Двухшаговый экстраградиентный метод для решения седловых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

4 Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости // Сиб мат. жури. 2000. - Т. 41. № 3. - С. 531 - 540.

5. Романовский Р.К.. Стратилатова Е.Н. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. — 2004. — Т. 7. № 3(19). — С. 119—131.

6. Романовский Р.К., Воробьева Е.В., Стратилатова Е.Н Метод Римана для гиперболических систем. — I [овосибирск : Наука, 2007. — 172с.

7. Жукова О.Г., Романовский Р.К. Граничное управление процессом тенлопереноса в одномерном материале. Гиперболи-ческая модель// Дифференц. уравнения. — 2007. - Т. 43, №5. — С. 650-654.

8. Жукова ОТ., Романовский Р.К. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель // Сиб. журн. индустр. матем. — 2007. -Т 10. №4(32). - С.32-40.

9. Жукова О.Г., Романовский Р.К. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболи-

ческая модель// Сиб. журн. индустр. матем. — 2008, — Т11, №3. — С. 119-125.

10. Жукова О.Г. Граничное управление трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности // Омск, 2007. — 12с. - Деп. в ВИНИТИ, 04.12.2007. №1126 - В2007.

11. Романовский Р.К., Стратилатова Е.Н. Элементы математической теории устойчивости. — Омск: ОмГТУ, 2009. — 76 с.

12. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М : Высш. школа, 1985. — 480 с.

13. Лыков, А.В. Теория теплопроводности. — М. : Высш. школа, 1967. — 600 с.

ЧУРАШЕВАНадежда Георгиевна, старший преподаватель кафедры высшей математики.

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 01.09.2009 г.

© Н. Г. Чурашева

УДК 519.95 н. В. МЕЛЕНЬЧУК

Омский государственный технический университет

ДВУХШАГОВЫЙ ЭКСТРАГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СЕДЛОВЫХ ЗАДАЧ

Задачи о седловой точке являются важным классом задач, но при решении последних стандартными методами возникает ряд проблем, связанных со сходимостью и довольно жёсткими налагаемыми требованиями. В связи с этим актуальна разработка новых методов, позволяющих эффективно решать подобные задачи.

Ключевые слова: экстраградиентный, седловая точка, оптимизация.

Множество интересных сточки зрения практики и вместе с тем сложных задач сводятся к задачам о седловой точке. Градиентные методы при решении задач оптимизации весьма распространены, однако, для задач о седловых точках они сходятся только при наличии жёстких предположений. Ослабить эти условия позволяют экстраградиентные методы [1 — 3].

Рассмотрим следующую задачу. Пусть Б с Я'" — подмножества евклидовых пространств; ф(х,у) — функционал, заданный на Я" х Ят. Требуется найти такую точку [л',у’]б0><5 (называемую седловой), что

ф(х',у)<ф(х\у') V уеБ, ф(х',у')<ф(х,у') \/хеО,

Далее будем предполагать, что выполняются следующие условия:

а) множества О ч Б замкнуты и выпуклы;

б) функционал ф(х,у) выпуклый по х, вогнутый гю у, дифференцируемый, и его частные производные удовлетворяют условию Липшица на 0x5, т.е.

11ч>„ (*■ у)-Фх(х''У)||- Ц\х - *112 + ||у - у 1Г У2 •

ЦфУ (*.у) - фу (*'. у')|| ^ Ц\х - А2 + IIу - уТ )Уг;

в) множество X хУ седловых точек функционала ф{х,у) на 0x5 не пусто.

