CC BY
14БАЪЗИ ДИНАМИК СИСТЕМАЛАРНИНГ СОНЛИ ЕЧИМЛАРИ ХДКВДА
Хайдар Раупович Расулов Фарангис Мурат кизи Джуракулова
Бухоро давлат университети Бухоро давлат университети
xrasulov71 @mail .ru
АННОТАЦИЯ
Маколада динамик системалар, динамик системаларнинг кузгалмас нукталари ва шу йуналишда олиб борилган илмий изланишлар тахлиллари келтирилган. Бундан ташкари, дискрет вактли квадратик стохастик операторнинг узлуксиз аналоги (оддий дифференциал тенгламалар системасига келтирилади) С++ тилида тузилган дастур ёрдамида ечилиб, ечимнинг аниклик даражаси 0,001 гача хисобланган.
Калит сузлар: квадратик стохастик операторлар, дастурлаш тили, сонли усуллар.
ABOUT NUMBER SOLUTIONS OF SOME DYNAMIC SYSTEMS
Khaydar Raupovich Rasulov Farangis Murat kizi Dzhurakulova
Bukhara State University Bukhara State University
xrasulov71 @mail .ru
ABSTRACT
The article presents dynamic systems, fixed points of dynamic systems and analysis of scientific research in this area. In addition, a continuous analog of a discrete-time quadratic stochastic operator (reduced to a system of simple differential equations) was solved using a program written in C ++ and the accuracy level was found to be 0.001.
Keywords: quadratic stochastic operators, programming language, numerical methods.
КИРИШ
Энг аввало динамик системанинг таърифини келтирайлик. Динамик система - бу хдкикий жараён (физик, биологик, иктисодий ва бошкалар) эволюциясининг математик модели булиб, хар кандай вактда хам холати узининг дастлабки холати билан аникланади. Динамик системаларнинг эволюция конунининг берилиши турлича булади: чизикли ёки ночизикли дифференциал тенгламалар, дискрет акслантиришлар, графлар назарияси, Марков занжирлари назарияси, мувозанатда булмаган термодинамика назарияси, динамик хаослар назарарияси, синергетика
ва бошкалар. Шу уринда айтиб утиш лозимки, мувозанатда булмаган термодинамика - термодинамик мувозанат холатидан ташкаридаги системаларни ва кайтариб булмайдиган жараёнларни урганади; - динамик хаослар назарияси эса маълум бир чизикли булмаган динамик системаларнинг хатти-харакатларини тавсифловчи математик аппарат булиб, маълум шароитларда хаос деб номланувчи ходисага боглик; - синергетика (кадимги юнон тилидан олинган булиб, «фаолият» деган маънони англатади) - бу термодинамик мувозанатдан узок булган, моделларнинг шаклланиши ва узаро ташкил топиши хамда очик системалардаги структураларни урганадиган фаннинг фанлараро йуналиши хисобланади.
АДАБИЁТЛАР ТА^ЛИЛИ ВА МЕТОДОЛОГИЯ
Динамик системалар урганилаётган жараёндан келиб чикиб, дискрет вактли ва узлуксиз вактли системаларга ажратилади. Анъанавий равишда каскадлар деб аталадиган дискретли вактли системаларда системанинг хатти-харакатлари (ёки бир хил булса, фазали фазосидаги системанинг траекторияси) холатлар кетма-кетлиги билан тавсифланади. Анъанавий равишда оким деб аталадиган узлуксиз вактли динамик системаларда системанинг холати вактнинг хар бир лахзаси учун аникланади. Каскадлар ва окимлар рамзий ва топологик динамикаларда куриб чикиладиган асосий мавзу хисобланади.
Динамик система (узлуксиз вактли) купинча маълум бир сохада аникланган, мавжудлик ва ягоналик теоремасининг шартларини каноатлантирадиган автоном дифференциал тенгламалар системаси оркали ифодаланади. Динамик системанинг мувозанат холати дифференциал тенгламанинг критик (сингуляр, кузгалмас) нукталарига, ёпик фазали эгри чизиклари эса унинг даврий ечимларига тугри келади.
Динамик системалар назариясини ассосий вазифаси дифференциал тенгламалар билан аникланадиган эгри чизикларни урганишдир. Бунга фазали фазонинг траекторияларга булиш ва ушбу траекторияларнинг холатини урганиш киради: мувозанат холатини топиш ва таснифлаш, узига жалб килувчи (аттракторлар) ва итарувчи (репеллерлар) тупламларни аниклашлар киради.
