CC BY
57
Ею.,х,, ^ шах,
. у '
у,*» у ,
ху > У.
, ] = 1,ш,
где у.. >0 — заданные величины, указывающие обязательное число рекламных контактов на у-м меди-аканаледля г-йгруппы потребителей, В0 — максимально возможные затраты на рекламную кампанию.
Используя решения задач линейного целочисленного программирования ды оождоИ глиппь1 по-нчоГунолор Ху, I = 1,4, рассчитываемстоимости С, С2, С3 и Ли рекламной кампании по формуле:
с = Ц1 = 14.
1
Заключение. При исследовании подходов, используемых в медиапланировании, разработана и реализованаэкспертная система в помощь рекламному специалисту. В экспертной системе реализован алгоритм расчета стоимости рекламной кампании, основанный на использовании оптимизационной задачи целочисленногопрограмми-рования. Результатом численной реализациимо-дели является схема заявления о позиции торго-воймарки, которая ложится восновутворческой стратегии рекламной кампании. Система рассчитывает основные числовые показатели, необходимые на четырехэтапах медиапланирования, и тем самымпомогаетспециалиступринятьнаилучшее решение.
Библиографический список
1. Росситер, Дж. Р. Реклама и продвижение товаров / Дж. Р. Росситер, Л. Перси ; пер. с англ. // Под ред. Л. А. Волковой. — СПб. : Питер, 2001. — 656 с.
2. Кульбида, У. Н. Разработка экспертной системы для по-зиционированияиопределения рекламной стратегии бренда / У. Н Кульбида, О. Н Канева // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании — 2011 : сб. науч. тр. 8ШогЫ. Материалы Междунар. науч.-практ. конф.. — Вып. 4. Т. 5. — Одесса : Черноморье, 2011. — С. 58-61.
3. «МегаПро»: рекламное агентство полного цикла [Электронный ресурс]. — Режим доступа : http://www.megapro.ru/ ги/таш/ше55адераде/228/ (дата обращения: 05.09.2014).
4. Зыкина, А. В. Экспертная система для позиционирования и определения рекламной стратегии бренда / А. В Зыкина, О.Н. Канева, У. Н Кульбида // Омский научный вестник. — Омск : ОмГТУ, 2011. — № 3 (103). — С. 253-257.
КУЛЬБИДА Ульяна Николаевна, аспирантка кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.
Адрес для переписки: uni_form@mail.ru КАНЕВА Ольга Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент (Россия), доцент кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.
Адрес для переписки: okaneva@yandex.ru ЗЫКИНА Анна Владимировна, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), заведую-щаякафедрой прикладной математики и фундаментальной информатики. Адрес для переписки: avzykina@mail.ru
Статья поступила в редакцию 05.09.2014 г. © У. Н. Кульбида, О. Н. Канева, А. В. Зыкина
о
у
УДК5179 Ю. А. МЕДВЕДЕВ
Р. К. РОМАНОВСКИЙ
Омский государственный технический университет
ГРАНИЧНОЕУПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ_
Рассматривается краевая задача, описывающая теплоперенос в однородном стержне в рамках гиперболической модели теплопроводности. Ставится задача поиска температурного режима на концах стержня (управления), обеспечивающего перевод начального состояния (Т0, q0) стержня в заданное финальное состояние (Т., q,). Построен класс управлений, зависящий от функционального параметра. Ключевые слова: гиперболическая теплопроводность, граничное управление фазовым вектором, система интегральных уравнений Фредгольма.
§ 1. Постановка задачи. описании быстропротекающих процессов тепло-
1. В последние десятилетия интенсивно разви- переноса [1-5]. В рамках этой модели теплопе-
вается волновая теория теплопроводности, устра- ренос описывается системой уравнений гипер-
няющая имеющий место в классической (парабо- болического типа с фазовым вектором (Т, д), где
лической) теории парадокс бесконечной скоро- Т — температура, д — вектор плотности теплово-
сти распространения тепла и применяемая при го потока.
dT dq ср — + — dt ds
■ 0, (ii,^) (EE [0г^?]х[0,оо)г
dq , dT s — + k — + q dt ds
(T, q)L=0 = (0,0),
= Mt),CL=t = МЧ-
д „ <5
+ А —
at ds
"0"
:
0 S
(s, t) e [0, 0] x [0, 00)
(2)
T , А!^ z л 0 —Л Z0 = " 1 1 "
q _ 0 -л п/b и1ДП
0 0 0 1/s '
Хороктеристики mcreo eoAB^^^e^iK^c^fi систоен,1(2) — прямые o = ±at -I- const.
