Научная статья на тему 'Европейский опцион купли лукбэк с плавающим страйком'

Европейский опцион купли лукбэк с плавающим страйком Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
283
59
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФИНАНСОВЫЙ РЫНОК / ОПЦИОН / ПЛАТЕЖНАЯ ФУНКЦИЯ / КАПИТАЛ / ПОРТФЕЛЬ / ХЕДЖИРОВАНИЕ / FINANCIAL MARKET / OPTION / PAYOFF FUNCTION / CAPITAL / PORTFOLIO / HEDGING

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Андреева Ульяна Викторовна, Данилюк Елена Юрьевна, Демин Николай Серапионович, Рожкова Светлана Владимировна, Пахомова Елена Григорьевна

Исследуется экзотический опцион купли Европейского типа на диффузионном (B,S)-финансовом рынке, основанный на экстремальном значении цены рискового актива, по которому осуществляются выплаты дивидендов. Получены формулы, определяющие стоимости опционов, портфели (хеджирующие стратегии) и соответствующие им капиталы. Рассматриваются свойства решения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Андреева Ульяна Викторовна, Данилюк Елена Юрьевна, Демин Николай Серапионович, Рожкова Светлана Владимировна, Пахомова Елена Григорьевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The authors consider the exotic purchase options of European type on diffusion (B, S)-financial market based on extreme values of risk assets price on which the dividends are paid. The authors have obtained the formulas determining the options prices, portfolios (hedging strategies) and capitals conforming to them. The paper considers the properties of the solution.

Текст научной работы на тему «Европейский опцион купли лукбэк с плавающим страйком»

УДК 519.865

ЕВРОПЕЙСКИЙ ОПЦИОН КУПЛИ ЛУКБЭК С ПЛАВАЮЩИМ СТРАЙКОМ

У.В. Андреева, Е.Ю. Данилюк, Н.С. Демин, С.В. Рожкова*, Е.Г. Пахомова

Томский государственный университет E-mail: egi@sibmail.com; daniluc_elena@sibmail.com *Томский политехнический университет E-mail: rozhkova@tpu.ru

Исследуется экзотический опцион купли Европейского типа на диффузионном (B,S)-финансовом рынке, основанный на экстремальном значении цены рискового актива, по которому осуществляются выплаты дивидендов. Получены формулы, определяющие стоимости опционов, портфели (хеджирующие стратегии) и соответствующие им капиталы. Рассматриваются свойства решения.

Ключевые слова:

Финансовый рынок, опцион, платежная функция, капитал, портфель, хеджирование.

Key words:

Financial market, option, payoff function, capital, portfolio, hedging.

В [1] была обозначена область финансовой экономики, являющаяся объектом исследования авторов настоящей статьи. На основе анализа ряда научных публикаций в [1] обоснована актуальность изучения механизмов опционных контрактов и заявлена необходимость построения математической структуры для нахождения характеристик опциона. В данной работе, как ив [1], на основе диффузионной модели (B,S) - финансового рынка с выплатой дивидендов по рисковым активам рассматривается экзотический опцион, основанный на экстремальном значении цены рискового актива. Однако в качестве спотовой цены рассматривается конечное значение рискового актива ST, а в качестве страйковой цены - STmia (floating strike lookback call option [2]), что представляет собой еще один подкласс опционов с возможностью траекторного описания.

1. Постановка задачи

В [1] детально были описаны основные категории, с помощью которых формулируется задача. В предлагаемом пункте целесообразно ввести эти категории в формате перечисления без подробных обоснований.

На стохастическом базисе (Q,F,F=(Ft)t>0,P) текущие цены рисковых St и безрисковых Bt активов в течение интервала времени te [0, T определяются уравнениями

dSt = St (pdt + odWt), dBt = rBtdt, (1.1)

где Wt - стандартный винеровский процесс, S0>0, ЛeR=(-ro,+ro), <r>0, B0>0, r>0, решения которых имеют вид

S, О) = SoexP

G

О-— 1t + oW,

B , = Boexp{rt).

(1.2)

видендов по акциям в соответствии с процессом Д со скоростью 8уД.

В [1] было показано, что

Ьам>(Б (р, г, 5) | Р р-г+5) = Ьстф (г, 5) |Р),

т. е. относительно меры Рр-г+5 вероятностные свойства процесса Я (р,г,5), определяемого уравнением

dSl (р, г, 5) = $ (р, г,5)((г - 5)& + аdWl р-г+5),

совпадают со свойствами процесса S(r,5), определяемого уравнением

dSl(г,5) = Б, (г,5)((г-5)dl + аdWt), (1.3)

относительно меры Р.

Задача: сформировать хеджирующие стратегии (портфели) пС=(Р!е,у!е), а также соответствующие им капиталы ХС таким образом, чтобы выполнить платежные обязательства Хт=^Ят) относительно платежных функций

/т = /т (Б) = Бт - , (1.4)

а также найти стоимость опциона Ст=Х0.

