Математическая модель деятельного слоя грунта, функционирующего как тепловой диод Текст научной статьи по специальности «Математика»

11. Васильев, И. Л. Метод ветвей и отсечений для задачи размещения с предпочтениями клиентов / И. Л. Васильев, К. Б. Кли-ментова//Дискретныйанализиисследованиеопераций. — 2009. — Т. 16. - С. 21-41.

12. Колоколов, А. А. Регулярные разбиения и отсечения в целочисленном программировании / А. А Колоколов // Сибирский журнал: исследования операций. — 1994. — Т. 1. — №2. — С. 18 — 39.

КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), заведующий лабораторией дискретной оптимизации

Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН, профессор Омского государственного технического университета. Адрес для переписки:е-тай: kolo@ofim.oscsbras.ru РУБАНОВА Наталия Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент (Россия), доцент кафедры высшей математики Омского государственного университета путей сообщения. Адрес для переписки:е-шай: n_rub@rambler.ru

Статья поступила в редакцию 01.03.2011 г. © А. А. Колоколов, Н. А. Рубанова

УДК 625 855 2 А.М.ЗАВЬЯЛОВ

М. А. ЗАВЬЯЛОВ Е. А. БЕДРИН

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ), г. Омск

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕЯТЕЛЬНОГО СЛОЯ ГРУНТА, ФУНКЦИОНИРУЮЩЕГО КАК ТЕПЛОВОЙ ДИОД

Построена и проанализирована на основе вычислительного эксперимента математическая модель устройства, обеспечивающего повышение прочностных свойств мерзлых грунтов.

Ключевые слова: математическая модель, тепловой диод, мерзлые грунты, вычислительный эксперимент, кондуктивный тепловой поток.

Вопросы повышения прочностных свойств мерзлых грунтов, лежащих в основании земляного сооружения, приобретают все большую актуальность в процессе освоения энергетических ресурсов, необходимости прокладки трубопроводов, строительства автомобильных дорог и других сооружений в холодных районах мира.

Предметом рассмотрения настоящей статьи являются процесс построения и анализ, на основе вычислительного эксперимента, адекватной математической модели термодинамического функционирования устройства, обеспечивающего повышение прочностных свойств мерзлых грунтов. На это устройство и способ его сооружения подано заявление о выдаче патента Российской Федерации на изобретение [ 1 ], технический результат которого заключается в повышении прочности и устойчивости (термической и сейсмической) основания земляного сооружения на вечной мерзлоте. Достигается этот результат тем, что в земляном сооружении на мерзлых грунтах, на поверхности грунтового основания устроен слой из водонасы-щенного и водоудерживающего материала (грунта). Материал обеспечивает впитывание и удержание слоя воды, под которым в природных условиях начинает образовываться вечная мерзлота. В дальнейшем это устройство будем называть тепловым диодом. Так как, по сути, он выполняет функции теплового диода, реализующего кондуктивный теплообмен:

— теплоизолятора — охладителя мерзлого основания летом;

— проводника холода в более длительный, чем летний, зимний период.

Причемв зимний период тепловой диод усиливает «подзарядку» холодом за счет увеличения температуропроводности в 6 — 8 раз после промерзания. В результате нулевая изотерма смещается вниз на толщину «теплового диода», чем и достигается сохранение поверхности грунтового основания в мерзлом состоянии в течение всего года (рис. 1). Одновременно обеспечивается понижение среднегодовой температуры, как поверхности, так и всей толщи вечномерзлого грунта основания, что позволяет значительно укрепить мерзлое основание сооружения.

Следует заметить, что процессы замерзания и оттаивания наиболее полно характеризуются моделью температурного поля теплового диода грунта. Температурное поле будем рассматривать как одномерное и стационарное, при установившемся процессе теплообмена без учета фазовых превращений и реализации известного условия Стефана. Поэтому перейдем непосредственно к построению температурного поля данного объекта, которое задается функцией Т(х, Ц, где Г, х, ( — температура, координата и время, соответственно.

Эту функцию можно определить как решение уравнения теплопроводности [2]

Рис. 1. Земляное сооружение: 1 - грунтовая насыпь; 2 - слой водонасыщенного водоудерживающего материала (грунта, диода); 3 — поверхность многолетнемерзлого грунтового основания; А — положение высокотемпературной (неустойчивой) вечной мерзлоты до возведения земляного полотна; Б - положение высокотемпературной (неустойчивой) вечной мерзлоты после начала эксплуатации сооружения

дТ(х,1) д'

—-—- = а—

тМ

5/

дх'

0<*<Л.

(1)

где а — коэффициент температуропроводности; Л — толщина деятельного слоя, при следующих краевых условиях:

Т{0, &

7-(х,0)=/(х); Т(к,1)=Тир,

(2)

здесь g(t) и/(х) — задаваемые функции; Тпр — проектируемое значение температуры.

