Обработка исходных данных при реализации экстраградиентных методов решения линейных оптимизационных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

Библиографический список

1. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР.- 1982.-Т. 267, № 3.-С. 577-580.

2. Воробьёва, Е.В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е.В. Воробьёва, Р.К. Романовский// Сиб. мат. журн.-2000.-Т. 41, № 3.-С 531-540.

3. Романовский, Р.К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений/ Р.К. Романовский, Е.Н. Стратилатова // Сиб. журн. индустр. математики.-2004.-Т. 7, № 3(19). — С. 119-131.

4. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом тепло-переноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. -2007. - Т. 43, № 5. - С. 650-654.

5. Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель /О.Г. Жукова, Р.К. Романовский//Сиб. журн. индустр. матем.- 2007.-Т 10 , № 4(32).-С. 32-40.

6. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом тепло-переноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова, Р.К. Романовский // Сиб. журн. индустр. матем. -2008. - Т 11 , № 3. - С. 119-125.

7. Жукова, О.Г. Граничное управление процессом тепло-переноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О.Г. Жукова // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45, № 12. -С. 1794- 1798.

8. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков.-М.: Высш. школа, 1967. - 600 с.

ЧУРАШЕВА Надежда Георгиевна, старший преподаватель кафедры высшей математики, аспирантка кафедры «Основы теории механики и автоматического управления».

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 06.04.2010 г.

© Н. Г. Чурашева

УДК 519.95

Д. Н. ЗАПОРОЖЕЦ

Омский государственный технический университет

ОБРАБОТКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ЭКСТРАГРАДИЕНТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ_____________________________________

В работе приведена начальная обработка данных задач линейного программирования, позволяющая повысить скорость сходимости экстраградиентных методов.

Ключевые слова: экстраградиентный метод, оптимизация, сходимость.

При решении оптимизационных задач стандартными методами возникает ряд проблем, связанных со сходимостью и с довольно жёсткими требованиями на условия задачи. Ослабить эти условия позволяют экстраполяционные методы [1 -3].

Целью данной работы является изучение влияния исходных данных задачи на скорость сходимости экстраградиентных методов.

В работе исследуется одношаговый экстраградиентный метод [1] и двухшаговый экстраградиентный метод [3] для решения пары двойственных задач линейного программирования, заданных в виде (с, х)®тш (Ь, у)®тах

Ах >Ь АТ < с

х>0 у >0

где х,с е Яп , у,Ь е Яп , А-квадратная матрица размерности ЛХЛ.

Под входными данными в терминах прямой задачи линейного программирования понимаются: вектор целевой функции с, матрица ограничений А и вектор правых частей Ь. Обозначим для задачи линейного программирования набор начальных данных как [А,Ь,с].

Известно, что для задачи линейного программирования экстраградиентные методы [1-3] сходятся со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем д

д = 1 -

а

\в-1|

-(1 - а 2||Л||2)

где матрица В получена из матрицы А вычеркиванием тех строк и соответствующим им столбцов, которые не выполняются как равенство для оптимального решения [х, у]. Поэтому необходимо определить значения а, 1А||, \В-‘\\ таким образом, чтобы значение д было минимальным.

Решая уравнение д'(а) = 0 , получаем, что

а = 4ЩА\\ - точка минимума д. Минимум функции в

( 1 л 1 1

д( =1 -

этой точке равен

Ж 44

Определим, как меняется д в зависимости от \ \A\I и ЦвЦ. Знаменатель д должен удовлетворять двойному неравенству 0< д<1. Так как ЦАЦ и НВ^Н положительны, то д<1 всегда выполняется. Из неравенства д >0 следует, что

1 --

1

4 4 21 В11:

-> 0

=> 41Л2II в ч|

> 1

2

2

2

= > IIaIIIIb-1|| >-.

Заметим, что равенство ||А||||-в = 2 означает, что д = 0. А так как

||хк+1-х*|| <д||хк -х*||,

то в этом случае хк+1 = х' , и решение будет найдено за 1 итерацию.