Задачауправленоя сосо-пт в поискетемос°а-гпрного рюжиоа TV Ми- на концах стержня, обеспечивающего переход за заданное время t* > 0 началь-ееогк 0иктоянии о задгннмо ное состояние и*:
" =
" 7](s) g.(s)
e С'[0, I].
(3)
-г б-£ о е з + # 2-е
Рис.1.
I? последниенесколько ует полученряд резун,-татов по граничному управлению теплопереносом в рамкахгипербзлической теплопроводноети [6 — 11]. Ставится задача поиска температурного режима на границе тела (управления), обеспечивающего пр и фиксрозванном начальном состоянии (Г0,(Л0) заданное финальное распределение те мпературы Т*. По-нкроены кккскр1 тккихутфаразнуй.
Данная раббта является троеолжхлиео рейх исследований. Рассматривайтсяволнкоая мтдель задачи граничного пнряоления теплопереностт в стержне. Существенное отличие от работ [р, 9], «яе свящённых той же задаче, состоит в том, чтт «тт рыходе» при f =Н» зоеаётся полйо«0 фтзото-й вее, тор(ТК «об Построен класс граничных управлобий (ТяСТ0)т*(Тс д*), зависящийо« пофб1 тат=иц вторю-го порядке.
2. Распространение теота в стейжнт с рамках волновой модели опиеывается краевой ятдочей
И)
Пргеполагается, чео за вр-ня 0 оеPжцщмтяк -конца стержня со скоростью a тепловой импульс угпкгоеопройти емдь стержень: t. > I/ л. Далее в работерассматривается крайний случай
t. = 1/л.
§ 2. Предварительные сведения.
Рассмотрим гиперболический оператор
I = —+ A—+ в, (s,f)eR2. 5f ds
Знела А, В — поатояпнот мчтритв порядка.^, A = Z d-agicgZ.....anIn)Z-\ x> s> •> a cin,
Я — еАипочнав наттидо по рядка Я(к, На T0k = Ы. Про -вядоп херез =04so (=, 0( хпвадтоихстосо a = Нтр 1 g (n, x вустя ki, g — Аоронвя (о п (=) и опжвяя (( и (() чаяят паддктеоистякд я = a=(, H — тоооляс непие итклогсыи ^=i;:>;c Я+: зл=а ((-, (((_[1_(c = 1.n = 1r = — обие.тлнряоо оокоо1тлот росям (a,0,,,!,^0 Пистттдн нотрипцы 10,)), к = 1 , n, (]],]) но фоомдлам
и, = p, евн-рвии, PkHZ ен°(о.....(=> Н,о.....t(z ()i)
(КС (s,(( K Y, , j = 1, л - 1> , ,,
U(s,(( = ( (> 1 , > s■ J r i
о, )sCj g,
(см.[9]; для упрощениязаписей без п отер и общ но-сти принято (Г0, Д0) = (0, 0). Здесь первое укавкен-в — законсохракения энергии,втоооп — рераксани-онное соотношение п-рв ого порядка )о бобщёсилш зт-сен се°гр^:т<с), г, sa -с,;- — удегьнао теплоомкоооь, пля,(атcцт, I^(;^I^Oаpтёп(и^а)o те^п,оо(а]Э(о^)п1о,1^ос[1^ я яооооа ан-р -:.Ie Иуооацоо И°0г СНа")*0, о)