Процессы замерзания и оттаивания деятельного слоя грунта можно рассматривать как периоды времени «включения» и «выключения» теплового диода. В этом случае для задания функции g(t) можно взять за основу приведенный в работе [3] алгоритм, где на поверхности Г(0, (), в качестве краевого условия вводятся периодические волны прямоугольной формы. В нашем случае краевое условие на верхней поверхности деятельного слоя грунта (теплового диода) можно записать в виде [4]

Г(0,г) = Тср при тП<«тП+П,; т = 0,1,2... Г(0,0 = Г*р при тП+П1 <«(т+ 1)17,

(3)

/М^ср+^Гпр-ТЬр)

(4)

здесь ?ср = и/П\',и — фактическая сумма отрицательных градусо-часов; П — период, равный одному году; /7, — промежуток времени действия отрицательных температур; т^ = и*/(п- П\)\ ц* — фактическая сумма неотрицательных градусо-часов.

Говоря иначе, тепловой диод «включен», то есть выполняет функции проводника холода, на время П1 и «выключен», работает как теплоизолятор, на период времени (П-Щ), причем циклы периодически повторяются. При этом условии исчезает влияние начальной температуры и наступает установившееся периодически повторяющееся тепловое состояние. Заметим, что значения Тср и Т*р обеспечиваются проектированием той или иной конструкции теплового диода и технологическим подходом при его строительстве.

Если считать, что в начальный момент времени имеет место линейный закон распределения температур, то с учетом краевого условия Г(й, = Тпр, функция /(х) примет один из следующих видов:

или Лх) = Т* Гпр-Г* I (5)

ср Ч СР/

соответственно для холодного (процесс замерзания) и теплого (процесс оттаивания) периодов времени. Причем в обоих случаях, в начальный момент времени, выполняется третье краевое условие

/(Л) = г(м) = гпр.

(6)

В частном случае, при Тпр = 0, решение задачи по построению температурного поля Т(х, у массива вечномер-злых грунтов приводится в работе [3]. Однако для наших целей это решение тривиально, поскольку, чтобы достигнуть сохранения поверхности грунтового основания в мерзлом состоянии в течение всего года температура Тпр должна быть ниже нуля, то есть выполняться условие Тпр < О.

Решение поставленной задачи при выполнении краевых условий (3) — (6) удалось получить в квадратурах: — температура теплового диода в момент (после начала «включения » Т (х, I ), то есть в период времени О < f < П, определится выражением

Т(х,1) = Тср + ~{гпр-Тср)+

ехР (ЬП(П\ - <))- ехр (Ьп(п -<)) 1-ехр(А„Я)

(7)

2 2 ап я

где Ь„ = ———; л = 1, 2, 3,...

(8)

— температура теплового диода в момент (после начала «выключения »у * (х, I), то есть в период времени Я, <( < П может быть представлена выражением

ехр (б* (Я + Я] - /) ] - ехр [ Ь* (Я-/)

(9)

1 - ехр (6 Я) п

Рис. 2. Температурное поле Г(х,{) для периода «зима»

здесь Ь* = а "У* ;п = 1,2,3,... (10)

Л

а и а* — коэффициенты температуропроводности, соответствующие «включению» и «выключению» теплового диода.

Формулы (3) — (10) позволяют исследовать температурное поле толщи вечномерзлого грунта основания в зависимости от амплитуд прямоугольных волн Тср и ГСр, периодов «включения» и «выключения» температуры Пу (Я - Я[), найти величину кондуктивно-го теплового потока, соответствующую этим периодам, а также вычислить приращение мощности вечномерзлого грунта основания.

Так, для определения величин кондуктивных тепловых потоков О и 0 вначале получаем производные

дТ(х,1) дТ* (х,1)

дх

дх

для температурных полей в пери-

оды «включения» и «выключения» теплового диода, а затем по формулам находим искомые величины тепловых потоков:

^ дх '

дх '

(И)

(12)

где Я и Я* — коэффициенты теплопроводности теплового диода в рассматриваемые периоды; Б — площадь сечения.

В результате формулы (11) и (12), с учетом решений (7) — (10), приобретут вид

0 =

ЯП

(т Л ехр (¿>„(/71 - ехр (Ь„{П -1))

^"Р "1 - ехр (Ьп //) ' <13>

(/ =

ТПР~Т'Р1Т* 2 »ИГ

/г ср л п=х п

соб! лп\ 1 + ^(7^-1)

ехр 6* {П + П\ -/) -ехр Ь* (Я-/)

1 - ехр | 6 Я

Положим, в полученных выражениях х = Н, где Н — мощность вечномерзлых грунтов, а также считаем подошву теплового диода областью нулевых годовых температурных амплитуд ниже которой и располагается толща вечномерзлых грунтов. Приравнивая эти выражения геотермическому потоку тепла и решая их как уравнения относительно Н, получим два значения для зимы Н3 и лета Нл. Значение мощности теплового потока в этом случае определится как

Н = тт (Я3,ЯЛ).