Пусть имеются две задачи линейного программирования с некоторым набором начальных данных [А1,Ь1,с1] и [А2,Ь2,с2] соответственно. Будем называть их эквивалентными, если из одного набора данных можно получить другой путем конечного числа следующих преобразований:

1) пусть есть некоторый положительный век-тор 8 = (в1, ..., еп), тогда наборы [А, Ь, с] и [АТе, Ье, с] эквивалентны;

2) пусть есть некоторый положительный век-тор

e = (e,

валентны;

, en), тогда наборы [Л, b, c] и [Лтє, b, ce] экви-

(b є, y *є 1) = Ь1є1 —— + к + .

' 1

+ Ь„є„ ^ = Ьі у і + к + b„y* = (b, y')

en

Таким образом [х, у е] является решением ЗЛП с набором [Ае, Ье, с]. Аналогичные рассуждения можно провести для преобразования 2). Утверждение доказано.

Рассмотрим теперь использование эквивалентных преобразований 1) , 2) для минимизации знаменателя геометрической прогрессии д .

1. Случай диагональной матрицы А.

Рассмотрим диагональную матрицу А с положительными элементами на главной диагонали, и минимизируем мп используя преобразования 1) и 2).

Пусть для оптимального решения [х', у'] все ограничения выполняются как равенства. В этом случае матрица В совпадает с матрицей А. Таким образом, если

A =

О Л

, то

'a11є1 • •• a1„є1 Л Г і d, • О

где Ae = annЄn J eII (bI =( e b ", bnen). в - = О • ' 1 ' dn J

= max

n

d„_ IB і=

і

min dn

Заметим, что данные преобразования представляют собой эквивалентные преобразования системы неравенств, а именно, умножение обеих частей неравенств на положительную константу.

Утверждение 1. Преобразования 1), 2) влияют на оптимальное решение [х',у] следующим образом:

— после преобразования 1) получаем оптимальное решение [х', у е'1],

— после преобразования 2) получаем оптимальное решение [х е'1, у ],

где

x є

= )

* -1 У є

= ( yL >JL)

є, є_ ■

(Лє)1у "є-1 = a^ + к +

* є,

Уп * * лТ *

+ankєn — = ay, + к+ankyn = A у

en

И, наконец, n

Пусть d1>d2> ... >dn. Тогда, ||A||||B || = ,1 .

II ill dl^ Найдем e1, en такие, что Ц^Ц|(Вє) || =

min

Доказательство. Пусть [x*,y*] решение ЗЛП с набором [Л, b, c]. Необходимо доказать, что [x*, ye^] является решением ЗЛП с набором [Лe, be, c]. Очевидно, что умножение обеих частей неравенства на положительную константу никак не влияет на оптимальное решение, поэтому решение прямой задачи осталось прежним. Рассмотрим двойственную задачу линейного программирования. С одной стороны, мы имеем,

(b,y) = max ЛТу>c

y* >0

нужно показать, что (be, y*e-I) = max (Лє)т y e-I>c y*e-I>0

Так как координаты вектора e~I положительны, то, очевидно, y*e-I>0.

Далее запишем неравенство ограничений для строки с номером k. Получим,

У*

и d1e1 ><^ dnen < й.п1. Исходя из данных условий получаем, что минимум тав- ^ = 1, и d1e1 = d2e2 = ... = dnen . Если матрица В не совпадает с матрицей А, то получаем аналогичный результат. Так как НаШВ'^ не может быть меньше 1, иначе максимальный элемент в матрице А окажется меньше минимального элемента, что невозможно. А при одинаковых элементах на диагонали НАШВ'^ = 1.

2. Случай произвольной квадратной матрицы. А. Рассмотрим положительно определенную матри-

п

цу А. Норма матрицы А равна ||А|| = трх ^ |ай|.

к=1

Рассмотрим случай, когда матрица В совпадает с матрицей А. Тогда В'1 имеет вид

В-1 =

det A

Г A,

V A1n

A

An

Норма матрицы B-1 равна

||в - 11 = -

det A

После преобразования 1) нормы матриц Л и B-1 равны

\\AєІІ = mx Z lah

||(Вє) ll = , 1 —1—max

Z Atm (єі • • •єm-1єm+1 • • єn ).

