Об асимптотической разрешимости задачи граничного управления для гиперболической системы на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ АГИМПТОТИЧРГ КОЙ PA3PF III ИМОГТИ ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛРНИЯ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

I1. К. Романовский, Ю. А. Медведев

Омский госудсфственный технический университет, г. Омск, Россия

Аннотация - Рассматривается смешанная задача в полуполосе для гиперболической системы указанного d пазвашш класса с постоянными коэффициентами. Задача управления состоит d поиске граинч ных условии, обеспечивающих заданный фазовый вектор в заданный момент времени. Исследуется асимптотическая разрешимость этой задачи, означающая существование последовательности гранич-

нм\ ycjiiikiih ihklhi, 4111 ihir.l(v(uwi 1Р.1НН1И1 к «чип ки1г1 kyhhiihx iJjlIHll. 1кных |]i:i -и.К KI \ кнкпфпк ]UKHII\lf(l-

но сходится к заданному. Построение зависящего от функционального параметра семейства такш: последовательностей приведено к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Доказано достаточное условие её однозначной разрешимости в терминах данных задачи.

Ключ мы? слала: Транпчнор управление фтгтым имсторпм, гвеленне граничного упраялмшя к стартовом}', асимптотическая разрешимость, матрицы Рим.чна первого и второго рода.

L ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ. СХЕМА РЕШЕНИЯ

1. D работах [1. 2] построено явное представление решения задачи Копш для одномерной гиперболической 1ипгмы г i . мдк им и и нс]> ]ш i шг н ¡ими с: каришгрип икими моекпннкн ii]mihii'ih Ядрами ин irip-iiihHUH форму-лы служат матрицы двло: типов, получившие название матриц Римака первого и второго рода н прелставляю-гцне собой сингулярную н регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической снстемь:. В [3? 11 развитый в fl, 21 аппарат применён к анализу других краевых задач для систем этого класса.

В вышедшем в последние годы иикле раЬот — \)\ аппарат матриц 1*нмава применен к подклассу задач управления еолновкми проиессамн - задаче граничного управления теплопереносом в рамках гиперболической 1П1.11)11]ижс»д-кчги [10] Сгешкпгя г-ездичи к i иски 1гмпгрмту|1Ж11Ч! режими ни ip.n-шц:* тсли ()ii]mhjirhhi), иГжсиг-чнвающегс заданное распределение температуры тела в заданный момент времени В [5 — 6] предлагается подход к решепшо этой задачи сведением к задаче ст.артозссо управления решениями вспомогательной задачи Копш с применением аппарата из [1, 2]. Построение класса требуемых управлений приводится к решению вск-шрашо HHieipa.ibt-.oj о уравнения Bojisieppa Biupuio pui.a с ядрам. ецкшшшо! ни хииршиш Римана. и свибол-рым членом чачигятпш от функттональнпго параметр а Ч [7 - 9] ряггматрипяетгя задача выбора ич ггкх к.таг-сов управлении оптимального - реализующего минимум заданной функции потерь.

Заметим, что в указанных работах е фпиалыдлп момент оремепа задаётся не полный фазовый Еектор (Т, q) (iq вектор плотности теплового потока), а его компонента I. что существенно упрощает поиск требуемого управления.

Д^нних рноши хк.пгп'1 н]шд(1лжргниг"\( нч'их И(глгд(ШННН Рисч м11]ш-«гни чиднчи 1]>аНИЧН|)Ш уиришгнии

решениями смешанной задачи для одномерной гиперболической системы общего вида с постоянными коэффициентами. В финальный момент времени задаётся потаяли фазовый вектор. Предпринята попытка распростра нсиня развитого в этих работах подхода к решению задачи сведением граничного управления к стартовому на эту ситуацию. Предложенный вариант этого подхода позволяет строить приближённые решения задачи граничного уприкигни» { 4fJt)fJHHi/Ü ПКГЛИАНУПпН} ТТ(К~фОГНИГ КЛИГГЛ 1ИКНХ упри К 1ГНИЙ НрИКГДГНО К ]К"1ПГНИН> кгк-

терного интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

2. Рассмотрим краевую задачу з полуполосе 11 = [—1, X [О, со) для гиперболической системы с кратными характеристиками, записанной в римаповых инвариантах:

Lu = + Ayv-r i?) u = 0 х- = (5.0 € П. и|,=о ~ Ü,

íu- rtu_)í=_f = иМ. («_ Г2u+),=i = Щ (t).

(1)

их '•V Uj

и = — — . = ... = ...

Mr.. ч Mr*

Здегт, 4 = ¿^(fljf,,..., яп/п),й1 > > ••• > ог£ > О > яги+1 > ••• > - единичная мятритта порядка

. ил — столбец размера Nk,

¿¡¡'И* ~ матрицы и секторы соответствующих размеров, начальные дашдае выбраны пулевыми с целые упрощения вычислений без ограничения общности, цл. £ С\0,со), выполняются условия согласования пулевого порядка одСО) = 0.

Через каждую точку х Е П преходят характеристик Qi(jf),.... qn(x) с уравнениями s = afct +■ co;i5t. Части характеристики qh (а, т). лежащие не ниже (г > т) и не зыше (г < г) точки (а, г), будем назызать лгуча-

Далее оператор L понимается в обобщенном смысле

7. — П + В, П - riiny(nv ..., Пп),

Q)

где О^щ. производная по г вдоль характеристики

Решением (обобщенным) задачи (1) будем называть функцию и; П Сл со свойствами: 1) и € ¿ГСП): 2) для киАдин коумонгн ы 71.^ г.ущптгнугг нпц>грч кн-1я ннуфи П щк>иш:»дная пкик, нгиргрыкнс! п|к);фи1ж<1гмш к П 3) иьптоттяютгяг гоотяоптения С) с оператором (?) К'лагг функций, ужтлетпорягсощик условиям 1) ?.) йуде\( обозначать 5Ь = 5Ь (П). Из результатов работа [3] следует однозначная разрешимость задачи (1) в классе 5£.

3. Задача граничного управления состоит в поиске, при фиксированном > и. пары (^,/1-,) граничных функций со свойствами

V = Ь*1.И2) € = (0.03. (3)

обеспечивающей заданное распределение фазового вектора

и(*, Г.,п) = ?/, (с) 9 Г[-7, /]

Далее предполагается

Г >—,а = ш1п{ат>|оГ1+1|>

(4)

(5)

За это время ндупще с концов 5=1» возмушення успевают пройти отрезок [ 1, /].

Будем говорить, что задача граничного управления (3)-(5) асимптотически разрешима, если существует по-глг;10клп№И1к:1ь — ни]) со скийсиими (3) таили нта

u,(sjl > 0 при v > со.

(6)

Последовательность nv пар (3), удовлетворяющую (6), Ьудсм называть асимптотическим решением, ti работе предложен подход к построению асимптотических решений с заранее заданной скоростью сходимости по следующей схеме.

4. Приведем ш вердшн (—1, t*) .1рои>ходьннка П0 — [~l,l] X [0. I*] лучи ...,и~ ли иереисченш с исыи Г = С. Обозначим Т замкнутую трапецию, ограниченную тучами qrf (—/ г') q~{¡,t1) к прямыми г = 0, t = fД - нижнее сснованпе трапеции: = [—I — a* t*, ¡ — akt*\ k = 1, n (pac. 1). При условии (5) отрезки Ak не имеют обших точек с [—I. Í].

Зафиксируем функции [—I, í] -t i/г Л С4

<Р

«PiCsV

(V)

Oii¡)rvv*jiMM ни мнпжгпнг Т\ ил функции» ¡l — Fh, Íl — + i¡j, i^ir F — j»;njiri iíihjiimP (шпишр :<¡i-

дачн Кэши для системы (1) (см. п. 7-8),

[а 4- ОуЬ") на А,; О наД\А,

<Р,,(5 + я .О «а А,,; О на Д\Л„] Л/ 1

-/-Я,/*

-/ (? I

Риг I Трапеция Т

Потребуем выполнения равенства

= «.(*),* с Г

где иг - финальный вектор (4). Вычисления приводят (9) к внду

Л^ -Ь — и4.

(10)

- +

<

I

-I

<т)<р(<г)а<г,

+с;;/,

си)

с обрмимой матрицей и кусочне-гладкнмн ядрами Ек, вычисляемыми по матрицам Рнмана системы (1). За-дазая произвольно вектор хр в (7). получим из (10) систему интегральных уравнений Фрсдгольма второго рода на вектор ф

+ Е^, о)ф(о)с¿о - и* (А) - 1*'

однозначно разрешимую «с практический достоверностью» (см. раздел Ш).

5. Пусть ф — ф(з>: 0) - решение уравнения (12). Зафиксируем нисцедошисльшхлъ

(12)

сг I V {?<х>),сл < аЬ* - ¿1, (13)

где а — число (1). и последовательность полуинтервалов (лкг = (I — а-кГ.*, I — акТ* + = [—7 — пкт/ —

£у, —I — акк = 1, и, V = 1,2.....Положим сс*г($) = ' на сок„; 0 на Р^Сэ) = 11 ак* На

0 на Д\и»Лг.

о* = =

+ А-ИкН) при * ь [2.П - 1]

= «/О = + с« + 1.2,....

(14)

где <р+ - функция (8) при '{> = <р. Нетрудно убедиться, что функция фх + <т„ и тем самым функция (14) нопрз-рыепа на Д и вернэ равенство

Лг - 0 на [-1 - ь,1 + к], а - и.1* -21- га.

(15)

(учтено (13)). Построим последовательность функций и.,: /" ит = Ь А„, V = 1,2,.... Из результатов в [3] (см. п / - следует: м., — решение класса задачи Кошн

с оператором (2). С учётом равенства (У), где /г — <ё, + V», имеем

= «»(«) + 'V = С16>

Вычисления дают.

U'vO)l < С'sv,s € [-1, i],c = c(V,y). (17)

6. Из выполненных выше построении, в частности. следует: ограничение фунхшш и., = Fhv на прямоугольник По решение класса S;. смешанной задачи (1) с граничными функциями

К = №1>) = (Рх „АгЛ = - WKUs-1'fi* = - izCM+L-r (18)

D сил:/- Fhv £ С (Г) пара (18) удовлетворяет первому требованию (3). В силу начального условия (1) и равенства (15) hv = 0 в - окрестностях точек j = откуда следует (с учетом формулы для Г) выполнение для пары (18) условия согласования (3). Соотношения (16). (17) показывают при каждой ф в (7) и каждой последовательности £,. в (13) последовательность пар (18) задаёт асимтю'таеское решение задачи граничного управления (3) (5)

Далее в разделе П приведены необходимые сведения о матрицах Рнмана, формулы для ядер Еь в интеграль-ном -сравнении Фрсдгольма (12), пояснено утверждение о его однозначной разрешимости с практической достоверностью. сформулирован итоговый результат.

П МАТРИЦЫ Р1ШЛНЛ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОЖ СЛУЧАЙ ПОСТОЯННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

1. Рассмотрим гиперболический оператор (1) с матрицей А указанного вида. Проведём через точку (0, 0) плоскости (s i) характеристики qb = {(s.t).-s = a^t},* = 1 ,п. Обозначим Yo объединение открытых углов (.it'ln) 7,1) г *ерптиной (0. 0), У, J = 1,п — 1 - объединение откритчтх углов То-строим матрицы

Ujf) = Рр Gxp{—Pk.iSPkt'),Р„ = diag (О, ...,0,^,0, ...,0),

[ U,(s,t) £ Ya,

1-1 S—Ojt I

=f^^rx^T p«)

ar afli tA' a;-a,|j '

где v — окрулдюегь |Л| — г > '¿n\d\,R, ~ diaq ...,Лп1п) + В,ХК ~ --=---. Матрицы UK V —

Uj-aj 4,

матрицы Гнманг первого и второго рода гиперболического оператора (1) в случае А, В = const: общее определение содержится в 11, 2|.