(15)

Однако определение мощности вечномерзлых грунтов, располагающихся ниже подошвы теплового диода, выходит за рамки настоящей статьи, поэтому вернемся к объекту исследования и ограничимся прогнозным исследованием его температурного поля. Проведем вычислительный эксперимент на основе алгоритма (3) — (10). Рассмотрим два периода, характеризующиеся «включением» и «выключением» теплового диода, которые соответственно назовем «зима» и «лето».

«Зима». Исходные данные: 0 < / < Л1, будем считать, что «зима» составляет 70% времени года, то есть П1 = 0,7, тогда 0 < / < 0,7. Среднемесячную температуру определим с учетом минимума среднегодовой температуры, исходя из того факта, что этот минимум приходится на середину зимнего периода

гр М _ т 11

' ср — ср

0,8У '

(16)

где Гс" — среднемесячная температура поверхности теплового диода; 7Ср"п — средняя температура поверхности в период самого холодного месяца года. Величину А; определим, положив в формуле (16)

/ = 0,7;

т-тша

ср — * ср

л 0,8

Д/ = — штат я

ср

т-ТГТНП

(17)

здесь Т™ — средняя температура поверхности в период самого теплого месяца года.

Примем Г™ =-20°С; Гср

тах = -2°С; Тпр=-2°С;

/1 = 0,5 м; а = 1,14; шаг итерации по обеим переменным возьмем 0,05, то есть АИ = 0,05м; Д/ = 0,05 года.

\ ( х\ октябрь ноябрь декабрь январь февраль март апрель

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

0,00 -5,844 -9,463 -12,719 -15,484 -17,657 -19,15 -19,908 -19,9 -19,127 -17,62 -15,435 -12,657 -9,393 -5,768

0,05 -4,961 -8,632 -11,635 -14,135 -16,091 -17,435 -18,117 -18,11 -17,414 -16,058 -14,091 -11,591 -8,653 -5,391

0,10 -4,49 -7,871 -10,561 -12,787 -14,526 -15,72 -16,326 -16,32 -15,702 -14,496 -12,748 -10,526 -7,914 -5,014

0,15 -4,501 -7,192 -9,498 -11,439 -12,96 -14,005 -14,535 -14,53 -13,989 -12,934 -11,404 -9,46 -7,175 -4,637

0,20 -4,668 -6,54 -8,44 -10,092 -11,394 -12,29 -12,745 -12,74 -12,276 -11,372 -10,061 -8,394 -6,436 -4,261

0,25 -4,538 -5,837 -7,374 -8,745 -9,829 -10,575 -10,954 -10,95 -10,564 -9,81 -8,717 -7,329 -5,696 -3,884

0,30 -3,9 -5,047 -6,296 -7,395 -8,263 -8,86 -9,163 -9,16 -8,851 -8,248 -7,374 -6,263 -4,957 -3,507

0,35 -2,963 -4,206 -5,211 -6,045 -6,697 -7,145 -7,372 -7,37 -7,138 -6,686 -6,03 -5,197 -4,218 -3,13

0,40 -2,183 -3,393 -4,13 -4,695 -5,131 -5,43 -5,582 -5,58 -5,425 -5,124 -4,687 -4,131 -3,479 -2,754

0,45 -1,887 -2,661 -3,06 -3,347 -3,566 -3,715 -3,791 -3,79 -3,713 -3,562 -3,343 -3,006 -2,739 -2,377

IX VIII VII VI V

Рис. 3. Циклограммы температурного поля Т (*,/): 1-ХН - месяцы; 1-4 - различные уровни по глубине теплового диода (сверху - вниз)

Значения других величин такие же, как и для «зимы», за исключением коэффициента температуропроводности, здесь а = 0,14.

Результаты вычислений и интерпретация совокупных расчетов для «зимы» и «лета» представлены циклограммой температурного поля (рис. 3).

Анализ значений температурных полей для «зимы» и «лета» показал их достаточно высокую сходимость в пределах 8 — 10% с результатами многолетних опытных данных для районов Крайнего Севера при идентичности соответствующих исходных данных [4]. Это позволяет говорить об адекватности математической модели рассматриваемого объекта исследования.

Вывоаы.

1. Построена математическая модель деятельного слоя грунта, функционирующего как тепловой диод, подтверждена ее адекватность.

2. Разработанная математическая модель позволяет:

— указать область значений термодинамических параметров деятельного слоя грунта, обеспечивающих его круглогодичное функционирование в режиме теплового диода;

В результате вычислительного эксперимента получаем следующую таблицу (табл. 1).

