Научная статья на тему 'Граничное управление одномерной гиперболической системой уравнений теплопроводности'

Граничное управление одномерной гиперболической системой уравнений теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
160
57
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ / ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФАЗОВЫМ ВЕКТОРОМ / СИСТЕМА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА / HYPERBOLIC THERMAL CONDUCTIVITY / PHASE VECTOR BOUNDARY CONTROL / SYSTEM OF FREDHOLM INTEGRAL EQUATIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Медведев Юрий Александрович, Романовский Рэм Константинович

Рассматривается краевая задача, описывающая теплоперенос в однородном стержне в рамках гиперболической модели теплопроводности. Ставится задача поиска температурного режима на концах стержня (управления), обеспечивающего перевод начального состояния (T 0, q 0) стержня в заданное финальное состояние (T *, q *). Построен класс управлений, зависящий от функционального параметра.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Boundary control of one-dimensional hyperbolic system of equations of thermal conductivity

This article deals with boundary problem that describes heat transfer in one-dimensional homogenous rod in hyperbolic model of thermal. Task of finding thermal mode at the boundaries of the rod (control) that provide transfer from start state (T0, q0) of the rod to the final state (T*, q*) is set up. The class of controls that depends on function parameter is described.

Текст научной работы на тему «Граничное управление одномерной гиперболической системой уравнений теплопроводности»



Ею.,х,, ^ шах,

. у '

у,*» у ,

ху > У.

, ] = 1,ш,

где у.. >0 — заданные величины, указывающие обязательное число рекламных контактов на у-м меди-аканаледля г-йгруппы потребителей, В0 — максимально возможные затраты на рекламную кампанию.

Используя решения задач линейного целочисленного программирования ды оождоИ глиппь1 по-нчоГунолор Ху, I = 1,4, рассчитываемстоимости С, С2, С3 и Ли рекламной кампании по формуле:

с = Ц1 = 14.

1

Заключение. При исследовании подходов, используемых в медиапланировании, разработана и реализованаэкспертная система в помощь рекламному специалисту. В экспертной системе реализован алгоритм расчета стоимости рекламной кампании, основанный на использовании оптимизационной задачи целочисленногопрограмми-рования. Результатом численной реализациимо-дели является схема заявления о позиции торго-воймарки, которая ложится восновутворческой стратегии рекламной кампании. Система рассчитывает основные числовые показатели, необходимые на четырехэтапах медиапланирования, и тем самымпомогаетспециалиступринятьнаилучшее решение.

Библиографический список

1. Росситер, Дж. Р. Реклама и продвижение товаров / Дж. Р. Росситер, Л. Перси ; пер. с англ. // Под ред. Л. А. Волковой. — СПб. : Питер, 2001. — 656 с.

2. Кульбида, У. Н. Разработка экспертной системы для по-зиционированияиопределения рекламной стратегии бренда / У. Н Кульбида, О. Н Канева // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании — 2011 : сб. науч. тр. 8ШогЫ. Материалы Междунар. науч.-практ. конф.. — Вып. 4. Т. 5. — Одесса : Черноморье, 2011. — С. 58-61.

3. «МегаПро»: рекламное агентство полного цикла [Электронный ресурс]. — Режим доступа : http://www.megapro.ru/ ги/таш/ше55адераде/228/ (дата обращения: 05.09.2014).

4. Зыкина, А. В. Экспертная система для позиционирования и определения рекламной стратегии бренда / А. В Зыкина, О.Н. Канева, У. Н Кульбида // Омский научный вестник. — Омск : ОмГТУ, 2011. — № 3 (103). — С. 253-257.

КУЛЬБИДА Ульяна Николаевна, аспирантка кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.

Адрес для переписки: [email protected] КАНЕВА Ольга Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент (Россия), доцент кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.

Адрес для переписки: [email protected] ЗЫКИНА Анна Владимировна, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), заведую-щаякафедрой прикладной математики и фундаментальной информатики. Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 05.09.2014 г. © У. Н. Кульбида, О. Н. Канева, А. В. Зыкина

о

у

УДК5179 Ю. А. МЕДВЕДЕВ

Р. К. РОМАНОВСКИЙ

Омский государственный технический университет

ГРАНИЧНОЕУПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ_

Рассматривается краевая задача, описывающая теплоперенос в однородном стержне в рамках гиперболической модели теплопроводности. Ставится задача поиска температурного режима на концах стержня (управления), обеспечивающего перевод начального состояния (Т0, q0) стержня в заданное финальное состояние (Т., q,). Построен класс управлений, зависящий от функционального параметра. Ключевые слова: гиперболическая теплопроводность, граничное управление фазовым вектором, система интегральных уравнений Фредгольма.