еяда1се (1) ooa^c^^^aoi^o разрешиме (с^с в окпе^ссе oyрopнт-оpaдoио оjг2-^^]cп•^iт а)о cкa-Iкк^ ю-оа ня -^¡орзс^ас^-кажестза::-;--:^-);, низо-псг^пс^^зт тг^щэе^;^ то^^^ H, 0), (0, ,£). Врамкахмодели (1) тепиовчое илчп^т^со0! ,ае^-13)осч,^гп;^5^ю,тся со акорсотню
В векторно-матричной естпис-и ;паоое^а (1) пршш-
Z =
(:в пгЦ1
-CJ-
exp
J п-сП
J) SB Xi+р р
-lX+-,^--1(;o,^1)^;;<d^1, (6)
где у — пклоалсит^;^е>но е]втенти]РОван^^я о^ц+епк;-^ос1,^ |i;| ^ J) оостоаочно (5о;оы)соао оЯ|й,ив''та,
■01^ = со есетс.....Y^CJZ11 =в,
=
Ск ~'0't)i1
-снТ
0Лас]зоп^^1 ио V — мат-сщы -'^Jt^-Ha irao^p-^oi:,o и тзтдчнв r:-i^^):(Kopo]fT'o^ci^o-:[- опмрзл-т^-к 1И о по-
стоянными аоиТэП—]э^и^езот^м)! ())]) ) ; см, т,а^пк;б1 освоив
— )3о( (,
Продложоние ^ ^с^. [13]). Па—амо Я'СЕоши
luU V 0,
"(о =
(е [
о аоа—аой H-ilo[ttAib),]o:ip ^;д]зрци1я(й: Сс: Я -о R-1 одтюп^а^ео норазреши^^ вклассег;-(:0^к1их с|:)^нкци^]й ЯЯЯ1°RN. ]:>^шзропе 1рц^1яп^5- с^ормр)ко10
u(s,t[ = НВH.VMs - a+( (Ъ J",^+Si - Zc;,,
(8)
где ик, V — матрицыРимана(4) — (6)оператора Ь.
Замечание. Вслучае кусочно-гладкой функции h со скачком в точке формула (8) даёт (единствен-ное)кусочно-гладкое решение задачи Коши (7) со
s =0
s=1
скачками на характеристиках, проходащих через точку (в«., И).
Предрожение 2 (см. [6]). 1>Лат]эиц1>1 Пимано пе]э-оого и[ второго р одаодномерной гиперболической систелчч^! иРавнмттй оее1[\.оп]эов]эоне)сти (е) дасетсо формутоми
Ок = е 2,Рк, Р2=-к к 1 2
4ае
"1 Ь 1 1 : О " ) -Ь -И 1
_Ь . А . ь
()/0я„( а(
2Е
ь те аЬэ 22И]
Ь = .1—, (—1
= кср
2Г
(10)
(ч<а|ф|), пн-ааев -Г х в0 2 -)(,а)«0 Вр.) — фмнчоии Боссе-лямни^ого аргумента.
В эком срукче форшоло )8) пртнимеео оие
и(( Т = О ('О - а() + 0^((í)0(s + а() г
|0(( - а,1)0(а)ёа,
где и , V — мгатра^]^1(Т0, (Iм).
§ 3. Решениезадачи управления (21).
Зафикрисуем оектор-фуноцию
(Р(() =
Ф-(()' фИ()
сЕ (Т1[0, Ю
ГЮ'РГ.О+Р/аК),
Г и = 0, =
оде 1. — оператор (2),
°,(0 (Е И.
И^т + ()ф(т+((), те [-0,0),
[0.0(- -^.Оо0
и2(т — ^)ф(т — т). гес-нь-
т -( т+С
+ | V(т - а,С, )И2(а - ()ф(а - С]
Замена под знаком интегралов соответственно сс + С ~ а, а - С ~ а п(зи ео дит раве нстви (1Ф>) к виду
и. (т) = [Д1(а)дД2(.)]Г(Ф)Ф(т) +
] $
+ | У(т - а + ( , С,)Г(а)ф(а)]а + | ^(т - а - ( , С,)Г(а)ф(а)]а.
т 0
Подставляя выражение (9) для матриц ик, после простых преобразований получим равенство
и.(т) = е 2Т(т)ф(т) + | Ш(т,а)ф(а)]а,
о
где; Г — матрив! (12), или, что то же,
в
ф(т) + | К(т, а; И1Г1 ],(<]<< = /(т; И1 , И 2 (16)
где обозначено
(11)
Ю) () =
К = е2Е /,-))(11)))(1, а), ( = е (^Г-1^ ) и()( )
ИД:- с1 -(, 1)Г( рИ , 0 < с < ( Г < < 0 0-
Раеенонсо (1Р) — системе иноеораленых ^^<)с113Н(Ее нве:^ Фредголнме вторнто -он- нх ^[.^^пон^^^т!^^ он д) неотоос д. В сил) Фтохоольмо оо+овр
вне (РЦ- имтое одинстоеннно оешелит ))»а —)-г0д) щои рсповии
ипару гладких матрицГ1(в),Г(о) вторпго порядна таках, нто 1У1:ах(э:и:ц<а
- О д д(ыр „ д | К, са; Г] , (9- :лЮн
(17(
( н е)
где_Рк — проикооаы (9), оНногррмт: сГ-зГан0^. хосомо-трим в трапеции А, ограниченной прямым и 0 =0, (= Ф» н паохрпнщиич черкк тчуке ОО -) ар^(э(а1с]г(^г
ристикамисоответственносположительным и ОТ) рицателтным нга с^гоаЕР^цш )рирц 1), зодатц Юэшио
]1 4(
ВЯисввиии тепомеганелряою дедапу стартового управтдния: дычисл—то, ^]ви (рзиксвфова:рных кс<(т^(с^
1"( в (В2), веттур ^ т^койс, чтс^ еио ]Гб(ше1;^^я !ри 1ИаУ1и (13) — (1й) ^(.^¡^(влряат^ся рр!]за1:[ст131^
и(й,си (((( ,Т(t)■,Г,,И^ф) := ^,(о), т, <Е [0,Т],
тте —( — с]э:[ин:£аи.:т ный 13(^кт о р ^3).
Птоооавляя (1я[ гонуаим:
т+а
и,(т) = деиедт - ^^ +< ilе2(í^((((^s + С) + _[^то [[[
тР
вяк, ^ ^(1,о(а]У) с))ни)ф.]р1()х--^) (1Р- °пе!е 1]]
е и.АОИКтЖи) )Р2 (о-^ЕратоО -1
о
■с- Етт ^ <3, с^ )Г,(а + ЦОа + ¿Сс о
¡с^1^). сеНКМ-^ ■ — сне^т-е Г«", '^о^пс^ пеепг0 ^
,0 ф (П) комыгатното ]т(аер)0^(е^)р]^ К нг не-
п)) б5х-2(-:1Е^1^о ,31 тав:и)^5Г^, пчг ),))^:Elc:-'I(эoв а ^;нь:c::Е от шеста псдемнедев 1^1С]Г<). к), с,),)) )^xo1)^IIои:)^ в Е)]00))).»^^ ну ,20)^ ч,г),]эгь. г^л(-<е]-1Й - 1 ^ ((-(.О!)1^ ихл,е^ц) мосто
«с ^^я]0^,ь],o<oc^,l^:(Р^ но<е_:^». Будем ооворь^т^, ото пмрзот оессо о(I^'^ьr(^:оIл^г of:)D□1рэ^o пол-ооз^ю]н-:^5( ^1]()).
О-евияно, OI,(э^^)a[];(^^]иe в^еЕстр^-.^ ^ 1 д. ]| о нонельной )з^ктoг)(^)0]^]<.;IЬ0:)^й (ь^) н^п]-(Я]ьюрcьo^IDD^I^к [В« х ] — решеное сюоелнан^оэ-1 т гцеричны:мп л-в-
о-'-о до ЛОИ^-ГОлО ото (= ,олол2,нТ ^18)
1-аае "р, — иомпонентавектора (11) сматрицамиРи-м.,а^ГГ 39^, (10):
НЕ0,т) д^ с-
о
с- J]|]l(-cо,^),lC[.гl-^lЧ]]J^l(cт)1т((-т((:l^'
-О)
-Ъ П [ИИ 0-и, оа^сз, по (с-) «рОжо-сйс^, (19)
о
где Ь — постоянная (9), V11, V12 — элементыматри-цы (10). С учётом этого из выполненных выше по-строенийвытекает
ТЕОРЕМА. В ситуации общего положения (17) каждой паре гладких матриц Г1, Г2 таких, что ма-
трица (12) обратима, отвечает решение задачи граничного управления (3), вычисляемое по формулам (18), (19) при ф = ф*, где ф* = (ф1,ф2) — решение системы интегральных уравнений Фредгольма (16).
Библиографический список
1. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. — М. : Высшая школа, 1967. — 600 с.
2. Соболев, С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса / С. Л. Соболев // Успехи физ. наук. — 1997. — Т. 167. — № 10 — С. 1095-1106.
3. Корнеев, С. А. Гиперболические уравнения теплопроводности / С. А. Корнеев // Изв. РАН. Сер. Энергетика. — 2001. — № 4. — С. 117-125.
4. Бухаров, Б. М. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики / Б. М. Бухаров, Е. Н. Люти-кова, С. А. Медин // М. : Препринт ОИВТРАН, — 2002. — № 2-462. — 28 с.
5. Карташов, Э. М. Новые интегральные соотношения в теории нестационарного теплопереноса на основе уравнения гиперболического типа / Э. М. Карташов, О. И. Ремизова // Изв. РАН. Сер. Энергетика. — 2002. — № 3. — С. 146-156.
6. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом тепло-переноса, в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференц. уравнения. — 2007. — Т. 43. — № 5. — С. 650-654.
7. Жукова, О. Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О. Г. Жукова // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т. 44. — № 1. — С. 82-88.
8. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом тепло-переноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова // Дифференц. уравнения. — 2009. — Т. 45. — № 12. — С. 1794-1798.
9. Романовский, Р. К. Оптимальное граничное управление теплопереносом в одномерном материале. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева // Дифференц. уравнения. — 2012. — Т. 48. — № 9. — С. 1256-1264.
10. Романовский, Р. К. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева // ДАН. — 2012. — Т. 416. — № 2. — С. 138-141.
11. Романовский, Р. К. Оптимальное граничное управление теплопереносом в трехмерном материале. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, Н. Г. Чурашева // Диффе-ренц. уравнения. — 2014. — № 3. — С. 385-393.
12. Воробьёва, Е. В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е. В. Воробьёва, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журн. — 2000. — Т. 41. — № 3. — С. 531-540.
13. Романовский, Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Доклад Академии наук СССР. — 1982. — Т. 267. — № 3. — С. 577-580.
14. Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьёва, Е. Н. Стратилато-ва. — Новосибирск : Наука. — 2007. — 172 с.
МЕДВЕДЕВ Юрий Александрович, студент группы ВТ-613.
РОМАНОВСКИЙ Рэм Константинович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Прикладная математика и фундаментальная информатика». Адрес для переписки: teslakun@gmail.com
Статья поступила в редакцию 05.09.2014 г. © Ю. А. Медведев, Р. К. Романовский
Книжная полка
51/Б24
Баранова, Е. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты : учеб. пособие для вузов по направлениям 550000 «Технические науки», 650000 «Техника и технологии» / Е. Баранова, Н. Васильева, В. Федотов. — 2-е изд. — СПб. : Питер, 2013. — 399 c.
Учебное пособие по высшей математике для студентов и преподавателей технических и экономических вузов. Содержит справочный материал по разделам высшей математики, методические рекомендации по решению задач, типовые задания с подробными решениями и разбором характерных ошибок, варианты типовых заданий (типовых расчетов) по курсу высшей математики технического университета, выполнение которых является требованием образовательного стандарта. Студентам эта книга вполне заменит репетитора, а преподавателю сэкономит время на подготовке практических и домашних заданий. Второе издание учебного пособия дополнено материалами по числовым рядам, а также кратным, криволинейным и поверхностным интегралам. Допущено научно-методическим советом по математике вузов Северо-Запада в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям 550000 «Технические науки», 650000 «Техника и технологии».
51/Р48
Ржевский, С. В. Исследование операций : учеб. пособие / С. В. Ржевский. — СПб. : Лань, 2013. — 475 c. — ISBN 978-5-8114-1480-2.
В учебном пособии последовательно и систематизированно изложены основные понятия и методологические принципы теории исследования операций, математические методы одно- и многокритериальной оптимизации (общая классификация типов задач математического программирования, способы распознавания и поиска их решений), элементы теории двойственности, примеры постановок и методов решения задач линейного, нелинейного, целочисленного, стохастического и динамического программирования, задачи сетевого планирования и управления запасами, элементы теории игр. Пособие соответствует современным программам учебных дисциплин «Исследование операций», «Математическое программирование» и «Методы оптимальных решений» — типовым учебным программам федеральной компоненты «Математика» Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для подготовки бакалавров экономики, управления и других направлений подготовки. Книга также предназначена для студентов других направлений подготовки с углубленным изучением современных информационных технологий и для всех тех, кто стремится овладеть общими принципами оптимизации управленческих решений в самых разных областях деятельности.
