CC BY
31
П=£.
/г(-^ + ;'У) = а0у4 + Л~а1 + а04р)у3 +(-а2 + а13р-а0бр2)у2 +
+у'(а3 -аг2Р + а^р1 -а04/}*)у + (а4 -аф + а2рг -аф1 + а0р4). Используя метод математической индукции, получим коэффициенты полинома (2) при
Таблица Л5 в общем виде для полинома степени § может быть представлена следующим образом
/15 =
(уу)° и*)' иу)*-1 (М
0 0 0
0 0
*г-г? -°,-г2Р 0 0
«і 0
а0(~РУ ао8('Р)1,~П а08(-Р) ао
по столбцам запишется в виде
Г(-0 + ;у) = /а0У* + /‘4^ -а^Р)У*- +...+
+7(в, , -а!_22Р+...+ао8(-РУ-')У + ^11 -^Р + а^+.-.+а^-РУ).
Сравнивая значения коэффициентов полиномов разных степеней, полученных из выражения (2), с коэффициентами полиномов, полученных с помощью выражения (3) Убеждаемся в справедливости соотношений (3-6).
Теорема доказана.
Таким образом, в работе в строгой постановке на основе применения треугольника Часкам предложен простой для реализации на ЭВМ вычислительный алгоритм.
Литература
1. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. М., Наука,
1986.
УДК 519.688+512.643.2
Целигоров Н.А.
Программная р.миз.ц». влгор»тм. для вывод. критяне, абсолютной устойчиво*™ многомерных «елннейиых импульсных автоматических систем
Получение критериев абсолютной устойчивости нелинейных импульсных
^томатжескнпГ систем (НИАС) с числом кошуров более трех связано со значительными
ашчсских сисісм > яутуяльной является задача получения таких
вычислительными трудностями. Поэтому актуальной иш.*с ад
критериев на ПЭВМ. Эти критерии можно вывести из неравенства вида [1 ]
Л(/У) =£2* Ж/У) +к~1} (1)
где П*. эрмитов оператор, осуществляющий операцию выделения эрмитовой М*трицы из комплексной.
Если обозначить {рГ(уУ) + & ’] через Н(/У), то ( I ) в силу действия
эрмитового оператора, можно записать следующим образом
Н( у V) + Н’(-}V) > О, V V € [0, со],
т.е. требуется положительная определенность эрмитовой матрицы.
Суммарная матрица Н( ]У) + Н*(- ]V) является положительно определенной если
все главные миноры ее определителя положительны [ 2].
В программе осуществляется переход от критерия ( I ) к суммарной матрице вида:
яйо) шм ТиМ
я(л+й'(-м=
#2,0) Нт2ОУ) я21/>)
|Я„,0) НМ(Р) нм
(2)
Я>(Г «(•Л') + + Ж „(-М + .
~Ни = № ии'>') + '1У Й
где
1=0
п-1
щ
£б/И>'
/=о
С помощью разработанной программы вычисления значений определителей можно осуществить вывод критериев абсолютной устойчивости для систем различной мерности. Теорема.
Пусть А будет (п*п) - матрицей. Определитель (1е1(А) матрицы можем представить в
виде
к=1
'Ар,
(3)
где /?2, А,-.-, />„< ~ перестановки во вторых индексах элементов матрицы А ;
Р - число инверсий в этих перестановках, причем р = 0 , если перестановка р] четная и
Р ~ 1 , если перестановка р^ нечетная.
Доказательство.
Пусть
д_а\\ ^2
°2\ ^22
Для этой матрицы п=2, п!=2 т.е. имеем две суммы сомножителей. Две перестановки ,„стаковы: Д = 1,2 и А = 2,1 Перестанови Д-четам, „„скольку
получается из себя с помощью 0 транспозиций. Перестановка Л — и-..-
г "■« /^2 нечетная, поскольку
получается с помощью 1 транспозиции. Таким образом, используя (3) получим
det(v4) — 1&2.2 «12«2Г
Рассмотрим матрицу
«11 «12 «13
л = «21 «22 «23
«31 «32 «33
(5)
Для матрицы А п=3, п!=6. Шесть перестановок чисел р] таковы:
рх = 1,2,3; р2 = 1,3,2; ръ = 2,1,3; рх - 2,3,1; р5 = 3,1,2, р6 = 3,2,1.
Перестановки Д, /74, -четные, остальные - нечетные. Используя (3), получим (^(Л) = Л, ~а11«23«32 " «12«21«33 +
+<2,2^3^31 + «13«21«32 -«13«22«Э1‘
Пусть теорема истинна для определителя п-го порядка. Рассмотрим матрицу п+1 -
порядка А = к- . Известно, что определитель произвольной квадратной матрицы равен
'* У .1 г -и . .. I _..1
(6)
го
где
det(/l) = а,, А\ -0\г Д2 + а'3 ^ +’ ’ ‘+^ ^."+1 ^
_ \л( -величина определителя матрицы n-го порядка, получаемой из
первоначальной матрицы А вычеркиванием l-й строки и j го столбца (j 1,2, ...,n 1).
