Метод исследования робастной абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71:681.51

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ РОБАСТНОЙ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

© 2013 г. Н.А. Целигоров, Г.М. Мафура

Целигоров Николай Александрович - д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник, Ростовский филиал Российской таможенной Академии.

Мафура Габриел Мвасару - программист ООО «Ростовги-прошахт», г. Ростов-на-Дону.

Tseligorov Nikolai Alexandrovich - Doctor of Technical Sciences, Leading Researcher, Rostov branch of the Russian Customs Academy.

Mafura Gabriel Mvasabi - Software LLC «Rostovgiproshaht», Rostov-on-Don.

Предлагается метод исследования робастной абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем управления (НИСУ) с монотонными нелинейностями. Приводятся критерий абсолютной устойчивости НИСУ, проверку которого можно свести к проверке строгой положительности вещественного полинома. На основе полученного критериального уравнения предлагается подход для проверки робастной абсолютной устойчивости исследуемой НИСУ. Приведены основные этапы предложенного метода для исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ.

Ключевые слова: передаточная функция; метод корневого годографа; абсолютная устойчивость; робастная абсолютная устойчивость; передаточная функция с интервальными значениями коэффициентов; нелинейные импульсные системы управления.

In this paper we propose a method for studying the robust absolute stability of nonlinear pulse control systems (NPCS) with monotone nonlinearities. Provides absolute stability criterion NPCS, check which may be reduced to the verification of strict positive real polynomial. Based on this criteria, we propose an approach to verify the robust absolute stability of NPCS. The main steps of this method for the study of robust absolute stability of NPCS.

Keywords: transfer function; root locus method; absolute stability; robust absolute stability; of the transfer function with interval values of the coefficients; the nonlinear pulse systems management.

Введение

Постановка задачи

Современные системы автоматического управления содержат различного рода неопределенности [1] в динамических характеристиках объекта, что приводит к математической модели, неадекватно соответствующей исследуемому реальному объекту. Для учета сопутствующих нелинейностей и ряда других факторов в разработанной математической модели НИСУ необходимо применять специальные приемы исследования, которые учитывали бы не только структурные особенности НИСУ, но и устойчивость модели по отношению к неопределенностям (робастность).

Вопросам робастной устойчивости систем в последнее время уделяется большое внимание. Это объясняется тем, что устойчивость является основополагающим свойством систем автоматического управления.

Поэтому исследование робастной устойчивости НИСУ является актуальной задачей.

Рассмотрим класс НИСУ, описываемых уравнением (1), структурная схема которых может быть сведена к следующему виду (рис. 1) [2]:

лич

Рис. 1. Структурная схема исследуемой НИСУ

ст[я] = /[я]-nG[n - 1]Ф(ст[1], I), п = 0,1,2,..., (1)

i=0

где ст, /, Ф - т -мерные векторы ошибки, внешнего воздействия и характеристик нелинейных элементов (НЭ). Входной процесс /[я] содержит компоненты

f [n], которые представляют собой исчезающие является положительно определенной, если все глав- - ные миноры А, (i = 1,2,..., m) ее определителя поло-функции времени, т. е. lim f [n] = 0 . Непрерывная

часть системы характеризуется матрицей импульсных

жительны.

Критерии абсолютной устойчивости многомерных

переходных функций G[n], или соответствующей нелинейных импульсных автоматических систем

матрицей переходных процессов Н [п], а также матрицей передаточных функций W (м>), или соответствующей ей матрицей псевдочастотных характеристик

можно вывести из неравенства (5), для чего это неравенство необходимо преобразовать в суммарную матрицу вида:

W (jv), где v = tg-

юГп

2

- псевдочастота.

Для системы (рис. 1) матрица W(м>) предполагается устойчивой, т. е. все ее компоненты имеют полюсы в левой полуплоскости V .

Вектор-функция Ф(а[п], п) принадлежит к классу нелинейностей Фгк, если ее компоненты удовлетворяют условию

Фг (а [п], п)

П( jv)+nT (- jv) =

Пп( jv) П12( jv) n21(jv) П22 (jv)

0 < r„ < -

< kn, Vct, [n] = 0, kn > 0; (2)

CT, [n]

Ф, (CT[n], n) = Ф, (CT, [n], n); Ф, (0) = 0 . Если, кроме (2), имеют место неравенства

, d Ф,. (ct, [n], n) ,,

0 < r, <-iV ,L J' У < k',, i = 1,2,...,m ,

Ii 7ГТ II ^ ; ; ; ;

d ct. [n]

Пт1( jv) Пт2( jv)

где П = (Wj (jv) + W. (- jv)),

П,, = (E + qj)WU (jv) + k,-1 + 1 + jv

+(E + qj )Wii (- jv) + k,-1);

П1т (jv) П2т (jv)

Птт (jv)

(6)

1 + jv

E

1=0

(3)

то Ф(СТ[п], n) e Фrk с Ф

Jrk

Wj (w) = j

E b,wn-1

l=0

Критерии абсолютной устойчивости многомерных НИСУ получают вычислением соответствующих оп-

Ставится задача получения критерия абсолютной ределителей матрицы вида (6), используя ПК [4].

устойчивости НИСУ, описываемых уравнением (1) с нелинейностями из класса (2), (3), дальнейшая алгебраическая модификация полученного критерия и приведения его к виду, удобному для исследования как абсолютной, так и робастной абсолютной устойчивости.

Математическая модель исследования абсолютной устойчивости НИСУ

В [2] показано, что любая система, описываемая уравнением (1) с нелинейностями из класса Ф0к, абсолютно устойчива по отношению ко входу, если имеет место неравенство

В случае m = 1, т.е. для одномерной системы, имеем А1 = П„ (jv) + nf! (-jv) = п„ (jv) + nn (- jv) =

= 2k-

1 + 2Re(1 + q^j-Wu (jv) > 0, Vve [0,»],

+ j v

что приводит к аналогу критерия Я.З. Цыпкина [5]:

Re[(1 + д-2— )W(jv)] + к- >0, V—е [0,да]. (7) 1 + jv

В [6] показано, что передаточную функцию W ('—) можно представить в виде

n—1

л( jv) = Q • {W( jv) + k-1} > 0 , Vve [0,»],

(4)

E Pi v2(n-1) + j( E gl v2(n-1 )-1)

где я(- эрмитова матрица, связанная с линейной частью и другими параметрами системы; О • - эрмитов оператор, осуществляющий операцию выделения эрмитовой матрицы из комплексной; • - индекс сопряжения матрицы.

Если обозначить {И^('—) + кчерез П('—), то (4), в силу действия эрмитова оператора [3], можно записать в виде

W (jv) =

i=0

i=0

2(n-i)

E mr v v ;

(8)

i=0

Путем подстановки (8) в выражение (7) критерий абсолютной устойчивости одномерной системы сводится к следующему критериальному уравнению:

к Ей—2(п-' )(1 +—2) + 2дк[ Е (р,—2(п-1))—2 -

i=0

i=0

П( jv) + Пт (- jv) > 0, Vv e [0,»],

(5)

т.е. требуется положительная определенность эрмитовой матрицы. Суммарная матрица П('—) + ПГ (-'—)

-Е (g,—2(п-1 )-1)—] + Е (т—2(п-1 ))(1+—2) = о. (9)

1=0 1=0

Таким образом, выражение (9) приводится к следующему полиномиальному виду:

n

Р (х) = h1B1 (х) + h2В2 (х) + А(х) = 0 , (10)

где А(х), В1(х),В2(х)- полиномы; // = с1k ; /2 = с2qk; х = у 2.

Проверка строгой положительности полиномиального выражения (10) может быть осуществлена аналитическим либо графоаналитическим способами. Применение графоаналитического способа, например модифицированного метода корневого годографа, предпочтительнее, так как обеспечивается вывод полученных траекторий корней на комплексную плоскость. При этом отсутствие ветвей, лежащих на вещественной оси, свидетельствует об абсолютной устойчивости исследуемой системы.

Математическая модель исследования робастной абсолютной устойчивости НИСУ

Для проверки робастной абсолютной устойчивости применяется подход, в котором использованы основополагающие теоремы В.Л. Харитонова [7].

Рассмотрим вещественный интервальный полином вида

я . ___

Р(х) = X , аг 6 [ai, аг ], аг ^ аг' . (11)

/=0

Обычно при исследовании интервальных полиномов принято ссылаться на слабую и сильную теоремы Харитонова.

Слабая теорема Харитонова. Необходимым и достаточным условием робастной устойчивости полиномов (11) является гурвицевость всех угловых полиномов, у которых ai = ai либо ai = а/ V/ . Всего из

(11) можно сформировать 2"+1 угловых полиномов.

Сильная теорема Харитонова. Необходимым и достаточным условием семейства полиномов (11) является гурвицевость следующих четырех полиномов:

Р1(х) = а0 + а1 х + а2х2 + а3х3 + а4х4 +...;

Р2(х) = а0 + а1 х + а2х2 + а3х3 + а4х4 +...; (12)

P3( x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 +...;

P4( x) = a0 + aj x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 +... .

Критериальное выражение (9) можно преобразовать в семейство полиномов Харитонова, зная пределы значений изменяемых параметров исследуемой системы и применяя правила интервальной арифметики.

Следовательно, если применить графоаналитический метод, используя критерий абсолютной устойчивости НИСУ (7) и семейство полиномов Харитонова (12), получаем совокупность траекторий корней на комплексной плоскости, по расположению которых делается вывод о робастной абсолютной устойчивости исследуемой системы.

Таким образом, метод анализа робастной абсолютной устойчивости НИСУ можно свести к алгоритму, состоящего из следующих этапов:

1. Определить передаточную функцию исследуемой системы, у которых известны интервальные значения коэффициентов числителя и знаменателя.

2. По известному критерию абсолютной устойчивости НИСУ получить полиномиальное выражение, равносильное этому критерию.

3. Получить семейство полиномов Харитонова.

4. Применяя графоаналитический метод, осуществить вывод полученных корневых траекторий на комплексную плоскость, для определённых значений секторов нелинейных элементов и значений параметра Попова.

5. Сделать вывод о робастной абсолютной устойчивости исследуемой системы.

Заключение

Предложенный метод позволяет путем модификации критерия абсолютной устойчивости НИСУ свести исследование этих систем к проверке строгой положительности полиномов, осуществить которую можно аналитическими или графоаналитическим методами. Использование основополагающих теорем Харитонова позволяет применить разработанный метод к исследованию робастной абсолютной устойчивости НИСУ.

Литература

1. Целигоров Н.А., Мафура Г.М. Причины возникновения интервальных значений в математических моделях исследования робастной устойчивости систем управления // [Электронный ресурс] // Инженерный вестн. Дона. 2012. № 4. Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/ агЛ^е/п4р 1у2012/1277 (дата обращения 10.06.2013).

2. Серков В.И., Целигоров Н.А. Анализ абсолютной устойчивости многомерных НИАС на основе алгебраической модификации критериев, полученных с использованием билинейного преобразования // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1993. № 4. С. 21 - 28.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1967. 575 с.

4. Целигоров Н.А. Программная реализация алгоритма для вывода критериев абсолютной устойчивости многомерных НИАС// Изв. ТРТУ. Темат. выпк. Интеллектуальные САПР: материалы Всерос. науч.-техн. конф. с участием зарубежных представителей «Интеллектуальные САПР-98». Таганрог, 1998. № 2. С. 89 - 92.

5. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М., 1973. 416 с.

6. Целигоров Н.А., Целигорова Е.Н. Алгебраические аспекты исследования робастной абсолютной устойчивости многомерных систем управления // Системный синтез и прикладная синергетика: материалы VI науч. конф. Таганрог, 2011, С. 348 - 357.

7. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. № 11. С. 2086 - 2088.

Поступила в редакцию

27 июня 2013 г.