В такой постановке метод не требует каких-либо дополнительных ограничений по сравнению со стандартным экстраградиентным методом, однако, предполагается его большая эффективность на больших и трудоемких задачах. В настоящей работе строи тся двухшаговый экстраградиентный метод отыскания седловых точек, заключающийся в том, что направление движения алгоритма выбирается исходя из двух предварительных шагов. Таким образом, мы делаем два шага, находим в последнем направление и используем его для шага из исходной точки. Двухшаговый экстра градиентный методдля отыскания седловых -гачек функционала ф(х, у) задаётся следующими соотношениями

х* = Р0(х*-<х(р(х\у*)),

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (83) 2009

ух = Р5(х*-аф(х*,у*)), х* = Р0(хк-а ф(х*,у*)),

что при V = и , и = ик -аТ(и ),даёт

У* = Р5(у'с-аф(х*,у*))1

х*и =Р0(х*-аф(х*,у'1)),

у*+| = Р5(х* -аф(х\у*)),

где а>0 — числовой параметр; Ра, Р5 — операторы проектирования на соответствующие множества; [х‘,у*] и [х**',ум] — текущая и следующая точки алгоритма соответственно. Справедлива следующая.

Теорема 1. Если выполняются предположения а) — в) и, кроме того:

г) 0 < а < ,

то найдётся седловая точка [х ,у ]еХ х У — такая, что [х\у*]-»[х ,у ] при к->оо.

Доказательство. Приведём исходную задачу к более удобному виду. В условиях теоремы точка [х ,у ] е 0x5 является седловой тогда и только тогда, когда выполняются неравенства [4]

(ф*(х\у ),х-х )>0, Ухе О, (ФУ(*'У).У-У')^0, \ZyeS.

Если обозначить и = [х,у], Г(и) = [Фд(х,у),--фу (х, у) ], = О х 5, го эти условия могут быть за-

писаны как

(Г(и),и-и ) > О, V иеЦ

где и =[х ,у ]еЦ =Х хУ .

Условие б) при этом означает, что оператор Т(и) является однозначно определённым, монотонным, т.е.

[Т(и),и-и')>0, V иеП,

и, кроме того, условие Липшица запишется следующим образом

||Г(и) - Г(у)||) < Ц\и - у||, V и, V е П.

Рассматриваемый итеративный процесс может быть представлен в следующем виде

йк = Рп(ик-аТ(ик))1 й‘=Рй(й*-аГ(й*)).

и*-1 =Рп(и*-аТ[йк)).

Необходимо показать, что последовательность , определяемая этими соотношениями, сходится к некоторой точке и 6 и'.

Для произвольного и е V оценим ||а‘*'-и’| , воспользуемся для этого свойством проекции на выпуклое множество: для любого и

(« — рп(и), V - Рц(г^)) < О, V V е П,

из которого следует:

||и - VII2 > ||и- Рп(и)||2 +\\у - Рп(и)||2, V V Е О, V и,

Не<

{■Ф

Ии**1 — и'||2 <||и* -и'Ц2 -||и* -и-'Г ■

-2а(Г(й*),и' -и‘*') =

-|и‘ -и'Г -|и‘-В^ -|0‘ -и“|’ -

-2а(и* -й‘,й* -и‘*')-2а(Г(й*),и' -й*)-

-2а(Г(й‘),й* -и*’1).

Продолжая цепочку преобразований и применяя условие Липшица, придём к следующему неравенству

|ым-и'(* <|и*-и( -(1-а2£2)||и* -<Т* ||\ из которого следует, что

|ц*-й*|-»0 при /с-»со,

а последовательность ||и* - и || — невозрастающая и,

следовательно, { и*} ограничена. В силу конечномерности рассматриваемого пространства и замкнутости множества О сушествует сходящаяся подпоследовательность { и*'}, т.е.

и

► й при к—><ю, йеП

Проведя ряд рассуждений, получаем, что последовательность { ик} сходится к тому же пределу и , что и подпоследовательность { и* }.

Изучим более подробно двухшаговый экстрагра-диентный методдля отыскания седловой точки билинейного функционала. Линейное программирование и матричные игры сводятся кзадачам именно такого типа.

