CC BY
169
УДК 537.226.4:51-73
А.Г. Масловская, Т.К. Барабаш ВЕЙВЛЕТ-МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНДУЦИРОВАННОГО ЭЛЕКТРОННЫМ ЗОНДОМ ТОКА ПЕРЕПОЛЯРИЗАЦИИ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ
Рассматривается возможность применения вейвлет-преобразования для цифровой обработки токов переключения поляризации сегнетоэлектриков с самоподобной доменной структурой. Проведено исследование тока переполяризации сегнетоэлектрических кристаллов в инжекционном режиме как динамической характеристики конечной среды, проявляющей фрактальный характер. Метод мультифрактального вейвлет-анализа временных рядов позволяет численно оценить фрактальные характеристики процесса переполяризации
сегнетоэлектрических кристаллов.
Вейвлет-преобразование, мультифрактальный анализ, сегнетоэлектрик, ток переключения поляризации.
A.G. Maslovskaya, T.K. Barabash
WAVELET-MULTIFRACTAL ANALYSIS OF ELECTRON BEAM INDUCED REPOLARIZATION CURRENT IN FERROELECTRIC CRYSTALS
The paper considers the application of the wavelet transform to a digital processing of polarization reversal current in ferroelectrics with self-similarity domain structure. The analysis of polarization switching current in the injection mode as a dynamic response of finite system with fractal behaviour is presented.
The multifractal wavelet-analysis method designed for nonstationary time series permits estimating the numerical scaling characteristics of polarization switching process in ferroelectrics.
Wavelet transform, multifractal analysis, ferroelectric, polarization switching current.
Введение
На современном этапе развития науки, теория фракталов получила распространение в различных областях знаний. Понятие фрактала является геометрическим и характеризует не регулярный, но самоподобный объект, описывающийся целочисленной размерностью. Однако фрактальное строение могут иметь не только геометрические формы объектов, но и временные характеристики процессов и явлений, протекающих в средах с самоподобной структурой [1].
При детальном рассмотрении некоторых фракталов, становится ясно, что на самом деле они являются мультифракталами, представляющими собой неоднородные фрактальные объекты. Благодаря наличию у мультифракталов не только геометрических, но и статистических свойств, для их характеристики требуется уже не одна, а целый спектр фрактальных размерностей [2].
Как показывают в своих работах некоторые авторы, диссипативные твердотельные структуры, самоорганизующиеся в открытых системах, являются фрактальными [3]. Исследования кинетики переключения поляризации сегнетоэлектриков, а также процессов перестройки доменной структуры и движения доменных границ, показывают, что доменная конфигурация, как результат образования самоподобных структур обнаруживает фрактальные закономерности поведения [4-6]. Теоретический анализ законов, лежащих в основе поведения математических моделей процессов переполяризации сегнетоэлектриков, дает возможность предположить наличие мультифрактальных свойств изучаемых объектов.
Для исследования мультифрактальных свойств нестационарных сигналов успешно применяются методы вейвлет-анализа. Гроссман и Морле в 1984 году в своей работе [7], посвященной проблеме анализа сейсмических сигналов, в которых требуется выделить и время (положение) всплеска в сигнале, и его спектральный состав (масштаб) ввели термин «вейвлет». Сейчас в задачах анализа временных сигналов, распознавания образов и синтеза изображений, шифровки и дешифровки информации и многих других широко применяется семейство анализаторов, названных вейвлетами [8].
Вейвлет-преобразования позволяют описывать частотно-временные свойства, играя роль «математического микроскопа» [8], что отличает их от преобразований Фурье, которые отражают только частотные характеристики исследуемого сигнала, и обуславливает популярность методов анализа различных процессов на основе вейвлет-преобразования.
В работе рассматривается возможность применения вейвлет-преобразования для мультифрактального анализа сложных сигналов, на примере прикладной задачи: расчет
фрактальных характеристик импульса тока электронно-стимулированной поляризации се-гнетоэлектриков с самоподобной доменной структурой по данным временных зависимостей токов переполяризации.
Вейвлет-преобразование нестационарных сигналов
Вейвлет-преобразование состоит в разложении сигнала по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами солитоноподобной функции (вейвлета) посредством масштабных изменений и переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную временную или пространственную частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве или времени. Для сравнения покажем локализацию в частотновременном пространстве преобразований с другими анализирующими функциями: преобразования Фурье и преобразования Шеннона (рис. 1). Из рис. 1 видно, что преобразование Фурье локализует частоту, но без временного разрешения; преобразование Шеннона не обладает частотной локализацией; вейвлет-преобразование имеет подвижное окно, локализованное около выбранного момента времени и расширяющееся с ростом масштаба, что и является наиболее желательным при получении спектральной информации [8].
