Задача точной управляемости для одномерной гиперболической системы уравнений теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

— прогнозировать характер изменения температурного поля не только теплового диода, но и устойчивость толщи вечномерзлого грунта, находящегося ниже подошвы теплового диода.

3. Теплотехнический расчет условий на поверхности теплового диода с учетом различных конструк-тивно-технологических решений последнего позволит судить об устойчивости земляного сооружения и прогнозировать его жизненный цикл.

Библиографический список

1. Заявка 2010123570/(033557) Российская Федерация. Земляное сооружение на многолетнемерзлых грунтах и способ его возведения с укреплением основания в районах распространения вечной мерзлот'ы / Е. А. Бедрин, В. Н. Лонский, А. М. Завьялов, В. П. Попов. — Приоритет 09.06.2010.

2. Завьялов, А. М. Аппарат математического моделирования процессов промерзания-протаивания грунтов / А. М. Завьялов,

Е. А. Бедрин, М. А. Завьялов // Омский научный вестник. — № 3 (93). - 2010. - С. 17-21.

3. Моделирование температурного поля массива многолетнемерзлых грунтов / А. М. Завьялов [и др.]. // Вестник СибАДИ. - №3(17). - Омск:Изд-во СибАДИ,2010. - С.49-52.

4. Фельдман, Г. М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов / Г. М. Фельдман. — М.: Наука, 1973. — 254 с.

ЗАВЬЯЛОВ Александр Михайлович, доктор технических наук, профессор, проректор по научной работе. ЗАВЬЯЛОВ Михаил Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики. БЕДРИН Евгений Андреевич, кандидат технических наук, доцент кафедры « Экономика и управление дорожным хозяйством».

Адрес для переписки: 644080, г. Омск, пр. Мира, 5.

Статья поступила в редакцию 18.01.2011 г. © А. М. Завьялов, М. А. Завьялов, Е. А. Бедрин

удк5179 О.Г.ЖУКОВА

Омский государственный технический университет

ЗАДАЧА ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассматривается динамическая система, моделирующая процесс распространения тепла в стержне в рамках гиперболического закона теплопроводности. Вычислено управление — температурный режим на концах, переводящее начальное состояние в заданное состояние в заранее заданный момент времени.

Ключевые слова: граничное управление, гиперболическая теплопроводность, матрицы Римана.

Введение

В работах [1—2] развит подход к анализу краевых задач для гиперболических систем на плоскости, который может быть охарактеризован как метод граничных интегральных уравнений. В рамках этого подхода анализ корректности и построение решения краевой задачи "приводятся к таким же задачам для системы интегральных уравнений на границе области. Ядрами системы интегральных уравнений служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. Изложению этого метода и его приложений посвящена часть книги [3].

В работах [4, 5] этот аппарат применен к подклассу задач теории управления — задаче граничного управления процессами в распределенных системах, описываемых гиперболическими уравнениями [6]. Рассматривались краевые задачи, моделирующие процесс распространения тепла в полубесконечном и конечном стержне в рамках гиперболического закона теплопроводности [7]. Вычислен температурный режим на концах стержня, обеспечивающий требуемую температуру в заданный момент времени.

Данная работа является продолжением этих исследований. Рассматривается краевая задача, моделирующая процесс теплопереноса в стержне конечной длины. Состояние стержня в каждый момент времени определяется парой (Г, д) — температурой и тепловым потоком. Ставится задача точной управляемости: найти управление — температурный режим на концах, — переводящее начальное состояние (Г0, д0) в заданное состояние (Г", д) в заданный момент времени.

В § 1 для удобства ссылок кратко изложены используемые далее сведения из работ [1, 2].

1. Схема метода граничных интегральных уравнений (случай постоянных коэффициентов)

Рассмотрим гиперболический оператор |

и X

Ь = — + А — + В,х = (з^)еН2. (1) I а а 5

Здесь А, В — постоянные матрицы порядка N. | А=Шад(а1/1.....ап/п), 1к — единичная матрица порядка £

1ЛГ = N. а. >...> а . £

к ' к ' 1 п _ т

1. Проведем через каждую точку у = (<т,г)е 1л 5 характеристики 1к(у) = {(яД): я — ег — — г) = 0}, 5 к= 1,..., л. Отнесем каждой характеристике матрицу _ — порядка Ык:

ик(х,у) = ехр( — — т)), хе1к(у):к=\:...,п. (2)

Обозначим К {у) объединение открытых углов между . ¡¡+, (У) - лежащих ниже и выше точки у (/= 1, — 1); К0(у) — объединение открытых углов между ./, (у), 1п(у) левее и правее точки у. Определим кусочно-гладкую матрицу У(х, у) порядка N формулой

где

V., xeKjiy), j = \,...,n-\, О, хвК0(у\

(3)

-jjexp

у+1 у У

£, s-s Г] s-s

J+1

а, - а.

