Информационно-исследовательская система критерий Текст научной статьи по специальности «Математика»

неориентированного объекта. Каждая сеть содержала 895 различных весовых значений. Эксперименты показали, что при выборе слишком малых значений параметра T возникала опасность «попадания» в локальный минимум. Поэтому устанавливалось начальное значение T=5, которое после каждой итерации алгоритма делилось на 1.05. После примерно 70 итераций получалась устойчивая конфигурация плана рабочего кабинета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вагин В.Н. Дедукция и обобщение в системах принятия решения. - М.: Наука, 1988.

2. Кузнецов О.П. Неклассические парадигмы в искусственном интеллекте // Теория и системы управления. - 1995. - Вып 5. - С. 3-23.

3. Вишняков Ю.М.,Родзин С.М. Информатизация наукоемких технологий обучения // Интеллектуальные САПР. - Таганрог: изд-во ТРТУ, 1998. - Вып 2(8). - С. 226-230.

4. Bibel W.Dimension der Inferenz-die andere Basis wissensbasierter Systeme // Methoden der Kunstlichen Intelligenz fur Grafikanwendungen. - Addision-Wesley, 1995.

5. Paass G. Design von Buroeinrichtungen mit neuronalen Netzen // Methoden der Kunstlichen Intelligenz fur Grafikanwendungen. - Addison-Wesley, 1995.

УДК 025.4.03

H.A. Целигоров, M.B. Леонов ИНФОРМАЦИОННО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ СИСТЕМА “КРИТЕРИЙ”

В настоящее время известны критерии абсолютной устойчивости систем, имеющих только два и три контура [1]. Получение критериев абсолютной устойчивости НИАС с большим числом контуров сопряжено со значительными вычисли, , , . является трудоемкой процедурой [2]. Эту трудность можно преодолеть, осущест-

m- , ,

коэффициенты этой матрицы представляют собой дробно - рациональные функции. В [3] предложен алгоритм раскрытия определителя m - го порядка с коэффициентами, представляющими собой полиномы. В основу алгоритма положен способ однообразного раскрытия определителей, отличающийся упорядоченным правилом последовательного образования перестановок и определения знаков членов определителя. Результат раскрытия определителей записывается в символьной форме по определению, как сумму m! всех возможных перестановок из m. Данный алгоритм может быть положен в основу раскрытия определителей матрицы с коэффициентами, представляющими собой дробно - рациональные функции, при разработке соответствующей программной процедуры.

После раскрытия определителей полученный критерий должен быть приведен к полиномиальному виду, с целью проверки его на строгую положительность, гарантирующую абсолютную устойчивость исследуемой системы. Проверка строгой положительности полученного вещественного полинома может быть осуществлена ,

[4], [5], -

ным названием “метод основного полинома” [6].

Математическая модель многомерных НИСУ. Рассмотрим класс НИСУ, описываемых уравнением

а[п] = /[п]- пО[п -/]ф(а[/],/),п = 0,1,2,..., (1)

7=0

где а, /, Ф - ш-мерные векторы ошибки, внешнего воздействия и характеристик нелинейных элементов (НЭ) соответственно. Входной процесс / [п] содержит компоненты /7 [п], которые представляют собой исчезающие функции времени,

т.е. п^ш У[п] = 0. Непрерывная часть системы характеризуется матрицей импульсных переходных функций в[п] или соответствующей матрицей переходных процессов Н[п], а также так же матрицей передаточных функций W[w], или соответствующей ей матрицей псевдочастотных характеристик W(jv), где

ыТ0

V = tg (——) - псевдочастота. Для системы матрица W(w) предполагается ус-

тойчивой, то есть ее компоненты имеют полюсы в левой полуплоскости w.

Вектор-функция ф(<г[п],п) принадлежит к классу нелинейностей Ф^ , если все ее компоненты удовлетворяют условию

а [п], п

фі

0*Гіі < —

аі[и]

< кц , V <7і [и] ± 0, кц > 0 ; (2)

то есть характеристика НЭ принадлежит сектору [ Гц, кц ].

Матрица Ж (м )=К/( м)] является передаточной матрицей многомерной .

п п-1

Е а^

Щ М = --------г. (3)

4 Е Ь,мп-‘

7=0 7

Ставится задача получения критериев абсолютной устойчивости многомерных НИСУ на ЭВМ.

Получение критериев абсолютной устойчивости многомерных НИСУ. В

работе [7] получен общий вид критерия абсолютной устойчивости многомерных , (1) (2), могут быть получены критерии абсолютной устойчивости для систем различной .

Теорема 1. Любая система ^ , описываемая уравнением (1), с нелинейностями из класса Ф0£ абсолютно устойчива по отношению ко входу, если имеет место неравенство [10]

ж(у) = & • {ж((V) + к-1 }> 0, V V е [0, ^], (4)

где П^/у) - эрмитова матрица, связанная с линейной частью и другими параметрами системы;

- эрмитов оператор, осуществляющий операцию выделения эрмитовой матрицы из комплексной.

Доказательство использует функции Ляпунова-Попова, представляющей собой дискретный аналог функции Ляпунова для многомерных НИАС, введенной . . -

чивости нелинейных систем регулирования.

Если обозначить |{(/у) + к -1} черев П(jv), то (3) в силу действия эр-митового оператора [6], можно записать в виде

П(у>) + П*(-/>) > 0,Уге[0,~], (5)

. . .

Из (4), (5) получим

п/) + п* (- V)

ш '' (/V . . Ш'т (V) к Г' .. 0

+

Ш„' (/V . . Ш (/V) тт \*/ / 0 к “' . . т

+

+

Ш'' (-/V) . . Шт' (/) + к Г' .. 0

Ш'т (-/V . . Ш (-/V тт \ л } 0 к .. т

Суммарную матрицу П((V) + П* (-]У) можно преобразовать к виду

Ш11 (/V) Ш / . . Ш 1т О)

п /) + п* (-V = Ш А/у) Ш 22 (V . . Ш 2 т /)

Шт/) Шт 2/) . . Ш (/V) тт \*/ /

(6)

где

V (V) = (Ш ,, (V) + к- + Ш, /) + к;'), Ш/ (V) = Ш (jv) + (-V).

Суммарная матрица п(^)+п*(-/V) является положительно определен-

[4].

Приведение критериев абсолютной устойчивости к полиномиальному виду. Соответствующими алгебраическими преобразованиями критерии абсолютной устойчивости могут быть сведены к полиномиальному виду путем нахождения

определителя преобразованной матрицы П(/V) + П* (-/V).

Теорема 2. Пусть А будет (п*п) - матрицей. Определитель det(A) матрицы можем представить в виде

det( А) = £ (-')’ П

а

/='

к=1

кР/

(7)

где р ^ (7 = 1,2,..., п!) - перестановки во вторых индекс ах элементов матрицы А; р - число инверсий в этих перестановках, причем р = 0 , если перестановка Р7 четная и р = 1 , если перестановка Р7 нечетная.

.

А =

а,

а,

а

21

а

22

(8)

Для этой матрицы п=2, п!=2 т.е. имеем две суммы сомножителей. Две перестановки чисел р7 таковы: р1 = 1,2 и р2 = 2,1. Перестановка р1 - четная, поскольку получается из себя с помощью 0 транспозиций. Перестановка р2 - неч етная, поскольку получается с помощью 1 транспозиции. Таким образом, используя (7), получим

ёе1;(А):

Рассмотрим матрицу

(9)

Для матрицы А п=3, п!=6. Шесть перестановок чисел р^ таковы:

Л = 1,2,3; р2 = 1,3,2; рз = 2,1,3; р4 = 2,3,1; р5 = 3,1,2; рб = 3,2,1. Перестановки р1, р4, р5 - четные, остальные - нечетные. Используя (7), полу-

^( А) = а11а22 а33 — а11а23а 32 — а12а 21а33 +

а12 а 23 а 31 + а13 а 21а 32 — а13 а 22 а 31.

Пусть теорема истинна для определителя п-го порядка. Рассмотрим матрицу п+1 -

а11а 22 а12 а21 .

а11 а12 а13

А= а21 а22 а23

а31 а32 а33

го порядка

а.

. Известно, что определитель произвольной квадратной матрицы

|АП+1|, (10)

,

ёе1;( А) = ап| А/1 — а12| А12| + а13\ А131+...+(—1)

п+2

а

где

А

п- , -

чальной матрицы А вычеркиванием 1-й строки и _|-го столбца (]=1, 2, ...,п+1).

Каждый определитель | А/1 (]=1,2,..., п+1) в (9) имеет вид

п 1 п Т1

М = I (—1)р П

а

кр1

(11)

г=1 к =2

где в суммировании участвуют все перестановки

р (1=1,2,...,]-1,]+1,...,п+1).

