Граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

УДК 517.9

Н. Г. ЧУРАШЕВА

Омский государственный технический университет

ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ В АНИЗОТРОПНОМ ДВУМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассматривается гиперболическая модель процесса теплопереноса в анизотропной однородной пластинке. Вычислен температурный режим на границе, обеспечивающий требуемое распределение температуры в заданный момент времени.

Ключевые слова: гиперболическая теплопроводность, анизотропное тело, матрицы Римана.

§1. Введение. Постановка задачи

1. В работе [1] построено явное представление решения задачи Коши для одномерной гиперболической системы с гладкими коэффициентами. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода. В [2 — 3] аппарат матриц Римана применен к анализу других краевых задач для таких систем — смешанной задаче, задаче Стефана. В работах [4 — 7] этот аппарат применен к подклассу задач теории управления процессами в распределенных системах, описываемых гиперболическими уравнениями. В частности, в [6 — 7] рассматриваются краевые задачи, моделирующие процесс распространения тепла в однородной изотропной пластинке и однородном изотропном теле в рамках гиперболического закона теплопроводности [8]. Вычислен температурный режим на границе, обеспечивающий требуемое распределение температуры в заданный момент времени. Представляет интерес распространение результатов этих работ на случай анизотропного материала. Статья посвящена данной проблематике.

2. Рассматривается гиперболическая модель процесса теплопереноса в анизотропной однородной пластинке D:

д Т д q

c р-----+ div q = 0, e—- + К grad Т + q = 0, (1)

д t д t ' ’

Т(x,0)= 0, q(x,0) = 0, T(x,t^ = m(x,t). (2)

Первое уравнение (1) — закон сохранения энергии, второе — обобщенный закон Фурье, (x,t) eDx [0, x), D — звездная относительно начала координат и ограниченная в R2 с границей ГеС“, x = (x1,x2), T — температура, д=(д1,д2)т — вектор теплового потока, с, р, е—удельная теплоемкость, плотность и период релаксации, цеС¥(Гх[0,от)) , символ С¥обозначает множество гладких функций с носителем, отделенным от границы области. В этой ситуации выполняются условия согласования всех порядков данных (2), и краевая задача (1), (2) однозначно разрешима в классе Сх. В (1) K — тензор теплопроводности:

К=

к,, > О, det К > О, к12 = к2

(3)

направлению m = (cosj, sin j)T, на плоскости дается формулой

am =^J(ecp) 1 m • Km

(4)

где точкой обозначается стандартное скалярное произведение, |x| = -\jx,

-2 + x,

Доказательстао. Исключая из системы уравне-ний (1) тепловой поток д и подставляя Т = Т(а-х, V) (плоская волна в направлении а), после вычислений получаем Т'а = а^Т'^ +(еср)- Т", ъ = ю-х, откуда следует требуемое.

Далее предполагается

am = mm am, Г = max Ix|, t. > 2го /am ,

(5)

за время выходящие из точек границы тепловые импульсы успевают достигнуть любой точки пластинки Б.

Ставится задача вычисления функции т(х, V) (управления), которая при заданных I, и Т*(х)еС¥(В) обеспечивает выполнение равенства

Т (x,t* ;m)= Т" (x), x є D.

(6)

3. В векторно-матричных обозначениях краевая задача (І), (2) принимает вид

L(u) = |—+ YA ——+ B Ju = 0, v ^ t h 1 д xt J

u(x,0)= (0,0,0)T, Т(x,t)| = m(x,t),

(x,t) є D x [0, да),

( x1, x2, t) = (Т, q)T, q ( xl, x2, t) = (ql, q,)T (0 0 0^

(7)

A, =

Лемма. В анизотропной модели (1) скорость распространения тепловой волны, по любому

B = є

(cp)_1 0 0 0

0 0

0 1 0

A2 =

10

0 0 м

є-1к12 0 О

є~'к22 0 О

-Л

4. Решение задачи управления проводится в целом по той же схеме, что в [6, 7]. Основные отличия следующие. 1) Исходным отправным пунктом исследования служит полученная выше формула для скорости тепловой волны в зависимости от направления на плоскости. 2) Один из ключевых элементов выполненных построений — вычисление матриц Римана гиперболической системы, моделирующей теплоперенос. В случае анизотропной модели (1) получение этих формул, на которых основано дальнейшее, оказалось существенно более трудной задачей. 3) Ключевой элемент построений в рамках схемы — процедура сведения двухмерной задачи управления к одномерной. В рамках анизотропной модели (1) применяемый в [6, 7] вариант этой процедуры, связанный с решением задачи Коши в характеристическом конусе, не проходит вследствие «неправильной» формы характеристического конуса. В работе показано, что для построения требуемого управления m(x, t) достаточно использовать ограничения плоских волн, получаемых при решении одномерной задачи управления, на цилиндр |x| < r0, где r0 — число (5).

