CC BY
47
Гудкова Ольга Николаевна
E -mail: [email protected].
Сектор автоматизации топологического проектирования; м.н.с.; аспирант.
Щелоков Альберт Николаевич E-mail: [email protected].
Тел.: 84997299845.
.
Gavrilov Sergey Vitalievich
Institute for Design Problems in Microelectronics of Russian Academy of Science.
E-mail: [email protected].
3, Sovetskaya Street, Zelenograd, Moscow, 124681, Russia.
Phone: +74997299890.
The Department of Back-end Design Automation; Head the Department.
Gudkova Olga Nikolaevna
E-mail: [email protected].
The Department of Back-end Design Automation; Junior Researcher; Post-graduate Student.
Schelokov Albert Nikolaevich
E-mail: [email protected].
Phone: +74997299845.
Deputy Director.
УДК 681.51.01
E.H. Целигорова
ПРИМЕНЕНИЕ СИМВОЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
РОБАСТНОЙ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассмотрены особенности использования символьных вычислений для повышения эффективности численных методов. Приведен алгоритм получения коэффициентов полинома в символьном виде для исследования абсолютной устойчивости нелинейной импульсной автоматической системы. Для исследования робастной абсолютной устойчивости этой системы предлагается получение интервальных значений коэффициентов полинома в . .
Нелинейная импульсная автоматическая система; символьные вычисления; робастная абсолютная устойчивость; интервальные коэффициенты полинома.
E.N. Tseligorova
APPLICATION OF SYMBOLIC COMPUTATION IN THE STUDY OF ROBUST ABSOLUTE STABILITY NONLINEAR IMPULSE AUTOMATIC SYSTEMS
In the article the features of symbolic computation to improve the efficiency of numerical methods. The algorithm of obtaining the coefficients of the polynomial in the symbolic form for the study of absolute stability of nonlinear impulse automatic system. To study the robust absolute stability of this system is proposed to obtain interval values of the coefficients of the polynomial in symbolic form. The results are illustrated by example.
Nonlinear impulse automatic system; symbolic computation; robust absolute stability; interval coefficients of the polynomial.
.
пакетов, таких как MathCad, MatLab, Excel и ряд других позволяют выполнять численные вычисления с использованием логических и арифметических операций над массивами чисел. Полученный результат может быть оформлен как в виде , .
Полученные результаты является приближенным, что обусловлено производимыми операциями над вещественными числами, их округлением, связанным с ограничением разрядной сетки при хранении чисел. Накопленные в результате вычислений погрешности могут привести к расходимости или потере вычислительной устойчивости используемых методов, что приводит к получению неверных результатов [1-3].
Ряд ученых, такие как Петров ЮЛ., Гайдук А.Р., Подчукаев В А. и др., столкнувшись с такими явлениями, предлагают некоторые пути их решения. Например, для обеспечения достоверности полученных результатов должны учитываться контрпримеры, приведенные в [4,5]. Кроме того, необходимо проводить дополнительные проверки своих математических моделей, осуществляя проверки, предложенные в [4] или [6,7]. В тоже время имеется возможность свести к минимуму погрешность от накапливания ошибок, используя символьные преобразования.
Символьные вычисления позволяют значительно уменьшить вычислительные затраты и сделать применение методов вычислительной математики более .
С помощью символьных вычислений решается очень широкий спектр задач, требующих вычислений и аналитических выкладок. К ним относятся:
♦ разработка и анализ алгоритмов;
♦ математическое моделировани е и компьютерный эксперимент;
♦ анализ и оработка данных;
♦ визуал изация, научная и инженерная графика;
♦ разработка графических и расчетных приложений.
Символьная математика (компьютерная математика либо компьютерная алгебра) - большой раздел математического моделирования. Программы, применяемые в ней можно отнести к инженерным программам автоматизированного проектирования. При этом, в области инженерного проектирования выделяют три ос:
♦ CAD - Computer Aided Design (Системы автоматизированного проектиро-
( );
♦ CAM - Computer Aided Manufacturing ( -
, );
♦ CAE - Computer Aided Engeneering ( ,
предназначенные для инженерных расчётов, анализа и симуляции физических процессов).
