CC BY
22УЗГАРИШИ ЧЕГАРАЛАНГАН ФУНКЦИЯЛАР БУЛИМИНИ УЦИТИШГА
ДОИР МЕТОДИК ТАВСИЯЛАР
Тулкин Хусенович Расулов Хайдар Раупович Расулов
Бухоро давлат университети Бухоро давлат университети
rth@mail.ru xrasulov71 @mail. ru
АННОТАЦИЯ
Ушбу маколада Математик анализ, Функционал анализ ва Математик анализнинг танланган боблари фанларининг мухим булимларидан бири булган «Узгариши чегараланган функциялар» булимини укитишга оид тавсиялар келтирилган. Узгариши чегараланган функция ва тула вариацияга оид маълумотларни келтирилган хамда тула вариацияни хисоблашнинг асосий хоссалари баён килинган. Талабаларнинг мавзуни узлаштирганлик даражасини аниклаш имконини берувчи бир катор интерфаол усуллар ва уларнинг кулланилиши хакида фикр-мулохалар юритилган.
Калит сузлар: узгариши чегараланган функция, тула вариация, интерфаол усуллар, кичик гурухларда ишлаш, шеригини топ.
METHODICAL RECOMMENDATIONS FOR TEACHING THE SECTION OF FUNCTIONS WITH BOUNDED VARIATION
Tulkin Husenovich Rasulov Khaydar Raupovich Rasulov
Bukhara State University Bukhara State University
rth@mail.ru xrasulov71 @mail. ru
ABSTRACT
In this paper the recommendations for the teaching of the section «The functions with bounded variation», which is one of the important sections of the subjects of Mathematical Analysis, Functional Analysis and Selected sections of mathematical analysis are given. An information about the functions with bounded variation and total variation are given, and the basic properties of the calculation of total variation are described. A number of interactive methods are given that allow to determine the level of understandablility of the topic.
Keywords: functions with bounded variation, total variation, interactive methods, work in small groups, find a pair.
КИРИШ
Мазкур маколада олий таълим муассасалари 5130100 - Математика таълим йуналишида укитиладиган «Математик анализ», «Функционал анализ» ва «Математик анализнинг танланган боблари» фанларининг мухим булимларидан бири «Узгариши чегараланган функциялар» мавзусини укитишда фойдаланиладиган асосий коидалар хамда бу булимни укитишда кулланиладиган интерфаол усуллар мухокама килинади. Бизга яхши маълумки, таълимда замонавий педагогик технологияларнинг асосий максади укув жараёнида талабани дарс жараёнинг марказига олиб чикиш, талабаларни материалларни шунчаки ёд олишларидан, автоматик тарзда такрорлашларидан узоклаштириб, мустакил ва ижодий фаолиятини ривожлантириш, дарснинг фаол иштирокчисига айлантиришдир. Шундагина талабалар мухим хаётий ютук ва муаммолар, утиладиган мавзуларнинг амалиётга тадбиги буйича уз фикрига эга булади, уз нуктаи назарини асослаб бера олади.
АДАБИЁТЛАР ТА^ЛИЛИ ВА МЕТОДОЛОГИЯ
Таълимда укитувчи интерфаол методлардан мавзуга мувофикини танлай билиши мухим хисобланади. Укитувчи интерфаол методлардан аввало оддийдан мураккабга утиш назариясига амал килган холда фойдаланмоги лозим. Уз навбатида илгор педагогик технологиялар асосида ташкил этилган дарслар талабаларни билимларининг яхлит узлаштирилишига ёрдам беради. Талаба тафаккурини устиради, мустакил, ижодий фикрлашга ургатади.
Талабаларда мавзу ва унинг амалий ахамиятига доир тулик тасаввур пайдо булиши узгариши чегараланган функцияларнинг тадбиги хакида кискача маълумот келтирамиз. Сунгра узгариши чегараланган функция ва тула вариацияга оид маълумотларни келтирамиз хамда тула вариацияни хисоблашнинг асосий хоссаларини санаб утамиз. Талабаларнинг мавзуни узлаштирганлик даражасини аниклаш имконини берувчи бир катор интерфаол усуллар ва уларнинг кулланилиши хакида фикр-мулохалар юритамиз.
Маълумки, Риман интеграли математик анализнинг асосий мавзуларидан биридир. Амалий тадбигининг кенглиги билан фанда мухим урин тутади. Уз навбатида Риман интегралининг умумлашмаси булган Стилтьес интегралини урганишда фанга биринчи булиб С.Жордан томонидан киритилган чекли вариацияли функциялар асосий вазифани бажаради.
Чекли вариацияли функциялар факатгина Стилтьес интегралини урганишда эмас, балки математик анализнинг бошка куплаб масалаларида мухим ахамиятга эга.
Масалан, массаси бирор [a, b] кесма таксимланган моддий жисмнинг огирлик марказини топиш масаласини куриб чикайлик. Х,ажмнинг dv элементида
dm(x) масса мос келсин ва М каралаётган [а, Ь] кесманинг умумий массаси булсин.
У холда
ь
м = Idm(x)
а
булади хамда унинг огирлик маркази
и
1J
MJ
ь
xdm(x)
а
га тенг. Бу эса Стилтьес интеграли булиб, уларни урганишда узгариши чегараланган функциялар мухим ахамият касб этади.
Режада белгиланганидек, узгариши чегараланган фукцияларнинг тула вариациясини хисоблашда талабаларга кулайлик тугдирувчи куйидаги хоссаларни санаб утамиз:
1-коида: агар f(x) функция [а,Ь] кесмада монотон булса, у холда унинг узгариши чегараланган булиб, тула узгариши
y\f] = lf(b)-f(a)l
" а
га тенг булади;
2-коида: Агар [а, Ь] кесмада аникланган f(x) функция [а, Ь) ярим очик
ораликда монотон булса, унинг узгариши чегараланган булиб,
b
Ут = lf(b -0)- f(a)l + lf(b) - f(b - 0)|
a
га тенг булади;
3-коида: Агар [a, b] кесмада аникланган f(x) функция (a, b] ярим очик
ораликда монотон булса, унинг тула узгариши чегараланган булиб,
b
Ут = lf (a + 0)-f (a)l + If (b) -f (a+ 0)1
a
га тенг булади;
4-коида: Агар [a, b] кесмада аникланган f(x) функция (a, b) очик ораликда
монотон булса, унинг тула узгариши чегараланган булиб,
b
Ут = If (a + 0)- f(a) I + If (b-0)-f (a + 0) I
a
+ If (b)-f (b-0)I
га тенг булади.
Энди мавзуга мос интерфаол усулларни танлаш ва уларни куллаш масаласини караймиз. Дастлабки метод «Кичик гурухларда ишлаш» методи
булиб, у талабаларни биргаликда ишлашга урганиш накадар мухим эканлигини тушунишга ёрдам беради. Бу метод билан укув машгулотларини ташкил килиш анъанавий укув машгулотлари утишга караганда анча самарали эканлигини кузатиш мумкин.
Аслида талабаларни кичик гурухларга булиб, укитишнинг узи етарли эмас. Кутилган натижага эришиш учун яна икки компонент - гурухни рагбатлантириш ва шахсий масъулиятни хис килиш механизми хамда уни рагбатлантириш тизимини ишлаб чикиш зарур. Кичик гурухларга булиниб, укув машгулотларини утиш методининг бир канча вариантлари ёки моделлари мавжуд. Улардан биринчиси гурухларнинг укув материалини узлаштириш натижасини яхшилашга каратилган. Бу методни «Узгариши чегараланган функциялар» булимини укитиш мисолида тахлил киламиз. Талабаларга юкоридаги маълумотлар такдим килингач, талабалар кичик гурухларга ажратилади ва уларга топшириклар берилади.
Масалан, 28 нафар талабадан ташкил топган гурух турта кичик гурухларга булинади. Куйидаги топшириклар талабалар эътиборига хавола килинади:
f(x) функциянинг [а, Ь] кесмада узгариши чегараланган эканлигини курсатинг ва тула узгаришини топинг. 1-топширик. х Е [0,п],
п
-5, агар х = —, № = { \
sinx, агар х ^ —.
2-топширик. х Е
п п 2 , 2
[ 3, агар х = 0, J ( ) = \cosx, агар х ^ 0.
3-топширик. х Е [-л, и],
!0, агар х = 0, х
5 + 6со^—,агар х ± 0.
4-топширик. х Е [-1,3],
С 5, агар х = 0, = \х2 - 1, агар х±0.
Аввалдан танлаб олинган топширикларни бажариш учун талабалар аввало тула вариацияни хисоблаш коидалари орасидан топширикга мосини танлай билиши ва уни тугри тадбик килиши талаб килинади. Мазкур холатда 1 -топширик 2-коида буйича, 2-топширик 3-коида буйича, 3-топширик 1-коида буйича ва нихоят 4-топширик 3-коида буйича ечилади.
Гурухни кичик гурухларга булиб ишлаш оркали узаро ахборот алмашинуви мунтазам амалга оширилади, гоя ва фикрларни йигиш хамда уртоклашиш таъминланади. Тадкикот натижалари гурухда ишлаш индивидуал ишлашга караганда яхширок самара беришини курсатмокда.
| Uzbekistan wwwscientificprogressuz Page 562 I
МУХОКАМА
Куллаш учун танлаб олинган навбатдаги метод бу - «Мосини топ» методидир. Ушбу методда жадвалнинг чап томонидаги тушунчага мос унг томонида фикр, формула, чизма, график ва хрказолар келтирилиши керак булади. Демак, чап томондаги тушунча урганилиб, унг томонда турган устундан мос тугри жавоб топилади ва стрелка (чизик, белги) билан бирлаштирилади.
Куйидаги жадвалда «Узгариши чегараланган функциялар» келтирилган булиб, шу тушунчаларга мос келган мисолларни (формулаларни) топиш талаб ;илинади.
Топшириклар Коидалар
( 8, агар х = 1, \х2 — 2х, агар х Ф 1. [0,2] b y[f] = If(b-0)-f(a)I a + If(b)-f(b-0)I
с 2, агар х = 0, = {1д(1 + х2), агар х Ф 0. [3,3] b y[f] = If (b-0)-f (a)I a + If (b)-f (b-0)I
( п 1 6, агар х = —, Пх) = { 2 п 14созх2х, агар х Ф —. п [0Xf b y[f] = If (a + 0)-f (a)I a + If (b)-f (a + 0)I
Г(Х) = (х — 1)(х — 2) [2,2] b y[f] = If (b)-f (a)I a
/(х) = х2 — 3х + 2 [0,2] b y[f] = If (a + 0)-f (a)I a + If (b)-f (a + 0)I
с 3, агар х = 0, Г(х)=\ех2-1,агар х Ф 0. [-1,1] b y[f] = If(b-0)-f(a)I a + If(b)-f(b-0)I
с 4, агар х = 1, Г(х) = \2х2-1,агар хФ1 [-1,2] b y[f] = If (a + 0)-f (a)I a + If (b)-f (a + 0)I
НАТИЖА
Талабалар мисолларни мухокама килишади, исботлашади ва узаро мосликни топиб, жавобларини стрелка (чизик, белги ва шу кабилар) ёрдамида курсатишади.
«Мосини топ» методи уйин методларидан бири булганлиги сабабли, барча талабаларни диккатини каратишга ва фаол катнашишга ундайдиган методдир.
Мустакил урганиб келишлари учун куйидаги топширикдарни уйга вазифа сифатида бериш максадга мувофик хисобланади.
1-топширик. f(x) функциянинг [а, Ь] кесмада узгариши чегараланмаган эканлигини курсатинг.
№ № [a, Ь]
1 ( 0, агар х = 0, fW = { . 1 _ [sin—, агар х ^ 0. [0,2]
2 (10, агар х = 0, fW ={4 [~2, агар х*а [0,2]
3 ( 0, агар х = 0, f(x) = \sXsin1-, агар хе10.п]. ^ X [0,п]
4 ( 2, агар х = 0, f(X)=\ 1 СГП 1 cos—, агар х Е [0,п\. ^ X [0,п]
5 f(x)=\x-2, агар хЕ[0,П], 1 2, агар х = 2. [0,2]
2-топширик.
1. Агар f(x) функция [а, Ь] кесмаларида узгаришлари чегараланган булса, у
холда
X
<роо = Ую
а
функциянинг монотон камаювчи эканлигини исботланг.
2. Агар f(x) функция [а, Ь] кесмада узгариши чегараланган булса, унинг чегараланган эканлигини исботланг.
3. Агар f(x) функция [а,Ь] кесмада узгариши чегараланган булса, у холда
X
ВД = Ую - №
а
функциянинг монотон камаювчи эканлигини исботланг.
4. Агар f(x) функция [а, Ь] кесмада узгариши чегараланган булса, у холда
f(x) функциянинг хам [а, Ь] кесмада узгариши чегараланган эканлиги ва
b b
У№] — У\п
а а
булишини исботланг.
5. [а, Ь] кесмада узлуксиз чекли хосилага эга булган функциянинг узгариши чегараланган эканлигини исботланг.
6. Агар f(x) функциянинг [a, b] кесмада тула узгариши А булса, у холда kf(x) + с функциянинг [а, Ь] кесмада тула узгаришини топинг.
7. f(x) — [a, b], (а < Ь) кесмада аникданган функция булсин.
b
yif] = o
а
булиши учун f(x) = const булиши зарур ва этарли эканлигини исботланг.
8. f(x) функциянинг [а, Ь] кесмадаги узгариши чегараланган булсин.
f(x) функциянинг [а, Ь] кесмада монотон камаймайдиган булиши учун
b
У[П = f(b) — f(a)
а
тенгликнинг бажарилиши зарур ва етарли эканлигини исботланг. ХУЛОСА
Хрзирги вактда математика фанини урганиш ва уни сифатли укитишга алохида эътибор каратилмокда. Шу муносабат билан математикани укитишни янада самарали илгор педагогик усулларни ишлаб чикиш ва мавжудларини дарсларни утишда куллаш буйича бир катор илмий изланишлар [1-21] олиб борилмокда. Айтиб утиш жоизки, мавзуларни утишда ва янги педагогик технологияларни нафакат математик анализнинг танланган бобларини укитишда, балки дифференциал тенгламалар фани буйича дарсларни утишда хам кулланилиши талабаларнинг илмий изланишлар олиб боришларини фаоллашишига [22-30] хамда анча мураккаб булган илмий маколаларни узлаштиришларига ижобий таъсир курсатмокда.
REFERENCES
1. Марданова Ф.Я. Нестандартные методы обучения высшей математике // Проблемы педагогики. 53:2 (2021), С. 19-22.
2. Шарипова И., Марданова Ф. Преимущества работы в малых группах при изучении темы первообразной функции // Проблемы педагогики. 50:5 (2020), С. 29-32.
3. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics // International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020), pp. 3068-3071.
4. Мамуров Б.Ж., Жураева Н.О. О первом уроке по теории вероятностей // Вестник науки и образования. 96:18 (2020), часть 2, С 5-7.
5. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование, 72:8 (2020) с.29-32.
6. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students // Academy. 55:4 (2020), pp. 68-71.
7. Бобоева М.Н. Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными // Наука, техника и образование. 73:9 (2020), С. 48-51.
8. Бобокулова С.Б., Бобоева М.Н. Использование игровых элементов при введении первичных понятий математики // Вестник науки и образования. 99:21
(2020), часть 2, С. 85-88.
9. Бобоева М.Н., Шукурова М.Ф. Обучение теме «множества неотрицательных целых чисел» с технологией «Бумеранг» // Проблемы педагогики. 51:6 (2020), С. 81-83.
10. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadvantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics // Academy. 55:4 (2020), pp. 65-68.
11. Расулов Т.Х., Нуриддинов Ж.З. Об одном методе решения линейных интегральных уравнений. Молодой учёный, 90:10 (2015), С. 16-20.
12. Расулов Т.Х., Ширинова М.У. Об одном применение леммы Морса // Молодой учёный. № 9 (2015), С. 36-40.
13. Rasulov T., Rasulova Z. Organizing educational activities based on interactive methods on mathematics subject // J. Glo. Res. Math. Arch. 6:10 (2019), pp. 43-45.
14. Бобоева М.Н. Метод графического органайзера при изучении темы «Множество неотрицательных целых чисел» // Проблемы науки, 63:4 (2021), С. 71-74.
15. Марданова Ф.Я. Нестандартные методы обучения высшей математике // Проблемы педагогики. 53:2 (2021), С. 19-22.
16. Бобоева М.Н., Меражов Н.И. Поля значений 2х2 операторной матрицы с одномерными интегральными операторами // Вестник науки и образования. 95:172 (2020).
17. Сайлиева Г.Р. Использование метода «Математический рынок» в организации практических занятий по «Дискретной математике» // Проблемы педагогики. 53:2
(2021), С. 27-30.
18. Бобоева М.Н. Обучение теме «Множества неотрицательных целых чисел» // Проблемы педагогики. 53:2 (2021), С. 23-26.
19. Бобоева М.Н. Обучение теме «Множества неотрицательных целых чисел» кластерным методом // Проблемы педагогики. 53:2 (2021), С. 23-26.
20. Тошева Н.А. Использование метода мозгового штурма на уроке комплексного анализа и его преимущества // Проблемы педагогики. 53:2 (2021), С. 31-34.
21. Расулов Т.Х. Инновационные технологии изучения темы линейные интегральные уравнения // Наука, техника и образование. 73:9 (2020), С. 74-76.
22. Rasulov X.R., Qamariddinova Sh.R. Ayrim dinamik sistemalaming tahlili haqida // Scientific progress, v.2 / issue 1, (2021), (issn: 2181-1601) р.448-454.
23. Расулов Х.Р. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа // «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения» Международная научная конференция, Сборник тезисов Башкортостан РФ (оз. Банное, 18 - 22 марта 2019 г.), с.65-66
24. Расулов Х.Р., Джуракулова Ф.М. Баъзи динамик системаларнинг сонли ечимлари хдаида // Scientific progress, v.2 / issue 1, (2021), (issn: 2181-1601) р.455-462.
25. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики № 53:2 (2021), с. 7-10.
26. Расулов Х., Джуракулова Ф. Об одной динамической системе с непре-рывным временем //Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021) с. 19-22.
27. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021) с.27-30.
28. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021) с.23-26.
29. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020), С. 6-9.
30. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, c. 197-199.
