CC BY
59
УДК 519.865
ЕВРОПЕЙСКИЙ ОПЦИОН КУПЛИ ЛУКБЭК С ПЛАВАЮЩИМ СТРАЙКОМ
У.В. Андреева, Е.Ю. Данилюк, Н.С. Демин, С.В. Рожкова*, Е.Г. Пахомова
Томский государственный университет E-mail: [email protected]; [email protected] *Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Исследуется экзотический опцион купли Европейского типа на диффузионном (B,S)-финансовом рынке, основанный на экстремальном значении цены рискового актива, по которому осуществляются выплаты дивидендов. Получены формулы, определяющие стоимости опционов, портфели (хеджирующие стратегии) и соответствующие им капиталы. Рассматриваются свойства решения.
Ключевые слова:
Финансовый рынок, опцион, платежная функция, капитал, портфель, хеджирование.
Key words:
Financial market, option, payoff function, capital, portfolio, hedging.
В [1] была обозначена область финансовой экономики, являющаяся объектом исследования авторов настоящей статьи. На основе анализа ряда научных публикаций в [1] обоснована актуальность изучения механизмов опционных контрактов и заявлена необходимость построения математической структуры для нахождения характеристик опциона. В данной работе, как ив [1], на основе диффузионной модели (B,S) - финансового рынка с выплатой дивидендов по рисковым активам рассматривается экзотический опцион, основанный на экстремальном значении цены рискового актива. Однако в качестве спотовой цены рассматривается конечное значение рискового актива ST, а в качестве страйковой цены - STmia (floating strike lookback call option [2]), что представляет собой еще один подкласс опционов с возможностью траекторного описания.
1. Постановка задачи
В [1] детально были описаны основные категории, с помощью которых формулируется задача. В предлагаемом пункте целесообразно ввести эти категории в формате перечисления без подробных обоснований.
На стохастическом базисе (Q,F,F=(Ft)t>0,P) текущие цены рисковых St и безрисковых Bt активов в течение интервала времени te [0, T определяются уравнениями
dSt = St (pdt + odWt), dBt = rBtdt, (1.1)
где Wt - стандартный винеровский процесс, S0>0, ЛeR=(-ro,+ro), <r>0, B0>0, r>0, решения которых имеют вид
S, О) = SoexP
G
О-— 1t + oW,
B , = Boexp{rt).
(1.2)
видендов по акциям в соответствии с процессом Д со скоростью 8уД.
В [1] было показано, что
Ьам>(Б (р, г, 5) | Р р-г+5) = Ьстф (г, 5) |Р),
т. е. относительно меры Рр-г+5 вероятностные свойства процесса Я (р,г,5), определяемого уравнением
dSl (р, г, 5) = $ (р, г,5)((г - 5)& + аdWl р-г+5),
совпадают со свойствами процесса S(r,5), определяемого уравнением
dSl(г,5) = Б, (г,5)((г-5)dl + аdWt), (1.3)
относительно меры Р.
Задача: сформировать хеджирующие стратегии (портфели) пС=(Р!е,у!е), а также соответствующие им капиталы ХС таким образом, чтобы выполнить платежные обязательства Хт=^Ят) относительно платежных функций
/т = /т (Б) = Бт - , (1.4)
а также найти стоимость опциона Ст=Х0.
