Научная статья на тему 'Граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель'

Граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
114
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ / АНИЗОТРОПНОЕ ТЕЛО / МАТРИЦЫ РИМАНА / RIEMANN'S MATRIXES / HYPERBOLIC HEAT CONDUCTIVITY / AN ANISOTROPIC BODY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Чурашева Надежда Георгиевна

Рассматривается гиперболическая модель процесса теплопереноса в анизотропной однородной пластинке. Вычислен температурный режим на границе, обеспечивающий требуемое распределение температуры в заданный момент времени.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Boundary control of heat transmission in anisotropic two-dimensional material. Hyperbolic model

А hyperbolic model of heat transfer in a homogeneous anisotropic plate is considered. A temperature regime on the border is calculated. It provides the required temperature distribution at a given time.

Текст научной работы на тему «Граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

УДК 517.9

Н. Г. ЧУРАШЕВА

Омский государственный технический университет

ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ В АНИЗОТРОПНОМ ДВУМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассматривается гиперболическая модель процесса теплопереноса в анизотропной однородной пластинке. Вычислен температурный режим на границе, обеспечивающий требуемое распределение температуры в заданный момент времени.

Ключевые слова: гиперболическая теплопроводность, анизотропное тело, матрицы Римана.

§1. Введение. Постановка задачи

1. В работе [1] построено явное представление решения задачи Коши для одномерной гиперболической системы с гладкими коэффициентами. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода. В [2 — 3] аппарат матриц Римана применен к анализу других краевых задач для таких систем — смешанной задаче, задаче Стефана. В работах [4 — 7] этот аппарат применен к подклассу задач теории управления процессами в распределенных системах, описываемых гиперболическими уравнениями. В частности, в [6 — 7] рассматриваются краевые задачи, моделирующие процесс распространения тепла в однородной изотропной пластинке и однородном изотропном теле в рамках гиперболического закона теплопроводности [8]. Вычислен температурный режим на границе, обеспечивающий требуемое распределение температуры в заданный момент времени. Представляет интерес распространение результатов этих работ на случай анизотропного материала. Статья посвящена данной проблематике.

2. Рассматривается гиперболическая модель процесса теплопереноса в анизотропной однородной пластинке D:

д Т д q

c р-----+ div q = 0, e—- + К grad Т + q = 0, (1)

д t д t ' ’

Т(x,0)= 0, q(x,0) = 0, T(x,t^ = m(x,t). (2)

Первое уравнение (1) — закон сохранения энергии, второе — обобщенный закон Фурье, (x,t) eDx [0, x), D — звездная относительно начала координат и ограниченная в R2 с границей ГеС“, x = (x1,x2), T — температура, д=(д1,д2)т — вектор теплового потока, с, р, е—удельная теплоемкость, плотность и период релаксации, цеС¥(Гх[0,от)) , символ С¥обозначает множество гладких функций с носителем, отделенным от границы области. В этой ситуации выполняются условия согласования всех порядков данных (2), и краевая задача (1), (2) однозначно разрешима в классе Сх. В (1) K — тензор теплопроводности:

К=

к,, > О, det К > О, к12 = к2

(3)

направлению m = (cosj, sin j)T, на плоскости дается формулой

am =^J(ecp) 1 m • Km

(4)

где точкой обозначается стандартное скалярное произведение, |x| = -\jx,

-2 + x,

Доказательстао. Исключая из системы уравне-ний (1) тепловой поток д и подставляя Т = Т(а-х, V) (плоская волна в направлении а), после вычислений получаем Т'а = а^Т'^ +(еср)- Т", ъ = ю-х, откуда следует требуемое.

Далее предполагается

am = mm am, Г = max Ix|, t. > 2го /am ,

(5)

за время выходящие из точек границы тепловые импульсы успевают достигнуть любой точки пластинки Б.

Ставится задача вычисления функции т(х, V) (управления), которая при заданных I, и Т*(х)еС¥(В) обеспечивает выполнение равенства

Т (x,t* ;m)= Т" (x), x є D.