A-;(£,r,)cU;dm (4)

здесь Г = = 2и||В||}, Sj, = в+ а/t - i),

Jj+1

Матрицы Uk, V — матрицы Римана 1-го и 2-го рода гиперболического оператора (1) с А,В = const; общая конструкция содержится в [ 1 ].

2. Будем представлять векторы из RN в виде и = (ы,, ..., ип), где ик имеет размер Nk. Части характе-ристик7к(у), лежащие, соответственно, не ниже (f > т) и не выше (t < т) точки у, будем называть лучами и обозначать If (у) ■ Зафиксируем область D с R2. Будем предполагать, что граница 3D области D содержит кусочно-гладкий участок Г, такой, что для каж-дойточкихе D \Г,где D = D + 3D, лучи If (х),..., /~(х) пересекают Г один раз под ненулевым утлом и не имеют общих точек с dD\ Г, кроме, быть может, самой точки х.

Представим оператор (1) в виде

L=D + В, D=diag(D,, ..., DJ,

(5)

где Бк — оператор дифференцирования по f вдоль характеристики с номером к. Рассмотрим краевую задачу (задачу типа Коши)

Ци) = О, х е D , и| = ф(х)е С(г).

(6)

и(*)=Лр =

и„(х,у„)щ,(у„)

^V{x,y\lda~AdT)^y\

(7)

Предложение 2 [2]. Для однозначной разрешимости краевой задачи (6) в классе необходимо и достаточно выполнение равенства

у = JFy, х е Г.

(8)

Изложенная конструкция дает подход к анализу конкретных краевых задач для оператора (1) по следующей схеме.

1. По данным задачи строится и исследуется на корректность система интегральных уравнений (8) на неизвестную или частично известную граничную вектор -функцию.

2. После вычисления из этой системы (в случае ее корректности) граничной вектор-функции краевая задача приводится к задаче типа Коши (6), ее решение находится по построенной формуле (7).

Замечание. В частном случае, если Г —прямая <=0, то условие (8) выполняется тождественно и формула (7) переходит в формулу для решения задачи Коши (6) (здесь с!т= 0).

2. Смешанная задача для гиперболической системы уравнений теплопроводности

1. Рассмотрим краевую задачу, моделирующую процесс распространения тепла в стержне конечной длины в рамках гиперболического закона теплопроводности [7]:

i дТ Ъ п \ср— + —= 0,

a ds

тй^- + к— + Ч = О, dt ds

x = (s,t) еП,

(9)

[Г(5,О)=Г0(4 9(5,0)=9О(4 Т(-1,1)=ММ т(и)=^М

Здесь П= [ — 7, /]х[0,оэ), Т, ц — температура и тепловой поток, с, к, с, т0 — удельные теплоемкость и теплопроводность, плотность и период релаксации, уравнения (9) — закон сохранения энергии и обобщенный закон Фурье. Функции Г0, д0, ц_, непрерывны в своих областях определения. Выполняются условия согласования нулевого порядка. В рамках модели (9) тепловой импульс распространяется с конечной скоростью а = ^к/(т0ср).

Переход к римановым инвариантам (и,, и2) по формулам

и, +«,

(Ю)

Решением (обобщенным) задачи ]6) будем называть непрерывную функцию и:£)->К со свойствами 1) нес(о); 2) для каждой компоненты ик(х) существует производная Окик еС(£>), непрерывно продолжаемая в О ; 3) выполняются соотношения (6), где оператор I понимается в смысле (5). Класс функций, удовлетворяющих условиям 1) — 3), будем обозначать

Предложение 1 [2]. Если краевая задача (6) имеет решение и(х)е 5, , то справедлива формула

приводит краевую задачу (9) к виду

i(u) = | —+А—+В |u = 0, дгеП, 1 dt ds 1

u(s, О) = h(s) =

X + fa

и, (- /, t) + «2 (- /.') = 2/i. ('I Щ (/, t) + иг (/, t) = 2/i+ (t\

M-l)+h2(-l)=2MM Л,(/)+Л2(/)=2^(0Х

(11)

1 f 1 -1

где A=diag(a, - a), \

I kcp'

где ик, V — матрицы Римана, I— единичная матрица порядка /V, ук — точка пересечения луча 1к (х) с кривой Г, г — проходимый в положительном направлении отрезок [у,, уЛ] кривой Г.

Вычисления по формулам (2) — (4) дают для матриц Римана оператора (11) формулы

Uk(x,y)=exp\~-^\, xelM ¿ = 1,2,

pf-

t-T

4

2 тй

2

2r„

(12)

где П,2 =('-г)+(5-о-)/а, г = е^> ~ Фикции Бесселя мнимого аргумента.