Используемые обозначения: Р{-} - вероятность события; Е{-} - математическое ожидание; Ы{а;Ь} -плотность нормального распределения с параметрами а и Ь; 1[А] - индикаторная функция события А; интеграл без указания пределов означает интегрирование на интервале Л=(-<»,+<»);
Ф(х) = Jç(y)dy, ç(y)
1
exp
_У_
2
Инвестор в текущий момент времени обладает капиталом Х , определяемым портфелем ценных бумаг п=(в,у), причем производятся выплаты ди-
Замечание. Дополнительные условия, вносимые в платежные обязательства экзотических опционов, могут быть как в пользу покупателя, так и в пользу продавца опциона, что в первом случае должно приводить к увеличению, а во втором - к уменьшению цены опциона относительно стандартного опциона купли с платежной функцией
^Ят)=(Я—К)+. Так как шш Б, < Бт, то опцион с платежной функцией^Я) вида (1.4) в пользу по-
купателя опциона, поскольку он может быть предъявлен всегда, а стандартный - только при выполнении условия Ят>К
2. Основные результаты
Согласно (1.1)—(1.3)
Б,(г,5) = Б0ехр{а<!;|}, 4 = Щ +(И/а)1,
И = г -5- (а2/2). (2.1)
Лемма 1. Пусть Ы. = шах аЕт = шах(аЩ + Нт)
1 0<т<1 Т 0<т <1 Т
для I<т. Тогда для х>0 и Н&Яфункция распределения Р{т<х} и плотность вероятности рм(1,х)=дР{т<х}/дх имеют вид
(х - Н1)
P{Mt < x} = Ф
Gyft
( x + ht )
-exp{BX}Фl- O-Jt )•
(2.2)
pM (t, x) = ■
42nt
exp
O
(x - ht) 2a2t
2h f 2h } (x + ht) ^
-оexp {о x|Ф l-~BJT )+
1 f 2h } I (x + ht)2
+----1= exp {— x} exp '
oV2nt {о |
2o2t
(2.3)
o4t
( x + ht )
(2.4)
pm(t,x) =—^=expf-(x ht) } +
о
\j2nt
2o2t
С учетом симметрии траекторий процесса W относительно знака использование (2.2) в (2.6) дает, что
P{mt <-x} = 1 -Ф^(X + h)j +
(x - ht)
+exp { 2h х|Ф ^ oft )•
(2.7)
С учетом свойства T(z)+T(-z)=1 из (2.7) сле-
дует
P{mt <-x} = Ф| -(x + h) | +
o4t
і 2h ( x - ht )
+exp {-- x}Ф [-or
(2.8)
Так как Р{т<х} для х<0 совпадает с Р{т(<-х} для х>0, то, меняя в (2.8) х на «-х», приходим к (2.4). Формула (2.5) следует в результате дифференцирования (2.4) по х. Лемма доказана.
Пусть
di(t ) = [ LOT+O> j'T-t, d,m=f—-°)>/F-7, a=2(oii,
V о 2 ) о
(2.9)
Вывод формулы (2.2) проводится аналогично выводу формулы (5.9) в [3] и поэтому не приводится. Формула (2.3) - результат дифференцирования (2.2) по х.
Лемма 2. Пусть т. = шіп аЕт = шіп(аЖт + Ьх)
1 0<т</ 0<т< і
для 1<Т. Тогда для х>0 и НєЯфункция распределения Р{т<х} и плотность вероятности рт(¡,х)=дР{т<х}/дх имеют вид
Р{т, <х} = Ф| (х-Ь) | +
а й1, ё2 определяются формулами (2.9) при /=0.
Теорема 1. Цена опциона, капитал и портфель в случае платежной функции ^Я) определяются формулами:
СТ = S0
X = St
{[є-яФ(4) - eST Ф(^)] + І
{+a_1[e-iT Ф(^2) - e-äT Ф(-^)]]
[e-S(T-t )Ф(,d1 (t )) - e-ä (T-t )Ф(^2 (t))] '
+a "e-S(T-t)Ф(d2(t)) - "
_-e-S(T -t )Ф(-d1(t ))^
(2.10)
(2.11)
+o^exp {о *} Ф f (Ог У
+obexp{fx}exp{-i^}. (Z5)
Доказательство: для х>0 последовательно имеем P{mt < - x} = P{mm(aWT + hr) < -x} =
0<T<t
= 1 -P{max(-aWz-hz) < x}. (2.6)
0<T<t
7i=[e-s(T-‘ Mdm - es(r Md2m+
+a-Vr (Т-,)Ф№(0) - e-r (T-t )®(-d1(t))l, (2.12)
ß, = 0. (2.13)
Доказательство: Поскольку платежная функция fT(S) является естественной [3, 4], то
CT=exp{-rT}EfT (S(r,S))}. Из (1.4) следует
Ct = e-rTE{fT (S (r, 5))} =
= e-rTE{ST(r,5) - min S, (r, 5)}. (2.14)
0<,<T
Согласно (1.1)—(1.3)
ST(r,5) = S0exp{( r-5- (a2/2))T +aWT}.
