CC BY
5
УДК 517 9
Ю.Л. Медведев, Y.A. Medvedev, e-mail: [email protected] Р.К. Романовский, R.K. Romanovskii
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия Omsk State Technical University, Omsk, Russia
ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПРЕНОСОМ В СТЕРЖНЕ
BOUNDARY HEAT TRANSFER CONTROL IN A ROD
Рассматривается краевая задача, описывающая теплоперенос в однородном стержне в рамках гиперболической модели теплопроводности. Ставится задача поиска температурного режима на концах стержня [управления). обеспечивающего перевод начального состояния q^) стержня в заданное финальное состояние (Х< q»)- Построен класс управлений, зависящий от функционального параметра.
193
с =
Г1 \.Ч.
rA=Z
О 0 ■
Le 1/г.
Характеристики гиперболической системы (2) - прямые б=±н!+днп1 Задача управления состоит в поиске температурного режима С^аг^} на концах стержня, обеспечивающего переход 1а заданное время ^ >0 начального состояния в заданное финальное состояние к „
Предполагается, что за время ^ движущийся с конца стержня со скоростью а тепловой импульс успевает пройти весь стержень: > 4/а. Далее в работе рассматривается крайний случаи ^ = /Уе
3, Зафиксируем матрицы и вектор:
'»С*) = е е-рл ь = ч>= 2 с*м.
Рассмотрим в трапеции
а ограниченной пря-мымн ь = 0, I = и проходящими через точки (О,£Дхарактеристиками соответственно с положительным и отрицательным наклоном (рисунок 1), .задачу Коши:
1и = о, «.и» = с а
где L - оператор (2),
(4)
{г^ж+ад^+О, же
М* же [о,*], (5)
ГаО-О^Сж--^, ЖЕ
Из результатов в [8], см. также [2], следует: задача (5) имеет единственное кусочно-
гладкое решение со скачками на проходящих через точки (О, О), (0, ■£) характеристиках:
.г-с;
«О, ¿; Г, <р) = = Е^ФЬО - 4 ил (¡Ж* 4 аО 4 | О - а, (6)
где матрицы Икг V даются формулами:
Uk = s KPkrPL = -
1 ¿1 1
» 1
-ы
^ = 1
4яе
2|-- 1
Й£
яг'
Г / г \ а? /г \
£ ^у г
(5<£г|С)3 где г = — (ж/и)а, - функции Бесселя мнимого аргумента. Поставим
вспомогательную задачу стартового управления: вычислить, при фиксированных матрицах Г^ вектор ф в (4) такой, что
«г^ггг р) = и„(ж}, Ж е [о,*], где и„ — финальный вектор (3).
Введём матрицу
ГО) =ЛГ1»+'У* СО
Подставляя в (б) 1 = и = tft.Cs) и предполагая матрицу (7) обратимой, после простых преобразований получим на компоненты <р±г<р2 вектора <р систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода
+ I SfoffjEVrjXeJrfff =/"(чГ о
f===:: -
(s)
_ Р'О-а -Д^КаС^С
,в < а ё.
В силу альтернативы Фредгольма система (8) имеет единственное решение = = 1 при условии
•с
-1 е - J ffj r^r^fKfs,
(9)
где - спектр оператора Точки спектра кФ д компактного оператора Sf изолированы и непрерывно зависят, при фиксированных Г^ от шести параметров (crprkr&r-P;tr,')., входящих е формулу для ядра. Поэтому случай — 1 £ с^К1) имеет место ::с вероятностью ноль". Будем говорить, что имеет место ситуация общего положения (9).
4. Очевидно, ограничение вектора (6) на прямоугольник [O.i?] X [0rt„] - решение смешанной задачи (2) с граничными условиями = r(0,tj Г^Г^, р}.. = Г^^Г^Г^р}, где Т - компонента вектора (6). С учётом этого вытекает
ТЕОРЕМА. Б ситуации общего положения (9) каждой паре матриц Га в (4) таким что матрица (7) обратима, отвечает единственное решение задачи граничного управления (3), вычисляемое по формулам
ft0£e) = r^vJ- ft(t) = T(ß,ti гл
где Т-компонента вектора (6), = - решение системы интегральных; уравнений
Фредгольма (8).
Библиографический список
1. Корнеев, С. А. Гиперболические уравнения теплопроводности ¡ С. А. Корнеев И Известия РАН. Энергетика. - 2001. - № 4. - С. 117-125.
2. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса, в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференц. уравнения. - 2007. - Т. 43, № 5. - С. 650-654.
3. Жукова, О. Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О. Г. Жукова !! Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44. № 1. - С. 82-88.
4. Романовский, Р. К. Оптимальное граничное управление теплопереносом в одномерном материале. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева П Дифференц. уравнения. - 2012. - Т.48; № 9. - С. 1256-1264.
5. Романовский, Р. К. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева / / ДАН. - 2012. - Т. 416, № 2. - С. 138-141.
196
6. Романове кий, Р. К. Оптимальное граничное управление теплопереносом в трехмерном материале. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева Н Дифференц. уравнения. - 2014. - № 3. - С. 385-393.
7. Воробьёва, Е. В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости /Е В. Воробьёва, Р. К. Романовский Н Сиб мат журн. - 2000. - Т. 41, № 3. - С. 531-540.
8. Романовский, Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский Н ДАН СССР. - 1982. - Т. 267, № 3.-С. 577-580.
197
