ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010
УДК 517.9
Н. Г. ЧУРАШЕВА
Омский государственный технический университет
ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ В АНИЗОТРОПНОМ ДВУМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассматривается гиперболическая модель процесса теплопереноса в анизотропной однородной пластинке. Вычислен температурный режим на границе, обеспечивающий требуемое распределение температуры в заданный момент времени.
Ключевые слова: гиперболическая теплопроводность, анизотропное тело, матрицы Римана.
§1. Введение. Постановка задачи
1. В работе [1] построено явное представление решения задачи Коши для одномерной гиперболической системы с гладкими коэффициентами. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода. В [2 — 3] аппарат матриц Римана применен к анализу других краевых задач для таких систем — смешанной задаче, задаче Стефана. В работах [4 — 7] этот аппарат применен к подклассу задач теории управления процессами в распределенных системах, описываемых гиперболическими уравнениями. В частности, в [6 — 7] рассматриваются краевые задачи, моделирующие процесс распространения тепла в однородной изотропной пластинке и однородном изотропном теле в рамках гиперболического закона теплопроводности [8]. Вычислен температурный режим на границе, обеспечивающий требуемое распределение температуры в заданный момент времени. Представляет интерес распространение результатов этих работ на случай анизотропного материала. Статья посвящена данной проблематике.
2. Рассматривается гиперболическая модель процесса теплопереноса в анизотропной однородной пластинке D:
д Т д q
c р-----+ div q = 0, e—- + К grad Т + q = 0, (1)
д t д t ' ’
Т(x,0)= 0, q(x,0) = 0, T(x,t^ = m(x,t). (2)
Первое уравнение (1) — закон сохранения энергии, второе — обобщенный закон Фурье, (x,t) eDx [0, x), D — звездная относительно начала координат и ограниченная в R2 с границей ГеС“, x = (x1,x2), T — температура, д=(д1,д2)т — вектор теплового потока, с, р, е—удельная теплоемкость, плотность и период релаксации, цеС¥(Гх[0,от)) , символ С¥обозначает множество гладких функций с носителем, отделенным от границы области. В этой ситуации выполняются условия согласования всех порядков данных (2), и краевая задача (1), (2) однозначно разрешима в классе Сх. В (1) K — тензор теплопроводности:
К=
к,, > О, det К > О, к12 = к2
(3)
направлению m = (cosj, sin j)T, на плоскости дается формулой
am =^J(ecp) 1 m • Km
(4)
где точкой обозначается стандартное скалярное произведение, |x| = -\jx,
-2 + x,
Доказательстао. Исключая из системы уравне-ний (1) тепловой поток д и подставляя Т = Т(а-х, V) (плоская волна в направлении а), после вычислений получаем Т'а = а^Т'^ +(еср)- Т", ъ = ю-х, откуда следует требуемое.
Далее предполагается
am = mm am, Г = max Ix|, t. > 2го /am ,
(5)
за время выходящие из точек границы тепловые импульсы успевают достигнуть любой точки пластинки Б.
Ставится задача вычисления функции т(х, V) (управления), которая при заданных I, и Т*(х)еС¥(В) обеспечивает выполнение равенства
Т (x,t* ;m)= Т" (x), x є D.
(6)
3. В векторно-матричных обозначениях краевая задача (І), (2) принимает вид
L(u) = |—+ YA ——+ B Ju = 0, v ^ t h 1 д xt J
u(x,0)= (0,0,0)T, Т(x,t)| = m(x,t),
(x,t) є D x [0, да),
( x1, x2, t) = (Т, q)T, q ( xl, x2, t) = (ql, q,)T (0 0 0^
(7)
A, =
Лемма. В анизотропной модели (1) скорость распространения тепловой волны, по любому
B = є
(cp)_1 0 0 0
0 0
0 1 0
A2 =
10
0 0 м
є-1к12 0 О
є~'к22 0 О
-Л
4. Решение задачи управления проводится в целом по той же схеме, что в [6, 7]. Основные отличия следующие. 1) Исходным отправным пунктом исследования служит полученная выше формула для скорости тепловой волны в зависимости от направления на плоскости. 2) Один из ключевых элементов выполненных построений — вычисление матриц Римана гиперболической системы, моделирующей теплоперенос. В случае анизотропной модели (1) получение этих формул, на которых основано дальнейшее, оказалось существенно более трудной задачей. 3) Ключевой элемент построений в рамках схемы — процедура сведения двухмерной задачи управления к одномерной. В рамках анизотропной модели (1) применяемый в [6, 7] вариант этой процедуры, связанный с решением задачи Коши в характеристическом конусе, не проходит вследствие «неправильной» формы характеристического конуса. В работе показано, что для построения требуемого управления m(x, t) достаточно использовать ограничения плоских волн, получаемых при решении одномерной задачи управления, на цилиндр |x| < r0, где r0 — число (5).
