Научная статья на тему 'Оптимальное Граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале. Гиперболическая модель'

Оптимальное Граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале. Гиперболическая модель Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
97
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ / МАТРИЦЫ РИМАНА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ / СВЕДЕНИЕ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ К СТАРТОВОМУ / ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ЛАГРАНЖА / HYPERBOLIC HEAT CONDUCTIVITY / RIMAN MATRIXES OF HYPERBOLIC SYSTEM / DATA OF BOUNDARY CONTROL TO STARTING CONTROL / THE GENERALIZED LAGRANZH METHOD

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Чурашева Н. Г.

Рассматривается краевая задача, описывающая распространение тепла в однородной анизотропной пластинке в рамках гиперболической модели теплопроводности. Строится класс граничных данных (управлений), обеспечивающих заданное распределение температуры пластинки в заданный момент времени. Из этого класса методом Лагранжа выбирается управление, минимизирующее заданную функцию потерь.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Optimal boundary control of heat carrying over in the two-dimensional anisotropic material. Hyperbolic model

The boundary problem describing heat distribution in a homogeneous anisotropic plate within the limits of hyperbolic heat conductivity model is considered. The boundary dates (controls) class providing set distribution of plate temperature during the set time moment depending on functional parameter is under construction. Lagranzh method gets the unique control minimizing a function of losses out of this class.

Текст научной работы на тему «Оптимальное Граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале. Гиперболическая модель»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 63-66.

УДК 517.9 Н.Г. Чурашева

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ В ДВУМЕРНОМ АНИЗОТРОПНОМ МАТЕРИАЛЕ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассматривается краевая задача, описывающая распространение тепла в однородной анизотропной пластинке в рамках гиперболической модели теплопроводности. Строится класс граничных данных (управлений), обеспечивающих заданное распределение температуры пластинки в заданный момент времени. Из этого класса методом Лагранжа выбирается управление, минимизирующее заданную функцию потерь.

Ключевые слова: гиперболическая теплопроводность, матрицы Римана гиперболической системы, сведение граничного управления к стартовому, обобщенный метод Лагранжа.

1. Работа является продолжением исследований по управлению решениями гиперболических уравнений [1-6]. Рассматривается краевая задача, моделирующая теплоперенос в анизотропной однородной пластинке звездной формы в рамках гиперболической теплопроводности [7]. Строится с использованием аппарата из работ [4-6] класс граничных данных (управлений), обеспечивающих заданное распределение температуры пластинки в заданный момент времени. Из построенного класса выбирается методом Лагранжа подкласс управлений, минимизирующих заданную функцию потерь. В п. 2 приводятся постановка задачи и схема построения решения, в п. 3, 4 сформулированы основные результаты.

2. Пусть г(р) - гладкая кусочно-монотонная функция, г(0) = г(2я), ор = [cos р, sin р]т D - область на плоскости x = (xl, x2) с границей

dD = {x = r(p)op, 0< р < 2п, r > 0}.

Если T - температура, t - время, q - вектор плотности теплового потока, с - удельная теплоемкость, р - плотность, т - период релаксации,

/не C, ^(р,0) = 0 , (x, t) е D х[0 , да), модель имеет вид

срдТ / dt + div q = 0,

Tdq / dt + K grad T + q = 0,

IT (x,0) = 0, q( x,0) = [0,0]T, (1)

T (г(р)©р, t) = ц(р, t).

Здесь К - тензор теплопроводности, симметрическая, положительно определенная матрица второго порядка. В анизотропной модели (1) по

любому направлению оа = [cosa,sina]T, ае [0,2п] скорость распространения тепловой волны дается формулой аа = (тср) - (О,,Коа > 0 . Далее

предполагается, что оси координат ОХ1 и ОХ2 направлены по направлениям собственных векторов матрицы К . В этой ситуации матрица К имеет вид К = diag(Kj,k2), Ki > 0, тогда скорость аа представима в виде

аа = Vа12а COs2 а + а22а ^ а .

Рассматриваются последовательно две задачи.