§2. Предварительные сведения Здесь приводятся используемые далее сведения из работы [1] в удобном для последующего виде.

Л-д ад в Пусть Л = д/ + A ~3s + —гиперболический опе-

ратор, где (s,t)еR2, а A, В —постоянные матрицы порядка N, A=Zdiag(a1I1,...,anIn)Z'1, a1>...>an — единичная матрица порядка Nk, 'ENk=N. Проведем через точку (0,0) характеристики s=akt, k= 1,...,n, и пусть 1+, — верхняя (t>0) и нижняя (t <0) части харак-

теристики s=akt. Обозначим Yj объединение открытых углов (l+, j), (l-, 1"+j), j= 1,., n—1, Y0 — объединение открытых углов (l+, 1-), (l-, tn). Построим матрицы Римана Uk( t), k = 1,...,n, V(s,t) оператора Л

Uk (t)- Pk exp (-YkBYkt),

Pk - Z diag(0,...,0,Ik,0,...,0) ZЛ (8)

Y ( Л J ZV]Z^l, (s,t) е , j = 1.K, n -1,

V(St)-l 0 ( t) V (9)

[ a (s,t)е V),

Обозначим

V (2ni)

J a; - a +

J J+1 yxy

ft exp

h s - aJ+lt

s -ajt

А-1 (X,h) dXdh,

где /—окружность \%\ = R достаточно большого радиуса,

А j = dlag (Xl Ii,k,X„ I я) + Bo

B0 = z-bz,

(ak- aJ+1 )x +(aJ- ak )h

Теорема [1]. Задача Коши Л (и )=0, и(я,0)=к(я), ве[ а,Ь], с начальной функцией кеСт[а,Ь] однозначно разрешима в классе Ст в параллелограмме, ограниченном, выходящими из точки (а,0) лучами 1+, 1- и выходящими из точки (Ь,0) лучами 1-, £+п. Это решение дается формулой

п 8 ~ап*

и («,/) = - ак/) + | V (^ - ст,/)Ь (ст)й?ст,

к=1 8-а,?

где ик, V — матрицы Римана оператора Л.

§3. Матрицы Римана гиперболической системы (1)

Q=<! т =

ґт Л

1

т2 v 2 0

cosj

slnj

фє[0,2^) кет =

Построим Lw— семейство одномерных гиперболических операторов

д ч д

(10)

Lm =57 + A(m)5S + B, ЮЄ°,

где A(w) = w1A1 + m2A2: A1, A2, В — матрицы (7). Нетрудно получить

A (W ) = Zwdiag ( aw,0, -aw ) Zw1,

Zm =

am 0 am

e^lKm w -e^’Km

(11)

z:1 =-

2aw

1 :TI Sa

0 v TI (2є5„)

V1 -:TI dj ,

= cPam

-Kl2j - ^22:2

Здесь К, ааопределяются формулами (3), (4). Введем большой параметр а=(2е)-1.

Матрицы Римана первого и второго рода иктЩ, Vm(я^) семейства операторов будем называть матрицами Римана двумерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (1).

Проведем через точку (0, 0) характеристики 1 к, к =1,2,3, с уравнениями соответственно я = а^, я = 0, я = — ааI, и пусть У. — открытые углы (рис. 1) .

Теорема 1. Матрицы. Римана двумерной гиперболической системы (1) даются формулами

■ (

U 1т (t) =

2aw

a. т I d

CO I

Km Iє KmmT I(edm)

U 2. (' )=—

CO

-at f

Л

e

2a.

O wv T 1 (є<5.)у . -mTI d.

- Km I є KюvTI(єd:)

(12)

V. (S,t)=■

eatZ. VjZ (s,t)є Yj, J = 1,2,

0 ( ^ t )є Yo,

(13)

V = v2 =—

1 2 2a.

d- d.Il (ad.) 0 10 (ad.)

0 0 0

10 (ad.) 0 d- d. I1 (adm)

где I0(x), I1(x) — функции Бесселя мнимого аргумента,

dW1,2 - t + s / «w. dw =yjdW1 dW2-

Доказательство. Зафиксируем weW. Обозначим H1 = diag(1,0,0), H2 = diag(0,1,0), n3 = diag(0,0,1), Pkm=Zrn nkZo-1, k=1,2,3. Для вычислений функций U1w(t), U2m(t), U3w(t), V1w V2w воспользуемся приведенными в §1 формулами (8) — (9) и (11), тогда

Ukw(t) = Pkwexp(-Bkwt),Bkw -Zmnk Z-jBZw ntZ-J.

e

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

15

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

16

ь Га, к = 1,3,

Задав Рк =|2а к = 2 , с учетом (7), (11), а так же формулы для матричной экспоненты и равенств РП = ^ ПП Z - = Пк Z - = Р^ получаем:

Пк 2шВ2ю Пк = а Пк

(і о -П 0 2 0 -1 0 і

П к = Рк Пк,

Вкш = Рк2шПк1-:, к = 1,2,3.

Рк,

п=1

\

Поэтому

ика{ г ) = РкШехр (-рк Ркаг) =

¥

= РюЁ

и ( )=^ ( а* о

1ю 2а І е хКю V —е хКю

diag (1,0,0)

1 ю1 / 8а

0 V1/ (2е8„)

1 —ют/ 8ю

е~а‘ ( 2аю

а ю / 8

СО ии

Кю / е Катт / (е8ю)

Л

Аналогично получаем и2т(^, изт(^. Таким образом, доказана формула (12).

Воспользуемся формулой (9) для матриц Римана второго рода. В случае, когда точка (я^) принадлежит левому или правому открытому углу между 1- (0,0), 13 (0.0) (рис. 1), матрица Vm(s,t)=0. В верхнем и нижнем открытых углах У1, У2 матрицы V, V2 в формуле (9) представляются двойными контурными интегралами, где а1 = аш, а2 =0, а3 =— ат. Для краткости изложения ограничимся рассмотрением случая при. = 1. Найдем V, будем для определенности считать, что точка (я^) принадлежит верхнему открытому углу У1, тогда

( 2пі)

-Я ехр

А—1 (Хя) 4Х4ц,

А1 = diag(Х,Я,2Я — Х) + 2„В 2 ю

/—окружность \Х\ = Д>12а, проходимая в положительном направлении.

Вычислим V1, предварительно переобозначив + а, + а.

Пусть

Х2 + а2 —1

я = 2Х ’ 9 =((я—Я0)Х) ,

тогда

*1 = (^!_е—а Геа» Ге^' 1 2аю J J

((2я— Х9 0 аб} 0 2(я+а)—1 0

а9 0 Х9

(2пі) 1

2аю

„4.л

(2ЯТ1 — 1 0 аХ-1 Л 0 0 0 аХ — 0 1

=

^Х =

(а2Х 2 0 аХ 0 0 0 аХ— 0 1

—Л

4Х.

Представим стоящую под знаком интеграла экспоненту степенным рядом и далее применим формулу бинома Ньютона, после чего

2ашП=02 к=0 к!( п—к)! 2рі

(а2Хп—2к—2 0 аXn-2k—1Л 0 0 0 4Х.

аXn-2k—1 0 Хп—2к

Используя то, что функции Бесселя действительного аргумента равны

т / ^2 т

X

'0 (X)- Ё (=1 2

т=0 (т!) V 2

31(х )=Ё-

(—1)т

!(т +1)!| 2

и учитывая формулу

и^=12Р М 1 (N є Z),

J І0, N *—1 у ’

у V ’

получаем

\п — 2к — 2 = —1^к = т, п = 2т + 1|,

= а

2 ¥ Ё (—1)т аV 4ю14ю 2

\1—4ю1 т=0 т !( т +1)! 2 V 0

= ^ (а—4ю14ю 2 ),

^12= ^21= ^22= ™23= ^32=0'

^1з=^31=\п — 2к — 1 = —1^к = т, п = 2т\ =

= аЁ

(—1)т ( а—4ю14ю

(т!)

-а ^0 (а^ 4ю14ю 2 ),

w

т=0

ш13 =|п — 2к = —1^к = ш+1, п = 2ш+1| =

\а

Представляя элементы этой матрицы с помощью функций Бесселя мнимого аргумента 10 (х) = J0 (г'х), 11 (х) = — г JI (гх) получаем представление У1 в виде (13). Эта формула верна и в случае, когда (в,Ц принадлежит нижнему открытому углу. Аналогичным образом получается формула для У2. Теорема доказана.

4. Задача управления

1. Далее понадобится представление финальной функции Т в виде суперпозиции плоских волн. Продолжим Т нулем из д в в2, для продолжения сохраним то же обозначение. В силу требования Т *е С “(Б) продолженная функция Т* е С” (В2). Представляя функцию Т интегралом Фурье и переходя затем к полярным координатам, получим

2п

Т*(х)= } ТД® •х)аУ’

0

Т;(з ) = (2р)-2}(е"Т.(га))/Лг, (14)

0

где Т* — преобразование Фурье функции Т'. Из требования Т* еС” (В2) также следует бесконечная гладкость функции Т* () .

2. Построим на х - плоскости окружность и овалы (рис. 2)

Здесь и, г0 — числа (5). Зафиксируем в овале К вектор-функцию х(х) и функцию 1(х)

Х(х ) =

\С¥, х = 0 при IX<г1с

А(х)єС¥, 1 = 0 при |х|<г1ш.

(15)

(16)

Ь (и ) = 0,(і,і)єУ , и I = к (^),

а \ а} ’V ’ / а 9 (О |?=0 (О V /’

(18)

Л51 ) = ^ика(1)к„(5 - акі) +

к =1

і+а о і

+ | К (5 - А) К И

(19)

Рис. 3

(12), (13).

Обозначим Тю(84) первую компоненту вектора (19). Т* — функция (14). Будем искать Лш из условия

То (5 4 ) = Т* (5), 5 є[-Го,Го ],

(20)

Зафиксируем вектор юєО. Проведем через точку (0,0) прямую х = ва.

Пусть Хш(в), х,а(в), Х2ш(в) - ограничения функций (15), (16) на отрезок [г1 а, Г2а] этой прямой. Продолжим 1 а(в), х,l0(S), Х2а (в) нулем на [ Г2„ , Г1 о) сохранив те же обозначения. Определим вектор-функцию

Л а («) С” [ Г2а' Г2о]

ка (5 )=(Ло (5 ) Хі а (5 ) Х2 а (5 ))" = 5 Є [-Г2а = Г2 а ] ■ (17)

3. Пусть Ую— трапеция в (вД)-плоскости (рис. 3), ограниченная прямыми

в = - «ш t + Г2ю, t = 0 t = ^ в = - «ш t - Г2ш

Рассмотрим задачу Коши

Требование (20) приводит после вычислений с учетом формул (12), (13), (18), при произвольно фиксированной паре с ^ = (XIJs), С2т(«))Т из (17) к уравнению на первую компоненту Ко вектора Лт на отрезке

[гко ^т1:

~а.и $

е— К ($)+/ (К, )ц($ "ст" )яш (я)^ = к ($). (21)

г,

-а

Л ($ ) = Т 1 ($ - а , ) + 2е-\, С , ($) + Ю 2 С2„ ($)] -

2сраш

-}((>, •<* ) С, (я) +(Кю )13(\, К ) С2Ю (я) )^СТ-

Г1®

где -я т= в — о— ао^. Уравнение (21) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода для Кт (в) с гладкими ядром и правой частью, поэтому оно однозначно разрешимо в классе гладких функций.

4. Пусть Хш(в; ст) — решение уравнения (21), Лт(в; Ст), ит(в, V, ст) — соответствующие векторы (17), (19), Тт(®, I; ст)—первая компонента вектора (19). Нетрудно убедиться: |х|<г0^|ю^ х|<г0, юеО, поэтому функции

'( ХА х)= | иа ( ® • Х а ) Лф,

о

т(хА х) = Т (хА х)|ХЕГ,

(22)

где !т, Лт—оператор (10) и функция (17). В силу теоремы из §2 решение задачи (18) дается формулой

(al, a2, «3) = (am, 0, - aw), икш , ^ш- матрицы Римана

где Т—первая компонента вектора и (х, 1; с), Г —граница области Б (пластинки), определены при |х|<г0. С учетом (14) — (16) при |х|<г0 имеем

2п

1 (и ) = } ью (ию У®=0=

0

2п

и\,=0 = } кю (ю •х; с „) л®=о.

0

2р 2р

Т(с) = } Тю(хА-Сю) = }Т* (ю • х;с ,)= Г (х).

о о

Тем самым доказана

теорема 2. Каждой вектор-функции с(х) = (с1, С2) в (15) отвечает, решение т(х, 1) задачи управления (1), (2), (6), вычисляемое по формуле (22), где правая часть второго равенства в (22) строится по решению Кт (в; Со) уравнения (21) указанным, выше способом..

Замечание. Аналогично строится решение задачи управления (1), (2), (6) с ненулевой начальной функцией и(х,0).

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

Библиографический список

1. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР.- 1982.-Т. 267, № 3.-С. 577-580.

2. Воробьёва, Е.В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е.В. Воробьёва, Р.К. Романовский// Сиб. мат. журн.-2000.-Т. 41, № 3.-С 531-540.

3. Романовский, Р.К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений/ Р.К. Романовский, Е.Н. Стратилатова // Сиб. журн. индустр. математики.-2004.-Т. 7, № 3(19).-С. 119-131.

4. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом тепло-переноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. -2007. - Т. 43, № 5. - С. 650-654.

5. Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель /О.Г. Жукова, Р.К. Романовский//Сиб. журн. индустр. матем.- 2007.-Т 10 , № 4(32).-С. 32-40.

6. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Сиб. журн. индустр. матем. -2008. - Т 11 , № 3. - С. 119-125.

7. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45, № 12. -С. 1794- 1798.

8. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков.-М.: Высш. школа, 1967. - 600 с.

ЧУРАШЕВА Надежда Георгиевна, старший преподаватель кафедры высшей математики, аспирантка кафедры «Основы теории механики и автоматического управления».

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 06.04.2010 г.

© Н. Г. Чурашева

УДК 519.95

Д. Н. ЗАПОРОЖЕЦ

Омский государственный технический университет

ОБРАБОТКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ЭКСТРАГРАДИЕНТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ_____________________________________

В работе приведена начальная обработка данных задач линейного программирования, позволяющая повысить скорость сходимости экстраградиентных методов.

Ключевые слова: экстраградиентный метод, оптимизация, сходимость.

При решении оптимизационных задач стандартными методами возникает ряд проблем, связанных со сходимостью и с довольно жёсткими требованиями на условия задачи. Ослабить эти условия позволяют экстраполяционные методы [1 -3].

Целью данной работы является изучение влияния исходных данных задачи на скорость сходимости экстраградиентных методов.

В работе исследуется одношаговый экстраградиентный метод [1] и двухшаговый экстраградиентный метод [3] для решения пары двойственных задач линейного программирования, заданных в виде (с, х)®тш (Ь, у)®тах

Ах >Ь АТ < с

х>0 у >0

где х,с е Я" , у,Ь е Я" , А-квадратная матрица размерности ЛХЛ.

Под входными данными в терминах прямой задачи линейного программирования понимаются: вектор целевой функции с, матрица ограничений А и вектор правых частей Ь. Обозначим для задачи линейного программирования набор начальных данных как [А,Ь,с].

Известно, что для задачи линейного программирования экстраградиентные методы [1-3] сходятся со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем д

д = 1 —

а

В-1!

-(1 — а 2||Л||2)

где матрица В получена из матрицы А вычеркиванием тех строк и соответствующим им столбцов, которые не выполняются как равенство для оптимального решения [х, у]. Поэтому необходимо определить значения а, 1А||, \В-‘\\ таким образом, чтобы значение д было минимальным.

Решая уравнение д'(а) = 0 , получаем, что

а = 4ЩА\\ - точка минимума д. Минимум функции в ( 1 л 1 1

д( =1 -

этой точке равен

Ж 44

Определим, как меняется д в зависимости от \ \A\I и \\В'Ч\- Знаменатель д должен удовлетворять двойному неравенству 0< д<1. Так как ЦАЦ и НВ^Н положительны, то д<1 всегда выполняется. Из неравенства д >0 следует, что

1 — -

1

4 4 2| ВТ

-> 0

=> 41Л2II в ч|

> 1

2

2

2