Матрицы Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности. Случай анизотропного тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Пригожим И., Стенгерс И. Время,хаос, кяант. — М.:Изд- МЫШЛСННЫХ предприятий», во «Прогресс». 1999. - 268 с. Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11

ФЁДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических Статья поступила в редакцию 03.04.2009 г.

наук, профессор кафедры «Электроснабжение про- © в. к. Фёдоров

УДК 517.’ н. Г. ЧУРДШЕВА

Омский государственный технический университет

МАТРИЦЫ РИМЛНЛ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. СЛУЧАЙ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

Рассматривается гиперболическая система, описывающая процесс распространения тепла в анизотропном теле в рамках гиперболической модели теплопроводности. Построены формулы для матриц Римана первого и второго рода этой системы.

Ключевые слова: гиперболическая теплопроводность, анизотропное тело, матрицы Римана.

Введение

В работах [1], [2| распространен метод Римана решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка на линейные гиперболические системы общего вида с двумя независимыми переменными. Ядрами интегральной формулы для ее решения служат мат рицы двух типов, зависящие от пары точек и получившие название матриц-функций Римана первого и второго порядка. Матрица первого типа (/А(в,0 — таких матриц столько, сколько характеристик проходит через фиксированную точку плоскости — определена как функция от я на проходящей через точку / характеристике с номером к и представляет собой матрицу Коши системы обыкновенных уравнений переноса вдоль характеристики. Матрица второго типа У(«,£) — кусочно-гладкое решение по 5однородной гиперболической системы со скачками на характеристиках, строящимся по матрицам (У,. Имеются двойственные соотношения для матриц ик, V по ( при фиксированном «. В случае постоянных коэффициентов получены формулы для матриц Римана в виде контурных интегралов от аналитических матриц-функций, строящихся по коэффициентам системы.

В последнее десятилетие продолжились исследования по методу Римана для гиперболических систем. В работе |3] вычислены матрицы Римана для гиперболической системы двух уравнений с переменными коэффициентами. В [4], (5] (смотри также книгу (6|) аппарат матриц Римана применен к решению смешанной задачи и задачи Стефана для систем этого класса. В (7)-110] получены приложения к задаче граничного управления процессом теплопереноса в рамках гиперболической модели теплопроводности для изотропного тела.

Представляет теоретический и практический интерес распространение результатов работ [9], [10]

на существенно более сложный случай анизотропного тела. В этой ситуации коэффициент теплопроводности — тензор, представляющий собой симметрическую положительно определенную матрицу второго (для плас тинки) или третьего (для пространственного тела) порядков. Данная работа — начальный этап этого исследования. Посвящена вычислению матриц Римана первого и второго рода гиперболического оператора теплопроводности для анизотропного случая.

В § 1 кратко изложены используемые далее сведения из работ [1], ]2].

§1. Предварительные сведения

1. Рассмотрим гиперболический оператор

Ь = ~ + А^- + В, (в,1)еН2. (1)

01 ОБ

Здесь А, В — постоянные матрицы порядка N.

А = г с11ад(а,/,.ап1п)г~\ а, >...>а,„

/„ — единичная матрица порядка Ык, = N. Че-

рез каждую точку (<т,г)еР*2 проходят п характеристик

(к(сг,т)={ я-<т-а*(<-г)=0}, к = \..........п.

Отнесем каждой характеристике матрицу порядка N

ик (я, I) = ик 0) = Рк ехр{- Рк ПРк (),

(.«¡,/)еМ0,0), к = 1.п, (2)

где РА=7сПад(0 0,1л,0,...,0) 2 '.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N* J (83) 200»

Обозначим У объединение открытых углов между I (0,0), {,„(0,0), лежащих ниже и выше точки (0,0) {] =1,...,п —1), У() — объединение открытых углов между ¿,(0,0), £„(0,0) левее и правее точки (0,0) (рис. 1).

Определим кусочно-гладкую матрицу У(х,?) порядка N формулой

V(s,t) =

zv,z

(s,i)eV(,

(s.t)eY0,

7 = 1...л-1.

где

Рис. 1

Jf«*

s-a/1 s-aMt

ai аМ VY

здесь

Y=feeC:|^|=R>2nM}, A,=diagfe1/1.4„O+B0. BU = Z-'BZ,

-gjn

а,~ам

Матрицы ик, V, — матрицы Римана первого и второго рода гиперболического оператора і с постоянными коэффициентами; общий случай рассматривается в (1,2].

