CC BY
10ИККИ ЖИНСЛИ ПОПУЛЯЦИЯНИНГ ДИНАМИКАСИ ХДЦИДА
Хайдар Раупович Расулов
Бухоро давлат университети
Феруза Юсуф кизи Яшиева
Бухоро давлат университети
АННОТАЦИЯ
Маколада популяция жараёнларини урганилиш тарихи, уларнинг амалий ва назарий ахамияти хакида маълумотлар берилган. Узбекистонлик ва чет эллик олимларнинг ушбу сохадаги фундаментал тадкикотлари тахлил килиниб, икки жинсли популяцияни ифодаловчи вольтерра квадратик стохастик операторининг узлуксиз вактли аналоги (умумлашган холи киритилган) сонли усуллар оркали урганилиб, олинган назарий маълумотлар билан киёсий таккосланган.
Калит сузлар: Икки жинсли популяция, квадратик стохастик оператор, оддий дифференциал тенгламалар, динамик системалар, сонли ечимлар.
The article provides information about the history of the study of population processes, their practical and theoretical significance. Fundamental research of uzbek and foreign scientists in this field is analyzed, the continuous time analogue of the volterra quadratic stochastic operator representing a two-sex population (generalized case) is studied by numerical methods and compared with the obtained theoretical data.
Keywords: a two-sex population, quadratic stochastic operator, simple differential equations, dynamic systems, numerical solutions.
Тирик мавжудотларнинг ривожланиши хар хил жараёнларда турли йуллар билан намоён булади. Бунда тугилиш, усиш, индивидуаллик, индивидларнинг улими, ташки мухит ва шу кабилар таъсир килади. Шу холатлар инобат олиниб популяциянинг математик модели курилади.
АДАБИЁТЛАР ТАХЛИЛИ ВА МЕТОДОЛОГИЯ
Популяция сонининг узгариши унинг динамикасини ташкил килади. Популяцивий динамика математик биологиянинг кисми булиб, уз вактида популяциянинг холатини аниклашга каратилган «математик полигон»
ABOUT THE DYNAMICS OF A TWO-SEX POPULATION
Khaydar Raupovich Rasulov
Bukhara State University
Feruza Yusuf kizi Yashieva
Bukhara State University
ABSTRACT
КИРИШ
хисобланади. Чунки, математик моделлаштириш урганилаётган жараён хакида тулик маълумот олишга, унинг усиш ёки камайиши тугрисида хулоса чикаришга имконият беради.
Популяцияни урганиш буйича математик масалаларни куйилиши кадимги вактларга бориб такалади. Хдкикатан хам бу каби масалаларни урганиш ва хулосалар чикариш мухим ахамиятга эга.
Популяциянинг математик модели буйича биринчи изланишлар 1170-1240 йилларда яшаб утган Леонардо Фибоначчининг «Х,исоблаш хакида рисола» («Трактат о счете» («Liber abaci»)) асарида келтирилган.
Арифметик ва алгебраик маълумотлар туплами булган ушбу китобда уша вакт ва кейинчалик Европа буйлаб таркалган куйидаги муаммо куриб чикилган: «бир жуфт куёндан бир йил давомида нечта куён тугилади, агарда бир жуфт куён тугилганидан кейин икки ойдан сунг улардан битта куён тугилади». Бу масаланинг ечими куйидаги сонлардан иборат:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...
Бу сонлар тарихда Фибоначчи сонлари сифатида киритилган.
Хакикий популяцияларда купайиш ва улим даражаси турли гурухларда турлича булади. Масалан, хашаротлар тухум куяди ва душманлари личинкаларни улдириб юборади, бундан ташкари, уларга атроф-мухитдаги метаболик махсулотлар, каннибализм ва захарланишлар, ёш боскичлари ва уларнинг интенсивлиги таъсир курсатади.
Уз навбатида икки жинсли популяциянинг динамикаси тахлили хам назарий, хам амалий жихатдан мухим ахамиятга эга. Зараркунанда хашараротларнинг купайишини бошкариш усуллари (бепушт эркак хашаротларни чикартириш, феромон тузоклар ва шу кабилар) популяция структурасида маълум бир дисбалансни пайдо килишга каратилган булиб, уларнинг купайишини секинлаши хамда бузилишига олиб келади. Ушбу масалалар эпидемиологиянинг долзарб масалаларидан бири хисобланади.
