МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 63-66.
УДК 517.9 Н.Г. Чурашева
ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСОМ В ДВУМЕРНОМ АНИЗОТРОПНОМ МАТЕРИАЛЕ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассматривается краевая задача, описывающая распространение тепла в однородной анизотропной пластинке в рамках гиперболической модели теплопроводности. Строится класс граничных данных (управлений), обеспечивающих заданное распределение температуры пластинки в заданный момент времени. Из этого класса методом Лагранжа выбирается управление, минимизирующее заданную функцию потерь.
Ключевые слова: гиперболическая теплопроводность, матрицы Римана гиперболической системы, сведение граничного управления к стартовому, обобщенный метод Лагранжа.
1. Работа является продолжением исследований по управлению решениями гиперболических уравнений [1-6]. Рассматривается краевая задача, моделирующая теплоперенос в анизотропной однородной пластинке звездной формы в рамках гиперболической теплопроводности [7]. Строится с использованием аппарата из работ [4-6] класс граничных данных (управлений), обеспечивающих заданное распределение температуры пластинки в заданный момент времени. Из построенного класса выбирается методом Лагранжа подкласс управлений, минимизирующих заданную функцию потерь. В п. 2 приводятся постановка задачи и схема построения решения, в п. 3, 4 сформулированы основные результаты.
2. Пусть г(р) - гладкая кусочно-монотонная функция, г(0) = г(2я), ор = [cos р, sin р]т D - область на плоскости x = (xl, x2) с границей
dD = {x = r(p)op, 0< р < 2п, r > 0}.
Если T - температура, t - время, q - вектор плотности теплового потока, с - удельная теплоемкость, р - плотность, т - период релаксации,
/не C, ^(р,0) = 0 , (x, t) е D х[0 , да), модель имеет вид
срдТ / dt + div q = 0,
Tdq / dt + K grad T + q = 0,
IT (x,0) = 0, q( x,0) = [0,0]T, (1)
T (г(р)©р, t) = ц(р, t).
Здесь К - тензор теплопроводности, симметрическая, положительно определенная матрица второго порядка. В анизотропной модели (1) по
любому направлению оа = [cosa,sina]T, ае [0,2п] скорость распространения тепловой волны дается формулой аа = (тср) - (О,,Коа > 0 . Далее
предполагается, что оси координат ОХ1 и ОХ2 направлены по направлениям собственных векторов матрицы К . В этой ситуации матрица К имеет вид К = diag(Kj,k2), Ki > 0, тогда скорость аа представима в виде
аа = Vа12а COs2 а + а22а ^ а .
Рассматриваются последовательно две задачи.
© Н.Г. Чурашева, 2012
С[П ],
(З)
Пар (S) = ■
2.1. При заданных t* > 0, в(x) е C (D) с носителем внутри D ищется управление Up, t) такое, что
T(x, t*; ju) = в(x), x е D. (2)
Кратко схема ее решения состоит в следующем. Пусть t * > 2 r0 / ат, ат = min аа,
а
r0 = max x , за это время выходящий из
0 dD 1 1
каждой точки x е dD тепловой импульс успевает достигнуть любой точки пластинки,
Г1а = аа *- r0,
Г2а = ааt* + ^ П = К , Г2, ] Х [ 0 2п] Х [0, 2п] , hj( 5,а,р) h2( 5,а,р)
hk = 0 при |x| = rlа,
h 1а=0 = ^\а=2п , h 1р=0 = h\р=2ж ,
[[0,0,0]\ s е [-Г2, , rlа], T,
[[[, К°а] , S е r2al
2п
ПРx) = j Пр(°а- x)dа,
0
оа • x = x1 cos а + x2 sin а.
Решается задача Коши для системы (1) в цилиндре Д = {(x, t): |x| < ro, t е [0, t"]} с начальной функцией np(x). Обобщенное решение (Tp,qp) этой задачи строится по
схеме, близкой к [5], в виде суперпозиции плоских волн с использованием аппарата из [1; 4] для одномерных гиперболических операторов. Для температуры Tp имеет место формула вида
2 2п
TPP x, t; h ) = £ j Tkа(оа • x, t; hk ;р) dа, (4)
k=1 0
где каждая Tfa(s, t; hk ;р) вычисляется по соответствующей компоненте hk вектора (3). С помощью (4) строится класс H векторов (3), дающих решение при каждом ре [0,2п] вспомогательной задачи стартового управления
Tp( x, t*; h) = 0( x). (5)
Пусть Sp = Оа • r(p)Op = r(p)cos(a - p). Из построений следует: при каждом h вида
(3) сужение решения (Tp,qp) задачи Коши
на цилиндр D х [0, t*] дает (обобщенное) решение смешанной задачи (1) с граничной функцией
u(p, t; h) = Tp(r(p)Op, t; h) =
2 2n
^ ‘^p , t; hk ;p) da, (6)
тем самым при каждом И є Н формула (6) дает решение задачи граничного управления (2). Необходимо отметить, что каждая Тка в формуле (6) представляет собой вклад компоненты Ик вектора И є Н в формирование требуемого температурного режима на границе пластинки.
2.2. Рассматривается задача оптимального управления
^(И) ^ тіп, И є Н, (7)
где ^(И) - «сумма квадратов»
2 ' 2п "T^p,t;hk;р)
F (h) = Л dt J dpJ-
■dа
■I J:
k=1 0
2
*=10 0 0 Применение метода Лагранжа [8, гл. 3] приводит решение задачи (7) к решению системы интегральных уравнений Фред-гольма второго рода по э на функции Н1,И2,Л (Л - «множитель Лагранжа»).
Пусть X, У - банаховы пространства, * (X ^ У) - банахово пространство линейных непрерывных операторов X ^ У .
Рассмотрим при фиксированном у0 е У задачу /(х) ^ шт, при условии Лх — у0 = 0. Функцией Лагранжа этой задачи называется функция + : X х У * ^ М , определяемая формулой + (х, у*) = /(х) + у* (Лх — у0), у * е У *.
Пусть функция /: X ^ М строго дифференцируема в точке х и имеет вторую производную Фреше /"(х) и оператор Л е * (X ^ У) удовлетворяет требованию Л X = У, тогда из результатов исследования [8, п. 3.4.1], вытекает следующее.
Предложение. Для того, чтобы решение х уравнения Лх — у0 = 0 было точкой локального минимума в задаче /(х) ^ шт, необходимо существование у * е У * такого,
что ее производная Фреше + 'х (х, у*) = 0 , и достаточно, чтобы, кроме того, при некотором с > 0 выполнялось неравенство
(/"(х)х, х) > с||х||2, где х е КегЛ. Если при этом / выпукла, то х - точка абсолютного минимума.
(/"(х)х, г} - значение второй производной Фреше /"(х)х на элементе г при фиксированных х, г е X .
3. Обозначим 10 (г), 11 (г) - функции Бесселя мнимого аргумента,
£ = >/ (2 — (5 / О2, при < а а |?| ,
Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале..
65
V1a(st) =•
-t /(2т)
4аат
V2a(S, t) =
se
-t /(2т)
т-1.
4аасрт8 ^ 2 т
Тогда вычисления по схеме п. 2.1 дают следующие результаты.
Лемма. Если (5, t) е [—г0, г0] х [0, t*], то
^К;Ф) =0 при 5+аа ^ Гlа,
Тка( ^ t; К ;Ф) = ьеt /(2тЧ(5+аа ,а,Ф)+
vk^r> ^kw
З+а,
- j gkdO,
(8)
смотрим задачу (7) при условии выполнения требования (9), к е X = Ь2(П0 ^ М2).
После подстановки (8) в (7) и замены
s = sp+ аjJ получаем
F(h) ^ min,
F(h) = 2 jjjаJ [(rihi)2 + (r2h2)2~\isdadp, (10)
ГА = bke 2аа hk(s,a,p) +
j Vk ( s a
s - s„
- O,
-)hk (o,a,p) do.
где Ь1 = 1/2, Ь2 = —1/(2ааср) ,
ёк = Ука( 5 — ^, 0кк (°,а,Ф), к = 1 2.
Далее понадобится представление финальной функции в(х) в виде суперпозиции плоских волн. Продолжая функцию (2) нулем из О в М2 , представляя продолженную функцию интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:
2п
в(х ) = | ва(Юа~ х )dа,
0
да
ва (5) = (2^)—2 | (е’Гв (™а)) гdг,
0
где в - преобразование Фурье в. Из требования ве С3(М2) следует гладкость функции в а (5 ).
Обозначим Н класс вектор-функций (3), удовлетворяющих требованию
Лк = ЛК +Л 2к2 = в а (5 — а /), (5, а ,ф) е П (9)
Лккк = Ьке 2ткк(5 а ,Ф) +
+ 1 Vк (5 — а а t * — о, е )кк (а, а ,ф) dа.
Г1 а
Вычисление класса Н сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода (9) по 5 е [г1 а , г2 а ] на одну из
компонент вектора к при заданной другой.
Теорема 1. Каждая вектор-функция к класса Н - решение задачи стартового управления (5). Тем самым каждой к е Н отвечает решение ц(ф, t;к) задачи граничного управления (2), получаемое по формулам (6), (8).
4. Обозначим П 0 ={( 5 а ,ф) е [г1 а , гар] х х[0,2^] х [0,2^], г^= 5^+ at*. Будем искать минимум F(h), заранее не предполагая вектор-функцию к непрерывной. Рас-
Функция Лагранжа задачи (10), (9), где Ле Y = Ь2(П0 ^ М2), имеет вид [8]
+ (p, Л) = F(h) +
+jjjЛ(s, a,p)|^Ah-ва(s -ааt*)Jdsdadp.
П0
Выполняя вычисления по формулам из работы [8] и используя свойства интегральных операторов Вольтерра в La [9, с. 472], нетрудно получить:
10. Функция F(h выпукла, строго дифференцируема и имеет вторую производную Фреше F" = const, при этом вторая производная Фреше для любого f = [f1, f2 ]T е X равна
(Ff, f) = jjj (rif1) + dsdadp.
П0 аа
20. Ле * (X ^ Y), Л X = Y .
30. Гк, Г-1 е * (Y ^ Y).
В силу 30 при fk е Y имеем
klY =||Г-1Гkfk||Y <|П-'| J|rkfk|,, тогда (F f, f> > min а- Тт. fi\ |2 + ||Г2 f2|I;
> C0
где с0 = min ас
n, Y +1 f2l Y
1 -(minir-^|-1), f=[fi, f2]T
е X. Отсюда Г (к) и Л , ввиду 10 и 20, удовлетворяют предложению п. 2.2, и поэтому решение задачи (10), (9) приводится к решению системы:
+ *'(к, Л) = 0, Лк = вя(5 — аа^),
(к, Л) е X х У, т. е. к отысканию тройки к1, к2, Л, для которой при всех /1, /2 е У справедливы равенства
Ш [а—' (Гккк) Г к +ЛЛ к ] /к^^Лф= o,
П0
k = 1,2, ЛД+Л 2h2 =ва{ s - а jt’).
П
а
r
la
r
la
После подстановки в первые два уравнения формул для rkhk и выполнения ряда преобразований, включающих в себя перемену порядка интегрирования, получим уравнения вида
JJJ4 (s,a,p; hk ,Л) fkdsdadp = О,
По
k = 1,2, yfk є Y, что равносильно выполнению равенств Вk (s,a,p;hk,Л) = 0, k = 1,2 , в силу произвольности f1, f2 є Y . Итог - система трех интегральных уравнений Фредгольма по s є [rla,rap] на функции hl, h,, Л при фиксированных а, p, ее векторно-матричная запись
М( s,a,p)y( s,a,p) +
+ J N(s,a,a,pV(a,a,p)da = f (s,a), (11)
r1a
ц = [hl, ^ Л] , f = [0,0,ea(s - aat*)]T,
M = [mik], N = [nik]
m12 = m21 = m33 = n12 = n21 = n33 = 0 при k = 1,2,
-1г,2„ a„T
mkk=aaKe
m3k = mk 3 = bke 2т,
n3k (s,a) =
Vka( s - aat *-a, t * ),0є[ rla, s ],
і0, 0є( S, r2a] ,
nk 3 (s,a) = n3k (a, s),
wk (s,a,a,P), a є [rla, s ],
Wk(a,s,a,p), оє(s,r2a],
- s-sap
bhe 2aa aa
s - s„
Vka( Sap-a,---— )
, f Vk1Vk 2 J , і , s - s ap \
+ J -JUlL da , vkl = Vka (sap - a ,-----------p) ,
J a a
rla a
s - sa aa
Vk 2 = Vka( s ap S,
a - s„
)
Нетрудно убедиться: |detM|> const > 0. Применение альтернативы Фредгольма с учетом «хороших свойств» ядра M-1N и правой части M-1 f как функции от (s,o,a,p) дает: система (11) имеет единст-
венное решение цг = если выполняется
hl, h;, Л] є С(По) , -1 і s(P), Py= jM-1NYda, (12)
где 5(Р) - множество собственных значений оператора Р. Каждая точка ^ е 5(Р) отделена от остальных (учтена компактность Р ) и непрерывно зависит от параметров с, р, к1,к2,т,а,р>, поэтому случай — 1 е 5(Р) имеет место «с вероятностью
ноль». Будем говорить, что имеет место ситуация общего положения (12). Из построений следует: пара к = (к1, к2) удовлетворяет требованиям (3), (9) на П 0. Обозначим
Й = {к е Н : к = (кх, к2) на П0}. Вычисление
векторов к е Н сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода по 5 е [г , г2а] при заданной одной из
компонент к на сужение другой компоненты к на этот отрезок.
Теорема 2. В ситуации общего положения (12) каждой вектор-функции
к = (к^, к2) класса Н , где к, к2 - компоненты решения у/ системы интегральных уравнений (11), отвечает решение ц(<р, t; к) задачи оптимального граничного управления (9), вычисляемое по формулам (6), (8).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Романовский Р. К., Воробьева Е. В., Страти-латова Е. Н. Метод Римана для гиперболических систем. Новосибирск : Наука, 2007. 172 с.
[2] Эмануилов О. Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41. № 4. С. 944-959.
[3] Аргучинцев А. В., Крутикова О. А. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями // Изв. вузов. Математика. 2001. № 2. С. 10 -17.
[4] Жукова О. Г., Романовский Р. К. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 5. С. 650-654.
[5] Жукова О. Г., Романовский Р. К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель // Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т. 11. № 3. С. 119-125.
[6] Жукова О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 12. С. 1794-1798.
[7] Корнеев С. А. Гиперболические уравнения теплопроводности // Изв. РАН. Сер.: Энергетика. 2001. № 4. С. 117-125.
[8] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М. : Наука, 1979. 432 с.
[9] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы тео-
рии функций и функционального анализа. М. : Наука, 1976. 543 с.
nkk ~
и.
r
la