Программная реализация алгоритма для вывода критериев абсолютной устойчивости многомерных нелинейных импульсных автоматических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

П=£.

/г(-^ + ;'У) = а0у4 + Л~а1 + а04р)у3 +(-а2 + а13р-а0бр2)у2 +

+у'(а3 -аг2Р + а^р1 -а04/}*)у + (а4 -аф + а2рг -аф1 + а0р4). Используя метод математической индукции, получим коэффициенты полинома (2) при

Таблица Л5 в общем виде для полинома степени § может быть представлена следующим образом

/15 =

(уу)° и*)' иу)*-1 (М

0 0 0

0 0

*г-г? -°,-г2Р 0 0

«і 0

а0(~РУ ао8('Р)1,~П а08(-Р) ао

по столбцам запишется в виде

Г(-0 + ;у) = /а0У* + /‘4^ -а^Р)У*- +...+

+7(в, , -а!_22Р+...+ао8(-РУ-')У + ^11 -^Р + а^+.-.+а^-РУ).

Сравнивая значения коэффициентов полиномов разных степеней, полученных из выражения (2), с коэффициентами полиномов, полученных с помощью выражения (3) Убеждаемся в справедливости соотношений (3-6).

Теорема доказана.

Таким образом, в работе в строгой постановке на основе применения треугольника Часкам предложен простой для реализации на ЭВМ вычислительный алгоритм.

Литература

1. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. М., Наука,

1986.

УДК 519.688+512.643.2

Целигоров Н.А.

Программная р.миз.ц». влгор»тм. для вывод. критяне, абсолютной устойчиво*™ многомерных «елннейиых импульсных автоматических систем

Получение критериев абсолютной устойчивости нелинейных импульсных

^томатжескнпГ систем (НИАС) с числом кошуров более трех связано со значительными

ашчсских сисісм > яутуяльной является задача получения таких

вычислительными трудностями. Поэтому актуальной иш.*с ад

критериев на ПЭВМ. Эти критерии можно вывести из неравенства вида [1 ]

Л(/У) =£2* Ж/У) +к~1} (1)

где П*. эрмитов оператор, осуществляющий операцию выделения эрмитовой М*трицы из комплексной.

Если обозначить {рГ(уУ) + & ’] через Н(/У), то ( I ) в силу действия

эрмитового оператора, можно записать следующим образом

Н( у V) + Н’(-}V) > О, V V € [0, со],

т.е. требуется положительная определенность эрмитовой матрицы.

Суммарная матрица Н( ]У) + Н*(- ]V) является положительно определенной если

все главные миноры ее определителя положительны [ 2].

В программе осуществляется переход от критерия ( I ) к суммарной матрице вида:

яйо) шм ТиМ

я(л+й'(-м=

#2,0) Нт2ОУ) я21/>)

|Я„,0) НМ(Р) нм

(2)

Я>(Г «(•Л') + + Ж „(-М + .

~Ни = № ии'>') + '1У Й

где

1=0

п-1

щ

£б/И>'

/=о

С помощью разработанной программы вычисления значений определителей можно осуществить вывод критериев абсолютной устойчивости для систем различной мерности. Теорема.

Пусть А будет (п*п) - матрицей. Определитель (1е1(А) матрицы можем представить в

виде

к=1

'Ар,

(3)

где /?2, А,-.-, />„< ~ перестановки во вторых индексах элементов матрицы А ;

Р - число инверсий в этих перестановках, причем р = 0 , если перестановка р] четная и

Р ~ 1 , если перестановка р^ нечетная.

Доказательство.

Пусть

д_а\\ ^2

°2\ ^22

Для этой матрицы п=2, п!=2 т.е. имеем две суммы сомножителей. Две перестановки ,„стаковы: Д = 1,2 и А = 2,1 Перестанови Д-четам, „„скольку

получается из себя с помощью 0 транспозиций. Перестановка Л — и-..-

г "■« /^2 нечетная, поскольку

получается с помощью 1 транспозиции. Таким образом, используя (3) получим

det(v4) — 1&2.2 «12«2Г

Рассмотрим матрицу

«11 «12 «13

л = «21 «22 «23

«31 «32 «33

(5)

Для матрицы А п=3, п!=6. Шесть перестановок чисел р] таковы:

рх = 1,2,3; р2 = 1,3,2; ръ = 2,1,3; рх - 2,3,1; р5 = 3,1,2, р6 = 3,2,1.

Перестановки Д, /74, -четные, остальные - нечетные. Используя (3), получим (^(Л) = Л, ~а11«23«32 " «12«21«33 +

+<2,2^3^31 + «13«21«32 -«13«22«Э1‘

Пусть теорема истинна для определителя п-го порядка. Рассмотрим матрицу п+1 -

порядка А = к- . Известно, что определитель произвольной квадратной матрицы равен

'* У .1 г -и . .. I _..1

(6)

го

где

det(/l) = а,, А\ -0\г Д2 + а'3 ^ +’ ’ ‘+^ ^."+1 ^

_ \л( -величина определителя матрицы n-го порядка, получаемой из

первоначальной матрицы А вычеркиванием l-й строки и j го столбца (j 1,2, ...,n 1).