© Н.Г. Чурашева, 2012

С[П ],

(З)

Пар (S) = ■

2.1. При заданных t* > 0, в(x) е C (D) с носителем внутри D ищется управление Up, t) такое, что

T(x, t*; ju) = в(x), x е D. (2)

Кратко схема ее решения состоит в следующем. Пусть t * > 2 r0 / ат, ат = min аа,

а

r0 = max x , за это время выходящий из

0 dD 1 1

каждой точки x е dD тепловой импульс успевает достигнуть любой точки пластинки,

Г1а = аа *- r0,

Г2а = ааt* + ^ П = К , Г2, ] Х [ 0 2п] Х [0, 2п] , hj( 5,а,р) h2( 5,а,р)

hk = 0 при |x| = rlа,

h 1а=0 = ^\а=2п , h 1р=0 = h\р=2ж ,

[[0,0,0]\ s е [-Г2, , rlа], T,

[[[, К°а] , S е r2al

2п

ПРx) = j Пр(°а- x)dа,

0

оа • x = x1 cos а + x2 sin а.

Решается задача Коши для системы (1) в цилиндре Д = {(x, t): |x| < ro, t е [0, t"]} с начальной функцией np(x). Обобщенное решение (Tp,qp) этой задачи строится по

схеме, близкой к [5], в виде суперпозиции плоских волн с использованием аппарата из [1; 4] для одномерных гиперболических операторов. Для температуры Tp имеет место формула вида

2 2п

TPP x, t; h ) = £ j Tkа(оа • x, t; hk ;р) dа, (4)

k=1 0

где каждая Tfa(s, t; hk ;р) вычисляется по соответствующей компоненте hk вектора (3). С помощью (4) строится класс H векторов (3), дающих решение при каждом ре [0,2п] вспомогательной задачи стартового управления

Tp( x, t*; h) = 0( x). (5)

Пусть Sp = Оа • r(p)Op = r(p)cos(a - p). Из построений следует: при каждом h вида

(3) сужение решения (Tp,qp) задачи Коши

на цилиндр D х [0, t*] дает (обобщенное) решение смешанной задачи (1) с граничной функцией

u(p, t; h) = Tp(r(p)Op, t; h) =

2 2n

^ ‘^p , t; hk ;p) da, (6)

тем самым при каждом И є Н формула (6) дает решение задачи граничного управления (2). Необходимо отметить, что каждая Тка в формуле (6) представляет собой вклад компоненты Ик вектора И є Н в формирование требуемого температурного режима на границе пластинки.

2.2. Рассматривается задача оптимального управления

^(И) ^ тіп, И є Н, (7)

где ^(И) - «сумма квадратов»

2 ' 2п "T^p,t;hk;р)

F (h) = Л dt J dpJ-

■dа

■I J:

k=1 0

2

*=10 0 0 Применение метода Лагранжа [8, гл. 3] приводит решение задачи (7) к решению системы интегральных уравнений Фред-гольма второго рода по э на функции Н1,И2,Л (Л - «множитель Лагранжа»).

Пусть X, У - банаховы пространства, * (X ^ У) - банахово пространство линейных непрерывных операторов X ^ У .

Рассмотрим при фиксированном у0 е У задачу /(х) ^ шт, при условии Лх — у0 = 0. Функцией Лагранжа этой задачи называется функция + : X х У * ^ М , определяемая формулой + (х, у*) = /(х) + у* (Лх — у0), у * е У *.

Пусть функция /: X ^ М строго дифференцируема в точке х и имеет вторую производную Фреше /"(х) и оператор Л е * (X ^ У) удовлетворяет требованию Л X = У, тогда из результатов исследования [8, п. 3.4.1], вытекает следующее.

Предложение. Для того, чтобы решение х уравнения Лх — у0 = 0 было точкой локального минимума в задаче /(х) ^ шт, необходимо существование у * е У * такого,

что ее производная Фреше + 'х (х, у*) = 0 , и достаточно, чтобы, кроме того, при некотором с > 0 выполнялось неравенство

(/"(х)х, х) > с||х||2, где х е КегЛ. Если при этом / выпукла, то х - точка абсолютного минимума.

(/"(х)х, г} - значение второй производной Фреше /"(х)х на элементе г при фиксированных х, г е X .