Тогда из (2.14) с учетом (2.1) и леммы 2 получаем, что
Ct S0e
e-8TE
exp
r-8 --(a2/2) +aWT
T +
- E{exp{mT}}
. (2.15)
Так как E{exp{aWT}}=a2/2 [1-3], то из (2.15) с учетом (2.5) следует, что
с - ч
CT s0
o
e-8T - e-rT J exp {x}pm (T, x)dx
(2.16)
Использование (2.5) в (2.16) дает, что
Ct = So[e-8T - e-rT (Ji + J2 + J)], (2.17)
Ji = W5^T 1 expWexp f dx• l2'181
J2 =f J exp ||1 + f I x\ Ф
2h
(x + hT)
aJT
dx =
=r
a2 2 •
(2.19)
J =-
1
42ПТ
a
I exp ]|1+ah) x\ exp
(x + hT )2 2a2 T
dx.
(2.20)
ждению X^N{-hT;a2T} имеем, что c=1+[2h/a2], b=0. Тогда применение (1.6) из [1] к (2.20) дает, что
J3 = E jexp ji1 +ah )X \ I [ X < 0]| =
, 2h ^ 1L 2h
= exp\-hTI 1 +—г j + — I 1 +
хФ
a2) 2
hT-11 + Ia2T 1/aVT
a
a
(2.22)
В (2.18) согласно Утверждению для Х^ЩНтат имеем, что с=1, Ь=0. Тогда применение формулы (1.6) из [1] к (2.18) дает, что
J1 = Е{ехр{Х}1[X < 0]} =
= ехр{ИТ + (а2Т/2)}Ф(-( НТ + а2Т )/а>/Т). (2.21)
Использование (2.1), (2.5) в (2.21) приводит к тому, что /1=ехр{(г-5)7)ФЦ). В (2.20) согласно Утвер-
Использование (2.1), (2.5) в (2.22) приводит к тому, что
^ = J3 = ехр{(г -5)Т }Ф(-d1). (2.23)
Интегрирование по частям в (2.19) с учетом (2.20) дает, что
J2 = [а2/(а2 + 2Н)][Ф((Н/а)л/Т) - Jъ}. (2.24)
Подстановка (2.24) в (2.19) с использованием (2.1), (2.5) приводит к
J2 = (1 -а~')[Ф^2)-ехр{(г-5)Т}Ф(-d1)]. (2.25)
Подстановка (2.23), (2.25) в (2.17) с учетом свойства Ф(г)+(-г)=1 приводит к (2.10). Формулы (2.11)—(2.13) следуют из (2.10). Теорема доказана.
Выводы
Согласно Теореме 1 в случае опционов с платежной функцией УГ(Я) капитал формируется только на основе рискового актива (^¿0, Д=0), а безрисковый актив присутствует лишь виртуально в виде зависимости цены опциона от процентной ставки г, и в этом смысле подобный тип опционов является вырожденным. Это свойство объясняется отсутствием такого внешнего фактора, как договорная цена исполнения опциона К, и стоимость опциона определяется только эволюцией цены опциона Я на всем временном интервале /е[0,7] жизни опциона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреева У.В., Данилюк Е.Ю., Рожкова С.В., Пахомова Е.Г Применение вероятностных методов к исследованию экзотических опционов купли европейского типа на основе экстремальных значений цены рискового актива // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 6. -С. 6-12.
2. Buchen P., Konstandatos O. A new method of pricing lookback options // Mathematical Finance. - 2005. - V. 15. - №2. -P. 245-259.
3. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т 39. - Вып. 1. - С. 80-129.
4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - М.: Фазис, 1998. - 544 с.
Поступила 05.02.2012 г.
