Зт+г_1£т+г_1 при / б 1, п — то, (14)
и построим последовательность функций Ляпунова
е2 _
Очевидно, что Vi = Vo + ¿i ¿i. Ввиду (1), (3), (13) справедливы соотношения
¿i = у>1 + Лез + ¿э = ^i + Лез + 6 - ЛДб. (16)
Отсюда в силу (2) вытекает оценка ¿i£i < c¿2 + Л¿1 еэ + ¿i¿2 — Лв^2. Имея ввиду ¿i¿2 < Л^2 + ¿2/Л, приходим к неравенству
¿2
Cía <(с + 2Л-Л/31)£2 + Ле2 + ^-. Отсюда и из (12) следует оценка
VÍ < -Л(/30 - 1)|е|2 - Л(А - хм)£2 + ^ + Д, (17)
где К1,1 не зависит от вь Согласно (15) справедливо равенство
¿2¿2
V2 = Vi + H«. (18)
Из (13) и (7) вытекают соотношения
¿2 = Ж э + = Л2аэЖ1 + Ж5 +
Подставляя сюда величину (16) и вытекающее из (13) выражение ¿5 = ¿з — в2Л¿2, получаем формулу
¿2 = ¿3 — Л(в2 — ei)¿2 + Л2^2, (19)
где = в1(^1/Л + еэ — e1¿1 ) + аэж1. Поскольку ж1 = ¿1 — е1, то — линейная форма относительно ^1/Л, е1, е2, ¿1. Из (19) следует равенство
6É3 (ftj-fil)^ , ^ , — = —--—
Учитывая неравенства ¿2¿3 < ¿2Л + ¿3/Л,¿2^2 < ^2Л + ¿2/Л и < x10(¿2 + |е|2), из (17), (18) получаем оценку
V2 < -(А) - хо,2)Л|е|2 - Л(/Зг - x1j2)£2 - № ~ + || + R, (20)
где К2,2 не зависит от ^2. Применим метод математической индукции.
Предположим, что, продолжая этот процесс, мы пришли к неравенству
п—3 [ о \ с2
К-2 < -(А, - -о,„-2)Л|е|2 - m - _ £ +
i=1
(21)
При этом можем записать
¿n-2 = ¿n-1 — Л(вп-2 — ,0n-3)¿„-2 + ЛП-2^„-2, (22)
где ^n-2(^i/Л, е1, е2, ¿1, ¿2/Л,..., ¿п-1/Лп-2) — линейная форма своих аргументов. Вернемся к уравнениям (7). Рассмотрим случаи четного и нечетного n.
В случае четного п выберем управления «1 и «2 следующим образом:
и1 = А9"-1+1ж2, и2 = А9"+1ж2 + и. (23)
При этом последние два уравнения в (7) примут вид
Хп-1 = А9"-1+1а„-1Х1 + А9"-1 + 1 Ж2, (24)
Х „ = А9"+1а„Х1 + А9"+1Ж2 + и. (25)
Согласно (15) имеем представления
К-! = К-2 + + (26)
Учитывая р = п — 1, т = 0.5п, из (14) при I = п — т + 1 получаем выражение
£п-1 = А9"-1 + 1Х„-2 + Авп-2£п-2.
Отсюда в силу (7) вытекает равенство
£„-1 = А9"-1 + 1 (А9"-2+1а„-2Х1 + Х„) + Ав„-2^„-2. (27)
Имея ввиду дп_1 + дп-2 + 2 = п — 1,р = п — 1, и (14), запишем Х„ = А-9р-1£„ — А-9рвп-1£п-1, тогда соотношение (27) в силу (22) принимает следующий вид
£„-1 = £„ — А(вп-1 — вп-2)£п-1 + Ап-1^„-1, (28)
где ^„-1 = А-(п-1) [(вп-3 —вп-2)а2вп-2£п-2 + Ап-1вп-2^п-2 + а„-2Ж^ . Очевидно, что ■0п-1 является линейной формой относительно у>1 /А, £1, £2,£1 ,£2/А,... ,£п-2/Ап-1. Из (26) вытекает равенство
£п-1£п-1 £п-1£п (в„-1 — в„-2 — 1 , Г „ — 1£„-1 /оп\
д2п-4 — Л2™-4 ~~ Д2п-5 + Л™-3 '
Очевидны оценки:
£п—1£п , £п— 1 , £га УУг—1£п—1 , £п—1 . \ / 2 ('ЧП^
Д2п-4 - д2п-5 + Д2п-3' Дп-3 - д2п-5
Выражение А-^^ является линейной формой относительно у^/А, А£1, А£2, £2/А,..., £«-2/А2п-3 и поглощается отрицательными членами в (21) в том смысле, что мажорируется ими при увеличении щгП-2 (« ё 0,п — 2). Из (21), (26), (29), (30) вытекает оценка
£2
+ (31)
где
= — (во - -0,П-1)Л|£|2 - Л(в! - Х!,»-!)^ - ]Г 031+1 диУ'""1^!-
г=1
Возьмем функции Ляпунова
£ 2
Тогда будем иметь
14 = 14-1 + ^1^. (33)
Из (14) следует представление £п = Л9"-1+1жп + Лвп-1£п-1 • Отсюда ввиду (25) вытекает равенство
£п = Л«п-1 + 1(Л«п+1а„Х1 + Л9п-1 + 1 Х2 + и) + Лвп-1(;п-1- (34)
В силу (28) £п-1 является линейной формой относительно у>1, £1, £2, £1,..., £п с зависящими от Л коэффициентами.
Добавив к !4_1 в формуле (33) выражение — , приходим к неравенству
К < ^1(£,£ь...,£„) + (Л2-3-5пи — ¿1)£„ + Д, (35)
где Ь1 = ,£1,£2,£1,...,£„,ж1 ,£2) —линейная форма, а —определенно отри-
цательная квадратичная форма.
Пусть теперь п нечетное. Определим управления и и и формулами
и1 = Л9"-1+1ж2 + и, и2 = Л9"+1ж2. (36)
Тогда последние два уравнения в (7) примут следующий вид:
¿п-1 = Л?-1+1а„-1ж1 + Л9"-1 + 1£2 + и, (37)
£ п = Л9"+1а„ж1 + Л9"+1£2. (38)
Предположив, что Т/П-2 имеет вид (21), и представив УП-1 и 1/П-1 формулами (26), получим как и ранее оценку (31). Поскольку р = п, т = 0.5(п + 1), то из (14) при 1 = п — т — 1 следует равенство £п-1 = Л9"+1£п-з + Лвп-2£п-2. Отсюда в силу (7) вытекает представление
£п-1 = Л9"+9"-3+2ап-з£1 + Л9"+1£п-1 + Лвп-2 £п-2. (39)
Из (14) следует соотношение
£п-1 = Л-9р-1£п — Л-9Р вп-1£п-1. (40)
Ввиду (22) и (40) выражение (39) примет вид
£п-1 = £п — Л(вп-1 — вп-2)£п-1 + Лп-1^п-1. (41)
Рассуждая так же, как при четном п, приходим к оценке (31). Определив ^п, формулой (32), рассмотрим £п. Из (14) при 1 = п — т следует соотношение
£п = Л9" + 1£п-1 + Лвп-1 £п-1. Отсюда в силу (37) получаем выражение
£п = Лпап-1£1 + Лп£2 + Л9"+1и + Лвп-1^п-1.
Подставив его в равенство (33), приходим к оценке
К < ^1(£,а,...,£п) + (Л2-5-1-5пи — ¿2)£п + Д, (42)
где ¿2 —линейная форма, аналогичная ¿1.
Перейдем к оценке Д. Покажем, что каждое слагаемое в Д поглащается формой . Рассмотрим «й = ж|/А29к и предположим, что к нечетное. Тогда согласно (13) справедлива оценка
1 Рк-
-< -_|--2--/434
Найдем в отрицательное слагаемое, соответствующее первому члену в правой части этого неравенства. Имеем Щ-^- = % + 1, % = Показатель степени у Л в знаменателе отрицательного слагаемого равен 2г — 1 = к — 2. Поскольку в силу (4) имеем 2% = к — 1, то первое слагаемое в правой части неравенства (43) поглощается формой . Рассуждая аналогичным образом, легко убедиться, что и второе слагаемое в (43) поглощается формой ^1.
Для четного к рассуждения проводятся по этой же схеме, но вместо (13) используется соотношение (14).
Поэтому в (35) и (42) можно положить Д = 0. Определив управление и в (35) и (42) соответственно формулами
и = а3-5п-2Ьь (44)
и = А1-5„-2-5^2, (45)
убеждаемся, что система становится глобально экспоненциально устойчивой, поскольку имеет положительно определенную квадратичную функцию Ляпунова, производная которой, взятая в силу системы, является отрицательно определенной квадратичной формой.
Сформулируем полученный результат.
Теорема 1. Предположим, что выполнены условия (2), уравнения наблюдателя имеют вид (7), и управления и1 и и2 определяются формулами (23), (44) при четном п и формулами (36), (45) при нечетном п. Тогда при достаточно большом А замкнутая система (1) становится глобально экспоненциально устойчивой.
3. Стабилизация импульсной системы. Предположим, что в системе (1) выполняется
¥>г(-) = агд(-)ж1 + ... + ам(-)жг, (46)
где а^-(•) — неупреждающие функционалы, обладающие свойством
вир ^ (-)| < с, (47)
а управление и определяется вместо соотношений (44), (45) формулами
и = М«1, «1 = у-1 (А3'5"-2^), (48)
и = М«2, «2 = у-1( А1'5"-2'^), (49)
где у-1 — обратная функция от определенной ниже функции у, а Ш — оператор, который каждую непрерывную на [¿о, функцию С(¿) отображает в последовательность {¿й} и функцию п(£), обладающие свойствами: 6Т < — ¿й < Т, 6 € (0,1), Т > 0, функция п(£) не зависит от значений £(т) при т > £ и на каждом промежутке [¿й, ^) является кусочно-непрерывной функцией, не меняющей знака. Предполагается, что существует «эквивалентная нелинейность» [8] — такая непрерывная
монотонно возрастающая функция <(£) /(<£>(0) = 0), что при всех к существует ¿й € , ), при котором среднее значение к-го импульса
tfc+i
ífc+i — tfc
1
ífc
связано с Z(ífc) соотношением = <^>(Z)). Предполагается, что
) ^ при Z ^
(50)
С помощью развитого в [9] метода усреднения легко получить следующий результат.
Теорема 2. Предположим, что выполнены условия (46), (47), (50), уравнения наблюдателя имеют вид (7), а управления ui и u2 определяются формулами (23), (48) при четном п и формулами (36), (49) при нечетном п. Тогда при достаточно большом Л и достаточно малом T замкнутая система (1) глобально асимптотически устойчива.
Замечание. Если ограничения (2) и (47) выполнены не во всем фазовом пространстве, а лишь при |x| < то из доказательства теорем 1 и 2 следует, что построенные управления стабилизируют систему не глобально, а лишь при начальных условиях, принадлежащих некоторой ограниченной области, которые легко определяются с помощью построенной квадратичной функции Ляпунова.
Литература
1. Cai X., Lu G., Zhang W. Stabilization for a class of uncertain systems based on interval observers // IET Control Theory and Application. 2012. Vol.6, issue 13. P. 2057-2062. https://doi.org/10.1049/iet-cta.2011.0493
2. Chen W.-H., Yong W., Lie X. Impulsive observer-based stabilization of uncertain linear systems // IET Control Theory and Application. 2014. Vol.8, issue 3. P. 149-159. https://doi.org/10.1049/iet-cta.2012.0998
3. Jia R., Qian C., Zhai J. Semi-global stabilisation of uncertain non-linear systems by homogeneous output feedback controllers // IET Control Theory and Application. 2012. Vol.6, issue 1. P. 165-172. https://doi.org/10.1049/iet-cta.2010.0503
4. Zhai J., Li W., Fei Sh. Global output feedback stabilization for a class of uncertain non-linear systems // IET Control Theory and Application. 2013. Vol. 7, issue 2. P. 305-313. https://doi.org/10.1049/iet-cta.2011.0505
5. Man Y., Liu Y. Global output-feedback stabilization for a class of uncertain time-varying nonlinear systems // Systems and Control Letters. 2016. Vol.90. P. 20-30.
https: / / doi.org/10.1016/j .sysconle.2015.09.014
6. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. In: Series on Stability, Vibration and Control of Systems, Series A. Vol. 14. London: World Scientific. 2004. 334 p.
7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 520 с.
8. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston: Birkháuser, 1998. 362 p.
9. Гелиг А. Х., Зубер И. Е. Стабилизация некоторых классов неопределенных систем с помощью прямого и непрямого управления. II. Импульсные и дискретные системы // Автомат. и телемех. 2012. №9. С. 72-87.
Статья поступила в редакцию 16 марта 2017 г.; рекомендована в печать 22 июня 2017 г.
Сведения об авторах
Зубер Ирина Ефремовна — [email protected] Гелиг Аркадий Хаимович — профессор; [email protected]
STABILIZATION BY OUTPUT CONTINUOUS AND PULSE-MODULATED UNCERTAIN SYSTEMS
Irina E. Zuber, Arkadiy Kh. Gelig
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected]
The system A; = ipi(-) + xi+2, г € 1 ,n — 2, An-l = ¥>n-1(-) + «1, = fn(-) + «2, where ipi(-) are nonanticipating functionals of arbitrary nature with following properties |</?i(-)| < с i € l,ri,
c = const, and «1 and «2 are stabilization, is considered.
It is supposed that only outputs xi and X2 are measurable.
The problem of both continuous and impulsive stabilizations such «1, and «2 that make the system globally asymptotically stable is considered.
The solution of this problem is based on constructing observed-based equations and quadratic Lyapunov function, and averaging method. Refs 9.
Keywords: uncertain systems stabilization, stabilization by output, global exponential stability, pulse-modulated systems.
References
1. Cai X., Lu G., Zhang W., "Stabilization for a class of uncertain systems based on interval observers", IET Control Theory and Application 6, issue 13, 2057-2062 (2012). https://doi.org/10.1049/iet-cta.2011.0493
2. Chen W.-H., Yong W., Lie X., "Impulsive observer-based stabilization of uncertain linear systems", IET Control Theory and Application 8, issue 3, 149-159 (2014). https://doi.org/10.1049/iet-cta.2012.0998
3. Jia R., Qian C., Zhai J., "Semi-global stabilisation of uncertain non-linear systems by homogeneous output feedback controllers", IET Control Theory and Application 6, issue 1, 165-172 (2012). https://doi.org/10.1049/iet-cta.2010.0503
4. Zhai J., Li W., Fei Sh., "Global output feedback stabilization for a class of uncertain non-linear systems", IET Control Theory and Application 7, issue 2, 305-313 (2013). https://doi.org/10.1049/iet-cta.2011.0505
5. Man Y., Liu Y., "Global output-feedback stabilization for a class of uncertain time-varying nonlinear systems", Systems and Control Letters 90, 20-30 (2016).
https: / / doi.org/10.1016/j .sysconle.2015.09.014
6. Yakubovich V.A., Leonov G.A., Gelig A. Kh., Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. In Series on Stability, Vibration and Control of Systems, Series A 14 (World Scientific, London, 2004, 334 p.).
7. Gantmacher F. R., The theory of matrices (New York, Chelsea Publishing Co, 1959).
8. Gelig A.Kh., Churilov A. N., Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems (Birkhauser, Boston, 1998, 362 p.).
9. Gelig A.Kh., Zuber I.E., "Using the direct and indirect control to stabilize some classes of uncertain systems. II. Pulse and discrete systems", Autom. Remote Control 73, issue 9, 1498-1510 (2012). https://doi.org/10.1134/S0005117912090056
Для цитирования: Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Стабилизация по выходу непрерывных и импульсных неопределенных систем // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 4. С. 577-585. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.405
For citation: Zuber I.E., Gelig A. Kh. Stabilization by output continuous and pulse-modulated uncertain systems. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 4, pp. 577-585. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2017.405
