Исследование устойчивости системыэлектропривода Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского,2014, № 4 (1), с. 343-349

УДК 519.876.2

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОПРИВОДА © 2014 г. С.Н. Стребуляев

Институт прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

stsn@vmk.unn.ru

Пиступнла в ридакцню 08.04.2014

Рассмотрена типовая структурная схема системы электропривода, включающая в себя систему управления и двигатель. Получены общая передаточная функция изучаемой системы и характеристическое уравнение в символьном виде. Проведен анализ устойчивости изучаемой системы по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Построены границы областей устойчивости в плоскостях различных параметров. Впервые получены границы областей устойчивости в виде поверхностей в трехмерном пространстве конструктивных параметров и найдены параметры, оказывающие наибольшее влияние на устойчивость системы электропривода.

Ключивыи слива: система электропривода, математическая модель, характеристическое уравнение, область устойчивости, система аналитических вычислений, чувствительные параметры.

Методы исследования динамики электропривода базируются на общих методах теории автоматического регулирования, которые в настоящее время в значительной степени модернизируются. Это связано с широким внедрением в расчетную практику численных методов, основанных на применении ЭВМ. Электропривод является составной частью почти любой современной машины или оборудования. Система электропривода является сложной многоконтурной системой с несколькими цепями обратной связи и большим количеством регулируемых параметров. Значения этих параметров не всегда известны точно или могут варьироваться в процессе эксплуатации. Использование систем аналитических вычислений (САВ) в процессе создания математических моделей, и особенно при их анализе, сопряжено с необходимостью выполнения громоздких преобразований и вычислений. Актуальна задача построения математических моделей и создания программного обеспечения и расчёта устойчивости, в том числе и робастной, исследуемых систем.

Структурная схема рассматриваемого электропривода приведена на рисунке 1. Эта схема состоит из двух частей: собственно электропривода (ЭП) и двигателя (Д). Сигнал от устройства числового программного управления и3 поступает на вход регулятора скорости (коэффициент передачи в изображении по Лапласу Ж1(р),

р = /га ). При наличии рассогласования А и2 на входе регулятора скорости на его выходе формируется сигнал, пропорциональный этому

рассогласованию, который, сравниваясь с текущим значением тока якоря, поступает на вход регулятора тока.

На рис. 1 Щ (р), Щ (р) и W5 (р) - передаточные функции тиристорного преобразователя, цепи якоря и двигателя, соответственно; К1, К2 -коэффициенты усиления в цепи обратной связи контура тока и скорости; Ст, Се - коэффициенты усиления по моменту и ЭДС. К1 , К2, Ст, Се являются усилительными безынерционными звеньями, Ж1(р) и Щ2( р) - позиционными, Щ3(р) и Щ4(р) - апериодическими, Щ5(р) -интегрирующим.

Передаточные функции отдельных звеньев системы хорошо известны из теории автоматического регулирования и имеют вид:

Щз(р) =—Г-, (1)

1+Т2 р

Тз

Щ(р) =

1 + ТАр '

щ5( р)=^

5 р

(2) (3)

где Т1 и Т 2 - коэффициент усиления и малая постоянная времени, соответственно, тиристор-

-1

ного преобразователя; Т3 = ]/ Яя, Ом Т4 = Ья1 Яя , Гн/Ом, где Ья и Яя - индуктивность и сопротивление в цепи якоря двигателя, Т5 -суммарный момент инерции ротора с приведенной инерционной нагрузкой.

Отличия в структурных схемах рассматриваемых приводов состоят в видах передаточных функций регуляторов скорости Ж1(р) и тока Ж 2( р). В настоящем рассмотрении эти передаточные функции представлены в общем виде отношением полиномов:

(10)

^ (р) =

Р)

Ш р)

Г2 + Г1Р + Г0 Р

(11)

д6 + д5 р + 44 р2 + 43 р3 + ^2 Р4 + Ч1Р5 + Чо Р6

Ж1(Р) = Т^Г' (4)

Т + Т2 р

Ж2(Р) = . ^2 • (5)

а1 + а2р + а3 р Анализ структурной схемы (рис. 1) показывает, что общая передаточная функция системы может быть получена из следующих очевидных соотношений

