CC BY
57
ФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТАЛОЙ ВОДЫ
© Епанчинцева О.М.*
Кемеровский технологический институт пищевой промышленности,
г. Кемерово
Проведена оценка фрактальных свойств талой воды с использованием вейвлет анализа. Представлены скелетоны описываемых сигналов, показан относительный вклад различных частот в полную энергию сигнала. Фрактальные свойства талой воды оценены с использованием метода модулей максимумов вейвлет-преобразования (ММВП).
Ключевые слова талая вода, вейвлет анализ, фрактальные свойства.
В настоящее время стало общепризнанным, что имеется огромное количество естественных систем, поведение которых внешне воспринимается как хаотическое, но которые объединяет одно общее свойство. Это свойство -фрактальность. Фрактальные объекты обладают не только самоподобными свойствами, но и демонстрируют наличие разнообразных сингулярностей [6].
Отдельной, важной областью применения фракталов является анализ временных рядов.
Процессы, обладающие фрактальными свойствами, можно разделить на две группы: самоподобные (монофрактальные) и мультифрактальные. Свойство точного самоподобия характерно лишь для регулярных фракталов. Помимо регулярных фракталов существует особый класс фрактальных объектов, распределение точек множества внутри которого неоднородно. Такие неоднородные фрактальные объекты в литературе называются мультифракталами.
Теоретическое изучение свойств талой воды находится пока на уровне гипотез. Способы получения свежей талой воды по данным, имеющиеся в интернете, неполны и достаточно противоречивы.
Целью данной работы была попытка ответить на вопрос, обладает ли талая вода фрактальными свойствами.
Вейвлет анализ (ВА) нашел применение в первую очередь при анализе нестационарных процессов, так как одной из его основных особенностей является возможность получать локализованные характеристики и изучать локальные свойства процессов.
Использование математического аппарата ВА позволило значительно увеличить информативность исследования структурных изменений воды после какой либо ее обработки [2, 3].
В основе непрерывного вейвлет-преобразования [1] сигнала f(t) лежит соотношение
* Доцент кафедры Автоматизации производственных процессов и автоматизированных систем управления, кандидат биологических наук, доцент.
« / , 1 \ оо
*(= Х/^ ^ 7) ^ I ~ )* = 11 ) ) ^ а)
где ц (О - вейвлет-образующая функция, из которой с помощью переносов (Ь - параметр сдвига) и масштабных преобразований (а - параметр масштабирования) строится базис вейвлетов, по которому и раскладывается сигнал /(?), Щ(а, Ь) - коэффициенты (амплитуда) вейвлет преобразования. В формуле (1) символом * обозначена процедура комплексного сопряжения [1].
Анализ вейвлет спектра Щ(а, Ь) сигнала /(/) позволяет судить о частотно-временных особенностях сигнала [1].
Если провести усреднение вейвлет-коэффициентов по времени, то получим распределение энергии по масштабам или так называемый глобальный
вейвлет-спектр. Оценка глобального спектра энергии Е (а)= 1(а,Ь)| ёЬ
—о
называется скейлограммой. Эта характеристика показывает распределение энергии по масштабам и является аналогом плотности спектра энергии [1].
Было показано, что изменения структуры воды можно увидеть при исследовании динамических сигналов [4]. Для исследования динамических характеристик были сформирован канал, который состоял из термопреобразователя сопротивления ТСП, измерителя регулятор ТРМ1А компании «Овен».
С помощью вейвлет преобразования нестационарный случайный сигнал анализируется путем разложения по базисно й функции. В качестве базисной функции использовались: вейвлет-функция Морле. Вейвлет Морле обеспечивает минимальное значение частотно-временного разрешения.
Масштабно временной скелет описываемых сигналов представлен на рис. 1.
Рис. 1. Точки скелета локальных максимумов
На рис. 1 представлены скелетоны исследованных динамических сигналов воды, полученных после замораживания водопроводной воды при -2^ -3 °С (рис. 1.а), после замораживания водопроводной воды при ~ -30 °С (рис. 1.Ь), после замораживания кипяченой водопроводной воды при ~ -30 °С (рис. 1.с), а также воды взятой из водопроводного крана (рис. 1.ф.
Из рис. 1 видно, что происходит перераспределение локальных максимумов в сигнале. Измерения проводились по одному каналу, с одним и тем же термометром сопротивления и вторичным прибором. Погрешность канала не менялась. Распределение энергии по масштабам для талой воды представлено на рис. 2.
ВЬо
12345678
Рис. 2. Скейлограмма сигналов
На рис. 2 показан относительный вклад различных масштабов (частот) в полную энергию сигнала и выявление распределения энергии процесса по масштабам в соответствии с глобальным спектром энергии.
Распределение энергии сигнала, полученного при исследовании воды, взятой из водопроводного крана (рис. 2.1), талой воды, полученной после замораживании водопроводной воды при -2^ -3 °С (рис. 2.2), талой воды, полученной после замораживания водопроводной воды при ~ -30 °С (рис. 2.3), талой воды, полученной после замораживания кипяченой водопроводной воды при ~ -30 °С (рис. 2.4) представлено в виде зависимостей Е = а).