§ 1. Постановка задачи. описании быстропротекающих процессов тепло-

1. В последние десятилетия интенсивно разви- переноса [1-5]. В рамках этой модели теплопе-

вается волновая теория теплопроводности, устра- ренос описывается системой уравнений гипер-

няющая имеющий место в классической (парабо- болического типа с фазовым вектором (Т, д), где

лической) теории парадокс бесконечной скоро- Т — температура, д — вектор плотности теплово-

сти распространения тепла и применяемая при го потока.

dT dq ср — + — dt ds

■ 0, (ii,^) (EE [0г^?]х[0,оо)г

dq , dT s — + k — + q dt ds

(T, q)L=0 = (0,0),

= Mt),CL=t = МЧ-

д „ <5

+ А —

at ds

"0"

:

0 S

(s, t) e [0, 0] x [0, 00)

(2)

T , А!^ z л 0 —Л Z0 = " 1 1 "

q _ 0 -л п/b и1ДП

0 0 0 1/s '

Хороктеристики mcreo eoAB^^^e^iK^c^fi систоен,1(2) — прямые o = ±at -I- const.

Задачауправленоя сосо-пт в поискетемос°а-гпрного рюжиоа TV Ми- на концах стержня, обеспечивающего переход за заданное время t* > 0 началь-ееогк 0иктоянии о задгннмо ное состояние и*:

" =

" 7](s) g.(s)

e С'[0, I].

(3)

-г б-£ о е з + # 2-е

Рис.1.

I? последниенесколько ует полученряд резун,-татов по граничному управлению теплопереносом в рамкахгипербзлической теплопроводноети [6 — 11]. Ставится задача поиска температурного режима на границе тела (управления), обеспечивающего пр и фиксрозванном начальном состоянии (Г0,(Л0) заданное финальное распределение те мпературы Т*. По-нкроены кккскр1 тккихутфаразнуй.

Данная раббта является троеолжхлиео рейх исследований. Рассматривайтсяволнкоая мтдель задачи граничного пнряоления теплопереностт в стержне. Существенное отличие от работ [р, 9], «яе свящённых той же задаче, состоит в том, чтт «тт рыходе» при f =Н» зоеаётся полйо«0 фтзото-й вее, тор(ТК «об Построен класс граничных управлобий (ТяСТ0)т*(Тс д*), зависящийо« пофб1 тат=иц вторю-го порядке.

2. Распространение теота в стейжнт с рамках волновой модели опиеывается краевой ятдочей

И)

Пргеполагается, чео за вр-ня 0 оеPжцщмтяк -конца стержня со скоростью a тепловой импульс угпкгоеопройти емдь стержень: t. > I/ л. Далее в работерассматривается крайний случай

t. = 1/л.

§ 2. Предварительные сведения.

Рассмотрим гиперболический оператор

I = —+ A—+ в, (s,f)eR2. 5f ds

Знела А, В — поатояпнот мчтритв порядка.^, A = Z d-agicgZ.....anIn)Z-\ x> s> •> a cin,

Я — еАипочнав наттидо по рядка Я(к, На T0k = Ы. Про -вядоп херез =04so (=, 0( хпвадтоихстосо a = Нтр 1 g (n, x вустя ki, g — Аоронвя (о п (=) и опжвяя (( и (() чаяят паддктеоистякд я = a=(, H — тоооляс непие итклогсыи ^=i;:>;c Я+: зл=а ((-, (((_[1_(c = 1.n = 1r = — обие.тлнряоо оокоо1тлот росям (a,0,,,!,^0 Пистттдн нотрипцы 10,)), к = 1 , n, (]],]) но фоомдлам

и, = p, евн-рвии, PkHZ ен°(о.....(=> Н,о.....t(z ()i)

(КС (s,(( K Y, , j = 1, л - 1> , ,,

U(s,(( = ( (> 1 , > s■ J r i

о, )sCj g,

(см.[9]; для упрощениязаписей без п отер и общ но-сти принято (Г0, Д0) = (0, 0). Здесь первое укавкен-в — законсохракения энергии,втоооп — рераксани-онное соотношение п-рв ого порядка )о бобщёсилш зт-сен се°гр^:т<с), г, sa -с,;- — удегьнао теплоомкоооь, пля,(атcцт, I^(;^I^Oаpтёп(и^а)o те^п,оо(а]Э(о^)п1о,1^ос[1^ я яооооа ан-р -:.Ie Иуооацоо И°0г СНа")*0, о)