1 '«і 1/«, 1/(7,
□
а б
Рис. 1. Схемы частотно-временных локализаций преобразований при использовании различных анализаторов: а - вейвлеты; б - гармоники Фурье; в - функции Шеннона
Любая локализованная R-функция у є Ь (Я) называется R-вейвлетом (или просто
вейвлетом), если для нее существует функция у* є Ь2 (Я) (ее пара, двойник) такая, что се-
мейства \у]к} и {{у*к}, построенные согласно
у]к (0 = 2 '/2у(2 ^ - к), (1)
и
у*к (0 = 2] 12 у* (2 Ч - к), (2)
где і к - целые числа (і к є I), являются парными базисами функционального пространства Ь (Я). Вейвлет может быть сконструирован, например, на основе производных функции Гаусса
Эт х-
у(т) = (-1)
дхг
ехр
2
(3)
При изучении локальных сингулярностей функции обычно рассматривают т = 1 (вейвлет «Мексиканская шляпа») или т = 2 (вейвлет Морле) (рис. 2). Более высокие производные применяются редко [9].
Рис. 2. Вейвлеты: а - «Мексиканская шляпа»; б - вейвлет Морле
Характерным признаком базиса вейвлет-преобразования является его самоподобие. Все вейвлеты данного семейства имеют то же число осцилляций, что и базисный вейвлет, поскольку получены из него посредствам сдвигов и масштабных преобразований, что позволяет с успехом применять вейвлет-преобразование для анализа фрактальных сигналов.
Так как каждый вейвлет имеет характерные особенности во временном и частотном пространстве, выбор анализирующего вейвлета, как правило, определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала.
Метод максимумов модулей коэффициентов вейвлет-преобразования
Использование вейвлет-преобразования для оценки свойств сложного скейлинга в средах с конденсированными самоорганизованными структурами, традиционно основано на методе максимумах модулей коэффициентов вейвлет-преобразования (ММВП).
Алгоритм метода осуществляется в два основных этапа.
На первой стадии происходит вейвлет-преобразование исходного сигнала х(?), по формуле
W (a, b) =1
t - b
x(t)dt,
(4)
где а - представляет собой параметр масштаба; Ь - момент времени; у - вейвлет.
Выбор базисной функции определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из х(ґ). Необходимым условием является то, что выбранный вейвлет должен быть не менее гладким, чем сам анализируемый сигнал. Результаты преобразования представляются в виде двумерного массива амплитуд вейвлет-преобразования - значений коэффициентов W(a,Ь). Построенный скелетон выявляет иерархическую структуру анализируемого множества. Каждое дробление масштаба соответствует появлению характерного «разветвления», что характерно для фрактальных множеств [9].
Второй этап метода заключатся в построение частичных функций Z(q,a), позволяющие получить надежные оценки характеристик вычисляемого процесса. Расчет значений Z(q,a) наиболее удобно проводить по формуле [9]:
(5)
Z(q, a) = ^ sup|W(atl (a'))
leL(a) Va'<a
L(a) — есть множество всех линий — l — локальных максимумов модулей вейвлет-коэффициентов, существующих на масштабе a. То есть формула показывает, что выбирается максимальное значение модуля вдоль каждой линии на масштабах меньше заданного a. Используя зависимость
W(q, a) ~ aT(q), (6)
б
а
a
можно определить скейлинговую экспоненту T(q). Вариация параметра деформации q при построении частичных функций позволяет получить линейную зависимость T(q) для моно-фрактальных объектов (H = dT/ dq = const) и нелинейную зависимость T(q) = qa- f (а) с большим числом гельдеровских экспонент H = dx / dq Ф const в случае мультифракталов. Взаимосвязь между основными величинами, рассматриваемыми в рамках алгоритма, определяется преобразованием Лежандра [2]
dT
а =—,
* dq (7)
_ f (а) = qa-T(q(a)).
Частичные функции Z(q, а) при q < 0 характеризуют особенности скейлинга для малых флуктуаций, а при q > 0 для больших флуктуаций [9].
В рамках данного исследования разработано программное приложение в ППП Matlab, реализующее метод ММВП для анализа нестационарных сигналов. Верификация результатов работы программного приложения была проведена на тест-примере анализа модельного сигнала, построенного на основе функции Вейерштрасса [10].
Оценка мультифрактальных характеристик токов переключения поляризации
кристалла ТГС в инжекционном режиме методом вейвлет-преобразования
Как отмечалось выше, доменная конфигурация сегнетоэлектриков в процессе переключения поляризации проявляет фрактальный характер, и динамические показатели данного процесса обнаруживают фрактальное поведение [4-6].
На рис. 3 представлен график временной зависимости тока переключения поляризации сегнетоэлектрического кристалла ТГС в инжекционном режиме [4].
S -------1-------1-------1------!-------г
5 10 15 20 25 30 35 40
Ґ.С
Рис. 3. Временная зависимость тока переключения поляризации сегнетоэлектрического кристалла ТГС в инжекционном режиме [4]
Анализ данной временной зависимости был проведен методом ММВП посредствам разработанного программного приложения. Запрограммированный алгоритм реализуется в два шага. На первом шаге осуществляется вейвлет-преобразование по формуле (4), результатом которого является двумерный массив амплитуд вейвлет-преобразования - значений коэффициентов W(a,b). В качестве материнского вейвлета для обработки сигнала был использован один из наиболее подходящих - вейвлет «мексиканская шляпа» (тИаІ:, рис. 2а).