\и з - К 2 П)ЖД р ) - I я К ]х

X Ж2( Р )Жз( р) = и я, (6) «(и я -ПС. )Ж4( р) = 1я, (7)

(ия - ПС. )Ж4(р)Ст = П / Ж5 (р), (8)

где П - скорость вращения ротора двигателя. После преобразования выражений (6)-(8) получим:

П(р) = Др)^). (9)

Общая передаточная функция ^ (р) определяется из соотношения: ^ (р) = (С„Ж (р)Ж2 (р)Жз (р)Ж4 (р)Ж5 (р)) X

X (К2СгаЖ (Р)Ж2 (р)Жз (р)Ж4 (р)Ж, (р) + +1+КЖ{ р)Жз( р)Ж4( р) +

+ СеС„Ж4( р)Ж5( р))-1.

Для рассматриваемого электропривода общая передаточная функция F (р) представляется в виде отношения полинома второго порядка к полиному шестого порядка:

Приравниваем знаменатель общей переда точной функции к нулю и получаем характери стическое уравнение вида:

бб(Р) = Чо Р6 + Ч1Р5 + Чг Р 4 +

+ Чз Р3 + Ч4 Р2 + 45 Р + 46 = 0,

(12)

где

чо = Т5 Ъ2 а3Т2 Т4;

ч1 = т5т2 а 3т4 + т5т1а 3т2т4 +

+ Т5 Т2 а 2Т2Т4 + Т5 Т2 ^ 3^ ч2 = СеСшТ3Ь2а3Т2 + Т5Т1а3Т2 + + Т5Т1а2Т2Т4 + Т5Т2а1Т2Т4 +

+тт2а3 +Т5ь2а2Т2 +Т5ь1а3Т4 +Т5ь2а2Т4;

Чз = СеСшТ3Ь1а 3Т2 + Т5Т1а 2Т4 + + С еС тТ3Т 2 а 2Т2 + К1Т1Т3Т5 С2 Т2 +

+ т5т2 а1т4 + т5т1а 2т2 + т5т2 а1т2 + + т5т2 а 2 + т5т1а 3 +

+ С еС тТ3Т2 а 3 + Т5ЪАТ2ТА;

ч 4 = СеСтТ3Ь1<а 2Т2 + СеСтТ,Т1а 3 +

+ Т5М 2 + С еСтТй 2 +

+ К 2С тТ1Т3 а2 С2 + Т5Т1а1Т4 +

+Т5т1а1Т2 + С С т3тах +

5112 е т 3212

+ К1Т1Т3Т5С1Т2 + К1Т1Т3Т5 С2Т1 + Т5Т2

Ч 5 = С еС тТ3Т 2 ^ + к 2 СтТ1Т3 ^1С2 +

+ т5 Ъа + СеСтТ3ЬЛТ2 +

+ К1Т1Т3Т5 С1Т1 + СеСтТ3Т1а 2 + к 2 СтТ1Т3 й 2

■ЛЗ jfj в:1° 1Л1 ОЙ' jj 111

=0 08 1^=0 1

Рис. 2. Границы областей устойчивости в плоскости параметров (К1гК2) для разных значений Т5

Чб = К2СтТ1Т3аС1. Вводя замену О(() = X^) и полагая и3(?)= =1(0, получим математическую модель ЭП в виде системы дифференциальных уравнений

X,(/) = X 2(/), X2 (^) = Xз(/), Xз(/) = X4 (),

X 4(0 = х 5(0,

X 5(0 = Х 6 (О, Xб(0 = -—Xб(0 -... -

Чо

(13)

45

4б

- ^ X 2(0 - ^ х 1(0 + -2-q0 q0 q0

с соответствующими начальными условиями. Эта модель была использована для расчета и анализа качества переходного процесса.

Исследование устойчивости в плоскости параметров проводилось с использованием критерия Рауса-Гурвица. При проведении вычислительного эксперимента использовался разработанный достаточно универсальный комплекс программ. Это программное обеспечение позволяет определять область устойчивости (или неустойчивости) в плоскости двух любых задаваемых пользователем параметров. При этом также задаются пределы изменения указанных параметров. Расчет показал, например, что при увеличении момента инерции ротора двигателя с приведенной инерционной нагрузкой Т5 область устойчивости в плоскости параметров (К], К2) увеличивается (рис. 2).

Вместе с тем при увеличении параметра Т3, величины, обратной сопротивлению цепи якоря двигателя, область устойчивости в плоскости тех же параметров уменьшается (рис. 3).

С использованием широких возможностей работы системы Maple в режиме символьных преобразований больших объемов информации была сделана успешная попытка построения поверхностей - границ областей устойчивости для трехмерного случая.

Известно, что коэффициенты усиления в цепях обратной связи играют существенную роль при анализе устойчивости динамических систем. Рассмотрим пространство параметров (K1, K 2, Ce). Каждый из этих параметров изменяется в определенных пределах, обусловленных работой системы ЭП. Подставим номинальные значения остальных параметров, кроме вышеуказанных, и р=/ю в характеристическое уравнение (12). Приравнивая нулю вещественные и мнимые части характеристического полинома, получим систему уравнений: fRe(e6(i®)) = 0, [ Im^O®)) = 0.

При решении этой системы получаем зависимости K1 = ф(Сe,ю) и K2 = у(Се,ю):

K = —;--у- X

1 ю2(5.3290000-107 + 14641ю2) x (8.528691542-10-17(-5.8091378881016ю4Се --3.42 69 1 8484- 1021Се -8.4467205001023Се +

(14)

Рис. 3. Границы областей устойчивости в плоскости параметров (Кь К2) для разных значений Т3

Рис. 4. Границы областей устойчивости в пространстве параметров (К1, К 2, Се) и (Т3,Т4, Т5)

+1.6995042851013 га6 + 6.459807676-1017 га4 + + 2.236873572- Ю^га2)),

(15)

К 2 =--

1

5.3290000 -107 +14641 га2 х (5.516430274 -10-19 (3.907729161 -1020 га2Се --4.809516253 -1014га4С + 1.689344100 -1023С -

е е

-1.287617095 -1017га4 + 1.364688313 -1011 га6 -

- 4.83325744 -1020 га2)). Изменяя в (15) Сен < Се < Сек и 0 < га < да, получаем параметрически заданную поверхность, разделяющую пространство (К1, К 2, Се)

на две области. В разработанном комплексе программ предусмотрен также анализ характера областей по ту или другую стороны от полученной поверхности. Верификация программного обеспечения проводилась по анализу границ областей устойчивости в сечениях полученных трехмерных изображений. В результате компьютерного моделирования были получены, в частности, границы областей устойчивости в виде поверхностей в пространстве параметров исследуемой системы (рис. 4).

Их анализ показывает, что изменение коэффициента усиления Се не оказывает влияния на

изменение границы области устойчивости. Этот результат хорошо согласуется с имеющимися данными в методической и научной литературе.

Имея столь богатый материал о границах областей устойчивости, естественно рассмотреть случай, когда параметры системы не известны точно, причем во многих случаях их значения в принципе не могут быть доступны. При этом сами уравнения, описывающие движение, известны точно. В таких ситуациях можно ставить задачу о робастной устойчивости для случая параметрической неопределенности.

Пусть задано семейство полиномов [1]

Ш( P, А) = Ш P, а) = 40 (а) + 41 (а) Р +

(16)

+... + дп (а) рп, ае А}.

Коэффициенты 41 (а) зависят от параметров ае К, изменяющихся в допустимом множестве. Это семейство называется робастно устойчивым, если Ш(р, а) устойчивы при всех

аеА, т.е.

Repi (а) < 0, , = 1,..п, 4 е Ш(р, А),

где р, (а) - корни Ш (р, А).

Таким образом, замкнутая система обладает свойством робастной устойчивости по отношению к неопределенности, если для любой неопределенности выполняется условие, что корни характеристического полинома находятся в открытой левой полуплоскости С на плоскости корней.

Для определения границ робастной устойчивости, применительно к изучаемой системе, воспользуемся принципом исключения нуля, предложенным в [1].

Теорема 1. Пусть полином щр, а0) устойчив для некоторого а0 е А , множество А связно, и 4п(а)Ф0 для всех аеА. Тогда условие 0 й Р(ю) = {ШО'ю, а): аеА},

У0 < ю <сю необходимо и достаточно для робастной устойчивости семейства (16).

Множество Р (ю) называется областью значения полиномиального семейства (16). Это двумерный образ множества А при преобразовании Ш( ую, а).

Анализ вспомогательных годографов из семейства Р(ю) проведен на ЭВМ в режиме анимации (рис. 5). При этом менялось положение точки в плоскости параметров и отслеживалось положение вспомогательного годографа относительно начала координат в плоскости (Яе(£( р, а)),1тШ( р, а))).

Разработанное программное обеспечение позволило эффективно провести исследования и анализ границ областей устойчивости рассматриваемой динамической системы. Проводились исследования робастной устойчивости также с использованием полиномов В.Л. Харитонова [2].

На следующем этапе исследований проводился поиск чувствительных параметров системы ЭП, оказывающих наибольшее влияние на изменение границ областей устойчивости. При расчетах использовался корневой метод. Проводился анализ положения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости при изменении каждого из семнадцати параметров изучаемой системы. Эти исследования стали эффективны благодаря использованию режима анимации (рис. 6).

-1500 -1600 - 14i>0 -1200 -lOOO -BOO -600 -400 -200 о Re(W(p))

-200 -

Рис. 6. Влияние параметра Т5 на изменение положения корней характеристического уравнения

К К Т Т2 Т3 Т4 Т, a2 b2 C1 С2 d3 С ^m

т,% 72 125 53 134 55 - - 133 - 212 68 78 131

4,% 72 - - - 94 43 57 98 59 - 83 - -

Рис. 7. Чувствительные параметры системы ЭП

Результаты анализа чувствительных параметров приведены на рисунке 7. Выяснилось, что параметры а1 ,а1 ,а2 и Се не оказывают влияния на устойчивость системы. При рассмотрении семнадцатимерного пространства конструктивных параметров системы можно перейти к пространству меньшей размерности -тринадцатимерному.

Анализ результатов показывает, например, что при увеличении параметра Т3 на 55% от его номинального значения и при его уменьшении на 94% система ЭП переходит в неустойчивую область. При увеличении параметра Т на 53% также наблюдается переход в неустойчивую область. Уменьшение же этого параметра не приводит к переходу в неустойчивую область.

Таким образом, для рассмотренной динамической системы можно отметить, что при изменении ее параметров на ±43% перехода в неустойчивую область не произойдет.

Полученные результаты и программное обеспечение могут быть использованы при проектировании и разработке новых конструкций приводов. Предложенный подход с использованием программных средств - системы аналитических вычислений Maple - может быть эффективно использован для анализа устойчивости более сложных систем автоматического регулирования. При этом появится необходимость использования значительных ресурсов вычислительной техники и компьютерных станций.

Список литературы

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

2. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 1. Вып. 11. С. 2086-2088.

STABILITY ANALYSIS OF ELECTRIC DRIVE SYSTEM S.N. Strebulyaev

A typical block diagram of an electric drive system is considered which consists of a control system and an engine. A general transfer function of the system and a characteristic equation in a symbolic form are obtained. An analysis of the system stability is carried out by the location of characteristic equation roots in the complex plane. The system design parameters were varied to some extent to find their limit values at which the system became unstable in the course of the multi-factor computer experiment. Stability domain borders are built in the planes of different parameters. The stability domain borders have first been obtained in the form of three-dimensional space surfaces of the design parameters. The results related to analytic symbolic transformation of a large amount of information were obtained due to the use of the computer algebra package Maple. The sensitive parameters which exert the most influence on the electric drive system stability have been found.

Keywords: electric drive system, mathematical model, characteristic equation, stability domain, analytical calculation system, sensitive parameters.

References 2. Haritonov V.L. Asimptoticheskaya ustojchivost'

semejstva sistem linejnyh differencial'nyh uravnenij 1. Polyak B.T., Shcherbakov P.S. Robastnaya //Differencial'nye uravneniya. 1978. T. 1. Vyp. 11. ustojchivost' i upravlenie. M.: Nauka, 2002. 303 s. S. 2086-2088.