(6)

3. В векторно-матричных обозначениях краевая задача (І), (2) принимает вид

L(u) = |—+ YA ——+ B Ju = 0, v ^ t h 1 д xt J

u(x,0)= (0,0,0)T, Т(x,t)| = m(x,t),

(x,t) є D x [0, да),

( x1, x2, t) = (Т, q)T, q ( xl, x2, t) = (ql, q,)T (0 0 0^

(7)

A, =

Лемма. В анизотропной модели (1) скорость распространения тепловой волны, по любому

B = є

(cp)_1 0 0 0

0 0

0 1 0

A2 =

10

0 0 м

є-1к12 0 О

є~'к22 0 О

4. Решение задачи управления проводится в целом по той же схеме, что в [6, 7]. Основные отличия следующие. 1) Исходным отправным пунктом исследования служит полученная выше формула для скорости тепловой волны в зависимости от направления на плоскости. 2) Один из ключевых элементов выполненных построений — вычисление матриц Римана гиперболической системы, моделирующей теплоперенос. В случае анизотропной модели (1) получение этих формул, на которых основано дальнейшее, оказалось существенно более трудной задачей. 3) Ключевой элемент построений в рамках схемы — процедура сведения двухмерной задачи управления к одномерной. В рамках анизотропной модели (1) применяемый в [6, 7] вариант этой процедуры, связанный с решением задачи Коши в характеристическом конусе, не проходит вследствие «неправильной» формы характеристического конуса. В работе показано, что для построения требуемого управления m(x, t) достаточно использовать ограничения плоских волн, получаемых при решении одномерной задачи управления, на цилиндр |x| < r0, где r0 — число (5).

§2. Предварительные сведения Здесь приводятся используемые далее сведения из работы [1] в удобном для последующего виде.

Л-д ад в Пусть Л = д/ + A ~3s + —гиперболический опе-

ратор, где (s,t)еR2, а A, В —постоянные матрицы порядка N, A=Zdiag(a1I1,...,anIn)Z'1, a1>...>an — единичная матрица порядка Nk, 'ENk=N. Проведем через точку (0,0) характеристики s=akt, k= 1,...,n, и пусть 1+, — верхняя (t>0) и нижняя (t <0) части харак-

теристики s=akt. Обозначим Yj объединение открытых углов (l+, j), (l-, 1"+j), j= 1,., n—1, Y0 — объединение открытых углов (l+, 1-), (l-, tn). Построим матрицы Римана Uk( t), k = 1,...,n, V(s,t) оператора Л

Uk (t)- Pk exp (-YkBYkt),

Pk - Z diag(0,...,0,Ik,0,...,0) ZЛ (8)

Y ( Л J ZV]Z^l, (s,t) е , j = 1.K, n -1,

V(St)-l 0 ( t) V (9)

[ a (s,t)е V),

Обозначим

V (2ni)

J a; - a +

J J+1 yxy

ft exp

h s - aJ+lt

s -ajt

А-1 (X,h) dXdh,

где /—окружность \%\ = R достаточно большого радиуса,

А j = dlag (Xl Ii,k,X„ I я) + Bo

B0 = z-bz,

(ak- aJ+1 )x +(aJ- ak )h

Теорема [1]. Задача Коши Л (и )=0, и(я,0)=к(я), ве[ а,Ь], с начальной функцией кеСт[а,Ь] однозначно разрешима в классе Ст в параллелограмме, ограниченном, выходящими из точки (а,0) лучами 1+, 1- и выходящими из точки (Ь,0) лучами 1-, £+п. Это решение дается формулой

п 8 ~ап*

и («,/) = - ак/) + | V (^ - ст,/)Ь (ст)й?ст,

к=1 8-а,?

где ик, V — матрицы Римана оператора Л.

§3. Матрицы Римана гиперболической системы (1)

Q=<! т =

ґт Л

1

т2 v 2 0

cosj

slnj

фє[0,2^) кет =

Построим Lw— семейство одномерных гиперболических операторов

д ч д

(10)

Lm =57 + A(m)5S + B, ЮЄ°,

где A(w) = w1A1 + m2A2: A1, A2, В — матрицы (7). Нетрудно получить

A (W ) = Zwdiag ( aw,0, -aw ) Zw1,

Zm =

am 0 am

e^lKm w -e^’Km

(11)

z:1 =-

2aw

1 :TI Sa

0 v TI (2є5„)

V1 -:TI dj ,

= cPam

-Kl2j - ^22:2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Здесь К, ааопределяются формулами (3), (4). Введем большой параметр а=(2е)-1.

Матрицы Римана первого и второго рода иктЩ, Vm(я^) семейства операторов будем называть матрицами Римана двумерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (1).

Проведем через точку (0, 0) характеристики 1 к, к =1,2,3, с уравнениями соответственно я = а^, я = 0, я = — ааI, и пусть У. — открытые углы (рис. 1) .

Теорема 1. Матрицы. Римана двумерной гиперболической системы (1) даются формулами

■ (

U 1т (t) =

2aw

a. т I d

CO I

Km Iє KmmT I(edm)

U 2. (' )=—

CO

-at f

Л

e

2a.

O wv T 1 (є<5.)у . -mTI d.

- Km I є KюvTI(єd:)

(12)

V. (S,t)=■

eatZ. VjZ (s,t)є Yj, J = 1,2,

0 ( ^ t )є Yo,

(13)

V = v2 =—

1 2 2a.

d- d.Il (ad.) 0 10 (ad.)

0 0 0

10 (ad.) 0 d- d. I1 (adm)

где I0(x), I1(x) — функции Бесселя мнимого аргумента,

dW1,2 - t + s / «w. dw =yjdW1 dW2-

Доказательство. Зафиксируем weW. Обозначим H1 = diag(1,0,0), H2 = diag(0,1,0), n3 = diag(0,0,1), Pkm=Zrn nkZo-1, k=1,2,3. Для вычислений функций U1w(t), U2m(t), U3w(t), V1w V2w воспользуемся приведенными в §1 формулами (8) — (9) и (11), тогда

Ukw(t) = Pkwexp(-Bkwt),Bkw -Zmnk Z-jBZw ntZ-J.

e

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

15

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

16

ь Га, к = 1,3,

Задав Рк =|2а к = 2 , с учетом (7), (11), а так же формулы для матричной экспоненты и равенств РП = ^ ПП Z - = Пк Z - = Р^ получаем:

Пк 2шВ2ю Пк = а Пк

(і о -П 0 2 0 -1 0 і

П к = Рк Пк,

Вкш = Рк2шПк1-:, к = 1,2,3.

Рк,

п=1

\

Поэтому

ика{ г ) = РкШехр (-рк Ркаг) =

¥

= РюЁ

и ( )=^ ( а* о

1ю 2а І е хКю V —е хКю

diag (1,0,0)

1 ю1 / 8а

0 V1/ (2е8„)

1 —ют/ 8ю

е~а‘ ( 2аю

а ю / 8

СО ии

Кю / е Катт / (е8ю)

Л

Аналогично получаем и2т(^, изт(^. Таким образом, доказана формула (12).

Воспользуемся формулой (9) для матриц Римана второго рода. В случае, когда точка (я^) принадлежит левому или правому открытому углу между 1- (0,0), 13 (0.0) (рис. 1), матрица Vm(s,t)=0. В верхнем и нижнем открытых углах У1, У2 матрицы V, V2 в формуле (9) представляются двойными контурными интегралами, где а1 = аш, а2 =0, а3 =— ат. Для краткости изложения ограничимся рассмотрением случая при. = 1. Найдем V, будем для определенности считать, что точка (я^) принадлежит верхнему открытому углу У1, тогда

( 2пі)

-Я ехр

А—1 (Хя) 4Х4ц,

А1 = diag(Х,Я,2Я — Х) + 2„В 2 ю

/—окружность \Х\ = Д>12а, проходимая в положительном направлении.

Вычислим V1, предварительно переобозначив + а, + а.

Пусть

Х2 + а2 —1

я = 2Х ’ 9 =((я—Я0)Х) ,

тогда

*1 = (^!_е—а Геа» Ге^' 1 2аю J J

((2я— Х9 0 аб} 0 2(я+а)—1 0

а9 0 Х9

(2пі) 1

2аю

„4.л

(2ЯТ1 — 1 0 аХ-1 Л 0 0 0 аХ — 0 1

=

^Х =

(а2Х 2 0 аХ 0 0 0 аХ— 0 1

—Л

4Х.

Представим стоящую под знаком интеграла экспоненту степенным рядом и далее применим формулу бинома Ньютона, после чего

2ашП=02 к=0 к!( п—к)! 2рі

(а2Хп—2к—2 0 аXn-2k—1Л 0 0 0 4Х.

аXn-2k—1 0 Хп—2к

Используя то, что функции Бесселя действительного аргумента равны

т / ^2 т

X

'0 (X)- Ё (=1 2

т=0 (т!) V 2

31(х )=Ё-

(—1)т

!(т +1)!| 2

и учитывая формулу

и^=12Р М 1 (N є Z),

J І0, N *—1 у ’

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у V ’

получаем

\п — 2к — 2 = —1^к = т, п = 2т + 1|,

= а

2 ¥ Ё (—1)т аV 4ю14ю 2

\1—4ю1 т=0 т !( т +1)! 2 V 0

= ^ (а—4ю14ю 2 ),

^12= ^21= ^22= ™23= ^32=0'

^1з=^31=\п — 2к — 1 = —1^к = т, п = 2т\ =

= аЁ

(—1)т ( а—4ю14ю

(т!)

-а ^0 (а^ 4ю14ю 2 ),

w

т=0

ш13 =|п — 2к = —1^к = ш+1, п = 2ш+1| =

Представляя элементы этой матрицы с помощью функций Бесселя мнимого аргумента 10 (х) = J0 (г'х), 11 (х) = — г JI (гх) получаем представление У1 в виде (13). Эта формула верна и в случае, когда (в,Ц принадлежит нижнему открытому углу. Аналогичным образом получается формула для У2. Теорема доказана.

4. Задача управления

1. Далее понадобится представление финальной функции Т в виде суперпозиции плоских волн. Продолжим Т нулем из д в в2, для продолжения сохраним то же обозначение. В силу требования Т *е С “(Б) продолженная функция Т* е С” (В2). Представляя функцию Т интегралом Фурье и переходя затем к полярным координатам, получим

2п

Т*(х)= } ТД® •х)аУ’

0

Т;(з ) = (2р)-2}(е"Т.(га))/Лг, (14)

0

где Т* — преобразование Фурье функции Т'. Из требования Т* еС” (В2) также следует бесконечная гладкость функции Т* () .

2. Построим на х - плоскости окружность и овалы (рис. 2)

Здесь и, г0 — числа (5). Зафиксируем в овале К вектор-функцию х(х) и функцию 1(х)

Х(х ) =

\С¥, х = 0 при IX<г1с

А(х)єС¥, 1 = 0 при |х|<г1ш.

(15)

(16)

Ь (и ) = 0,(і,і)єУ , и I = к (^),

а \ а} ’V ’ / а 9 (О |?=0 (О V /’

(18)

Л51 ) = ^ика(1)к„(5 - акі) +

к =1

і+а о і

+ | К (5 - А) К И

(19)

Рис. 3

(12), (13).

Обозначим Тю(84) первую компоненту вектора (19). Т* — функция (14). Будем искать Лш из условия

То (5 4 ) = Т* (5), 5 є[-Го,Го ],

(20)

Зафиксируем вектор юєО. Проведем через точку (0,0) прямую х = ва.

Пусть Хш(в), х,а(в), Х2ш(в) - ограничения функций (15), (16) на отрезок [г1 а, Г2а] этой прямой. Продолжим 1 а(в), х,l0(S), Х2а (в) нулем на [ Г2„ , Г1 о) сохранив те же обозначения. Определим вектор-функцию

Л а («) С” [ Г2а' Г2о]

ка (5 )=(Ло (5 ) Хі а (5 ) Х2 а (5 ))" = 5 Є [-Г2а = Г2 а ] ■ (17)

3. Пусть Ую— трапеция в (вД)-плоскости (рис. 3), ограниченная прямыми

в = - «ш t + Г2ю, t = 0 t = ^ в = - «ш t - Г2ш

Рассмотрим задачу Коши

Требование (20) приводит после вычислений с учетом формул (12), (13), (18), при произвольно фиксированной паре с ^ = (XIJs), С2т(«))Т из (17) к уравнению на первую компоненту Ко вектора Лт на отрезке

[гко ^т1:

~а.и $

е— К ($)+/ (К, )ц($ "ст" )яш (я)^ = к ($). (21)

г,

Л ($ ) = Т 1 ($ - а , ) + 2е-\, С , ($) + Ю 2 С2„ ($)] -

2сраш

-}((>, •<* ) С, (я) +(Кю )13(\, К ) С2Ю (я) )^СТ-

Г1®

где -я т= в — о— ао^. Уравнение (21) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода для Кт (в) с гладкими ядром и правой частью, поэтому оно однозначно разрешимо в классе гладких функций.

4. Пусть Хш(в; ст) — решение уравнения (21), Лт(в; Ст), ит(в, V, ст) — соответствующие векторы (17), (19), Тт(®, I; ст)—первая компонента вектора (19). Нетрудно убедиться: |х|<г0^|ю^ х|<г0, юеО, поэтому функции

'( ХА х)= | иа ( ® • Х а ) Лф,

о

т(хА х) = Т (хА х)|ХЕГ,

(22)

где !т, Лт—оператор (10) и функция (17). В силу теоремы из §2 решение задачи (18) дается формулой

(al, a2, «3) = (am, 0, - aw), икш , ^ш- матрицы Римана

где Т—первая компонента вектора и (х, 1; с), Г —граница области Б (пластинки), определены при |х|<г0. С учетом (14) — (16) при |х|<г0 имеем

2п

1 (и ) = } ью (ию У®=0=

0

2п

и\,=0 = } кю (ю •х; с „) л®=о.