еяда1се (1) ooa^c^^^aoi^o разрешиме (с^с в окпе^ссе oyрopнт-оpaдoио оjг2-^^]cп•^iт а)о cкa-Iкк^ ю-оа ня -^¡орзс^ас^-кажестза::-;--:^-);, низо-псг^пс^^зт тг^щэе^;^ то^^^ H, 0), (0, ,£). Врамкахмодели (1) тепиовчое илчп^т^со0! ,ае^-13)осч,^гп;^5^ю,тся со акорсотню

В векторно-матричной естпис-и ;паоое^а (1) пршш-

Z =

(:в пгЦ1

-CJ-

exp

J п-сП

J) SB Xi+р р

-lX+-,^--1(;o,^1)^;;<d^1, (6)

где у — пклоалсит^;^е>но е]втенти]РОван^^я о^ц+епк;-^ос1,^ |i;| ^ J) оостоаочно (5о;оы)соао оЯ|й,ив''та,

■01^ = со есетс.....Y^CJZ11 =в,

=

Ск ~'0't)i1

-снТ

0Лас]зоп^^1 ио V — мат-сщы -'^Jt^-Ha irao^p-^oi:,o и тзтдчнв r:-i^^):(Kopo]fT'o^ci^o-:[- опмрзл-т^-к 1И о по-

стоянными аоиТэП—]э^и^езот^м)! ())]) ) ; см, т,а^пк;б1 освоив

— )3о( (,

Продложоние ^ ^с^. [13]). Па—амо Я'СЕоши

luU V 0,

"(о =

(е [

о аоа—аой H-ilo[ttAib),]o:ip ^;д]зрци1я(й: Сс: Я -о R-1 одтюп^а^ео норазреши^^ вклассег;-(:0^к1их с|:)^нкци^]й ЯЯЯ1°RN. ]:>^шзропе 1рц^1яп^5- с^ормр)ко10

u(s,t[ = НВH.VMs - a+( (Ъ J",^+Si - Zc;,,

(8)

где ик, V — матрицыРимана(4) — (6)оператора Ь.

Замечание. Вслучае кусочно-гладкой функции h со скачком в точке формула (8) даёт (единствен-ное)кусочно-гладкое решение задачи Коши (7) со

s =0

s=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

скачками на характеристиках, проходащих через точку (в«., И).

Предрожение 2 (см. [6]). 1>Лат]эиц1>1 Пимано пе]э-оого и[ второго р одаодномерной гиперболической систелчч^! иРавнмттй оее1[\.оп]эов]эоне)сти (е) дасетсо формутоми

Ок = е 2,Рк, Р2=-к к 1 2

4ае

"1 Ь 1 1 : О " ) -Ь -И 1

_Ь . А . ь

()/0я„( а(

ь те аЬэ 22И]

Ь = .1—, (—1

= кср

(10)

(ч<а|ф|), пн-ааев -Г х в0 2 -)(,а)«0 Вр.) — фмнчоии Боссе-лямни^ого аргумента.

В эком срукче форшоло )8) пртнимеео оие

и(( Т = О ('О - а() + 0^((í)0(s + а() г

|0(( - а,1)0(а)ёа,

где и , V — мгатра^]^1(Т0, (Iм).

§ 3. Решениезадачи управления (21).

Зафикрисуем оектор-фуноцию

(Р(() =

Ф-(()' фИ()

сЕ (Т1[0, Ю

ГЮ'РГ.О+Р/аК),

Г и = 0, =

оде 1. — оператор (2),

°,(0 (Е И.

И^т + ()ф(т+((), те [-0,0),

[0.0(- -^.Оо0

и2(т — ^)ф(т — т). гес-нь-

т -( т+С

+ | V(т - а,С, )И2(а - ()ф(а - С]

Замена под знаком интегралов соответственно сс + С ~ а, а - С ~ а п(зи ео дит раве нстви (1Ф>) к виду

и. (т) = [Д1(а)дД2(.)]Г(Ф)Ф(т) +

] $

+ | У(т - а + ( , С,)Г(а)ф(а)]а + | ^(т - а - ( , С,)Г(а)ф(а)]а.

т 0

Подставляя выражение (9) для матриц ик, после простых преобразований получим равенство

и.(т) = е 2Т(т)ф(т) + | Ш(т,а)ф(а)]а,

о

где; Г — матрив! (12), или, что то же,

в

ф(т) + | К(т, а; И1Г1 ],(<]<< = /(т; И1 , И 2 (16)

где обозначено

(11)

Ю) () =

К = е2Е /,-))(11)))(1, а), ( = е (^Г-1^ ) и()( )

ИД:- с1 -(, 1)Г( рИ , 0 < с < ( Г < < 0 0-

Раеенонсо (1Р) — системе иноеораленых ^^<)с113Н(Ее нве:^ Фредголнме вторнто -он- нх ^[.^^пон^^^т!^^ он д) неотоос д. В сил) Фтохоольмо оо+овр

вне (РЦ- имтое одинстоеннно оешелит ))»а —)-г0д) щои рсповии

ипару гладких матрицГ1(в),Г(о) вторпго порядна таках, нто 1У1:ах(э:и:ц<а

- О д д(ыр „ д | К, са; Г] , (9- :лЮн

(17(

( н е)

где_Рк — проикооаы (9), оНногррмт: сГ-зГан0^. хосомо-трим в трапеции А, ограниченной прямым и 0 =0, (= Ф» н паохрпнщиич черкк тчуке ОО -) ар^(э(а1с]г(^г

ристикамисоответственносположительным и ОТ) рицателтным нга с^гоаЕР^цш )рирц 1), зодатц Юэшио

]1 4(

ВЯисввиии тепомеганелряою дедапу стартового управтдния: дычисл—то, ^]ви (рзиксвфова:рных кс<(т^(с^

1"( в (В2), веттур ^ т^койс, чтс^ еио ]Гб(ше1;^^я !ри 1ИаУ1и (13) — (1й) ^(.^¡^(влряат^ся рр!]за1:[ст131^

и(й,си (((( ,Т(t)■,Г,,И^ф) := ^,(о), т, <Е [0,Т],

тте —( — с]э:[ин:£аи.:т ный 13(^кт о р ^3).

Птоооавляя (1я[ гонуаим:

т+а

и,(т) = деиедт - ^^ +< ilе2(í^((((^s + С) + _[^то [[[

тР

вяк, ^ ^(1,о(а]У) с))ни)ф.]р1()х--^) (1Р- °пе!е 1]]

е и.АОИКтЖи) )Р2 (о-^ЕратоО -1

о

■с- Етт ^ <3, с^ )Г,(а + ЦОа + ¿Сс о

¡с^1^). сеНКМ-^ ■ — сне^т-е Г«", '^о^пс^ пеепг0 ^

,0 ф (П) комыгатното ]т(аер)0^(е^)р]^ К нг не-

п)) б5х-2(-:1Е^1^о ,31 тав:и)^5Г^, пчг ),))^:Elc:-'I(эoв а ^;нь:c::Е от шеста псдемнедев 1^1С]Г<). к), с,),)) )^xo1)^IIои:)^ в Е)]00))).»^^ ну ,20)^ ч,г),]эгь. г^л(-<е]-1Й - 1 ^ ((-(.О!)1^ ихл,е^ц) мосто

«с ^^я]0^,ь],o<oc^,l^:(Р^ но<е_:^». Будем ооворь^т^, ото пмрзот оессо о(I^'^ьr(^:оIл^г of:)D□1рэ^o пол-ооз^ю]н-:^5( ^1]()).

О-евияно, OI,(э^^)a[];(^^]иe в^еЕстр^-.^ ^ 1 д. ]| о нонельной )з^ктoг)(^)0]^]<.;IЬ0:)^й (ь^) н^п]-(Я]ьюрcьo^IDD^I^к [В« х ] — решеное сюоелнан^оэ-1 т гцеричны:мп л-в-

о-'-о до ЛОИ^-ГОлО ото (= ,олол2,нТ ^18)

1-аае "р, — иомпонентавектора (11) сматрицамиРи-м.,а^ГГ 39^, (10):

НЕ0,т) д^ с-

о

с- J]|]l(-cо,^),lC[.гl-^lЧ]]J^l(cт)1т((-т((:l^'

-О)

-Ъ П [ИИ 0-и, оа^сз, по (с-) «рОжо-сйс^, (19)

о

где Ь — постоянная (9), V11, V12 — элементыматри-цы (10). С учётом этого из выполненных выше по-строенийвытекает

ТЕОРЕМА. В ситуации общего положения (17) каждой паре гладких матриц Г1, Г2 таких, что ма-

трица (12) обратима, отвечает решение задачи граничного управления (3), вычисляемое по формулам (18), (19) при ф = ф*, где ф* = (ф1,ф2) — решение системы интегральных уравнений Фредгольма (16).

Библиографический список

1. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. — М. : Высшая школа, 1967. — 600 с.

2. Соболев, С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса / С. Л. Соболев // Успехи физ. наук. — 1997. — Т. 167. — № 10 — С. 1095-1106.

3. Корнеев, С. А. Гиперболические уравнения теплопроводности / С. А. Корнеев // Изв. РАН. Сер. Энергетика. — 2001. — № 4. — С. 117-125.

4. Бухаров, Б. М. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики / Б. М. Бухаров, Е. Н. Люти-кова, С. А. Медин // М. : Препринт ОИВТРАН, — 2002. — № 2-462. — 28 с.

5. Карташов, Э. М. Новые интегральные соотношения в теории нестационарного теплопереноса на основе уравнения гиперболического типа / Э. М. Карташов, О. И. Ремизова // Изв. РАН. Сер. Энергетика. — 2002. — № 3. — С. 146-156.

6. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом тепло-переноса, в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференц. уравнения. — 2007. — Т. 43. — № 5. — С. 650-654.

7. Жукова, О. Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О. Г. Жукова // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т. 44. — № 1. — С. 82-88.

8. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом тепло-переноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова // Дифференц. уравнения. — 2009. — Т. 45. — № 12. — С. 1794-1798.

9. Романовский, Р. К. Оптимальное граничное управление теплопереносом в одномерном материале. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева // Дифференц. уравнения. — 2012. — Т. 48. — № 9. — С. 1256-1264.

10. Романовский, Р. К. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева // ДАН. — 2012. — Т. 416. — № 2. — С. 138-141.

11. Романовский, Р. К. Оптимальное граничное управление теплопереносом в трехмерном материале. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева // Диффе-ренц. уравнения. — 2014. — № 3. — С. 385-393.

12. Воробьёва, Е. В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е. В. Воробьёва, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журн. — 2000. — Т. 41. — № 3. — С. 531-540.

13. Романовский, Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Доклад Академии наук СССР. — 1982. — Т. 267. — № 3. — С. 577-580.

14. Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьёва, Е. Н. Стратилато-ва. — Новосибирск : Наука. — 2007. — 172 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

МЕДВЕДЕВ Юрий Александрович, студент группы ВТ-613.

РОМАНОВСКИЙ Рэм Константинович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Прикладная математика и фундаментальная информатика». Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 05.09.2014 г. © Ю. А. Медведев, Р. К. Романовский

Книжная полка

51/Б24

Баранова, Е. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты : учеб. пособие для вузов по направлениям 550000 «Технические науки», 650000 «Техника и технологии» / Е. Баранова, Н. Васильева, В. Федотов. — 2-е изд. — СПб. : Питер, 2013. — 399 c.

Учебное пособие по высшей математике для студентов и преподавателей технических и экономических вузов. Содержит справочный материал по разделам высшей математики, методические рекомендации по решению задач, типовые задания с подробными решениями и разбором характерных ошибок, варианты типовых заданий (типовых расчетов) по курсу высшей математики технического университета, выполнение которых является требованием образовательного стандарта. Студентам эта книга вполне заменит репетитора, а преподавателю сэкономит время на подготовке практических и домашних заданий. Второе издание учебного пособия дополнено материалами по числовым рядам, а также кратным, криволинейным и поверхностным интегралам. Допущено научно-методическим советом по математике вузов Северо-Запада в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям 550000 «Технические науки», 650000 «Техника и технологии».

51/Р48

Ржевский, С. В. Исследование операций : учеб. пособие / С. В. Ржевский. — СПб. : Лань, 2013. — 475 c. — ISBN 978-5-8114-1480-2.

В учебном пособии последовательно и систематизированно изложены основные понятия и методологические принципы теории исследования операций, математические методы одно- и многокритериальной оптимизации (общая классификация типов задач математического программирования, способы распознавания и поиска их решений), элементы теории двойственности, примеры постановок и методов решения задач линейного, нелинейного, целочисленного, стохастического и динамического программирования, задачи сетевого планирования и управления запасами, элементы теории игр. Пособие соответствует современным программам учебных дисциплин «Исследование операций», «Математическое программирование» и «Методы оптимальных решений» — типовым учебным программам федеральной компоненты «Математика» Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для подготовки бакалавров экономики, управления и других направлений подготовки. Книга также предназначена для студентов других направлений подготовки с углубленным изучением современных информационных технологий и для всех тех, кто стремится овладеть общими принципами оптимизации управленческих решений в самых разных областях деятельности.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.