2. Рассмотрим задачу Кошн для системы (1)

(l.u = 0, (я, г) F Г21)

v и |f-o — h(s).

ТЕОРЕМА 1. I. В случае гладкой h задача К'опш (21) однозначно разрешима в классе гладких функций. Для рептечия имеет место фг»рмула

= Fh = rk=1 ГШК* - + V(s - а, t)h(rt)dfj, (?.?.)

где Uk, V - мгтрицы (19), (20).

TT R случае непрерывной h формула (/.?.) дя?г единственное опобще'нное решение класса SL задачи (71) с оператором (?)

Утяерлгдечие Т догачанл в [?.] Утверждение TT - следствие теорем1, ? ич [3]

HL ЗАЗАЧАУ1РАЕЛЕНИЯ 1. Представим матрицу 3 в блочном виде 3 ~ с блоками размера А/, X Ny

ЛЕММА MaipHua Uи ядра Ev Ez в ише.ральним уравнении (10)-(11) длюгея формулами

и - к"*'\Е2 - - у, Г). Et - У '40»,

= У}* ~ ° + < * V* = V(* ~ о + акГ.ПРк.к > 2.

где Ъ = diag (Вп,..., £nn), V — матрица Рнмана (20).

2. При произвольно фиксированном векторе ф в (7) равенство (10) даёт условие на вектор <р, представляющее собой векторное интегральное уравнение Фредгольма второго рода (12) с кусочно-гладким ядром и непрерывной правой частью. В силу альтернативы Фредгольма уравнение (12) имеет единственное решение <р, в классе непрерывных функций при условии

I

-1 е s(J0, Кф = еш* J (24)

-i

где s(A') — спектр оператора К в банаховом пространстве С([—I, I], С1"). Точки спектра Я? О компактного оператора К изолированы и непрерывно зааксжг от элементов матриц Л, В. Поэтому случай —1 Е s(A') имеет место «с вероятностью 0». Будем говорить, что имеет место ситуация общего положения (24).

Из выполненных построений вытекает следующий результат.

ТЕОРЕМА 2. В ситуации общего положения (24) задача граничного управления (3)-(5) асимптотически разрешима.

Каждому вектору ф в (7) и каждой последовательности ег, в (13) отвечает асимптотическое решение задачи (3)-(5), задаваемое формулами (18). где F — оператор (22) с матрицами (19), (20), hv — вектор (14), ф„ — вектор (8) при ip = <р,ф - решение векторного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с матрицами (23).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Романовский Р. К. О матрицах Рнмана первого и второго рода Н ДАН СССР. 19S2. Т. 267. № 3. С. 577580

2. Романовский Р К. О матрицах Рнмана первого и второго рода // Математический сборник. 1985. Т. 127. № 4. С. 494-50 L

3. Воробьёва Е. В., Романовский Р. К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости И Сибирский математический журнал. 2000. Т. 41. № 3. С. 531—540.

4. Романовский Р. К. Стратилатова Е. Н. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений И Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7, № 3(19). С. 119-131.

5. Романовский Р. К., Жукова О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель Н Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т. 11. № 3. С. 119-125.

6. Жукова О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трёхмерном материале. Гиперболическая модель Н Дифференциальные уравнения:. 2009. Т. 45. № 12. С. 650-654.

7. Романовский Р. К., Чурашева Н. Г Оптимальное граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель П Дифференциальные уравнения 2012. Т. 48, № 9. С. 1256—1264

8. Романовский Р. К.. Чурашева Н. Г. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности // ДАН. 2012. Т. 446. № 2. С. 13-141

9. Романовский Р. К Чурашева Н. Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в трёхмерном материале. Гиперболическая модель // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 3. С. 385—393

10. Корнеев С. А Гиперболические уравнения теплопроводности И Известия РАН. Энергетика. 2001. № 4. С. 117-125.