Картина вейвлет-коэффициентов (рис. 4) наглядно показывает иерархическую структуру флуктуаций сигнала. Появление в распределении коэффициентов характерных «вилочек» (раздвоение локальных максимумов) демонстрирует дробление масштаба. Такая особенность обусловлена тем, что исследуемый сигнал обладает свойствами самоподобия [10].
ЦІН
Лш
Рис. 4. Скелетон поверхности коэффициентов вейвлет-преобразования М(а,Ь)
Согласно алгоритму, на втором шаге выделяются линии локальных экстремумов. Далее вычисляют частичные функции X(д, а) по формуле (5), позволяющие получить более надежные оценки вычисляемых характеристик и строится зависимость скейлинговой экспоненты т от параметра деформации д с учетом (6) (рис. 5 а). Система (7) позволяет рассчитать спектральные характеристики исследуемого процесса. На рис. 5 б показана зависимость /(а), дающая информацию о мультифрактальных свойствах тока переключения поляризации.
А<*)а
‘Л ...
* *
Ч :
♦ V
/ / ♦ V
- * / . Л
/ і \
г А
/ \ - --
0.2 0.4 0.6 0.6
а
б
Рис. 5. Мультифрактальные характеристики анализируемого сигнала: а - скейлинговая экспонента т(д); б - спектр фрактальных размерностей ^а)
а
Анализ формы спектра, полученного для временной зависимости тока переключения поляризации сегнетоэлектрического кристалла ТГС, свидетельствует о том, что носителем меры является значение, соответствующее максимуму кривой: Б = 1, а абсцисса максимума - Хаусдорфовой размерности, соответствующей параметру Херста к ~ 0.7. Так как монофрактал имеет узкий спектр фрактальных размерностей, а мультифрактал характеризуется уширением данного спектра, множество ¡(1) является мультифракталом с шириной спектра Аа ~ 0.5 . Полученный методом ММВП спектр /(а) (рис. 5 б) согласуется с результатом, полученным методом мультифрактального флуктуационного анализа [1]. Анализ полученных результатов свидетельствует в пользу предположения о проявлении свойств самоорга-низованного движения доменных границ в процессе переключения поляризации сегнето-электрических кристаллов.
Таким образом, метод максимумов модулей коэффициентов вейвлет-преобразования дает возможность оценки мультифрактальных свойств динамических данных характеризующих состояние физических систем. Применение метода ММВП к мультифрактальному анализу токов переключения поляризации сегнетоэлектриков с самоподобной структурой позволяет рассчитать фрактальные характеристики процесса переполяризации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Олемской А.И. Синергетике сложных систем: Феноменология и статистическая теория / А.И. Олемской. М.: Красандр, 2009. 384 с.
2. Божокин С.В. Фракталы и мультифракталы/ С.В. Божокин, Д.А. Паршин. Ижевск: РХД, 2001. 216 с.
3. Золотухин И.В. Твердотельные фрактальные структуры / И.В. Золотухин, Ю.Е. Калинин, В.И. Логинова // Альтернативная энергетика и экология. 2005. № 29. С.56-66.
4. Масловская А.Г. Исследование процесса переполяризации сегнетоэлектрических кристаллов в инжекционном режиме / А.Г. Масловская, И.Б. Копылова // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2009. Т. 136, № 7. С. 105-109.
5. Солодуха А.М. Перенос и релаксация в неоднородных сегнетоэлектриках и родственных материалах: дис. док. физ.-мат. наук: 01.04.07: утв. 12.05.06 / Солодуха Александр Майорович. Воронеж, 2005. 341 с.
6. Г алиярова Н.М. Диэлектрическая спектроскопия сегнетоэлектриков, фрактальность и механизмы движения доменных и межфазных границ: дис. док. физ.-мат. наук: 01.04.07: утв. 11.05.07 / Галиярова Нина Михайловна. Воронеж, 2006. 399 с.
7. Grossman A. Decomposition of Hardy into square integrable wavelets of constant shape /
A. Grossman, J. Morlet // SIAM J. Math. Anal. 1984. V 15. P. 723-736.
8. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. Т.166. № 11. С. 1145-1170.
9. Павлов А.Н. Мультифрактальный анализ сложных сигналов / А.Н. Павлов,
B.С. Анищенко // Успехи физических наук, 2007. Т.177. № 8. С. 859-872.
10. Короленко П.В. Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет преобразования / Короленко П.В., Маганова М.С., А.В. Меснянкин. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, НИИ ЯФ им. Д.В. Скобельцына, 2004.
Масловская Анна Г еннадьевна -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математический анализ и моделирование» Амурского государственного университета
Барабаш Татьяна Константиновна -
ассистент кафедры «Математический анализ и моделирование» Амурского государственного университета
Статья поступила в редакцию 3.08.11, принята к опубликованию 24.11.11