Замонавий динамик системалар назарияси математиканинг турли сохаларида кенг кулланилади ва самарали бирлаштирилади: топология ва алгебра, алгебраик геометрия ва улчовлар назарияси, дифференциал шакллар назарияси шулар жумласидандир.
Юкорида айтиб утилганидек, динамик системани тахлил килишнинг асосий вазифаларидан бири бу система холатининг эволюциясини урганишдир. Одатда система холати баъзи конунлар билан берилади. Математик генетикада пайдо буладиган ушбу конуниятларни тавсифлаш учун купинча квадратик стохастик операторлардан фойдаланилади.
Стохастиклик (кадимги юнонча тос суздан олинган булиб, максад, тахмин) -тасодифийликни англатади. Тасодифий (стохастик) жараён детерминистик булмаган жараён булиб, бундай системанинг кейинги холати хам тахмин килинадиган, хам тасодифий микдорлар билан тавсифланади.
Математикада стохастиклик атамасидан фойдаланиш Владислав Борткевичнинг (рус иктисодчиси ва статисти) гипотезалардан фойдаланиш борасида ёзган асарлари билан боглик хисобланади.
МУХОКАМА
Турли сохалардаги бир катор муаммолар чизикли булмаган узгаришларнинг такрорланиши уларнинг эргодик ва асимптотик хусусиятларини урганиш зарурлигига олиб келади. Масалан, купайтирувчи ва таркаладиган заррачаларнинг узаро таъсири билан шугулланадиган физика муаммолари; ёпик генетик система популяцияси динамикасининг биологик муаммолари; жамоавий хулк-атвор моделларида баркарорликнинг иктисодий муаммолари ва бошкалар.
Эргодик назарияда чизикли булмаган узгаришларнинг такрорланиши эхтимолий-статистик тасаввурларнинг иштирок этиши билан боглик булиб, узгармас улчовлар ва динамик системалар тушунчасига олиб келади.
Хусусан, биологияда популяция эволюциясининг математик модели квадратик стохастик операторлар оркали ифодаланади. Ушбу талкин билан ёпик биологик система эволюцияси жараёнида хар хил типдаги индивидларнинг чегараланган таксимотини топиш муаммоси квадратик стохастик операторнинг асимптотик хусусиятларини урганилишига тенгдир. Бундан ташкари, квадратик стохастик операторлар назариясида оддий ва ностандарт масалалар хамда ечилмаган масалаларнинг куплиги математик нуктаи назардан катта кдзикдш уйготади.
Квадратик стохастик операторларнинг траекторияларининг холатини (яъни такрорланишлар кетма-кетлигини) урганиш муаммоси биринчи булиб С. Улам ва унинг сафдошлари [1] асарларида учрайди. Шунингдек, бир катор илмий изланишларда компьютер ёрдамида икки улчовли S2 симплексда берилган хар хил типдаги квадратик стохастик операторларнинг траекторияларининг сонли тахлили утказилган. Кейинчалик С. Улам ва унинг хамкасбларининг изланишлари 5П-1 симплексидаги квадратик стохастик операторларни урганиш учун зарур буладиган Липшиц константаларини бахолашга багишланган.
Квадратик стохастик операторларнинг синф кенг булиб, ушбу маколада баъзи типга тегишли булган квадратик стохастик операторнинг таърифини келтирамиз. Биз [2] ишдаги таърифлар ва белгилашлардан фойдаланамиз. Е = { 1,2, ,п] булсин.
n
■ n-1 ->x = [x±, ...,xn]ERn: xt > 0,^xt — 1
Sn-L —
i=1
туплам (n — 1) улчовли Sn-1 симплекс деб аталади.
Х,ар бир х Е Sn-1 элемент Е да эхтимоллик катталиги булиб, уни п та элементдан ташкил топган биологик (физик ва хоказо) системани холати деб изохлаш мумкин.
Квадратик стохастик оператор V: Sn-1 ^ Sn-1
п
V:x'k
i,j=1
бу ерда pij k ирсийлик даражаси булиб, у куйидаги шартларни каноатлантиради:
IL
:Х'к= '^^Vij,kxixj, (1)
п
Vi],к > 0, Vi],к — Vji,k ,^Vij,k — 1.
k=1
Математик генетикада ушбу оператор V популяциянинг эволюцион оператори ёки квадратик стохастик операторлар синфига кирувчи оператор хисобланади. Популяция купайтириш амалига нисбатан ёпик булган организмлар бирлашмаси сифатида тавсифланади.