0

2р 2р

Т(с) = } Тю(хА-Сю) = }Т* (ю • х;с ,)= Г (х).

о о

Тем самым доказана

теорема 2. Каждой вектор-функции с(х) = (с1, С2) в (15) отвечает, решение т(х, 1) задачи управления (1), (2), (6), вычисляемое по формуле (22), где правая часть второго равенства в (22) строится по решению Кт (в; Со) уравнения (21) указанным, выше способом..

Замечание. Аналогично строится решение задачи управления (1), (2), (6) с ненулевой начальной функцией и(х,0).

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

Библиографический список

1. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР.- 1982.-Т. 267, № 3.-С. 577-580.

2. Воробьёва, Е.В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е.В. Воробьёва, Р.К. Романовский// Сиб. мат. журн.-2000.-Т. 41, № 3.-С 531-540.

3. Романовский, Р.К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений/ Р.К. Романовский, Е.Н. Стратилатова // Сиб. журн. индустр. математики.-2004.-Т. 7, № 3(19).-С. 119-131.

4. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом тепло-переноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. -2007. - Т. 43, № 5. - С. 650-654.

5. Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель /О.Г. Жукова, Р.К. Романовский//Сиб. журн. индустр. матем.- 2007.-Т 10 , № 4(32).-С. 32-40.

6. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Сиб. журн. индустр. матем. -2008. - Т 11 , № 3. - С. 119-125.

7. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45, № 12. -С. 1794- 1798.

8. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков.-М.: Высш. школа, 1967. - 600 с.

ЧУРАШЕВА Надежда Георгиевна, старший преподаватель кафедры высшей математики, аспирантка кафедры «Основы теории механики и автоматического управления».

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 06.04.2010 г.

© Н. Г. Чурашева

УДК 519.95

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Д. Н. ЗАПОРОЖЕЦ

Омский государственный технический университет

ОБРАБОТКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ЭКСТРАГРАДИЕНТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ_____________________________________

В работе приведена начальная обработка данных задач линейного программирования, позволяющая повысить скорость сходимости экстраградиентных методов.

Ключевые слова: экстраградиентный метод, оптимизация, сходимость.

При решении оптимизационных задач стандартными методами возникает ряд проблем, связанных со сходимостью и с довольно жёсткими требованиями на условия задачи. Ослабить эти условия позволяют экстраполяционные методы [1 -3].

Целью данной работы является изучение влияния исходных данных задачи на скорость сходимости экстраградиентных методов.

В работе исследуется одношаговый экстраградиентный метод [1] и двухшаговый экстраградиентный метод [3] для решения пары двойственных задач линейного программирования, заданных в виде (с, х)®тш (Ь, у)®тах

Ах >Ь АТ < с

х>0 у >0

где х,с е Я" , у,Ь е Я" , А-квадратная матрица размерности ЛХЛ.

Под входными данными в терминах прямой задачи линейного программирования понимаются: вектор целевой функции с, матрица ограничений А и вектор правых частей Ь. Обозначим для задачи линейного программирования набор начальных данных как [А,Ь,с].

Известно, что для задачи линейного программирования экстраградиентные методы [1-3] сходятся со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем д

д = 1 —

а

В-1!

-(1 — а 2||Л||2)

где матрица В получена из матрицы А вычеркиванием тех строк и соответствующим им столбцов, которые не выполняются как равенство для оптимального решения [х, у]. Поэтому необходимо определить значения а, 1А||, \В-‘\\ таким образом, чтобы значение д было минимальным.

Решая уравнение д'(а) = 0 , получаем, что

а = 4ЩА\\ - точка минимума д. Минимум функции в ( 1 л 1 1

д( =1 -

этой точке равен

Ж 44

Определим, как меняется д в зависимости от \ \A\I и \\В'Ч\- Знаменатель д должен удовлетворять двойному неравенству 0< д<1. Так как ЦАЦ и НВ^Н положительны, то д<1 всегда выполняется. Из неравенства д >0 следует, что

1 — -

1

4 4 2| ВТ

-> 0

=> 41Л2II в ч|

> 1

2

2

2

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.