2. Будем решать задачу (11) последовательно в прямоугольниках

П4= {(в, <): - /<й</, 2к1/а<Л<2(к + \)1/а}, к = 0, 1, 2.....

Обозначим Г0 часть границы прямоугольника П0, состоящую из нижнего основания и боковых сторон. В силу выбора высоты прямоугольника П0 выходящие из точек на левой боковой стороне П0 лучи /2 и из точек на правой боковой стороне П0 лучи пересекают Г0 в точках нижнего основания. С учетом этого условие разрешимости (8) вместе с условиями (11) дают условия на компоненты у, = и, (1, (), = = и2( — 1, <). граничной вектор-функции цл

Г, + ¡KfarfodT = f,(t),i =1,2,

о

(13)

ч<-/,/)=

2 M-iñ-^i-l.t) VÁ-H)

, ч</,/) =

2 nM-vtiA

T = T(s,t;T0,q0,M-,M+) =

:Ií )/(2r0)

e .......+ +

r(s,0

-a[(vn +v2,V, -(v12 +v22V2]c/r

(14)

q = q(s,t;T0,qQ,fi_,¿i+) =

+ J[(vii-v2iyi+(v12-v22V2]í/o--

rM

-«[(vn - V21 Vi ~(vi2 -v22y2]¿r ,

где iC,(í, т) = a(v„ + va),

/2(/) = е""(2">Л1(-/ + в/)+ | (у21,у^11(ст)Ах + 2а|у21^(г)</г,

-/ о

V,, = V,,.(Л г;7. Т), V = У21(-7, V, -1, т), V,,, = у1(-(/,*;<т,0), у2, = у2Д-/,/;сг,0) — элементы матрицы (12). Равенства (13) — интегральные уравнения Вольтерра второго рода для ц/,, с гладкими ядрами и непрерывными правыми частями, поэтому однозначно разрешимы в классе непрерывных функций. В силу предложения 2 отсюда следует однозначная разрешимость в классе задачи типа Коши (6) с оператором (11) и граничной вектор-функцией ф е С(Г0), определяемой формулами

y(s,0)=h(s);

где {,, — ординаты точек у,, у2 пересечения лучей /,"($,/), /2(х,() с гРаницей Г полуполосы П, Г(в, I) — отрезок [у,, у2] ломаной Г, V,. = у^в, V, а,т) — элементы матрицы (12).

3. Задача точной управляемости

Зафиксируем ( > 0и функции Г'(в), <7*(у)е С[-/,/]-Поставим задачу: вычислить температурный режим (/¿-,¿1+) ~ управление, — обеспечивающий выполнение равенств

Дз, 0 = Г (в), д(в, 0 = д», 5 е [-/,/]. (15)

Будем предполагать (>21/а, в противном случае идущие от концов стержня тепловые импульсы не успевают пройти за время ( стержень.

Будем искать управление в классе функций

рМ л('Ьс[О,/-],

Ц_ = Т0{-1\ = 70 (/) на [0,/о], /„=/•-2 Ца. (16)

Обозначим Е банахово пространство непрерывных

функций/: [ - 1,7]-»И2 с нормой |/|= р^И' где | • | -евклидова норма в И2. Построим компактный оператор А : Е-»Е по формуле

1

АД= |К(*,а,А)/(<у)с1ст, Х= (а, т0), а, т0 > 0, (17)

и, соответственно, однозначная разрешимость задачи (11) с заменой П на П0.

Решая последовательно задачу (11) в прямоугольниках Пк и принимая при этом в качестве начальной функции в П4+1 ограничение решения в Пк на его верхнее основание, построим в итоге решение u(x)eSL задачи (11) в полуполосе П. Доказана с учетом предложения 1

Теорема I. Краевая задача (11) однозначно разрешима в классе SL. Решение и = (и,, и2) даетсяформу-лой (7) с матрицами Римана (12), где граничная вектор-функция цу(х) вычисляетсяуказанным выше способом.

3. Под решением смешанной задачи (9) будем понимать пару функций (10), где (и,, и2) — решение класса SL задачи (11). Вычисления по формулам (7), (10) дают для температуры стержня и теплового потока формулы

где К(5,(т,Я) =

,r/(2,Jvu{s,t'-,cr-at'fi) О

{v2l(s,t'-,cr-at',Ó) О е.-/(2.„/° vl2(j,/';<T+a/\o) [о v22(s,/';er + aí'fi)

s<o <1, -l <a<s,

V. — элементы матрицы (12). Обозначим Л множество значений параметра X, при которых спектр оператора А не содержит числа

С= -1:

-1 <£ сп. А.

(18)

Очевидно, Л плотно на множестве пар (17). Будем называть Л множеством общего положения по отношению к оператору А. Обозначим

К,Ы= !>,,(- l,f,а - а/",о), K2(/,o-)= £ v,2(/,/;cr + a;',о)

(19)

где — элементы матрицы Римана (12),

q'(s)=q(s)-q(s,fJ0,q0,M°.,M:l

(20)

последние слагаемые вычисляются по формулам (14).