3. Обозначим 10 (г), 11 (г) - функции Бесселя мнимого аргумента,

£ = >/ (2 — (5 / О2, при < а а |?| ,

Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале..

65

V1a(st) =•

-t /(2т)

4аат

V2a(S, t) =

se

-t /(2т)

т-1.

4аасрт8 ^ 2 т

Тогда вычисления по схеме п. 2.1 дают следующие результаты.

Лемма. Если (5, t) е [—г0, г0] х [0, t*], то

^К;Ф) =0 при 5+аа ^ Гlа,

Тка( ^ t; К ;Ф) = ьеt /(2тЧ(5+аа ,а,Ф)+

vk^r> ^kw

З+а,

- j gkdO,

(8)

смотрим задачу (7) при условии выполнения требования (9), к е X = Ь2(П0 ^ М2).

После подстановки (8) в (7) и замены

s = sp+ аjJ получаем

F(h) ^ min,

F(h) = 2 jjjаJ [(rihi)2 + (r2h2)2~\isdadp, (10)

ГА = bke 2аа hk(s,a,p) +

j Vk ( s a

s - s„

- O,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-)hk (o,a,p) do.

где Ь1 = 1/2, Ь2 = —1/(2ааср) ,

ёк = Ука( 5 — ^, 0кк (°,а,Ф), к = 1 2.

Далее понадобится представление финальной функции в(х) в виде суперпозиции плоских волн. Продолжая функцию (2) нулем из О в М2 , представляя продолженную функцию интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:

2п

в(х ) = | ва(Юа~ х )dа,

0

да

ва (5) = (2^)—2 | (е’Гв (™а)) гdг,

0

где в - преобразование Фурье в. Из требования ве С3(М2) следует гладкость функции в а (5 ).

Обозначим Н класс вектор-функций (3), удовлетворяющих требованию

Лк = ЛК +Л 2к2 = в а (5 — а /), (5, а ,ф) е П (9)

Лккк = Ьке 2ткк(5 а ,Ф) +

+ 1 Vк (5 — а а t * — о, е )кк (а, а ,ф) dа.

Г1 а

Вычисление класса Н сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода (9) по 5 е [г1 а , г2 а ] на одну из

компонент вектора к при заданной другой.

Теорема 1. Каждая вектор-функция к класса Н - решение задачи стартового управления (5). Тем самым каждой к е Н отвечает решение ц(ф, t;к) задачи граничного управления (2), получаемое по формулам (6), (8).

4. Обозначим П 0 ={( 5 а ,ф) е [г1 а , гар] х х[0,2^] х [0,2^], г^= 5^+ at*. Будем искать минимум F(h), заранее не предполагая вектор-функцию к непрерывной. Рас-

Функция Лагранжа задачи (10), (9), где Ле Y = Ь2(П0 ^ М2), имеет вид [8]

+ (p, Л) = F(h) +

+jjjЛ(s, a,p)|^Ah-ва(s -ааt*)Jdsdadp.

П0

Выполняя вычисления по формулам из работы [8] и используя свойства интегральных операторов Вольтерра в La [9, с. 472], нетрудно получить:

10. Функция F(h выпукла, строго дифференцируема и имеет вторую производную Фреше F" = const, при этом вторая производная Фреше для любого f = [f1, f2 ]T е X равна

(Ff, f) = jjj (rif1) + dsdadp.

П0 аа

20. Ле * (X ^ Y), Л X = Y .

30. Гк, Г-1 е * (Y ^ Y).

В силу 30 при fk е Y имеем

klY =||Г-1Гkfk||Y <|П-'| J|rkfk|,, тогда (F f, f> > min а- Тт. fi\ |2 + ||Г2 f2|I;

> C0

где с0 = min ас

n, Y +1 f2l Y

1 -(minir-^|-1), f=[fi, f2]T

е X. Отсюда Г (к) и Л , ввиду 10 и 20, удовлетворяют предложению п. 2.2, и поэтому решение задачи (10), (9) приводится к решению системы:

+ *'(к, Л) = 0, Лк = вя(5 — аа^),

(к, Л) е X х У, т. е. к отысканию тройки к1, к2, Л, для которой при всех /1, /2 е У справедливы равенства

Ш [а—' (Гккк) Г к +ЛЛ к ] /к^^Лф= o,

П0

k = 1,2, ЛД+Л 2h2 =ва{ s - а jt’).