Основными преимуществами применения средств компьютерной алгебры :
♦ повышение эффективности численных методов;
♦ высокая степень автоматизации решения задач;
♦ возможность создания дружелюбного интерфейса.
Символьные вычисления для исследования робастной устойчивости нелинейных импульсных автоматических систем (НИАС) используются пока еще не. , , позволяют проводить исследование как абсолютной, так и робастной абсолютной , .
Объект исследования. В качестве объекта будем рассматривать передаточную функцию непрерывной САУ, имеющую следующий вид:
* (*)=^,
В( Ю
где А(s) - полином числителя передаточной функции степени п;
В(б) - полином числителя передаточной функции степени т.
. .
1. Для исследования абсолютной устойчивости НИАС необходимо получить в символьном виде коэффициенты передаточной функции, которые затем используются в соответствующем критерии абсолютной устойчивости. Поскольку исследование абсолютной устойчивости НИАС, проводится с использованием w-преобразования, необходимо осуществить сначала 7-преобразование ЛИЧ иссле-
, -
ветствующими коэффициентами в w-фopмe.
После соответствующих преобразований получим передаточную функцию , :
* (И.) = ^
В(и)
Выберем для проверки следующий критерий [8]:
1
Ие*(7>) + — >0 У^е (0;^) (1)
к
и осуществим соответствующий переход к псевдочастоте, производя подстановку В [9] критерий (1) преобразован к следующему полиномиальному выражению:
п I+к=2I п I+к=2I
Е Е <£М У"■'1 + кЕЕ («аА У'п"’ = 0. (2)
I =0 I, к =0 I =0 I ,к =0
(2) ,
(1), (2),
что позволяет избежать промежуточных вычислений и накопление погрешностей
.
2. Для исследования робастной абсолютной устойчивости НИАС следует исследовать полученный вещественный интервальный полином вида
П ___ ___
= £ а^1, а{ е а, а{ ] а1 < а{, (3)
1=0
При исследовании интервальных полиномов принято ссылаться на слабую и сильную теоремы Харитонова [10].
Слабая теорема Харитонова. Необходимым и достаточным условием робаст-(3)
которых а{ = а,- либо а{ = а{ УI. Всего из (3) можно сформировать 2п+1 угло-.
Сильная теорема Харитонова. Необходимым и достаточным условием семейства полиномов (3) является гурвицевость следующих четырех полиномов:
2 3 4
Р1(5) = а0 + а15 + а2 5 + а3 5 + а4 5 +...
2 3 4
Р2(5) = а0 + а15 + а2 5 + а3 5 + а4 5 +...
2 3 4
Р3(5) = а0 + а15 + а2 5 + а3 5 + а4 5 +...
2 3 4
Р4(5) = а0 + а15 + а2 5 + а3 5 + а4 5 +...
, , -
мерной НИАС может быть сведено к проверке следующего аналитического выра-
[11]:
Р(х) = А(х) + ЬВ.](х), I =1,...,4, ; = I +1,...,4,
где ^ - варьируемый параметр, изменяющийся от 0 до .
А (х) = (а0 + Да0) + (а1 + Аа1) х +... + (ап + Дап) хп,
В1 (х) = (Ь + Д^) + (Ь + ДЬХ) х +... + (Ьп + ДЬп) хп
где а, Ь{ - номинальные значения коэффициентов; Да{, ДЬ; - вариации, имеющие ограничения — (Х; < Да; < (Х;; — Д < ДЬ(- < Д..
Известна теорема [12], в которой утверждается, что система является робастно абсолютно устойчивой, если выполняется следующий критерий
Ие*(]Ю) + к_1 > 0, У* еГк,
где Г —множество передаточных функций, составленных из полиномов Харито-.
функции разомкнутой системы с интервальными коэффициентами 16 передаточ-, -.
,
основа для исследования робастной абсолютной устойчивости НИАС и для её решения требуется выполнить определенный алгоритм, состоящий из следующих :
1.
знаменателя передаточной функции непрерывного объекта управления в Б-форме.
2. -
точной функции в Б-форме к передаточной функции в г-форме, применяя,
например, формулу Тастина, используя подстановку г=еТБ.
3. Осуществить переход к передаточной функции в w-фopмe, используя подстановку z=(1+w)/(1-w).
4. ,
используя подстановку w= _/ V .
5. Выбрать требуемый критерий абсолютной устойчивости НИАС.
6. -
2 2 ние вида В^ )+кА^ )=0.
7. Заменить переменную V2=x, получая следующее полиномиальное урав-
нение В(х)+кА(х)=0.
8. -
лителя и знаменателя передаточной функции, используя числовые значения параметров объекта управления для получения интервальных значе-.
9. -
ленными значениями интервальных коэффициентов, используя, например, модифицированный метод корневого годографа.
.
устойчивости нелинейной импульсной автоматической системы с получением коэффициентов передаточной функции, которые затем используются в соответствующем критерии абсолютной устойчивости. По приведенному выше алгоритму получим полиномиальное уравнение с символьными значениями интервальных .
Рассмотрим автоматическую систему, которая описывается передаточной функцией вида [13]:
Се (5) = К0 [5(^5 +1)(Т +1)]—1, где Тд - постоянная времени двигателя; Т - постоянная времени генератора;
К0 - коэффициент передачи ^ =К^К^дКгКсмКупц.
Фильтр нижних частот описывается передаточной функцией вида:
% = Ка (ТФ 5 +1)—1,
где Кчд - коэффициент преобразования дискриминатора; Тф - постоянная време-.
Нелинейность ¥ (&) имеет характеристику типа “ограничение”.
Используя параметры объекта управления можно в аналитическом виде получить передаточную функцию ЛИЧ системы в w-фopмe, которая записывается в следующем виде
А( и) а0 и4 + а1 и3 + а2 и2 + а3 и + а4
№ (у) =
В( у) Ь0 У + Ьу3 + Ь2 w2 + Ь3 w + Ь4
где
а0 = а0-а1 + а2 + а3; ах = 4а0 - 2ах - 4а3; а2 = 6а0 - 2а2 - 6а3; а3 = 4а0 + 2ах - 2а3; а4 = а0 + ах + а2 + а3;
ао = 2ТІ -2ТІ + 2ТІ + ТдвТ2 + Т]Тйа; ах=2ТІЛ -Т3Т-ТЛ -Т2Т (р-1)+Т3 (р-1) +
+Т3 (т-1) + Т(Х (2 р + т + 3); а = (ТІТ + ТдХ - 2 Т2Т)(р + т) - Т2Т (Р + т + рт + 1) +
+ТІ8 (р - т + рт-1) + Т3 (-р + т + рт-1) + ТгшТ? (3 р + т + рт+1); а3 = 2ТІЛ - ТІТг - Т*Т,3 + (ти? - Т3 - г! - ТЛ) рт +
+(ТІ- ПвТг )т + (Т2 - ТХ) р;
Ь0 = Ь0г - Ц + Ь\ - Ь3г; Ь1 = 4Ь0г - 2Ь* - 4Ь3г; Ь2 = 6Ь0г - 2Ь| - 6Ь3г;
Ь3 = 4Ь0 + 2Ь* - 2Ь3г; Ь4 = Ь0г + Ц + Ь2г + Ь3г;
Ь0г = Ь0;Ь1г = (Ь1 - Ь0д); Ь2г = (Ь2 - Ь^); Ь3г = (Ь3 - Ь2д);Ь4 = Ь3д;
Ь0 = 2ТгТдв - Тдв - Т2 ; Ь1 = (1. + р + т) + Тг (1 + р + т) -
-2 ТТ (1 + р + т);
Ь2 = Т)2( рт - р - т) - Т2 (р + т + рт) + 2ТдвТг (а + Ь);
Ь4 = (ТИ2 - ^) рт;
-т0/ Т)й -г0/ т -
р = е 0 й“; т = е 0 • ; д = е
Осуществим разложения передаточной функции на действительную и мнимую части для чего проведем замену и = jV . В результате чего передаточную функцию можно представить в следующем виде
* (И)=РП+тп
М (V)
где
Р V) = а0 Ь0п8 + (аД — а0 Ь2 — а 2 Ь0)И + +(а 2 Ь2 + а1 Ь3 — а0 Ь,4 — а4 Ь0 + а3 ЬХ)И + (а3 Ь3 — а 2 Ь4 — а4 Ь2)у2 + а4 Ь4;
2 (V) = (а0 Ь1 — аД )г7 + (—а0 Ь3 + аЬ + а 2Ь1 + а3 Ь0 V5 +
+(а 2Ь3 — а3 Ь2 — а4 Ь1 — а1 Ьа)уъ + (а3 Ь4 — а4 Ь3У;
М (V) = Ь02 V8 + Ь — 2Ь0 Ь2 )у6 + (Ь22 — 2Ь3 Ь1 + 2Ь4 Ь0 V4 + +(Ь32 — 2Ь2 Ь4У2 + Ь42;
Выбирая для проверки следующий критерий,
ИеЩjV) + ^>0 Уvе (0,«), к
2
заменяя V = х, получим полиномиальное уравнение с символьными значениями интервальных коэффициентов
Ь02 х4 + (Ь:2 — 2Ь0 Ь2) х3 + (Ь22 — 2 Ь3 Ь + 2Ь4 Ь0) х2 + (Ь32 — 2 Ь2 Ь4) х +
+Ь42 + к [ а0 Ь0 х4 + (аД — а0 Ь2 — а 2 Ь0) х3 +
+(а2Ь2 + агЬ3 — а0 Ь.^ — а4 Ь0 + а3 Ь:) х2 + (а3 Ь3 — а2Ь4 — а4 Ь2) х + а4 Ь.^ ] = 0. Полученное полиномиальное уравнение может быть использовано для про, , робастной абсолютной устойчивости этой системы.
. ,
символьном виде полиномиальные уравнения, обеспечивая повышение эффективности численных методов вычисления при исследовании робастной абсолютной устойчивости нелинейных систем.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Петров ЮМ. О скрытых опасностях, содержащихся в традиционных методах проверки устойчивости // Известия вузов. Электромеханика. - 1991. - № 11. - С. 106-109.
2. Петров ЮМ. Устойчивость линейных систем при вариациях параметров // Автоматика и телемеханика. - 1994. - № 11. - C. 186-189.
3. Данилевич Я.Б., Петров ЮМ. О необходимости расширения понятия эквивалентности математических моделей // Доклады Академии наук. - 2000. - Т. 371, № 4. - С. 473-475.
4. .. . . -
рофами последних лет. - СПб.: Изд-во СПбГУ. - 1-е изд., 1999. - 108 с.; - 3-е изд., 2002. - 141 .
5. . . . - , 2000. - 156 .
6. . . // -ника. - 1997. - № 3. - C. 153-160.
7. Подчукаев В.Л. К проблеме грубости // Сборник “Аналитические методы синтеза регуляторов”. - Саратов, 1997. - C. 205-223.
8. . . -фа для исследования робастной абсолютной устойчивости нелинейных дискретных систем // Известия ТРТУ. - 2008. - № 9. - С. 191-193.
9. . ., . .
годографа для исследования робастной абсолютной устойчивости многомерных систем управления // «Идентификация систем и задачи управления». Труды VI Международной конференции SICPRO '07. 29 января - 1 февраля 2007 г. Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН - CD-ROM, № 13034.
10. . . // -ханика. - 1995. - № 1. - С. 169-178.
11. . ., . . -
// -конференций «Интеллектуальные системы» (AIS’06) и «Интеллектуальные САПР» (CAD 2006). - М.: Физматлит, 2008. - T. 2. - С. 541-543.
12. . -ными и нелинейными неопределенностями: Автореф. дисс. ... д-ра тех. наук. - Таганрог: ТРТУ, 1996.
13. . . -
// - « -туальные системы» (AIS’08) и «Интеллектуальные САПР» (CAD 2008). - М.: Физматлит. - 2008. - T. 2. - С. 362-365.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор ЮЛ. Чернышев.
Целигорова Елена Николаевна
Донской государственный технический университет.
E-mail: [email protected].
344023, . / , . , 1.
.: 88632589136.
Кафедра вычислительных систем и информационной безопасности; аспирант.
Tseligorova Elena Nikolaevna
Don State Technical University.
E-mail: [email protected].
1, Country Council Street, Rostov on Don, 344023, Russia.
Phone: +78632589136.
Department of Computational Systems and Information Security; Post-graduate Student.