Популяцияда F1,F2,... насллар кетма-кетлиги фаркланади. Турли насллар вакиллари уртасида кесишиш содир булмайди деб тахмин киламиз. Популяция таркибига кирадиган хар бир вакил 1,2, ...,п турлардан бирига тегишли. Популяция холати х — (х1, ...,хп) Е Sn-1 оркали белгиланади. Асосий максад х нинг турли вактлардаги холатини урганиш хисобланади.
Ушбу маколада юкорида айтиб утилган квадратик стохастик операторнинг (1) узлуксиз аналогининг муайян холатини, яъни чизикли булмаган оддий дифференциал тенгламалар системасини урганамиз.
п — 3 ва pijk баъзи кийматларида урганилаётган система куйидаги
куринишга эга булади:
1
2
%1 — %3 + 2%2^3 ^1,
■ _ 1 2 (2)
Х.2 — — Х3 + 2Х1Хз — X2,
^Хз — X1 + 2X1X2 х3.
(2) системани, яъни оддий диференциал тенгламалар системасини (Коши масаласи) сонли ечиш учун Эйлер усулини куллаймиз.
НАТИЖА
Айтиш жоизки, сонли усулларга багишланган куплаб дарслик ва укув кулланмаларда асосан биринчи тартибли оддий дифференциал тенгламаларни
ечиш учун Эйлер усули батафсил баён этилади. Шу сабабли (1) системани хам оддий дифференциал тенгламага (вектор куринишда) келтирилишини (оддий дифференциал тенгламалар системаларини сонли ечиш ечишга багишланган бир катор адабиётларда берилган) курсатиб утамиз. Бундан шундай хулоса килиш мумкинки, оддий дифференциал тенгламаларни ечиш учун кулланилган барча усулларни дифференциал тенгламалар системасига хам куллаш мумкин.
Бунинг учун (1) оддий дифферециал тенгламалар системасини куйидаги куринишга ёзиб оламиз:
Х1 = А(х1,х2,хЗ),
\х2= ¡2(х1,х2,хз), (3)
^3 = 1з(х1,х2,хз').
Бошлангич шартлар куйидагича булсин: х^ = Хю, Х2(0) = Х20, хз(0) = х3о.
Тенгламалар системасини кулай куринишда, яъни вектор куринишида ёзиб оламиз:
X = Р(Х), Х(0) = Хо,
бу ерда X = (х1, х2, х3)т ноъмалум функцияларнинг вектор устуни, F = (!ък>к)Т - (1) системанинг унг томонидан бериган функцияларнинг вектор устуни.
Эйлер усули ёрдамида (3) дифференциал тенгламалар системасини куйидаги системага келтириб оламиз:
хЬ] + 1 = ХЬ] + кА1(х1],х2],х3]),
I = 1,2,3,
] — кадам раками,
г]+1 = ц + к.
Кайд килиб утамиз, Эйлер усули булакли-чизикли функция оркали интеграл эгри чизигини якинлаштиришга асосланган. С++ тилида дастурлаш ёрдамида сонли ечимлар (2) олинди. Куйидаги жадвалда х1(0) = 0.4,х2(0) = 0.4, х3(0) = 0.2 булгандаги ечимларнинг кийматлари келтирилган:
j tj+1 xij X2j X3j
0 0 0.4 0.4 0.2
1 0.1 0.387 0.387 0.225
2 0.2 0.377 0.377 0.245
3 0.3 0.369 0.369 0.262
4 0.4 0.362 0.362 0.275
5 0.5 0.357 0.357 0.286
6 0.6 0.353 0.353 0.295
7 0.7 0.349 0.349 0.302
8 0.8 0.346 0.346 0.307
9 0.9 0.344 0.344 0.312
10 1 0.342 0.342 0.316
11 1.1 0.340 0.340 0.319
12 1.2 0.339 0.339 0.322
13 1.3 0.338 0.338 0.324
14 1.4 0.337 0.337 0.326
15 1.5 0.337 0.337 0.327
16 1.6 0.336 0.336 0.328
17 1.7 0.335 0.335 0.329
18 1.8 0.335 0.335 0.333
19 1.9 0.334 0.334 0.333
20 20 0.334 0.334 0.333
Дастур ёрдамида турли бошлангич кийматларда (3) динамик системанинг ечимлари топилган. Шуни таъкидлаш лозимки, олинган сонли ечимлар [2] да олинган назарий натижаларга тулик мос келади. Шунингдек, узлуксиз вактли квадратик стохастик операторлар - чизикли булмаган дифференциал тенгламалар системалари хамда чизикли булмаган дифференциал тенгламалар учун [3-16] да турли чегаравий масалалар урганилган.
