УДК 517.9
H.Г. Чурашева
Омский государственный технический университет, г. Омск
ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ В АНИЗОТРОПНОМ ДВУМЕРНОМ МАТЕРИАЛЕ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
I. Пусть г(р) - гладкая кусочно-монотонная функция, г(0)=г(2п),
т
др = [соБф^тр]
О - область на плоскости х = (х1, х2 ) с границей
дБ = {х = г(р)др, 0 < р < 2п, г > о},
Т - температура, I - время, Ц - вектор плотности теплового потока, С - удельная теплоемкость, р - плотность, Т - период релаксации, дель имеет вид
М еС,
М(ф,0) = 0 , (х^) еОх[0,<ю) , мо-ср дТ / дt + (Ну ц = 0,
*
т дц / дt + К gradT + ц = 0, т
(1)
|Т (х,0) = 0, ц(х,0) = [0,0] ,Т (г (Р)др , t) = М(Р t).
Здесь К - тензор теплопроводности. В (1) по любому направлению
да , а е[0, 2п]
скорость распространения тепловой волны
аа =
V
а
1 Т
(Тсрр д Кда > 0 . Пусть собственные
векторы матрицы К направлены вдоль осей ОX1 и ОX2, тогда Рассматриваются две задачи.
к = йиа^укк ), к > 0 .
1.1. Задача граничного управления. При заданных t * > 0,
в (х) еС” (О)
с носителем
внутри О ищется управление М(ф, t) такое, что Т (х, Г; м) = в (х),
х е О.
(2)
Кратко схема состоит в следующем. Пусть
ат = шш а а ,
а
t > 2 г0 / ат ,
г1а
=аа
г0 = шах х
дО
г
'2а
: аа
+ Г
П = \Г\а , Г2а ] X [0,2п] X [0,2п] :
да *х = хх сова + х2 Б1па,
г (р)д
р
*
Гш,^) 1
I И = I
\ = 0 при
X = Г 1а , ь = И
еС[П],
, И = И , (3)
_И2 С*,а , Р)\
Г[0,0,0]Т ,
я е [-Г
, г ],
а=0
а=2п р>=0
2п р=2п
п СО = '
2а 1а
, П (х) = П (т ■ х) йа.
ар ^
\ [И , И т
]Т ,
р
s е(г , г ],
I
ар а
0
[ 1 2 а
1а 2а
Решается задача Коши для системы (1) в цилиндре Ц ={(х,0 :
*
х < г0, t е [0, t ]} с начальной функцией
Пр (х) . Обобщенное решение (Тр , qр )
этой задачи строится в виде
суперпозиции плоских волн с использованием аппарата из [1-3]. Для температуры Тр место формула
2 2п
Тр(х,КИ) = Е I Тка(та ■ х1';Ик ;Р) йа ,
к=1 0
где каждая Тка(s, t; Ик ;р)
вычисляется по компоненте Ик вектора (3). С помощью (4)
строится класс Н векторов (3), дающих решение при каждом р е[0,2п] задачи стартового управления
вспомогательной
Тр (х/;И) = в (х).
(5)
При каждом И вида (3) сужение решения (Тр, qр) задачи Коши на цилиндр
О х[0, ^ ] дает (обобщенное) решение задачи (1) с граничной функцией
2 2п
/лр ^ И) = Тр(г(р)тр ^;И) = Е | Тка(^ ар , t; Ик ;р)
к =1 0
(6)
тем самым при каждом И е Н формула (6) дает решение задачи (2).
1.2. Рассматривается задача оптимального управления
*
2 t 2п
имеет
(4)
2п Т2 (5
^И
;р)
^(И) = Е I й I йр I
к =1 0 0 0
ка ар к 2
йа шт, И е Н.
(7)
2. Обозначим 10 ( 2),
1 (2 )
- функции Бесселя мнимого аргумента,
в-'/<2т' Г (8 t ( 8 VI
7
2 2
8 = t — (5 / аа ) , при 5
< а а t V а (s,t) =
0
I1 I I+
4а т
С 2т )
8 С 2т)
І
-і/(2 т)
^2а (£,і) = I І І • Тогда вычисления по схеме п. 1.1 дают результат.
4а сртд 2т
а I )
*
ЛЕММА. Если (£, і) є [-г0, г0 ] х [0, і ] , ёк = Ча (£ - о , і Ж (а, а, ф), к=1,2,
Ь =1 / 2, ь2=-1 / (2аа сР ) , то Тка і; К ; ф)=0
при £ + аа г < г1а ,
ка к к к а
Т (я,і;И ;ф) = Ь є_і/(2т)К (£ + а і,а,ф) +
$+аа
а
г1а
ёк ,
£ + ааа > Г1а •
(8)
Продолжая функцию (2) нулем из О в
2
О , представляя продолженную функцию интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:
в ( х) =
2п
| ва ( «а ■ х) Ла ,
-2
ва (£) = (2^ )
К^(та )) rdr,
где
в
- преобразование Фурье в. Из требования в е С” (Я2 ) следует гладкость функции
ва ( 5). Обозначим Н класс вектор-функций (3):
ЛК = ЛК + Л2К = ва (£ - ааі )
(б,а , ф)єП
(9)
-і
ЛкКк = ЬкЄ 2т Кк(£,а, Р) +
I
г1а
\ (б - аа а
с , t
)Ик (с, а,р) йс .