§2. Предварительные сведения Здесь приводятся используемые далее сведения из работы [1] в удобном для последующего виде.
Л-д ад в Пусть Л = д/ + A ~3s + —гиперболический опе-
ратор, где (s,t)еR2, а A, В —постоянные матрицы порядка N, A=Zdiag(a1I1,...,anIn)Z'1, a1>...>an — единичная матрица порядка Nk, 'ENk=N. Проведем через точку (0,0) характеристики s=akt, k= 1,...,n, и пусть 1+, — верхняя (t>0) и нижняя (t <0) части харак-
теристики s=akt. Обозначим Yj объединение открытых углов (l+, j), (l-, 1"+j), j= 1,., n—1, Y0 — объединение открытых углов (l+, 1-), (l-, tn). Построим матрицы Римана Uk( t), k = 1,...,n, V(s,t) оператора Л
Uk (t)- Pk exp (-YkBYkt),
Pk - Z diag(0,...,0,Ik,0,...,0) ZЛ (8)
Y ( Л J ZV]Z^l, (s,t) е , j = 1.K, n -1,
V(St)-l 0 ( t) V (9)
[ a (s,t)е V),
Обозначим
V (2ni)
J a; - a +
J J+1 yxy
ft exp
h s - aJ+lt
s -ajt
А-1 (X,h) dXdh,
где /—окружность \%\ = R достаточно большого радиуса,
А j = dlag (Xl Ii,k,X„ I я) + Bo
B0 = z-bz,
(ak- aJ+1 )x +(aJ- ak )h
Теорема [1]. Задача Коши Л (и )=0, и(я,0)=к(я), ве[ а,Ь], с начальной функцией кеСт[а,Ь] однозначно разрешима в классе Ст в параллелограмме, ограниченном, выходящими из точки (а,0) лучами 1+, 1- и выходящими из точки (Ь,0) лучами 1-, £+п. Это решение дается формулой
п 8 ~ап*
и («,/) = - ак/) + | V (^ - ст,/)Ь (ст)й?ст,
к=1 8-а,?
где ик, V — матрицы Римана оператора Л.
§3. Матрицы Римана гиперболической системы (1)
Q=<! т =
ґт Л
1
т2 v 2 0
cosj
slnj
фє[0,2^) кет =
Построим Lw— семейство одномерных гиперболических операторов
д ч д
(10)
Lm =57 + A(m)5S + B, ЮЄ°,
где A(w) = w1A1 + m2A2: A1, A2, В — матрицы (7). Нетрудно получить
A (W ) = Zwdiag ( aw,0, -aw ) Zw1,
Zm =
am 0 am
e^lKm w -e^’Km
(11)
z:1 =-
2aw
1 :TI Sa
0 v TI (2є5„)
V1 -:TI dj ,
= cPam
-Kl2j - ^22:2
Здесь К, ааопределяются формулами (3), (4). Введем большой параметр а=(2е)-1.
Матрицы Римана первого и второго рода иктЩ, Vm(я^) семейства операторов будем называть матрицами Римана двумерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (1).
Проведем через точку (0, 0) характеристики 1 к, к =1,2,3, с уравнениями соответственно я = а^, я = 0, я = — ааI, и пусть У. — открытые углы (рис. 1) .
Теорема 1. Матрицы. Римана двумерной гиперболической системы (1) даются формулами
■ (
U 1т (t) =
2aw
a. т I d
CO I
Km Iє KmmT I(edm)
U 2. (' )=—
CO
-at f
Л
e
2a.
O wv T 1 (є<5.)у . -mTI d.
- Km I є KюvTI(єd:)
(12)
V. (S,t)=■
eatZ. VjZ (s,t)є Yj, J = 1,2,
0 ( ^ t )є Yo,
(13)
V = v2 =—
1 2 2a.
d- d.Il (ad.) 0 10 (ad.)