Каждый определитель А( (j=*>2,->n+0 в имеет вид
а; =£нУ fl%j <7>
/«I *=2
где в суммировании участвуют все перестановки Pj(j-1.2...п+1).
Число суммируемых членов в (7) равно «I. Подсташия в (6) выражение (7), получим п!(п+1)-(п+|)! Членов. Та, как, члены, получение при раскрытии, различаются между собой Первыми коэффициентами, то подобных членов не будет. Таким образом, при раскрытии
л! я
произведен», а, А! получается выражение "• пт™*’ формула (3)
w 1 j=1 к=1
Истинна. Теооема доказана.
С помощью разработанной программы можно осуществил, вывод критериев
абсолютной усто^/ти in, систем различной мерности. Так Р
системы критерий абсолютной устойчивости получен вс '
«„(yv) + H„(-;V) + W„0V) + »3|(-JV) HM<Jv) + W,i(-yv)
= 16КеЯ,, (уу) ЯсН22и V) ЯеЯззОу) ЯеЯ^уу)-
-4ЕеЯ|1(;у)КеЯ22(у>)|Яз40'у)+Я4з(-7У)|2-4КеЯзз0у)КсЯ440у)(Я120у)+Я21(-7У)|2-
-4КеЯ22Оу)кеЯ44(7У)|Я1зОу)+Яз1(-^)|2-4КеЯ22(;у)КеЯззО-у)|Я14Оу)+Я41(-уу^2-
-4НеЯ11(уу)КеЯ440у)|Я2з(уу)+Яз2(-^2-4КеЯп0у)КеЯэз0у)(Я240у)+Я42(-;у)|2 + +2 Ие Нп (у у)[Я24 (у'у)+Я42 (-уу)] [Я32 (у у)+Я23 (-у у)] [Я43 (у у)+Я34 (-уу)]+ +2КеЯ11(уу)[Я2з(;у)+Яз2(-;у)][Яэ40>)+Я4з(-7У)][Я42(уу)+Я24(-у'у)]+ +2КеЯ22(;у)[Я14(;у)+Я41(-уУ)][Яз1(;у)+Я1з(-7У)]1Я4з(;у)+Я34(-7У)]+ +2ЯеЯ22ОУ)[Я1з(;у)+Яз1(-7У)][Яз4Оу)+Я4з(-7У)][Я4|)7>)+Я14(-;У)]+ +2ЯеЯзз(уу)[Я12(у'у)+Я2|(-у'у)][Я24(у'у)+Я42(-уУ)][Я41(уу)+Я14(-уу)]+ +2КеЯзз(;у)[Я140'у) + Я41(-;У)][Я2|(7У)+Я12(-7У)][Я420у)+Я24(-7У)]+ +2КеЯ44Оу)[Я1з(Оу)+Яз1(-7У)][Я21Оу)+Я)2(-уу)][Яз2Оу)+Я2з(-уу)]+
+2КеЯ44(;у)[Я12(уу) + Я21(-уу)][Я23(уу) + Яз2(-уУ)][Яз1(уу) + Я1з(-;у)] +
+ |Я12(уу) + Я21(->у)|2|Я34(;у) + Я„(-уу)|2+|Я13(уу) + Яэ1(->у)|2|Н24(уу) + Я42(7у)|2 + + |Я|4(7'У) + Я41(-7У)|2|Я23(>У) + Я32(-УУ)|2--[Я14(уу)+Я41(-;уШЯ21(уу) + Я12(-;у)][Яз2(;у) + Я2з(-;у)][Я4з(уу) + Яз4(-;у)]--[Я13 (;у) + Я31 (-у'у))[Я2| (уу) + Я12 (-уу)][Яз4 (;у) + Я43 Ыу)][Я42 Оу) + Ям (-7у)]--[Я120у) + Я21(-уу)][Я23(;у) + Яз2(-;у)](Яз4(;у) + Я4з(-;уЖЯ410-у) + Я|4(-;у)1--[Я12 (уу) + Я21 (-уу )][Я24 (уу) + Я42 (-у'У)][Я31 (у у) + Я,з (-уУ)][Я43 (уу) + Ям (-уу)] --[Я14(уу) + Я41(-уу)][Я2з(уу) + Яз2(-уу)][Я,1(уу) + Я1з(-уу)][Я42(уу) + Я24(-уу)]--[Я1з(уу) + Яз1(-у'у)][Я24(у'у) + Я42(-уу)][Яз2(у'у) + Я2з(-уу)][Я41(уу) + Я14(-уу)].
Литература
1. Серков В.И., Целигоров Н.А., Анализ абсолютной устойчивости многомерных НИАС на основе алгебраической модификации критериев, полученных с использованием билинейного реобразования. // Изв. АН РАН Техническая кибернетика. 1993. №4. с.21-28.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967.