Пусть решается пара двойственных задач линейного программирования

(с,х) -» пип, Агх > Ь, х>0,

(Ь.у) -> шах, Ауйс,

У* О,

где х.уеР"; у,ЬеЛш; А — матрица размерности пхт, а Ат — транспонированная матрица, тогда решение таких задач своди тся к отысканию седловых точек соответствующей функции Лагранжа

тттахЦх.у), Цх,у) = (с,х) + (Ь,у)-(Ау,х)

на множестве х £ О, у > 0.

Задача отыскания оптимальных стратегий матричной игры с платежной матрицей А также сводится к отысканию седловых точек билинейного функционала

М(х,у) = (е,х) + (е,у)-(Ау,х)

на множестве х > 0, у > 0. Здесь е = (1,1,...,1) — вектор подходящей размерности.

Двухшаговый экстраградиентиый метод отыскания седловой точки билинейного функционала на множестве х > О, у > О может быть записан следующим образом:

х* = |хк + а(Ау* — с) ]+ * У* =1У* +«(Атхк -Ь)]\ х* =[х* + а(Ау* -с)]*, ук=|у‘+а(Атх‘-Ь)Г. хм = [х* + а(Ау* -с)]\ ук*‘ =[х* + а(Атх*-Ь)]\

где [р]* = тах{0,р} для скаляра р и [р]+ = ([р,]\[р2]‘,

...,|р,]) мя вектора р = (р,.р2.Р/)-

Относительно сходимости последовательности, определяемой полученными рекуррентными соотношениями, докажем следующую теорему.

Теорема 2. Если выполняются следующие условия а) билинейный функционал (с,х) + (Ь,у)-(Ау,х) имеет на множестве х > 0, у > О единственную сед-ловуюточку |х', у ’ ];

б|0<“<ЛлГ

то последовательность { |хк,ук\ } сходится со скоростью геометрической прогрессии:

У" -*'Г+»у‘+| -у'Г *д(||х‘-х'( +Цу* -у'Г).

Доказательство. Будем обозначать через а' 1-ю строку матрицы А, через о' — 1-й столбец матрицы А, через г, — /-Ю компоненту вектора г = (г1,...,г1). Пусть для седловой точки [х ,у | рассматриваемого нами функционала

I ={ 1: (а',у') = с,},

У ={ (а',х') = Ьу},

тогда, как известно, из предположения единственности седловой точки следует, что

(а‘,у')<с,, х, =0 /«?/',

(а',*')>{>,, у'(=0 У «

х*+| = [х* + а((а',у*)-с,)Г <[х* -ауГ, / г I', УГ=1У: + а((а\х‘)-Ь,)Г <[у,* -ау]‘, у «Г.

Откуда следует, что через конечное число шагов х*=0, !«/',

у* =0, у«./\ V к> К,> К.

Теперь обозначая через Vм ,у/к ненулевые компоненты векторов х* и у*, а через В — матрицу, получающуюся из А вычеркиванием строк с номерами /0/' и столбцов с номерами у г /, получим тот же метод только для квадратной, невырожденной матрицы В размерности /£тіп{п,/п} (в силу единственности седловой точки), для неё верно следующее утверждение

ІМ^Н УИ'ЄЯ'.

Используя равенства ВтV = Ь, В\у =с получим оценки

|7*-И|г = а2|в(*‘ -иг ) |2 -*|2,

IIй II

Теперь преобразуем конечную оценку, полученную в доказательстве теоремы 1,

• ц2

,*+1

V -41 +Г

*"2 ■' .2|1л||Л

1Ф*-/Г+

+11 \v--w |‘-(1-а2|А|ї)ф(г*-у*|| +р-у*|‘ Или, учитывая полученные выше оценки,

Цу*’1 -у'||2 +Ік‘+І -И’’|Ґ <

х, > 0,

у]>0, У е У •

Выберем такое малое є > 0, чтобы для всех [х,у| из е-окрестности точки |х ,у ]: ||х-х |2+||у-у ||2 < < є выполнялись неравенства

(а',х)-Ь1>у> 0, у tJ',

(а'.у) — с,,^ -у. іеґ,

х, + а(а'у-с,)^0, ієі',

уі +а(а'х-Ь/)>0, jєJ'.