А 81 ...Еп т

Зафиксируем номера строк 1,.., т, в которых достигается максимум. Тогда

2

О

n J

и

8

8

n

1

nn

і

t=1

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

INI І(Вє)-1І=Ж є

lkfl л + л

k=i detA є, ..£п^=

ZAtm ^і-є-іє+і-є,) =

lk

=ZI

k=1

= A

nl

aє X — ZAm- = Jd— xZAtmє =

IkVl '

k=i detAt", є, detA t=i

detA

Aim +ZA,m ^ Umin

Таким образом, чтобы уменьшить произведение МП следует уменьшать е1 и увеличивать єґ , где ґ ФІ. Отсюда следует, что||Л||||5'г|| минимально тогда, когда все строки в матрице А равны по норме. В случае, когда матрица В не совпадает с матрицей А, рассуждения аналогичны.

Заключение.

Для увеличения скорости сходимости экстрагра-диентных методов [1 — 3] к исходной задаче линейного программирования рекомендуется применить преобразование 1) или 2), где каждая координата век-_ 1

тора є равна еі _ ц^ ц, и ||А;|| — норма строки с номером і. Для восстановления оптимального решения исход-

ной задачи к решению полученной задачи необходимо применить преобразование е'1.

Библиографический список

1. Корпелевич, Г.М. Экстраградиентный метод для отыскания седловых точек и других задач [Текст] / Г.М. Корпелевич // Экономика и математические методы. - 1976. - Т. 12. - № 4. -С. 747-756.

2. Зыкина, А.В. Обратная дополнительность в модели управления ресурсами [Текст] / А. В. Зыкина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008.-Т. 48.-№ 11. -С. 1968- 1978.

3. Меленьчук, Н.В. Двухшаговый экстраградиентный метод для решения седловых задач [Текст] / Н. В. Меленьчук // Омский научный вестник. - 2009. - №3(83). - С. 33-36.

ЗАПОРОЖЕЦ Дмитрий Николаевич, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления», младший научный сотрудник.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 27.05.2010 г.

© Д. Н. Запорожец

1

1

УДК 517.518.823 А. С. ОКИШЕВ

Омский государственный университет путей сообщения

ФОРМИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ, УЧИТЫВАЮЩИХ ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Предложены и рассмотрены методы численного решения нелинейных уравнений при минимизации функции нескольких переменных, позволяющие учитывать высшие производные в неявной форме с помощью линейной комбинации первых производных. Получен двухступенчатый алгоритм для метода произвольного порядка, приведены формулы для точности и скорости сходимости. Результаты теоретических исследований подтверждены данными имитационного моделирования.

Ключевые слова: оптимизация функций, численные методы, порядок сходимости.

Введение

Во многих практических областях, связанных с цифровой обработкой сигналов, в системах фильтрации и автоматического управления приходится решать задачу поиска минимального значения функции нескольких переменных. Задачу безусловной минимизации скалярной действительной функции Р(х) можно записать в виде:

х = агд ехґг Р(х), (1)

где х*є RЛ — вектор оптимальных значений аргумента.

На практике для решения задачи обычно используют градиентные или квизиньютоновские методы. В методах первой группы при поиске экстремума используется информация о градиенте, а в методах второй группы — матрица вторых производных, модифицированная по некоторому правилу для повышения скорости

вычислений. Как правило, эти методы хорошо сходятся только для унимодальных функций вблизи точки минимума, поэтому они требуют задания начального приближения, достаточно близкого к истинному значению, что не всегда возможно.

Предлагается заменить численную оптимизацию методами решения систем нелинейных уравнений, т.к. значение минимизируемой функции чаще всего равно нулю или заранее известно и достаточно просто учитывается. В статье рассматривается метод, основанный на прямой интерполяции нелинейной функции полиномами Тейлора, позволяющий в неявной форме учитывать высшие производные, заменяя их линейной комбинацией первых производных.

Постановка задачи

Нахождение оптимального значения аргумента х*е Rn заменим задачей определения корня уравнения