0 0 0
10 (ad.) 0 d- d. I1 (adm)
где I0(x), I1(x) — функции Бесселя мнимого аргумента,
dW1,2 - t + s / «w. dw =yjdW1 dW2-
Доказательство. Зафиксируем weW. Обозначим H1 = diag(1,0,0), H2 = diag(0,1,0), n3 = diag(0,0,1), Pkm=Zrn nkZo-1, k=1,2,3. Для вычислений функций U1w(t), U2m(t), U3w(t), V1w V2w воспользуемся приведенными в §1 формулами (8) — (9) и (11), тогда
Ukw(t) = Pkwexp(-Bkwt),Bkw -Zmnk Z-jBZw ntZ-J.
e
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
15
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010
16
ь Га, к = 1,3,
Задав Рк =|2а к = 2 , с учетом (7), (11), а так же формулы для матричной экспоненты и равенств РП = ^ ПП Z - = Пк Z - = Р^ получаем:
Пк 2шВ2ю Пк = а Пк
(і о -П 0 2 0 -1 0 і
П к = Рк Пк,
Вкш = Рк2шПк1-:, к = 1,2,3.
Рк,
п=1
\
Поэтому
ика{ г ) = РкШехр (-рк Ркаг) =
¥
= РюЁ
и ( )=^ ( а* о
1ю 2а І е хКю V —е хКю
diag (1,0,0)
1 ю1 / 8а
0 V1/ (2е8„)
1 —ют/ 8ю
е~а‘ ( 2аю
а ю / 8
СО ии
Кю / е Катт / (е8ю)
Л
Аналогично получаем и2т(^, изт(^. Таким образом, доказана формула (12).
Воспользуемся формулой (9) для матриц Римана второго рода. В случае, когда точка (я^) принадлежит левому или правому открытому углу между 1- (0,0), 13 (0.0) (рис. 1), матрица Vm(s,t)=0. В верхнем и нижнем открытых углах У1, У2 матрицы V, V2 в формуле (9) представляются двойными контурными интегралами, где а1 = аш, а2 =0, а3 =— ат. Для краткости изложения ограничимся рассмотрением случая при. = 1. Найдем V, будем для определенности считать, что точка (я^) принадлежит верхнему открытому углу У1, тогда
( 2пі)
-Я ехр
А—1 (Хя) 4Х4ц,
А1 = diag(Х,Я,2Я — Х) + 2„В 2 ю
/—окружность \Х\ = Д>12а, проходимая в положительном направлении.
Вычислим V1, предварительно переобозначив + а, + а.
Пусть
Х2 + а2 —1
я = 2Х ’ 9 =((я—Я0)Х) ,
тогда
*1 = (^!_е—а Геа» Ге^' 1 2аю J J
((2я— Х9 0 аб} 0 2(я+а)—1 0
а9 0 Х9
(2пі) 1
2аю
„4.л
(2ЯТ1 — 1 0 аХ-1 Л 0 0 0 аХ — 0 1
=
^Х =
(а2Х 2 0 аХ 0 0 0 аХ— 0 1
—Л
4Х.
Представим стоящую под знаком интеграла экспоненту степенным рядом и далее применим формулу бинома Ньютона, после чего
2ашП=02 к=0 к!( п—к)! 2рі
(а2Хп—2к—2 0 аXn-2k—1Л 0 0 0 4Х.
аXn-2k—1 0 Хп—2к
Используя то, что функции Бесселя действительного аргумента равны
т / ^2 т
X
'0 (X)- Ё (=1 2
т=0 (т!) V 2
31(х )=Ё-
(—1)т
!(т +1)!| 2
и учитывая формулу
и^=12Р М 1 (N є Z),
J І0, N *—1 у ’
у V ’
получаем
\п — 2к — 2 = —1^к = т, п = 2т + 1|,
= а
2 ¥ Ё (—1)т аV 4ю14ю 2
\1—4ю1 т=0 т !( т +1)! 2 V 0
= ^ (а—4ю14ю 2 ),
^12= ^21= ^22= ™23= ^32=0'
^1з=^31=\п — 2к — 1 = —1^к = т, п = 2т\ =
= аЁ
(—1)т ( а—4ю14ю
(т!)