Вычисление класса Н сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода
(9) по
5 е [г}а , Г2а ] на одну из компонент вектора И при заданной другой с непрерывными
ядром и правой частью, поэтому оно однозначно разрешимо в классе С(П), с выполнением равенств (3).
ТЕОРЕМА 1. Каждая вектор-функция И класса Н - решение задачи стартового
управления (5). Тем самым каждой И е Н отвечает решение управления (2), получаемое по формулам (8), (6).
м(р, ^ И)
задачи граничного
3. Обозначим
П0 = {<Аа,ф) є [г1а, Гар] х [0, 2^] х [0, 2^] } , Гар = £ар + аі • Будем
искать минимум
Р(К) , заранее не предполагая вектор-функцию К непрерывной. Рассмотрим задачу (7) при условии выполнения (9),
К є X = Ь (П
^ □ ) • После подстановки (8) в (7)
*
£
*
и замены 5 = 5ар + а а
Р (И) :
а
_1 Г(г и )2 + (г
И )2 1 й.8с1ас1р шш,
(10)
*ар
2
III а [
П0
1 1 2 2 5
5 — 5
г И = Ь в
2аат И
(5, а , р) + а
V (5
с ,
ар )И
(с, а , р) йс .
к к к к
I
к ар
га
а
124
Функция Лагранжа задачи (10), (9) где Я е У = Ь (П
2
^ 0 ) имеет вид [4]
(р Я) = Р(И) +
III
1
I
к
+
Я(я,а, ф) ГЛк - ва (я - ааг*)1 йя йа йф.
Выполняя вычисления по формулам из [3] и используя свойства интегральных операторов Вольтерра в Ь2 ([5], с. 472), нетрудно получить:
Р (к)
и Л , удовлетворяют требованиям
теорем 1, 2 из [4, п.3.4.1] (в силу выпуклости Р здесь идет речь о глобальном минимуме) и поэтому решение задачи (10), (9) приводится к решению системы интегральных уравнений
Фредгольма по
я е[г1а , гар ] на функции къ к2 , Я при фиксированных а, р:
гаф
М(я, а , ф)у (я, а , ф) +
\
г1а
N (я, с , а, ф¥ (с , а, ф)йс =
I(я,а ) ,
(11)
где м = [т1к ],
N = [п1к ],
т12 = т21 = т33 = п12 = п21 = П33 = 0; ¥
1 2
= [к , к , А]Т ,
при к = 1, 2 т
= а~1Ь2е
$ ^а->
а—т
а , т = т
= Ь е
г*
2т , п
(я, с) = п (с, я),
кк
a k
с ,t
Зk k З k
),с є [rla, s], Г k
k З Зk
L la J
n
w
(s,с, a, p), с є Гг , s 1 ,
3k 0,
с є (s, r 1 , w (с, s,a ,p), с є s, r 1 ,
kk
( 2a J
vkl vka (sap с,
с sap aa
) , vk 2 = vka (s ap - s
* *
ap J
с - s
a
ap о
a a
L
f = О0,0,0 (s - a t
J
k
*
T
s saq>
r
b e 2°aT
s - s
■ap
ap
V V
Wb
Vka (sap -a ' ) + J
k1 k 2
da' .
a
a
aa r a
1a
a
k
det M > const > 0 . Применение альтернативы Фредгольма дает: система (11) имеет
I 1 2 I
T
единственное решение / = \h , h , X1 е С(По ) , если выполняется
-1 £ s(P),
Р/ =
J
г1а
M"1N ¥ йс ,
(12)
где
я(Р) - множество собственных значений оператора Р . Каждая точка е ^(Р)
отделена
от остальных (учтена компактность Р ) и непрерывно зависит от параметров с, р, Кък2,Т .
Поэтому случай
-1ея(Р)
имеет место Ус вероятностью ноль||. Будем говорить, что имеет
125
место ситуация общего положения (12). Из построений следует: пара
к = (к , к )
1 2
удовлетворяет требованиям (3), (9) на По . Обозначим
Н = {к еН : к = (к[, к ) на
По}
Вычисление векторов к еН
сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода по
я е[гар , г2а ]
при заданной одной из компонент к на сужение другой
/V /V
компоненты к на этот отрезок.
ТЕОРЕМА 2. В ситуации общего положения (12) каждой вектор-функции к = (к1, к2 )
/V /V
класса Н, где къ к2
- компоненты решения ¥ системы интегральных уравнений (11), отвечает решение
м(ф, г; к)
задачи оптимального граничного управления (9), вычисляемое по формулам (6), (8).
Библиографический список
1. Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьева, Е. Н. Стратилатова. - Новосибирск : Наука, 2007. - 172 с.
2. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 5. - С. 650-654.
3. Жукова, О. Г., Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Сиб. журн. индустр. ма-тем. - 2008. - Т.11, № 3. - С. 119-125.
4. Алексеев, В. М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1979. - 432 с.
5. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1976. - 543 с.