Теорема 2. При условии общего положения (18) задача точной управляемости (9), (15) имеет единственное решение вклассе (16). Эторешение дается формулами

(21)

где

y-it)=\

l+a(l-l")

e,(2r»V(/ + 4-'')) + ¡K2(t,a)fs(a)dcr

пара

f =

решение уравнения (/ + A) =g,

(22)

(23)

h (,) =

((»(s + ai*),o), se[-l-at',l-at'\ (0,0), se(l-at' ,-l + at'),

(o,(i/(s-ai*)), s e[-1 + at',1 + at'].

(30)

В силу замечания к предложению 2 решение задачи Коши (29) дается формулой

»М

_ „-'/(2'«)

h^s-at) hfe + at)

¡V(S,r,a, 0)h(a>fo, (31)

К, 18 ~ функции (19), А — оператор (17). Доказательство. Решение (Г, д) краевой задачи (9) сданными может быть представлено

в виде суммы решений задачи (9) сданными \Т0 /у®),

(0,0,и_,и+), где = у+(,) = М+(1)-М1

¿у® — константы (19). Соответственно решение, поставленной задачи управления с данными (Г0, д0, Т, д) представляется в виде (21). где^и.,^. )_-решение задачи управления с данными (оДГ*,^*), Т*, <7* — функции (20).

1. В римановых инвариантах (10) задача управления с данными (од Г*, *] состоит в вычислении пары

(и_,и+)ес[о/] , у_=у+=0 на [0, д, (24) обеспечивающей выполнение равенств

«,(•*/)+"2(*/)=2Г(4 (25)

где и = (и,, и2) — решение краевой задачи в [ — У, 7]х [0,

¿(»)=0, и|(=о = (0,0), (26)

u,(-/,t)+u2(-/,t) = 2уМ и,(!,/)+М = 2vM <27>

Ь — оператор (11). Покажем, что задача управления (24) — (27) имеет единственное решение и верны формулы (22).

2. Зафиксируем функции

<р(7) = v(- 1) = 0.

(28)

V— матрица (12).

Вычисления по этой формуле дают для решения (и,, и2) задачи Коши (28) — (30) соотношения (27), где у_,у+ — функции (22). Нетрудно убедиться, что при условии (28) функции (22) непрерывны на [0, и равенства (22) задают взаимно однозначное соответствие между функциями (24), (28). Тем самым имеет место взаимно однозначное соответствие между смешанной задачей (24), (26), (27) и задачей Коши (28) — (30), при этом, очевидно, решение смешанной зад ачи совпадает с ограничением на прямоугольник [ — 1, У] х [0, решения соответствующей задачи Коши. Таким образом, задача вычисления управления (24), обеспечивающего выполнение равенств (25) для решения смешанной задачи, приводится к вычислению функций (28), обеспечивающих выполнение тех же равенств для решения соответствующей задачи Коши, и последующему применению формул (22).

3. Вычисляя по формуле (31) левые части равенств (25) и подставляя в (25) полученные выражения для сумм, после преобразований получим уравнение (23) на функции <р, ц/. При условии общего положения (18) это уравнение однозначно определяет функции (28) и тем самым — управление (22).

Теорема доказана.

Библиографический список

1. Романовский, Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода/ Р. К. Романовский // Матем. сборник. — 1985. — Т. 127. — №4. - С. 494-501.

2. Воробьева, Е. В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е. В. Воробьева, Р. К. Романовский//Сиб. матем. журн. - 2000. - Т. 41. - №3. - С. 531 -540.

3. Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьева, Е. Н. Стратилатова. — Новосибирск: Наука, 2007. — 172 с.

4. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом тепло-переноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференц. уравнения. — 2007. - Т. 43. - №5. - С. 650-654.

5. Жукова, О. Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Сиб. журн. индустр.матем. - 2007. - Т. 10. - №4(32). - С.32 - 40.

6. Эмануилов, О. Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями / О. Ю. Эмануилов // Сиб. матем. журн. — 2000. - Т.41. - №4. - С.944-959.

7. Карташов, Э. М. Новые интегральные соотношения в теории нестационарного теплопереноса на основе уравнения гиперболического типа / Э. М. Карташов, О. И. Ремизова // Изв. РАН. Сер. Энергетика. - 2002. - № 3. - С. 146- 156.

Обозначим V трапецию, ограниченную прямыми Ь = 0, { = ( и выходящими из точек (— 1, {), (1, () лучами

/Г./2".

Рассмотрим в области V задачу Коши

L(u) = 0, и|,=0=й(4

(29)

ЖУКОВА Ольга Геннадьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 18.03.2011 г. © О. Г. Жукова