Икки жинсли популяциянинг динамикаси моделнинг асосан узлуксиз вактли холида урганилган [1]. Оддий дифференциал тенгламалар системаси асосида курилган бу моделлар бошка жуда куплаб турларнинг мавсумий купайиши динамикасини ифодалашда ижобий (купайиш жараёни дискрет булганлиги учун) натижалар бермайди.
Ушбу турдаги жараёнларни импульсли оддий дифференциал тенгламалар системаси оркали ифодаланган математик моделлари [2] энг маъкул моделлар хисобланади ва урганилаётган жараённи хакикий жараёнга якин ифодалайди. Хусусан, биологияда популяция эволюциясининг математик модели квадратик стохастик операторлар оркали ифодаланади [3].
Биологик система эволюцияси жараёнида хар хил типдаги индивидларнинг чегараланган таксимотини топиш муаммоси квадратик стохастик операторнинг асимптотик хусусиятларини урганилишига тенгдир. Бундан ташкари, квадратик стохастик операторлар назариясида оддий ва ностандарт масалалар хамда ечилмаган масалаларнинг куплиги математик нуктаи-назардан катта кизикиш уйготади.
Квадратик стохастик оператор тушунчаси биринчи марта С.Н.Бернштейннинг «Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследованности» [4] асарида кулланилган. Бу ерда квадратик стохастик операторлар траекторияларининг хдтти-харакатларини урганиш вазифаси куйилган. Шундан кейин квадратик стохастик операторлар назарияси ривожланиб, куплаб маколалар нашр этилган.
МУ^ОКАМА
Операторларнинг ночизиклиги, траекторияларни урганишда мураккаб ва кийин хдсоблашлар мавжудлиги, аналитик ечимларни топиш усуллари кенг ривожланмаганлиги ва квадратик операторларни урганишда куп сонли хисоблашларни утказиш зарурати борлиги бу турдаги масалаларни ечишда кизикиш уйготмади. Лекин, компьютерларнинг пайдо булиши натижасида квадратик стохастик операторларнинг траекторияларининг холатини урганиш муаммосига кизикишни кайта тикланди. Улам ва хдмкасблари компьютерлар оркали квадратик операторларни урганиш борасида етарлича куп хдсоблашларни амалга оширдилар.
Икки жинсли популяциянинг динамикасини урганишга багишланган [5] маколада икки жинсли популяциянинг (математик модели) таърифи берилган ва ушбу маколада урганилаётган хол учун шу турдаги популяцияни ифодаловчи квадратик стохастик операторларнинг куринишлари келтирилган.
Эркин квадратик стохастик операторлар куйидаги маънога эга. Фараз киламиз, эркин популяция т та элементдан иборат булсин. У холда
т
Sm—1 = {х = (х1, ...,хт) ERm,xi>0,i = Tji },^xt = 1,
i=1
туплам (т — 1) - улчамли симплекс дейилади.
' 1 симплексни уз-узига акслантирувчи квадратик стохастик оператор V:Sm—1 ^ Sm—1,
т
V\xk' = ^ pijikxixj,k = 1,...,т
i,j=i
куринишга эга булади, бунда, pijk - ирсийлик коэффициенти ва
m
Рц,к > 0, ^ Рчк = 1, 1>]> к = 1, ■••,т.
1,1=1
Маълумки, математик биологиянинг асосий вазифаси урганилаётган квадратик стохастик операторларнинг траекторияларини асимптотик кандай тутишини аниклашдан иборат.
Бу масалалар вольтерра типидаги квадратик стохастик операторлар учун тулик урганилган. Вольтерра типидаги квадратик стохастик операторлар буйича олиб борилган изланишлар масаладан келиб чикиб, р^к = 0, агар кё {{,]} шарти остида урганилган.
Ушбу маколада [5] даги илмий ишда киритилган икки жинсли популяцияни ифодаловчи дискрет вактли квадратик стохастик операторларнинг узлуксиз вактли аналогини урганамиз.