П

а

r

la

r

la

После подстановки в первые два уравнения формул для rkhk и выполнения ряда преобразований, включающих в себя перемену порядка интегрирования, получим уравнения вида

JJJ4 (s,a,p; hk ,Л) fkdsdadp = О,

По

k = 1,2, yfk є Y, что равносильно выполнению равенств Вk (s,a,p;hk,Л) = 0, k = 1,2 , в силу произвольности f1, f2 є Y . Итог - система трех интегральных уравнений Фредгольма по s є [rla,rap] на функции hl, h,, Л при фиксированных а, p, ее векторно-матричная запись

М( s,a,p)y( s,a,p) +

+ J N(s,a,a,pV(a,a,p)da = f (s,a), (11)

r1a

ц = [hl, ^ Л] , f = [0,0,ea(s - aat*)]T,

M = [mik], N = [nik]

m12 = m21 = m33 = n12 = n21 = n33 = 0 при k = 1,2,

-1г,2„ a„T

mkk=aaKe

m3k = mk 3 = bke 2т,

n3k (s,a) =

Vka( s - aat *-a, t * ),0є[ rla, s ],

і0, 0є( S, r2a] ,

nk 3 (s,a) = n3k (a, s),

wk (s,a,a,P), a є [rla, s ],

Wk(a,s,a,p), оє(s,r2a],

- s-sap

bhe 2aa aa

s - s„

Vka( Sap-a,---— )

, f Vk1Vk 2 J , і , s - s ap \

+ J -JUlL da , vkl = Vka (sap - a ,-----------p) ,

J a a

rla a

s - sa aa

Vk 2 = Vka( s ap S,

a - s„

)

Нетрудно убедиться: |detM|> const > 0. Применение альтернативы Фредгольма с учетом «хороших свойств» ядра M-1N и правой части M-1 f как функции от (s,o,a,p) дает: система (11) имеет единст-

венное решение цг = если выполняется

hl, h;, Л] є С(По) , -1 і s(P), Py= jM-1NYda, (12)

где 5(Р) - множество собственных значений оператора Р. Каждая точка ^ е 5(Р) отделена от остальных (учтена компактность Р ) и непрерывно зависит от параметров с, р, к1,к2,т,а,р>, поэтому случай — 1 е 5(Р) имеет место «с вероятностью

ноль». Будем говорить, что имеет место ситуация общего положения (12). Из построений следует: пара к = (к1, к2) удовлетворяет требованиям (3), (9) на П 0. Обозначим

Й = {к е Н : к = (кх, к2) на П0}. Вычисление

векторов к е Н сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода по 5 е [г , г2а] при заданной одной из

компонент к на сужение другой компоненты к на этот отрезок.

Теорема 2. В ситуации общего положения (12) каждой вектор-функции

к = (к^, к2) класса Н , где к, к2 - компоненты решения у/ системы интегральных уравнений (11), отвечает решение ц(<р, t; к) задачи оптимального граничного управления (9), вычисляемое по формулам (6), (8).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Романовский Р. К., Воробьева Е. В., Страти-латова Е. Н. Метод Римана для гиперболических систем. Новосибирск : Наука, 2007. 172 с.

[2] Эмануилов О. Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41. № 4. С. 944-959.

[3] Аргучинцев А. В., Крутикова О. А. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями // Изв. вузов. Математика. 2001. № 2. С. 10 -17.

[4] Жукова О. Г., Романовский Р. К. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 5. С. 650-654.

[5] Жукова О. Г., Романовский Р. К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель // Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т. 11. № 3. С. 119-125.

[6] Жукова О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 12. С. 1794-1798.

[7] Корнеев С. А. Гиперболические уравнения теплопроводности // Изв. РАН. Сер.: Энергетика. 2001. № 4. С. 117-125.

[8] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. 432 с.

[9] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы тео-

рии функций и функционального анализа. М. : Наука, 1976. 543 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

nkk ~

и.

r

la

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.