2. Пусть и = (и1,...,ипУ - вектор из Я4, где ик имеет размер N1. Представим оператор I в виде

L = ZDZ' + B, £> = diag(D,............D„),

(3)

где Ок — оператор дифференцирования по I вдоль характеристики с номером к. Будем говорить, что функция и(х,{) со значениями в принадлежит классу 5^, если 1) иеС(1Ч2); 2) для каждой компоненты VI вектора у = 2'и существует производная 0*1»* є С (И2). Рассмотрим задачу Коши

Ци) = 0, u(s,0) = h(s).

(4)

s-aJ

(5)

q = -K grad T.

(6)

Здесь К — симметрическая положительно опреде-леїшая матрица:

К' = К, К > 0,

(7)

Решением (обобщенным) задачи Коши (4) назовем функцию и(х,1)е , если она удовлетворяет соотно-

шениям (4), где оператор Д. понимается в смысле (3).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. В случае ЛеС* (Я) задана Коши (4) имеет точно одно решение класса С* (Я2)-Это решение дается формулой

символ означаеттранспонирование.

Тепловой поток и градиент вычисляются в точке в один и гот же момент времени I. Соотношение (6) вместе с законом сохранения энергии

дТ

ср— + div о = 0 dt

(8)

где ик,\/ — матрицы Римана (рис. 2). В случае /) еС(Я) задача Коши (4) однозначно разрешима в классе 5, с сохранением формулы (5).

§2. Гиперболическая теплопроводность.

Случай анизотропного тела

В основе классической теории теплопроводности лежит гипотеза Фурье, связывающая вектор теплового потока с градиентом температуры. В случае анизотропного тела она имеет вид [ 12, гл. 1, § 6]

образуют параболическую систему уравнений теплопроводности для анизотропного тела. Здесь с, р — удельная теплоемкость при постоянном объеме и плотность.

В рамках параболической модели теплопроводности наблюдается парадокс, впервые замеченный Максвеллом: начальное финитное тепловое возмущение в любой следующий момент времени имеет носитель, совпадающий со всем пространством, т.е. распространяется с бесконечной скоростью. Неприемлемость этого с физической точки зрения, а также эксперименты по распространению тепловых импульсов в твердых телах и в химических реакторах, показывающие, что тепловой импульс в ряде ситуаций ведет себя как волна, привели в последние десятилетия к новой модели теплопроводности, в основе которой лежит гипотеза Кагганео-Лыкова-ВерIютта [ 13 ]. В случае анизотропного тела она имеет вид

<7|,„=-К grad Г|(,

е — время релаксации теплового потока. Для металлов эта величина е ~10'"с, для полимеров в -10~® -10 1с.

Разлагая левую часть в ряд по степеням малого параметра и отбрасывая члены выше первого порядка, получим соотношение

d а

q + z -j- + К grad Т = 0.

Это уравнение вместе с (8), где справедлива (7) образуют гиперболическую систему уравнений теплопроводности

Рис. З

дТ

со — + шу о = 0, є^~ + К дгасі Т + д = 0.

(9)

Пусть со — произвольный орт на плоскости или в пространстве (рис. 3). Тогда начальное тепловое возмущение, локализованное в малой окрестности какой-либо точки анизотропного тела, распространяется с конечной скоростью аы, зависящей от направления со:

а., =

и 'К (а єср

В частном случае изотропного тела К — к I, где к>0, I — единичная матрица. В этом случае, с учетом ш' Кш = кш ‘ со = к, тепловое воздейс твие распространяется по всем направлениям с одинаковой

скоростью а =

д 3

I, = — + А(со)—+ В, А(со) = со.А. +со2А, , со є О. 5/ дБ

Матрицу А(со) представим в виде

А((о)=г<„ с1іад(а„А-Ог„',

г =

°С

О е'К

О' )( 2 1/2

О

-1/2

_ П-1/ 4 .. >

(О —ш — А со)

Ґ(\\

о =

о

(12)

-

2

со

V (ік °’ 1

еК 1)

Матрицы Римана первого и второго рода ика(1), \/и(я,/) операторов будем (см. аналогично [9], |10])

называть матрицами Римана двумерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (9). Зафиксируем йеП. Введем большой параметр

§3. Матрицы Римана системы (9).

Случай двумерного материала

Система (9) в векторно-матричных обозначениях имеет вид

/ а 2 Л ^

Дк)= —+ —+в и = 0, и(х,,х„/) =

V *»1 дхк

(10)

' 0 (ер)'1 о' / 0 0 (ср) |\

А = е’к,, 0 0 и Г1 є ''к К12 0 0

е-'к21 0 0 / Е V 1 к 14. и 0 0

'0 0 0^

В = е ' 0 1 0 (1

ч0 0 к

Здесь к(> — элементы матрицы К, к|( = кя ■ Введем семейство ортов

ОЧсо =

со,

С ОБ ф

фе[0,яН, та =

-со..

со,

а = (2е)

(13)

Проведем через точку (0, 0) характеристики (к, к= 1,2, 3 с уравнениями соответственно я = аш1, 5 = О, я = — а1Л1, и пусть У — открытые углы (рис. 1)

У„=(Є*Є3). У,=((,У-г). У2=(Є2У:і).

ТЕОРЕМА 1. Матрицы Римана двумерной гиперболической системы (10) даются формулами

^(0=КРГ

'Р

к = 2,

У,=У2 =

ае

2 а

г\ХгЛ(аг) 0 *о(аг)

0 0 0 ч /и(аг) 0 гД/Дссг),

Поставим в соответствие двумерному гиперболическому оператору (10) семейство одномерных гиперболических операторов

V (? ¡) = 1 7 -1-2,

[о, См)еК0.

^ ры = гяпкг?, г1Д=/т*/в(., Г=^, /„(*),

/,(х) — функции Бесселя мнимого ар1умента, Zu — матрица (11), Пк — стандартные проекторы:

/т, =сИад(1.0,0),/72 = сПад(0,1,0), /73 =сКад(0,0,|).

Проведем краткий вывод формулы для матриц 1/,м. По формуле (2) имеем

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 <83) 2009

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (83> 2009

ukA0=Pk„exP(-Bkj), вы = г„пк z:'bz„ nkz~J.

Введем семейство ортов

Вычисления с учетом формул (11), (12) для матриц V 'coscp sinö' (pe[Q,n\ 0е[0д]

В, Z, дают: Q= со = = sin cp sind

fl 0 -А K cosO

ntZu'BZ„nk=ant

0 2 0

ч-1 0 1

а, к = 1,3, 2а, к =2,

~ ßk^*'

где а — константа (13), откуда получаем

Я*» = ß»ZMi7n Z“1 = ßtPt(a, к = 1,2,3. Следовательно,

иы(0= Р,„. exp(-ßt Ры thpjl + t

^ «=1 Л.

р +Р у(~ß*0l = p y(~ß>0" =р е-Р.| г|1»тг»о А . г*и '

#i—i п/ ,i~o Л;

что и требовалось. Учтены равенство Р^ = Ztl) Пк-■2’1 = 2^ Пк Z~' = Р*„ и формула для матричной экспоненты [11].

Поставим в соответствие трехмерному гиперболическому опера-гору (15) семейство одномерных гиперболических операторов

г д ./ ч д

I, = — + А(й>)— + В,

(О . \ / л '

51 СБ

А(<у)= ^а>кАк, ßsfi.

toi

Обозначим

(15)

/ =

smip

-COS(fl

0

g = со х f =

'cosi> cos О' sintp cosO - sin 0

Тогда представим А (а) в виде

A(e») = Z„diag(o„,0,0,-a„,)Zj,

aco О ( 2'2 0 0 2"'2 'l '0'

z = \2-ri« а c* <N 1 ,o= 0

CJ О e'K \ / / 9 ,0,

§4. Случай трехмерного материала

Система (9) для трехмерного материала примет вид

L(u) =

д л 8 и

— +> At---------+В

dt ^ кдхк

(Т

и = 0,

'я'

Яг

Ъ)

' 0 (cp)"' 0 o"

A, = £ 'k„ 0 0 0

e'k2I 0 0 0

,E '*31 0 0 o,

А,=

А,=

0 0 (cp) ■' o"

e 0 0 0

E 'ки 0 0 0

e'k^ 0 0 0,

' 0 0 0 (cp)"'

E АГ13 0 0 0

е'к23 0 0 0

'Чо 0 0 0

i\

5 = гг

^0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

,0 0 0 1

кч - элементы матрицы К, кц = /г/(.

(14)

Г 2-м

о о

,-V2 л

2'lco f g -T'ßa>

V О

о

О еК

(16)

Матрицы Римана первого и второго рода II,„(<)< Уа(в,() операторов (15) будем называть матрицами Римана трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (14).

ТЕОРЕМА 2. Матрицы Римана трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (14) задаются формулами

¿=1,3, к = 2,

vUs.'H o“V'ZJ'

(s.t)cY,, j = 1,2, (s,i)ey„,

V,-Va =

'r;'rl,(ar) 0 0 /„(ar) ^

ae'al 0 0 0 0

2 a„ 0 0 0 0

, /„(ar) 0 0 г/'г/ДагХ

где а — постоянная (13), ru =fTs/a„, г = у[гхгг, p*,, = Zo nt z~l, Zw -матрица (16), /7, =diag(l,0,0,0), П2 =diag(0,1,1,0), /7., = diag(0,0,0,l)

Вывод проводится аналогично двумерному случаю.

Библиографический список

1. Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода // Докл. АН СССР. - 1982. - Т.267,№3. - С. 577-580.

2. Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода // Матем. сборник. — 1985. — Т. 127, №4. - С. 494-501.

3. Стратилатова Е.Н. Матрицы Римана гиперболического оператора теплопроводности // Омск. 2005. - 22 с. — Деп. в ВИНИТИ, 26.01.2005.№1367 - В 2005.

4 Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости // Сиб мат. жури. 2000. - Т. 41. № 3. - С. 531 - 540.

5. Романовский Р.К.. Стратилатова Е.Н. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. — 2004. — Т. 7. № 3(19). — С. 119—131.

6. Романовский Р.К., Воробьева Е.В., Стратилатова Е.Н Метод Римана для гиперболических систем. — I [овосибирск : Наука, 2007. — 172с.

7. Жукова О.Г., Романовский Р.К. Граничное управление процессом тенлопереноса в одномерном материале. Гиперболи-ческая модель// Дифференц. уравнения. — 2007. - Т. 43, №5. — С. 650-654.

8. Жукова ОТ., Романовский Р.К. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель // Сиб. журн. индустр. матем. — 2007. -Т 10. №4(32). - С.32-40.

9. Жукова О.Г., Романовский Р.К. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболи-

ческая модель// Сиб. журн. индустр. матем. — 2008, — Т11, №3. — С. 119-125.

10. Жукова О.Г. Граничное управление трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности // Омск, 2007. — 12с. - Деп. в ВИНИТИ, 04.12.2007. №1126 - В2007.

11. Романовский Р.К., Стратилатова Е.Н. Элементы математической теории устойчивости. — Омск: ОмГТУ, 2009. — 76 с.

12. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М : Высш. школа, 1985. — 480 с.

13. Лыков, A.B. Теория теплопроводности. — М. : Высш. школа, 1967. — 600 с.

ЧУРАШЕВАНадежда Георгиевна, старший преподаватель кафедры высшей математики.

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 01.09.2009 г.

© Н. Г. Чурашева

УДК 519.95 н. В. МЕЛЕНЬЧУК

Омский государственный технический университет

ДВУХШАГОВЫЙ ЭКСТРАГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ СЕДЛОВЫХ ЗАДАЧ

Задачи о седловой точке являются важным классом задач, но при решении последних стандартными методами возникает ряд проблем, связанных со сходимостью и довольно жёсткими налагаемыми требованиями. В связи с этим актуальна разработка новых методов, позволяющих эффективно решать подобные задачи.

Ключевые слова: экстраградиентный, седловая точка, оптимизация.

Множество интересных сточки зрения практики и вместе с тем сложных задач сводятся к задачам о седловой точке. Градиентные методы при решении задач оптимизации весьма распространены, однако, для задач о седловых точках они сходятся только при наличии жёстких предположений. Ослабить эти условия позволяют экстраградиентные методы [1 — 3].

Рассмотрим следующую задачу. Пусть QCR", S с R'" — подмножества евклидовых пространств; ф(х,у) — функционал, заданный на Rn х Rm. Требуется найти такую точку [x',y']eQxS (называемую седловой), что

ф(х',у)<ф(х\у') V yeS, ф(х',у')<ф(х,у') VxeO,

Далее будем предполагать, что выполняются следующие условия:

а) множества О и S замкнуты и выпуклы;

б) функционал ф(х,у) выпуклый по х, вогнутый гюу.дифференцируемый, и его частные производные удовлетворяют условию Липшица на QxS ,т.е.

||<Р„ (х, у) - ф, (х1, у ’ )|| < Ц\\х - х|2 + ||у - у11|2 )Уг.

Цфу (^.у)-фу(х,.у,)|< 1(||х - х’[2 + IIу - у’||2);

в) множество X хУ седловых точек функционала ф(х,у) на 0x5 не пусто.

В такой постановке метод не требует каких-либо дополнительных ограничений по сравнению со стандартным экстраградиентным методом, однако, предполагается его большая эффективность на больших и трудоемких задачах. В настоящей работе строи тся двухшаговый экстраградиентный метод отыскания седловых точек, заключающийся в том, что направление движения алгоритма выбирается исходя из двух предварительных шагов. Таким образом, мы делаем два шага, находим в последнем направление и используем его для шага из исходной точки. Двухшаговый экстра градиентный методдля отыскания седловых -гачек функционала ф(х, у) задаётся следующими соотношениями

х* = Р0(х*-<х(р(х\у*)),