Реализация данной таблицы в программе МаШсас! позволяет получить температурное поле Т (х, /)в виде поверхности (рис. 2).

«Лето». Исходные данные: П, <кП, иначе 0,7 < / < 1. Среднемесячную температуру «лета» определим с учетом максимума среднегодовой температуры, приходящегося на июль, по формуле

гт.» _'ртах _

' ср — ' ср

сое! —/ 1,7

(18)

где к — сезонный инерционный коэффициент, вычисляемый по формуле

к =

ср

- Г (0; 0,7)

сое! ---'0,7 1,7

(19)

— прогнозировать характер изменения температурного поля не только теплового диода, но и устойчивость толщи вечномерзлого грунта, находящегося ниже подошвы теплового диода.

3. Теплотехнический расчет условий на поверхности теплового диода с учетом различных конструк-тивно-технологических решений последнего позволит судить об устойчивости земляного сооружения и прогнозировать его жизненный цикл.

Библиографический список

1. Заявка 2010123570/(033557) Российская Федерация. Земляное сооружение на многолетнемерзлых грунтах и способ его возведения с укреплением основания в районах распространения вечной мерзлот'ы / Е. А. Бедрин, В. Н. Лонский, А. М. Завьялов, В. П. Попов. — Приоритет 09.06.2010.

2. Завьялов, А. М. Аппарат математического моделирования процессов промерзания-протаивания грунтов / А. М. Завьялов,

Е. А. Бедрин, М. А. Завьялов // Омский научный вестник. — № 3 (93). - 2010. - С. 17-21.

3. Моделирование температурного поля массива многолетнемерзлых грунтов / А. М. Завьялов (и др.]. // Вестник СибАДИ. - №3(17). - Омск:Изд-во СибАДИ,2010. - С.49-52.

4. Фельдман, Г. М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов / Г. М. Фельдман. — М.: Наука, 1973. — 254 с.

ЗАВЬЯЛОВ Александр Михайлович, доктор технических наук, профессор, проректор по научной работе. ЗАВЬЯЛОВ Михаил Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики. БЕДРИН Евгений Андреевич, кандидат технических наук, доцент кафедры « Экономика и управление дорожным хозяйством».

Адрес для переписки: 644080, г. Омск, пр. Мира, 5.

Статья поступила в редакцию 18.01.2011 г. © А. М. Завьялов, М. А. Завьялов, Е. А. Бедрин

удк5179 О.Г.ЖУКОВА

Омский государственный технический университет

ЗАДАЧА ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассматривается динамическая система, моделирующая процесс распространения тепла в стержне в рамках гиперболического закона теплопроводности. Вычислено управление — температурный режим на концах, переводящее начальное состояние в заданное состояние в заранее заданный момент времени.

Ключевые слова: граничное управление, гиперболическая теплопроводность, матрицы Римана.

Введение

В работах [1—2] развит подход к анализу краевых задач для гиперболических систем на плоскости, который может быть охарактеризован как метод граничных интегральных уравнений. В рамках этого подхода анализ корректности и построение решения краевой задачи "приводятся к таким же задачам для системы интегральных уравнений на границе области. Ядрами системы интегральных уравнений служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. Изложению этого метода и его приложений посвящена часть книги [3].

В работах [4, 5] этот аппарат применен к подклассу задач теории управления — задаче граничного управления процессами в распределенных системах, описываемых гиперболическими уравнениями [6]. Рассматривались краевые задачи, моделирующие процесс распространения тепла в полубесконечном и конечном стержне в рамках гиперболического закона теплопроводности [7]. Вычислен температурный режим на концах стержня, обеспечивающий требуемую температуру в заданный момент времени.

Данная работа является продолжением этих исследований. Рассматривается краевая задача, моделирующая процесс теплопереноса в стержне конечной длины. Состояние стержня в каждый момент времени определяется парой (Г, д) — температурой и тепловым потоком. Ставится задача точной управляемости: найти управление — температурный режим на концах, — переводящее начальное состояние (Г0, д0) в заданное состояние (Г", д) в заданный момент времени.

В § 1 для удобства ссылок кратко изложены используемые далее сведения из работ [1, 2].

1. Схема метода граничных интегральных уравнений (случай постоянных коэффициентов)

Рассмотрим гиперболический оператор |

и X

Ь = — + А — + В,х = (з^)еН2. (1) I а а 5

Здесь А, В — постоянные матрицы порядка N. | А=сИад(а1/1.....ап/п), 1к — единичная матрица порядка £

1ЛГ = N. а. >...> а . £

к ' к ' 1 п _ т

1. Проведем через каждую точку у = (<т,г)е 1л 5 характеристики 1к(у) = {(яД): я — ег — — г) = 0}, 5 к= 1,..., л. Отнесем каждой характеристике матрицу _ — порядка Ык: