CC BY
49
ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СТРУКТУРЫ ВОДЫ
© Епанчинцева О.М.*
Кемеровский технологический институт пищевой промышленности,
г. Кемерово
Проведена сравнительная оценка применения вейвлетов Морле и Хаара в непрерывном вейвлет-преобразовании динамических сигналов. Обоснована возможность замены вейвлета Морле вейвлетом Хаара при обработке сигналов для увеличения чувствительности метода.
Ключевые слова структура воды, вейвлет анализ, вейвлет Морле, вейвлет Хаара, скелетон.
Необычные свойства воды обнаруживаются в физико-химических экспериментах. А ее роль в биологических системах вызывает повышенный интерес к изучению структуры воды. Важнейшим показателем качества воды является ее структура, то есть организация ее молекул.
До сих пор было принято оценивать качество воды по двум показателям -это химический и микробиологический состав воды. В настоящее время есть еще одна точка зрения, утверждающая, что структура воды намного более важна, чем ее химический состав.
Вейвлет анализ нашел применение в первую очередь при анализе нестационарных процессов, так как одной из его основных особенностей является возможность получать локализованные характеристики и изучать локальные свойства процессов.
Одним из направлений поиска новых феноменов является анализ обнаружения изменения свойств воды с применением различных вариантов вей-влет-анализа (ВА) [4-10]. Использование математического аппарата ВА позволило значительно увеличить информативность исследования структурных изменений воды после какой либо ее обработки [4-10].
Фурье-анализ позволяет наглядно выявить быстрые и медленные изменения в исследуемом процессе и исследовать их по отдельности. Все необходимые свойства и формулы выражаются с помощью одной базисной функции ехр(/ю/) или двух действительных функций и со8(ю/).
Преобразование Фурье разлагает произвольный процесс на элементарные гармонические колебания с различными частотами. Гармонические колебания имеют широчайшее распространение в природе.
* Доцент кафедры Автоматизации производственных процессов и автоматизированных систем управления, кандидат биологических наук, доцент.
Известно что теоретически представление сигналов возможно в виде суммы составляющих - базисных функций \\к(0, помноженных на коэффициенты Ск:
f )=Е (1)
к
Т.к. базисные функции \к(() предполагаются заданными как функции вполне определенного вида, то только коэффициенты Ск содержат информацию о конкретном сигнале. Ряды Фурье используют единственную базисную функцию - синусоиду.
В основе непрерывного вейвлет-преобразования [1, 2] сигнала Щ) лежит соотношение:
ОТ / , 7 \ СО
™ (а> Ь) = 1" f (*) ¥' [~] & = 1" f (*) ^ (*) & (2)
где \\ (0 - вейвлет-образующая функция, из которой с помощью переносов (Ь - параметр сдвига) и масштабных преобразований (а -параметр масштабирования) строится базис вейвлетов, по которому и раскладывается сигнал А});
Щ(а, Ь) - коэффициенты(амплитуда) вейвлет преобразования.
В формуле (2) символом * обозначена процедура комплексного сопряжения.
Интегральное преобразование (2) называют непрерывным, если параметры масштаба а и сдвига Ь, в ходе обработки сигнала, принимают любые действительные значения. Оно избыточно по затратам времени на вычисления, но зато позволяет добиться наибольшей детализации при анализе сигналов. Оно ограничено лишь принципом неопределенности. Можно отметить, что Щ(а0, Ь) характеризует временную зависимость при фиксированном значении а0, тогда как зависимости Щ(а, Ь0) можно поставить в соответствие частотную зависимость при фиксированном значении Ь0.
Основными свойствами вейвлетов являются локализация, нулевое среднее и автомодельность базиса [1, 2].
Локализация. Вейвлет преобразование, в отличие от преобразования Фурье, использует локализованную базисную функцию. Вейвлет должен быть локализован как во времени, так и по частоте.
Нулевое среднее. Вейвлет имеет нулевое среднее, то есть удовлетворяет условию равенства нулю нулевого момента (среднего по времени). График вейвлет-функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени и иметь нулевую площадь:
С
I ) & = 0
Часто для приложений оказывается необходимым, чтобы не только нулевой, но и все первые m моментов были равны нулю:
| Г ) Ж = 0; т= 1, 2, ... (3)
В зависимости от величины т вейвлет принято называть вейвлетом m-го порядка. Вейвлеты высокого порядка, обладающие большим количеством нулевых моментов, позволяют освободиться от влияния регулярных (полиномиальных) составляющих исследуемого процесса и сосредоточить внимание на анализе мелкомасштабных флуктуаций и особенностей высокого порядка.
Вейвлет должен обладать свойством ограниченности, то есть квадрат нормы функции должен быть конечным:
\)
2
^ <» (4)
Оценка хорошей локализации и ограниченности может быть записана в виде:
\\(\\ -< (1 + ) или \(а) ^ (1 + \к-а0(5)
где - доминантная частота вейвлета, число п должно быть как возможно большим.
Автомодельность базиса. Характерным признаком базиса вейвлет-пре-образования является его автомодельность, так как все базисные функции получены с помощью масштабных преобразований и сдвигов из одного и того же исходного вейвлета. Самоподобие базиса вейвлет-преобразования является его характерным признаком. Это облегчает применение вейвлет-преобразования для анализа фрактальных сигналов.
Выбор анализирующего вейвлета, как правило, определяется тем какую информацию необходимо извлечь из сигнала. Каждый вейвлет имеет характерные особенности во временной и в частотной области, поэтому иногда с помощью разных вейвлетов можно полнее выявить и подчеркнуть те или иные свойства анализируемого сигнала.
Функция W(a, Ь) называется вейвлет-спектром сигнала_Д/). Анализ Щ(а, Ь) позволяет судить о частотно-временных особенностях сигнала.
В отличие от динамического преобразования Фурье, вейвлет-преобразо-вание имеет адаптивное частотно-временное окно, которое оказывается достаточно узким во времени (по параметру Ь) для малых а (что соответствует большим частотам а и широким - для больших а (что соответствует малым
а. Под масштабом а понимают колебательные процессы различной периодичности.
Между параметрами а, Ь и а, есть связь:
Ъ = т, а = кТ = 2жк/т (6)
где к > 0 - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбранной функции \\).
Кроме анализа вейвлет-спектров Щ(а, Ь), часто рассматривают также и скалограммы. Изучение скалограммы дополняет информацию, содержащуюся в вейвлет-спектре Щ(а, Ь),так как исследуются энергетические характеристики сигнала [2].
Величину Е(а, Ь) = Щ(а, Ь)|2 уместно также назвать плотностью спектра энергии, однако, величина Е(а, Ь) определяет спектральную характеристику не только для заданного масштаба, но и для параметра сдвига Ь. По этой причине ее называют локальным спектром энергии [2].
С
Е (а)= 1(а, Ъ)| ёЪ называют глобальным спектром энергии. Эта ха-
—да
рактеристика показывает распределение энергии по масштабам и является аналогом плотности спектра энергии [2].
Так как при обработке результатов измерений основными объектами преобразования являются не функции, заданные на всей оси времени, а временные ряды, длина которых всегда конечна. По этой причине вместо указанных выше теоретических понятий вводят их практические аналоги.
Для оценки вейвлет-преобразования этой последовательности пользуются следующим выражением:
^ (a,Ъ)= %Га,Ъ)£^ 1 (7)
1 {— ВI а
где п (а, Ъ) = £ I В к*а) (8)
к=0
В = а2 для вейвлета Морле.
Оценка (7) называется амплитудной вейвлет-функцией ЩА(а, Ь). Эта функция вычисляется на дискретном множестве значений аргументов а, и Ьу, I = 0, ..., Ыа - 1;у = 0, ..., ЫЬ - 1. Согласно (7), вводится оценку локального спектра энергии:
5(а,.,Ъ) = \ЖА (а,.,Ъ)| (9)
Т.е энергия процесса на каком-либо масштабе может быть рассчитана через коэффициенты вейвлет-преобразования.
N-1
Эту функцию обычно называют скалограммой (scalogram), подчеркивая тем самым ее способность описывать распределение энергии по масштабам. Поскольку это распределение локализовано во времени с помощью параметра сдвига b, возможно называть (7) локальной скалограммой, однако такой термин не нашел широкого распространения. Локальные максимумы на скалограмме отвечают колебаниям, вносящим наибольший вклад в исследуемый процесс [2].
Если провести усреднение вейвлет-коэффициентов по времени, то получим распределение энергии по масштабам или так называемый глобальный вейвлет-спектр. Оценка глобального спектра энергии называется скей-лограммой.
g (ai )=4* z s (aibj) (10)
n j
где N - число точек, по которому осуществляется осреднение.
Некоторые исследователи считают, что в скелетоне заключена вся информация об исследуемом сигнале. Из всех коэффициентов выделяют только значимые, а именно локальные экстремумы, т.е. которые имеют максимумы по переменным а и b. Определение таким образом локальные экстремумы называют скелетоном. Они четко выявляют структуру анализируемого процесса [1]. Их появлением вейвлет- преобразование реагирует на любые негладкости сигнала. Считается, что скелетон не только четко и без лишних деталей визуализирует структуру, но и de facto содержит всю информацию о нем. Скелет максимумов играет важную роль в применении вейвлетов к анализу фракталов. Этих точек очень много обычно в области малых масштабов. При росте масштаба мелкие негладкости исчезают, а вместе с ними и точки максимумов. Оставшиеся сливаются в довольно гладкие кривые, которые при дальнейшем росте масштаба также сливаются друг с другом. При этом они либо «анниглируют», либо продолжают «расти» в область еще более крупных масштабов.
При больших масштабах не учитывается незначительное изменение в анализируемых данных. При построении линий локальных экстремумов задавался минимальный порог, для того, чтобы выявить незначительные изменения сигнала.
Целью настоящей работы являются сравнение динамики поведения локальных максимумов скелетона для динамических сигналов и исследование их изменений при использовании для анализа данных вейвлета Морле и вейвлета Хаара.
Было показано, что изменения структуры воды можно увидеть при исследовании динамических сигналов [2]. Для динамических измерений характерно то, что измеряемая величина и время неразрывно связаны в средстве измерений.
Для исследования динамических характеристик были сформирован канал, который состоял из последовательно соединенных устройств[3]:
- термопреобразователь сопротивления ТСП100П, класс В, диапазон измерения +5 °С ^ +155 °С, W100 = 1,3910 ^ ТРМ1А--одноканальный программируемый измеритель регулятор с одним вводом для подключения различных датчиков, микропроцессорным блоком обработки данных, формирующим сигналы управления на выходное устройство.
- измеритель регулятор ТРМ1А компании «Овен» предназначен для измерения и регулирования температуры теплоносителей и различных сред в холодильной технике, сушильных шкафах, печах различного назначения и другом технологическом оборудовании. Устройство отображает на экране измеряемую температуру Класс точности ТРМ1А установлен по основной приведенной погрешности и равен 0,5.
Так как:
a = (11)
100
где XN - значение диапазона сопротивлений.
Поэтому определив AR по по формуле (11) получим предел допускае-
0,5 • 311,6
мой абсолютной погрешности прибора ±Ал = ±——— = ±1.55 Ом.
Допускаемая погрешность канала:
А^оп =4аТсп +АТми = 3,980С; At « 40С
На вход измерительного комплекта подавалось положительная функция заданной амплитуды X(t) = Xm • 1(t). В качестве исследуемой среды использовалась вода, взятая из водопроводного крана, затем эта же вода повторно.
С помощью вейвлет преобразования нестационарный случайный сигнал анализировался путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа (материнского вейвлета) путем сжатия (растяжения) и сдвигов.
В качестве базисной функции В качестве базисной функции использовались: вейвлет-функция Морле, который обеспечивает минимальное значение частотно-временного разрешения, вейвлет-функция Хаара, который обеспечивает наилучшее разрешение по времени.
Вейвлет-функция Морле представляет собой плоскую волну, модулированную гауссианом и дает результаты, наиболее согласованные с терминами Фурье-анализа.
Вейвлет Хаара - это короткое прямоугольное колебание на интервале [0, 1]. В 30-е годы физик Paul Levy, исследуя броуновское движение, обнаружил, что базис Хаара лучше, чем базис Фурье, подходит для изучения деталей броуновского движения [1].
Масштабно временной скелет описываемых сигналов представлен на рис. 1-2, где представлены скелетоны динамических сигналов, полученных при исследовании водопроводной воды, взятой из под крана (рис. 1 a, b) и этой же воды повторно(рис. 2 с, d).
Рис. 1. Точки скелета локальных максимумов
На рис 1 изображены локальные максимумы для водопроводной воды (а) с использованием вейвлета Морле и того же сигнала с использованием вейвлета Хаара (Ь).
Внесение теплого термометра ту же воду уже меняет ее структуру (рис. 2 d).
Рис. 2. Точки скелета локальных максимумов
На рис. 2 изображены локальные максимумы для той же воды повторно с использованием вейвлета Морле (с) и того же сигнала с использованием
вейвлета Хаара (й). Из рис. 1-2 видно, что при использовании вевйлета Мор-ле имеется 100 % воспроизводимость результата, тогда как для этих же данных вейвлет Хаара показывает изменения.
На рис. 3 изображены локальные максимумы для водопроводной воды (3.1) и крещенской воды (3.2).
Рис. 3. Точки скелета локальных максимумов
На рис. 3. изображены локальные максимумы для водопроводной воды (1) с использованием вейвлета Морле и крещенской воды с использованием вейвлета Морле (2).
Из рис.3 видно, что локальные максимумы сигналов перераспределяются уже при использовании для анализа вейвлета Морле.
Способы визуализации вейвлет спектра Щ(а, Ь) могут быть различны. На рис. 4 и 5 приведены поверхности распределения амплитуды и плотности энергии в трехмерном пространстве в виде трехмерных графиков, где по осям х и у откладываются параметры а и Ь, а по оси г амплитудная вейвлет функция (рис. 4) и по осям х и у откладываются параметры а и Ь, а по оси г плотность энергии \ЩА(а„ Ь})2\ (рис. 5).
Рис. 4. Вейвлет спектр исследуемых сигналов
На рис. 4 (3) изображен вейвлет спектр для воды, взятой из под крана, а на рис. 4 (4) представлен вейвлет спектр для крещенской воды.
5) б)
Рис. 5. Скалограммы сигналов
На рис. 5 представлена скалограммы для воды, взятой из под крана (5.5), и скалограмма для крещенской воды (5.6).
Из рис. 1, 2 и 3 видно, что для всех объектов имеет место перераспределение локальных максимумов, которые, четко выявляют структуру анализируемого процесса. Измерения проводились по одному каналу, с одним и тем же термометром сопротивления и вторичным прибором. Данные показывают, что внесение теплого термометра в ту же воду уже меняет ее структуру. Приведенные данные показывают о возможности использования вейвлет анализа динамических сигналов для исследования структурных изменений воды после какой либо ее обработки. Обоснована возможность замены вей-влета Морле вейвлетом Хаара при обработке сигналов для увеличения чувствительности метода.
Список литературы:
1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и применения // Успехи физических наук. - 1996. - Т. 166, № 11. - С. 1145-1170.
2. Витязев В.В. Вейвлет анализ временных: учебное пособие. - Издательство С.-Петербургского университета, 2001. - 58 с.
3. Епанчинцева О.М. Методы измерений и приборы: учебное пособие. -Кемерово, 2009. - 304 с.
4. Епанчинцева О.М. Исследование сигналов при динамических измерениях температуры // XXV Международная научная конференция - ММТТ25. -Волгоград, 2012. - С. 78-96.
5. Епанчинцева О.М. Применение вейвлет анализа для исследования динамических сигналов // I Международная научно-практическая конференция: Инновации в современном мире. - М., 2012. - С. 79-94.
6. Епанчинцева О.М. Влияние изменения свойств среды на динамические измерения // IV Международная научно-практическая конференция: Вопросы технических наук. - М., 2012. - С. 91-95.
7. Епанчинцева О.М. Использование вейвлет анализа для исследования сигналов при динамических измерениях // XXVI Международная научная конференция-ММТТ26. - Н.Новгород, 2013. - С. 54-56
8. Епанчинцева О.М., Использование вейвлет анализа для исследования структурных изменений воды // XI Международная научно-практическая конференция: Инновации в современном мире. - М., 2013. - С. 16-21.
9. Епанчинцева О.М., Исследование талой воды // XV Международная научно-практическая конференция: Инновации в современном мире. - М., 2013. - С. 12-17.
10. Епанчинцева О.М. Исследование питьевой воды «Биовита» с использованием вейвлет анализа // MATERIALY IX MI^DZYNARODOW EJ NAUKOWI-PRAKTYCZNEJ KONFERENCJI «NAUKA I INOWACJA-2013». -Przemysl, 2013. - Vol. 16. - С. 3-8.