Полученная функция Е = Ла) показывает, что энергия неравномерно распределена по масштабам. На рис. 2 видны максимумы функции, вызванные наличием в сигнале постоянных составляющих частоты ~0,135 Гц для воды, взятой из под крана, ~0,162 Гц талой воды, полученной при замораживании водопроводной воды при -2^ -3 °С и ~0,2 Гц для талой воды, полученной при замораживании водопроводной воды при —30 °С. Эти максимумы определяют те масштабы (частоты), которые вносят основной вклад в полную энергию сигнала. Из рис. 2 видно, что частота колебаний частиц воды меняется.
Энергия исследуемых сигналов для воды также изменяется. Появляется второй максимум энергии низкочастотных колебаний для талой воды, полученной при замораживании водопроводной воды при —30 °С и для талой воды, полученной при замораживании кипяченой водопроводной воды при —30 °С. Изменение энергии сигнала говорит о том, что амплитуда колебаний частиц воды изменяется.
Из рис. 1 и 2 видно, что способы получения талой воды влияют на ее структуру.
Известно, что что наиболее удобным методом исследования структуры является метод модулей максимумов вейвлет-преобразования (wavelet transform modulus maxima - (WTMM)). WTMM-метод часто интерпретируют как обобщение классических методов покрытия исследуемого множества сферами, кубиками и т.п. с той лишь разницей, что вместо вышеупомянутых элементов покрытия используются вейвлеты.
В работе [6] показано, что вычислив высшие моменты Zq на разных масштабах а:
Z (a) = £\w(a, b)\" (2)
b
можно определить фрактальные свойства исследуемого процесса. В соотношении (2) суммируются максимальные значения |W(a, b)| при фиксиро-
, . a [r(q)+%" 1
ванном а. Для фрактального процесса Z (a) ~2 L J. Значение q выбирается в диапазоне (-n, n), где n - целое число. При положительных значениях q функция Zq(a) описывает скейлинг больших флуктуаций и сильных сингу-лярностей, а при отрицательных q она отвечает за скейлинг малых флуктуа-ций и слабых особенностей.
Необходимым условием фрактальности процесса [5] является линейная зависимость log2Zq от параметра масштабирования а.
Зависимости log2Zq от параметра масштабирования а для положительного значения q = 2 представлена на рис. 3.
Рис. 3. Зависимость log2Z от параметра масштабирования а
Таблица 1
Вода г
Талая, после замораживания при -30 °С после её кипячения 2.26
обыкновенная 1.90
Талая, после замораживания при -30 °С 1.20
Талая, после замораживания при при -2--3 °С 0.72
Зависимости \о%22ч от параметра масштабирования а для талой воды, полученной после замораживания водопроводной воды после кипячения при ~ -30 °С (рис. 3.1), талой воды, полученной после замораживании водопроводной воды при ~ -30 °С (рис. 3.2), воды, взятой из водопроводного крана (рис. 3.3), талой воды, полученной при замораживании водопроводной воды при (-2--3) °С (рис. 3.4) представлены в виде графиков log2Zq = Да).
Угловой коэффициент г, для некоторого значения q определяется путем вычисления наклона log2Zq от ^2а.
Данный коэффициент при q = 2 несет информацию о корреляционной размерности. Коэффициент гвыявляет корреляции, то есть вероятность найти в одной и той же ячейке две частицы, и его изменение говорит об изменении межинтервальной структуры частиц воды.
В табл. 1 приведены значения коэффициентов г, в зависимости от вида воды.
Из табл. 1 видно, что коэффициент г может значительно изменяться, что говорит об изменении межинтервальной структуры частиц воды в зависимости от разных способов ее получения.
Необходимым условием фрактальности процесса является линейная зависимость log2Zq от параметра масштабирования [5].
Из представленных на рис. 3 зависимостей можно сделать вывод, что талая вода обладает фрактальными свойствами, отличительной чертой которых являются дробность элементов, хаотичность, нерегулярность, степень густоты зазубрин фрактала и самоподобие.
Список литературы:
1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и применения. // Успехи физических наук. - 1996. - Т. 166, № 11. - С. 1145-1170.
2. Епанчинцева О.М. Изменение свойств талой воды в зависимости от способов ее получения // Научная дискуссия: инновации в современном мире. XXI международная заочная научно практическая конференция. - М., 2014. - С. 9-13.
3. Епанчинцева О.М., Использование вейвлет анализа для оценки фрактальных свойств воды // Математические методы в технике и технологиях. XVII Международная научная конференция. - Тамбов, 2014. - Т. 8. -С. 11-16.
4. Епанчинцева О.М. Использование вейвлетов Морле и Хаара для изучения структуры воды // MATERIALY IX MEZINARODNi V3DECKO-PRAK-TICKA KONFERENCE «ZPRAVY VfeDECKE IDEJE - 2013» 27 njna - 05 li-stopadu 2013 roku. - Praha Publishing House «Education and Science» s.r.o, 2013.
5. Лазоренко О.В., Лазоренко С.В., Черногор Л.Ф. Вейвлет-анализ в задачах физики геокосмоса // КосмЬчна наука i технологЬя. - 2005. - Т. 11, № 5/6. - С. 22—29.
6. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М., 2002. - 660 с.