Число суммируемых членов в (10) равно п!. Подставляя в (10) выражение (11), получим п!(п+1)=(п+1)! членов. Так как, члены, полученые при раскрытии, различаются между собой первыми коэффициентами, то подобных членов не будет. Таким обра-

чим

Ш П

зом, при раскрытии произведения аи |^1| получается выражение ^ (-1) р П акр-

;=1 к=1 7

и, поэтому, формула (7) истинна. Теорема доказана.

Для реализации на ЭВМ нахождения определителя (7) необходимо определить операции сложения, вычитания и умножения для данных имеющих следующий вид:

р оо + убор N (н) + уМ (н)

где Р(м),б(м),Щн) и М(н) полиномы действительной и мнимой части, полученные по формуле из [8].

Теорема 3. Дробно-рациональная функция, представлена выражением Щ(/И = Р(^)+ УО(У) = а1(1/)а2И + вИв(у) + у(а2(У)в1(У)-а1(У)в2(у)') (13)

( М(у) - а22 (^) + в22 V)

может быть записана, в следующим виде

2(п—1) , .Ш-1 2(п-1)-1

1=0 1 1=0

— 2( п—1)

1=0

где

/+к=2/ г+к=21

р = ,.к^=0^'/а'г'к , га/ = ,ЫЬк

/+к—2 /+1 */ = ,к=о^Ьк

1+/

Доказательство основано на применении правила индукции при разложении передаточных функций различных степеней п.

Преимуществом данного алгоритма является то, что получение полиномов вещественной и мнимых частей основано на алгоритмах меньшей вычислительной сложности по сравнению с другими, например, приведенных в [1]. После приведения полученных критериев к полиномиальному виду требуется проверить их на строгую положи.

Пример. Проведем анализ абсолютной устойчивости трехмерной системы, передаточные функции которой для прямых и перекрестных каналов запишутся соответственно в виде

Щ„(н) Щ12(н) Жи(н)

ш21(и0 ш22( н) ш2зИ

Шз,И Шз2(н) Шзз(н)

(15)

где

Ш(н) =

— 0.955102н — 0.70з759н + 0.955102н + 0.70з759 2.016700н3 + з.9999з2н2 + 1.98зз5зн> + 8.з779-10—1з

Щ, (н):

0.з14178н + 0.з14178

2.006667н + 1.99ззз2н + 8.420 -10

—1з

15з

Применяя критерий абсолютной устойчивости трехмерной НИАС, т.е. преобразуя ПЫ+ п*( — , полученную из (15), к полиномиальному выражению по форму-

ле (7), и при изменении к от 0 до 1.2, получим следующее расположение траекторий корней (см. рис. 1).

Плоскость X ' 11П

у

%

../и*

Рис.1

.1 ,

можно сделать вывод об абсолютной устойчивости системы, так как все корни расположены в левой полуплоскости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Муттер В.М. Апалого-вдфровые автоматические системы. - М.: Машиностроение, 1981.

2. КурошА.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.

3. БычковЮ.Л. Численный расчет нелинейных регуляторов. - Л.: Эпергоатомиздат, 1984.

4. Гашпмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967.

5. Серков В.И.,Целигоров НА. Анализ абсолютной устойчиво ста многомерных НИАС на основе алгебраической модификации критериев, полученных с использованием билинейного преобразования // Изв. РАН Техническая кибернетика. - 1993. - Вып. 4.

6. Бабичев Л.Л.,Целигоров НА. Полиномиальная форма критерия абсолютной устойчивости НИАС // Изв. вузов. «При^ростроение» / Библиотека алгоритмов 16 - 506 / Справочное пособие . - М.: Сов. радио, 1975. - Вып 5-6.

7. Целигоров НА.,Леопов М.В. Методика исследования робастной абсолютной устойчивости многомерных НИАС // Материалы Всероссийской НТК с международным участием “Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности”. - Таганрог: изд-во ТРТУ, 1999. - С. 47-49.

8. Целигоров КА. Методика графоаналитического исследования абсолютной устойчивости

. // . . « -

». - 1998. - .4.

9. Калмыков С.А.Шокип Ю.И.Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. - Новосибирск: Наука, 1986.

10. Шокип ЮМ. Интервальный анализ. - Новосибирск: Наука. 1981.

УДК. 621.391

А.В. Карасев, А.В. Пушнин, В.И. Финаев

МЕТОД ВЫБОРА КРАТЧАЙШИХ НАПРАВЛЕНИЙ ПЕРЕДАЧ НА СЕТИ СВЯЗИ НА ОСНОВЕ ЭВРИСТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ

Алгоритмы поиска кратчайших путей передачи информации в сетях связи являются достаточно известным предметом исследований [1-3]. Задача поиска к