Фараз киламиз, С авлодни холати (х, у) — булсин. Унинг кейинги холати куйидаги формулалар билан аникланади:
л П,у
х/ = ^ Рш/Г) ху 1<)<П,
W := <
] / г ж,]
п,у (1)
у1>-=1р^)х«к,1«<_,
< ик=1
Таъриф: (1) эволюцион оператор икки жинсли вольтерра типидаги квадратик стохастик оператор дейилади, агарда
Р1К)(П = 0, У ё { I, к}1 < 1,] <п,1 < к < V
ва
Р1к,1(т) = 0,1ё {1,к},1 < I < п,1 < к,1 < V. [5] да 16 та четки икки жинсли вольтерра типидаги квадратик стохастик операторлар мавжудлиги курсатилган.
Фараз киламиз, п = V = 2 булсин. У холда (1) нинг биринчи четки узлуксиз вактли аналогининг умумлашган холи куйидагича булади: Хг = (а + с)х2У±, Х2 = (Ь + 0)Х2У2 — Х2,
у1=х1+ Х2У1 —У1, ( )
У2 = Х2У2 — У 2,
бунда а,Ь>0ваа + Ь = 1, с,й>0вас + й = 1,а + с^0,Ь + й^0.
(2) оддий дифференциал тенгламалар системаси [6] да урганилган узлуксиз вактли операторнинг умумлашмасидан иборат.
Динамик системалар урганилаётган жараёндан келиб чикиб, дискрет вактли
ва узлуксиз вактли системалар оркали урганилади. Каскадлар деб аталадиган | 668 |
дискрет вактли системаларда системанинг хатти-харакатлари (ёки бир хил булса, фазали фазосидаги системанинг траекторияси) холатлар кетма-кетлиги билан тавсифланади. Оким деб аталадиган узлуксиз вактли динамик системаларда системанинг холати вактнинг хар бир лахзаси учун аникланади.
Жараённи хар бир лахзадаги холатини урганиш учун узлуксиз вактли оператор урганилмокда. (2) автоном оддий дифференциал тенгламалар системаси а, с, b, d ларнинг маълум бир кийматларида ечимнинг мавжудлиги ва ягоналиги хакидаги теореманинг шартларини каноатлантиради. Шу сабабли бу системанинг ечимларини излаш ва тахлил килиш мумкин.
НАТИЖА
Маълумки, динамик системанинг мувозанат холати дифференциал тенгламанинг критик (сингуляр, кузгалмас) нукталарига, ёпик фазали эгри чизиклари эса унинг даврий ечимларига тугри келади.
Маколада (2) нинг кузгалмас нукталари топилган ва уларнинг тури аникланган. а, Ь, с, d ларнинг турли кийматлари (2) системанинг сонли ечимлари топилган. Олинган натижалар тахлил килиниб, [4] да олинган назарий натижалар билан бир-бирини такрорланиши аникланган.
Юкорида келтирилганлардан куриниб турибдики, икки жинсли вольтерра типидаги квадратик стохастик операторларни урганиш катта амалий ахамиятга эга. Шуни таъкидлаш керакки, циклик ва хаотик динамик режимлар факат уз-узини бошкариш механизмларининг турли жинсдаги индивидлар таъсиридаги фарклар маълум бир критик кийматга етганда пайдо булиши мумкин. Агар бундай фарклар булмаса, унда тизимда ягона глобал баркарор мувозанат кузатилади.
ХУЛОСА
Дискрет вактли квадратик стохастик операторларнинг узлуксиз вактли аналоги урганилганда, бу каби операторлар - чизикли булмаган оддий дифференциал тенгламалар системалар хамда чизикли булмаган хусусий хосилали дифференциал тенгламалар [7-20] учун турли чегаравий масалаларни урганишга келтирилади. [7-20] маколаларда динамик системаларнинг кузгалмас нукталари топилиб, таснифланган, айримларининг аналитик ва сонли ечимлари топилиб, киёсий таккосланган хамда ечимининг мавжуд ва ягоналиги исботланган. Урганилаётган квадратик стохастик операторлар биологик жараёнларни ифодаловчи математик модель булиб хисобланади ва [21] маколада биологик жараёнларни ифодаловчи турли математик моделлар тахлил килинган ва биология билан богликлиги курсатиб утилган.
[22-30] маколаларда олиб борилган илмий изланишларда юкорида урганилаётган масалаларни тахлил килишни осонлаштириш буйича педагогик тавсиялар берилган. Чунки, ушбу турдаги муаммоларни урганиш укувчилардан (талабалардан) математик масалаларни мустакил равишда мухокама килиш имкониятини берадиган билим, куникма ва малакаларга эга булишни талаб килади.
REFERENCES
1. А.С.Исаев, Р.Г.Хлебопрос, Л.В.Недорезев и др. Популяционная динамика лесных насекомых. М.: Наука, 2001 г., с. 374.
2. Недорезов Л.В. Моделирование массовых размножений лесных насекомых. Новосибирск, Наука, 1986 г., с. 125.
3. Розиков У.А., Жамилов У.У. F-квадратичные стохастические операторы // Математические заметки, 83:4 (2008), с. 606-612.
4. Бернштейн С.Н. Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследованности, Ученые записки научно-исследовательской кафедры Украины, 1924 г., №1, с. 85-115.
5. Розиков У.А., Жамилов У.У. Вольтерровские КСО двуполой популяции // Украинский математический журнал, 63:17 (2011), с.985-998.
6. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021) с.23-26.
7. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, с. 197-199.
8. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020), С. 6-9.
9. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. Об одном квадратично стохастическом операторе с непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 y., p.145-146.
10. Расулов Х.Р., Джуракулова Ф.М. Об одной динамической системе с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021) с. 19-22.
11. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021) с.27-30.
12. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об одной динамической системе с непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 y., p.115-116.
13. Расулов Х.Р. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа // «Комплексный анализ, математическая Физика и нелинейные уравнения» Международная научная конференция Сборник тезисов Башкортостан РФ (оз. Банное, 18 - 22 марта 2019 г.), с.65-66
14. Rasulov Kh.R. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019), р.35-38.
15. Rasulov Kh.R. On a continuous time F - quadratic dynamical system // Uzbek mathematical journal, 4 (2018), p.126-131.
16. Джуракулова Ф.М. О численных решениях непрерывного аналога строго невольтерровского квадратичного стохастического оператора // Вестник науки и образования, 102:24-3 (2020), С. 6-9.
17. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование, 72:8 (2020) с.29-32.
18. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021) с.23-26.
19. Rasulov X.R., Qamariddinova Sh.R. Ayrim dinamik sistemalarning tahlili haqida // Scientific progress, v.2 / issue 1, (2021), (issn: 2181-1601) р.448-454.
20. Расулов Х.Р., Джуракулова Ф.М. Баъзи динамик системаларнинг сонли ечимлари хакида // Scientific progress, v.2 / issue 1, (2021), (issn: 2181-1601) р.455-462.
21. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики № 53:2 (2021), с. 7-10.
22. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students. Academy, 55:4 (2020), pp. 68-71.
23. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadvantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics. Academy, 55:4 (2020), pp. 6568.
24. Расулов Т.Х., Нуриддинов Ж.З. Об одном методе решения линейных интегральных уравнений. Молодой учёный, 90:10 (2015), с. 16-20.
25. Марданова Ф.Я. Использование научного наследия великих предков на уроках математики. Проблемы педагогики. 51:6 (2020), с.40-43.
26. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics. International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020), p.3068-3071.
27. Расулов Т.Х. Инновационные технологии изучения темы линейные интегральные уравнения. Наука, техника и образование. 73:9 (2020), с.74-76.
28. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Organizing educational activities based on interactive methods on mathematics subject. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6:10 (2019), p.43-45.
29. Расулов Т.Х,., Расулов Х.Р. Узгариши чегараланган функциялар булимини укитишга доир методик тавсиялар // Scientific progress, v.2 / issue 1, (2021), (issn: 2181-1601) р.559-567.
30. Расулов Т.Х., Ширинова М.У. Об одном применение леммы Морса. Молодой учёный, 9 (2015), с.36-40.