Каждый определитель А( (j=*>2,->n+0 в имеет вид

а; =£нУ fl%j <7>

/«I *=2

где в суммировании участвуют все перестановки Pj(j-1.2...п+1).

Число суммируемых членов в (7) равно «I. Подсташия в (6) выражение (7), получим п!(п+1)-(п+|)! Членов. Та, как, члены, получение при раскрытии, различаются между собой Первыми коэффициентами, то подобных членов не будет. Таким образом, при раскрытии

л! я

произведен», а, А! получается выражение "• пт™*’ формула (3)

w 1 j=1 к=1

Истинна. Теооема доказана.

С помощью разработанной программы можно осуществил, вывод критериев

абсолютной усто^/ти in, систем различной мерности. Так Р

системы критерий абсолютной устойчивости получен вс '

«„(yv) + H„(-;V) + W„0V) + »3|(-JV) HM<Jv) + W,i(-yv)

= 16КеЯ,, (уу) ЯсН22и V) ЯеЯззОу) ЯеЯ^уу)-

-4ЕеЯ|1(;у)КеЯ22(у>)|Яз40'у)+Я4з(-7У)|2-4КеЯзз0у)КсЯ440у)(Я120у)+Я21(-7У)|2-

-4КеЯ22Оу)кеЯ44(7У)|Я1зОу)+Яз1(-^)|2-4КеЯ22(;у)КеЯззО-у)|Я14Оу)+Я41(-уу^2-

-4НеЯ11(уу)КеЯ440у)|Я2з(уу)+Яз2(-^2-4КеЯп0у)КеЯэз0у)(Я240у)+Я42(-;у)|2 + +2 Ие Нп (у у)[Я24 (у'у)+Я42 (-уу)] [Я32 (у у)+Я23 (-у у)] [Я43 (у у)+Я34 (-уу)]+ +2КеЯ11(уу)[Я2з(;у)+Яз2(-;у)][Яэ40>)+Я4з(-7У)][Я42(уу)+Я24(-у'у)]+ +2КеЯ22(;у)[Я14(;у)+Я41(-уУ)][Яз1(;у)+Я1з(-7У)]1Я4з(;у)+Я34(-7У)]+ +2ЯеЯ22ОУ)[Я1з(;у)+Яз1(-7У)][Яз4Оу)+Я4з(-7У)][Я4|)7>)+Я14(-;У)]+ +2ЯеЯзз(уу)[Я12(у'у)+Я2|(-у'у)][Я24(у'у)+Я42(-уУ)][Я41(уу)+Я14(-уу)]+ +2КеЯзз(;у)[Я140'у) + Я41(-;У)][Я2|(7У)+Я12(-7У)][Я420у)+Я24(-7У)]+ +2КеЯ44Оу)[Я1з(Оу)+Яз1(-7У)][Я21Оу)+Я)2(-уу)][Яз2Оу)+Я2з(-уу)]+

+2КеЯ44(;у)[Я12(уу) + Я21(-уу)][Я23(уу) + Яз2(-уУ)][Яз1(уу) + Я1з(-;у)] +

+ |Я12(уу) + Я21(->у)|2|Я34(;у) + Я„(-уу)|2+|Я13(уу) + Яэ1(->у)|2|Н24(уу) + Я42(7у)|2 + + |Я|4(7'У) + Я41(-7У)|2|Я23(>У) + Я32(-УУ)|2--[Я14(уу)+Я41(-;уШЯ21(уу) + Я12(-;у)][Яз2(;у) + Я2з(-;у)][Я4з(уу) + Яз4(-;у)]--[Я13 (;у) + Я31 (-у'у))[Я2| (уу) + Я12 (-уу)][Яз4 (;у) + Я43 Ыу)][Я42 Оу) + Ям (-7у)]--[Я120у) + Я21(-уу)][Я23(;у) + Яз2(-;у)](Яз4(;у) + Я4з(-;уЖЯ410-у) + Я|4(-;у)1--[Я12 (уу) + Я21 (-уу )][Я24 (уу) + Я42 (-у'У)][Я31 (у у) + Я,з (-уУ)][Я43 (уу) + Ям (-уу)] --[Я14(уу) + Я41(-уу)][Я2з(уу) + Яз2(-уу)][Я,1(уу) + Я1з(-уу)][Я42(уу) + Я24(-уу)]--[Я1з(уу) + Яз1(-у'у)][Я24(у'у) + Я42(-уу)][Яз2(у'у) + Я2з(-уу)][Я41(уу) + Я14(-уу)].

Литература

1. Серков В.И., Целигоров Н.А., Анализ абсолютной устойчивости многомерных НИАС на основе алгебраической модификации критериев, полученных с использованием билинейного реобразования. // Изв. АН РАН Техническая кибернетика. 1993. №4. с.21-28.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967.