Для данного метода выполняются условия теоремы I, следовательно, { [х*,у*] } сходится к седловой точке. В результате, для некоторого к > К

'I’)

Поскольку 1-а2||А|| >0 по условию теоремы, то

9=1_гУ1“а211А12)<1' IIе II

и мы получаем сходимость со скоростью геометрической прогрессии.

Предлагаемый в статье двухшаговый экстрагради-ентный метод решения задач о седловой точке является новым. Двухшаговый экстраградиентиый метод является расширением стандартного экстрагради-ентного метода, но, в отличие от последнего, он состоит в том, чтобы перед шагом алгоритма делать два вспомогательных шага, а не один. Представлен ход доказа тельства теоремы о сходимости метода, а также показана его применимость к реальным задачам.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (83) 2009

Применение предложенного метода распространяется и на задачи со связанными ограничениями [2].

Библиографический список

1. Г.М. Корпелевич. Экстраградиентный методдля отыскания ссдлоних точек и других задач // Экономика и математические методы. — 1976. — Том 12, № 4. — С. 747 — 756.

2. А.С. Антипин. Методы решения вариационных неравенств со связанными ограничениями //Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2000. — Том 40, №9,- С. 1291-1307.

3. А. В. Зыкина. Обратная дополнительност ь в модели управления ресурсами // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2008. — Т. 48, № 11. — С. 1968 — 1978.

4. В.Ф. Демьянов, А.Б. Певный. Численные методы отыскания седловых точек // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1972. — Том 12, №5. — С. 1099— 1127.

МЕЛЕНЬЧУК Николай Владимирович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 09.10.2009 г.

© Н. В. Меленьчук

Информация

VII Всероссийская научно-практическая конференция-конкурс «Технологии Microsoft в теории и практике программирования»

Министерство образования и науки РФ, Томский политехнический университет (ТПУ), Представительство корпорации Microsoft в РФ

23 — 24 марта 2010 г. в Центре инноваций Microsoft в Томском политехническом университете состоится VII Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования».

Данная конференция проводится в ТПУ второй раз. Предыдущие конференции проходили в Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Новосибирске, Таганроге и Челябинске. Конференции проводятся с 2004 г. по инициативе представительства компании Microsoft в РФ, при поддержке Министерства образования и науки РФ. Конференции были поддержаны такими компаниями, как Autodesk, Intel, Motorola, «Лаборатория Касперского» и др.

Целью конференции является поддержка научных исследований студентов и молодых учёных в сфере IT, а также выявление талантливых молодых специалистов в области разработки информационных сис тем и содействие их подготовке к работе в профессиональных программистских коллективах.

В рамках программы конференции:

1. Пленарное заседание с докладами приглашенных учёных и специалистов.

2. Секционные заседания.

3. Региональный тур конкурса программных проектов международного технологического с туденческого конкурса «Imagine Cup 2010».

Допускается одновременное участие в конференции и в конкурсе либо в одном изданных мероприятий.

Участники конференции:

К участию в конференции приглашаются студенты высших учебных заведений, аспиранты и молодые ученые.

Секции конференции:

1. Автоматизированные системы управления и мехатроника.

2. Высокопроизводительные и параллельные вычисления.

3. Геоинформационные системы и технологии.

4. Интеллектуальные системы итехнологии.

5. Информационно-телекоммуникационные технологии.

6. Технологии разработки и проектирования информационных систем.

7. Информационные технологии в управлении социально-экономическими процессами.

8. Информационная безопасность.

На конференцию принимаются доклады, посвященные:

— практическим работам с использованием технологий корпорации Microsoft;

технологическим разработкам в области программирования, проектирования и разработки программных продуктов;

теоретическим работам в области информационных технологий (Computer Engeneering и Computer Science).

Заявки, тезисы и работы на конкурс будут приниматься до 20 февраля 2010 г.

Более подробная информация доступна на сайте htto://festival.tpu.ru

Источник информации: www.rsri.ni