ХУЛОСА
Маълумки, маколада урганилган узлуксиз вактли квадратик стохастик операторлар биологик жараёнларни ифодаловчи математик модель хисобланади. [17] маколада биологик жараёнларни ифодаловчи математик моделлар, яъни бир катор операторларнинг куринишлари ва уларнинг биология билан богликлиги курсатиб утилган.
Дискрет вактли квадратик стохастик операторлар хам чукур урганилган булиб, [18-28] маколаларда уларнинг кузгалмас нукталари ва траекторияларининг холати топилган хамда ушбу изланишларни тахлил килишни осонлаштириш учун педагогик тавсиялар берилган.
REFERENCES
1. Улам С. Нерешенные математические задачи // М. Наука, 1964, С. 168.
2. Розиков У.А., Жамилов У.У. О динамике строго невольтерровских квадратичных стохастических операторов на двумерном симплексе // Мат. сборник, 200:9 (2009), с. 81-94.
3. Rasulov Kh.R. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10, 2019.
4. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021) с.23-26.
5. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. Об одном квадратично стохастическом операторе с непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 y., p.145-146.
6. Rasulov Kh.R. On a continuous time F - quadratic dynamical system // Uzbek mathematical journal, 4 (2018), p.126-131.
7. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, c. 197-199.
8. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020), С. 6-9.
9. Джуракулова Ф.М. О численных решениях непрерывного аналога строго невольтерровского квадратичного стохастического оператора // Вестник науки и образования, 102:24-3 (2020), С. 6-9.
10. Расулов Х.Р. и др. О разрешимости задачи Коши для вырождающегося квазилинейного уравнения гиперболического типа // Ученый XXI века, 53:6 (2019), С.16-18.
11. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021) с.27-30.
12. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об одной динамической системе с непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 y., p.115-116.
13. Расулов Х.Р. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболического типа // «Комплексный анализ, математическая Физика и нелинейные уравнения» Международная научная конференция Сборник тезисов Башкортостан РФ (оз. Банное, 18 - 22 марта 2019 г.), с.65-66
14. Rasulov Kh.R. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019), р.35-38.
15. Расулов Х.Р., Джуракулова Ф.М. Об одной динамической системе с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 72:2-2 (2021) с. 19-22.
16. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование, 72:8 (2020) с.29-32.
17. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики № 53:2 (2021), с. 7-10.
18. Мамуров Б.Ж., Жураева Н.О. О роли елементов истории математики в преподавании математики. Abstracts of X International Scientific and Practical Conference Liverpool, United Kingdom 27-29 May, 2020. C. 701-702.
19. Мамуров Б.Ж. Неравномерной оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для симметрично зависимых случайных величин . Молодой учёный. 197:11 (2018). С. 3-5.
20. Мамуров Б.Ж., Бобокулова С. Теорема сходимости для последовательности симметрично зависимых случайных величин. Academy. 55:4 (2020). Pp. 13-16.
21. Mamurov B.J., Rozikov U.A. On cubic stochastic operators and processes. Journal of Physics: Conferense Series. 697 (2016), 012017.
22. Mamurov B.J., Rozikov U.A., Xudayarov S.S. Quadratic stochastic processes of type (|u). arXiv: 2004.01702 [math.D.s]. Pp. 1-14.
23. Мамуров Б.Ж., Жураева Н.О. О первом уроке по теории вероятностей. Вестник науки и образования. 96:18 (2020), часть 2, С 5-7.
24. Mamurov B.J. A central limit theorem for quadratic chains with finite genotypes. Scientific reports of Bukhara State University. 1:5,2018. Pp. 18-21.
25. Mamurov B.J., Rozikov U.A. and Xudayarov S.S. Quadratic Stochastic Processes of Type (). Markov Processes Relat.Fields 26, 915-933 (2020).
26. Мамуров Б.Ж. Эволюционные уравнения для конечномерных однородных кубических стохастических процессов. Bulletin of Institute of Mathematics 2019. №6, р.35-39.
27. Мамуров Б.Ж. О кубических стохастических процессов. Тезисы докладов межн. конфер. C0DS-2009. С.72.
28. Мамуров Б.Ж., Сохибов Д.Б. О неподвижных точек одного квадратичного стохастического оператора. Наука, техника и образование. 77:2-2 (2021), Стр.1015.