-а ^0 (а^ 4ю14ю 2 ),
w
т=0
ш13 =|п — 2к = —1^к = ш+1, п = 2ш+1| =
\а
Представляя элементы этой матрицы с помощью функций Бесселя мнимого аргумента 10 (х) = J0 (г'х), 11 (х) = — г JI (гх) получаем представление У1 в виде (13). Эта формула верна и в случае, когда (в,Ц принадлежит нижнему открытому углу. Аналогичным образом получается формула для У2. Теорема доказана.
4. Задача управления
1. Далее понадобится представление финальной функции Т в виде суперпозиции плоских волн. Продолжим Т нулем из д в в2, для продолжения сохраним то же обозначение. В силу требования Т *е С “(Б) продолженная функция Т* е С” (В2). Представляя функцию Т интегралом Фурье и переходя затем к полярным координатам, получим
2п
Т*(х)= } ТД® •х)аУ’
0
Т;(з ) = (2р)-2}(е"Т.(га))/Лг, (14)
0
где Т* — преобразование Фурье функции Т'. Из требования Т* еС” (В2) также следует бесконечная гладкость функции Т* () .
2. Построим на х - плоскости окружность и овалы (рис. 2)
Здесь и, г0 — числа (5). Зафиксируем в овале К вектор-функцию х(х) и функцию 1(х)
Х(х ) =
\С¥, х = 0 при IX<г1с
А(х)єС¥, 1 = 0 при |х|<г1ш.
(15)
(16)
Ь (и ) = 0,(і,і)єУ , и I = к (^),
а \ а} ’V ’ / а 9 (О |?=0 (О V /’
(18)
Л51 ) = ^ика(1)к„(5 - акі) +
к =1
і+а о і
+ | К (5 - А) К И
(19)
Рис. 3
(12), (13).
Обозначим Тю(84) первую компоненту вектора (19). Т* — функция (14). Будем искать Лш из условия
То (5 4 ) = Т* (5), 5 є[-Го,Го ],
(20)
Зафиксируем вектор юєО. Проведем через точку (0,0) прямую х = ва.
Пусть Хш(в), х,а(в), Х2ш(в) - ограничения функций (15), (16) на отрезок [г1 а, Г2а] этой прямой. Продолжим 1 а(в), х,l0(S), Х2а (в) нулем на [ Г2„ , Г1 о) сохранив те же обозначения. Определим вектор-функцию
Л а («) С” [ Г2а' Г2о]
ка (5 )=(Ло (5 ) Хі а (5 ) Х2 а (5 ))" = 5 Є [-Г2а = Г2 а ] ■ (17)
3. Пусть Ую— трапеция в (вД)-плоскости (рис. 3), ограниченная прямыми
в = - «ш t + Г2ю, t = 0 t = ^ в = - «ш t - Г2ш
Рассмотрим задачу Коши
Требование (20) приводит после вычислений с учетом формул (12), (13), (18), при произвольно фиксированной паре с ^ = (XIJs), С2т(«))Т из (17) к уравнению на первую компоненту Ко вектора Лт на отрезке
[гко ^т1:
~а.и $
е— К ($)+/ (К, )ц($ "ст" )яш (я)^ = к ($). (21)
г,
-а
Л ($ ) = Т 1 ($ - а , ) + 2е-\, С , ($) + Ю 2 С2„ ($)] -
2сраш
-}((>, •<* ) С, (я) +(Кю )13(\, К ) С2Ю (я) )^СТ-
Г1®
где -я т= в — о— ао^. Уравнение (21) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода для Кт (в) с гладкими ядром и правой частью, поэтому оно однозначно разрешимо в классе гладких функций.
4. Пусть Хш(в; ст) — решение уравнения (21), Лт(в; Ст), ит(в, V, ст) — соответствующие векторы (17), (19), Тт(®, I; ст)—первая компонента вектора (19). Нетрудно убедиться: |х|<г0^|ю^ х|<г0, юеО, поэтому функции
'( ХА х)= | иа ( ® • Х а ) Лф,
о
т(хА х) = Т (хА х)|ХЕГ,
(22)
где !т, Лт—оператор (10) и функция (17). В силу теоремы из §2 решение задачи (18) дается формулой
(al, a2, «3) = (am, 0, - aw), икш , ^ш- матрицы Римана
где Т—первая компонента вектора и (х, 1; с), Г —граница области Б (пластинки), определены при |х|<г0. С учетом (14) — (16) при |х|<г0 имеем
2п
1 (и ) = } ью (ию У®=0=
0
2п
и\,=0 = } кю (ю •х; с „) л®=о.
0
2р 2р
Т(с) = } Тю(хА-Сю) = }Т* (ю • х;с ,)= Г (х).
о о
Тем самым доказана
теорема 2. Каждой вектор-функции с(х) = (с1, С2) в (15) отвечает, решение т(х, 1) задачи управления (1), (2), (6), вычисляемое по формуле (22), где правая часть второго равенства в (22) строится по решению Кт (в; Со) уравнения (21) указанным, выше способом..
Замечание. Аналогично строится решение задачи управления (1), (2), (6) с ненулевой начальной функцией и(х,0).
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010
Библиографический список
1. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР.- 1982.-Т. 267, № 3.-С. 577-580.
2. Воробьёва, Е.В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е.В. Воробьёва, Р.К. Романовский// Сиб. мат. журн.-2000.-Т. 41, № 3.-С 531-540.
3. Романовский, Р.К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений/ Р.К. Романовский, Е.Н. Стратилатова // Сиб. журн. индустр. математики.-2004.-Т. 7, № 3(19).-С. 119-131.
4. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом тепло-переноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. -2007. - Т. 43, № 5. - С. 650-654.
5. Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель /О.Г. Жукова, Р.К. Романовский//Сиб. журн. индустр. матем.- 2007.-Т 10 , № 4(32).-С. 32-40.
6. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Сиб. журн. индустр. матем. -2008. - Т 11 , № 3. - С. 119-125.
7. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45, № 12. -С. 1794- 1798.
8. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков.-М.: Высш. школа, 1967. - 600 с.
ЧУРАШЕВА Надежда Георгиевна, старший преподаватель кафедры высшей математики, аспирантка кафедры «Основы теории механики и автоматического управления».
Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.
Статья поступила в редакцию 06.04.2010 г.
© Н. Г. Чурашева
УДК 519.95
Д. Н. ЗАПОРОЖЕЦ
Омский государственный технический университет
ОБРАБОТКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ЭКСТРАГРАДИЕНТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ_____________________________________
В работе приведена начальная обработка данных задач линейного программирования, позволяющая повысить скорость сходимости экстраградиентных методов.
Ключевые слова: экстраградиентный метод, оптимизация, сходимость.
При решении оптимизационных задач стандартными методами возникает ряд проблем, связанных со сходимостью и с довольно жёсткими требованиями на условия задачи. Ослабить эти условия позволяют экстраполяционные методы [1 -3].
Целью данной работы является изучение влияния исходных данных задачи на скорость сходимости экстраградиентных методов.
В работе исследуется одношаговый экстраградиентный метод [1] и двухшаговый экстраградиентный метод [3] для решения пары двойственных задач линейного программирования, заданных в виде (с, х)®тш (Ь, у)®тах
Ах >Ь АТ < с
х>0 у >0
где х,с е Я" , у,Ь е Я" , А-квадратная матрица размерности ЛХЛ.
Под входными данными в терминах прямой задачи линейного программирования понимаются: вектор целевой функции с, матрица ограничений А и вектор правых частей Ь. Обозначим для задачи линейного программирования набор начальных данных как [А,Ь,с].
Известно, что для задачи линейного программирования экстраградиентные методы [1-3] сходятся со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем д
д = 1 —
а
В-1!
-(1 — а 2||Л||2)
где матрица В получена из матрицы А вычеркиванием тех строк и соответствующим им столбцов, которые не выполняются как равенство для оптимального решения [х, у]. Поэтому необходимо определить значения а, 1А||, \В-‘\\ таким образом, чтобы значение д было минимальным.
Решая уравнение д'(а) = 0 , получаем, что
а = 4ЩА\\ - точка минимума д. Минимум функции в ( 1 л 1 1
д( =1 -
этой точке равен
Ж 44
Определим, как меняется д в зависимости от \ \A\I и \\В'Ч\- Знаменатель д должен удовлетворять двойному неравенству 0< д<1. Так как ЦАЦ и НВ^Н положительны, то д<1 всегда выполняется. Из неравенства д >0 следует, что
1 — -
1
4 4 2| ВТ
-> 0
=> 41Л2II в ч|
> 1
2
2
2