Используемые обозначения: Р{-} - вероятность события; Е{-} - математическое ожидание; Ы{а;Ь} -плотность нормального распределения с параметрами а и Ь; 1[А] - индикаторная функция события А; интеграл без указания пределов означает интегрирование на интервале Л=(-<»,+<»);

Ф(х) = Jç(y)dy, ç(y)

1

exp

_У_

2

Инвестор в текущий момент времени обладает капиталом Х , определяемым портфелем ценных бумаг п=(в,у), причем производятся выплаты ди-

Замечание. Дополнительные условия, вносимые в платежные обязательства экзотических опционов, могут быть как в пользу покупателя, так и в пользу продавца опциона, что в первом случае должно приводить к увеличению, а во втором - к уменьшению цены опциона относительно стандартного опциона купли с платежной функцией

^Ят)=(Я—К)+. Так как шш Б, < Бт, то опцион с платежной функцией^Я) вида (1.4) в пользу по-

купателя опциона, поскольку он может быть предъявлен всегда, а стандартный - только при выполнении условия Ят>К

2. Основные результаты

Согласно (1.1)—(1.3)

Б,(г,5) = Б0ехр{а<!;|}, 4 = Щ +(И/а)1,

И = г -5- (а2/2). (2.1)

Лемма 1. Пусть Ы. = шах аЕт = шах(аЩ + Нт)

1 0<т<1 Т 0<т <1 Т

для I<т. Тогда для х>0 и Н&Яфункция распределения Р{т<х} и плотность вероятности рм(1,х)=дР{т<х}/дх имеют вид

(х - Н1)

P{Mt < x} = Ф

Gyft

( x + ht )

-exp{BX}Фl- O-Jt )•

(2.2)

pM (t, x) = ■

42nt

exp

O

(x - ht) 2a2t

2h f 2h } (x + ht) ^

-оexp {о x|Ф l-~BJT )+

1 f 2h } I (x + ht)2

+----1= exp {— x} exp '

oV2nt {о |

2o2t

(2.3)

o4t

( x + ht )

(2.4)

pm(t,x) =—^=expf-(x ht) } +

о

\j2nt

2o2t

С учетом симметрии траекторий процесса W относительно знака использование (2.2) в (2.6) дает, что

P{mt <-x} = 1 -Ф^(X + h)j +

(x - ht)

+exp { 2h х|Ф ^ oft )•

(2.7)

С учетом свойства T(z)+T(-z)=1 из (2.7) сле-

дует

P{mt <-x} = Ф| -(x + h) | +

o4t

і 2h ( x - ht )

+exp {-- x}Ф [-or

(2.8)

Так как Р{т<х} для х<0 совпадает с Р{т(<-х} для х>0, то, меняя в (2.8) х на «-х», приходим к (2.4). Формула (2.5) следует в результате дифференцирования (2.4) по х. Лемма доказана.

Пусть

di(t ) = [ LOT+O> j'T-t, d,m=f—-°)>/F-7, a=2(oii,

V о 2 ) о

(2.9)

Вывод формулы (2.2) проводится аналогично выводу формулы (5.9) в [3] и поэтому не приводится. Формула (2.3) - результат дифференцирования (2.2) по х.

Лемма 2. Пусть т. = шіп аЕт = шіп(аЖт + Ьх)

1 0<т</ 0<т< і

для 1<Т. Тогда для х>0 и НєЯфункция распределения Р{т<х} и плотность вероятности рт(¡,х)=дР{т<х}/дх имеют вид

Р{т, <х} = Ф| (х-Ь) | +

а й1, ё2 определяются формулами (2.9) при /=0.

Теорема 1. Цена опциона, капитал и портфель в случае платежной функции ^Я) определяются формулами:

СТ = S0

X = St

{[є-яФ(4) - eST Ф(^)] + І

{+a_1[e-iT Ф(^2) - e-äT Ф(-^)]]

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

[e-S(T-t )Ф(,d1 (t )) - e-ä (T-t )Ф(^2 (t))] '

+a "e-S(T-t)Ф(d2(t)) - "

_-e-S(T -t )Ф(-d1(t ))^

(2.10)

(2.11)

+o^exp {о *} Ф f (Ог У

+obexp{fx}exp{-i^}. (Z5)

Доказательство: для х>0 последовательно имеем P{mt < - x} = P{mm(aWT + hr) < -x} =

0<T<t

= 1 -P{max(-aWz-hz) < x}. (2.6)

0<T<t

7i=[e-s(T-‘ Mdm - es(r Md2m+

+a-Vr (Т-,)Ф№(0) - e-r (T-t )®(-d1(t))l, (2.12)

ß, = 0. (2.13)

Доказательство: Поскольку платежная функция fT(S) является естественной [3, 4], то

CT=exp{-rT}EfT (S(r,S))}. Из (1.4) следует

Ct = e-rTE{fT (S (r, 5))} =

= e-rTE{ST(r,5) - min S, (r, 5)}. (2.14)

0<,<T

Согласно (1.1)—(1.3)

ST(r,5) = S0exp{( r-5- (a2/2))T +aWT}.

Тогда из (2.14) с учетом (2.1) и леммы 2 получаем, что

Ct S0e

e-8TE

exp

r-8 --(a2/2) +aWT

T +

- E{exp{mT}}

. (2.15)

Так как E{exp{aWT}}=a2/2 [1-3], то из (2.15) с учетом (2.5) следует, что

с - ч

CT s0

o

e-8T - e-rT J exp {x}pm (T, x)dx

(2.16)

Использование (2.5) в (2.16) дает, что

Ct = So[e-8T - e-rT (Ji + J2 + J)], (2.17)

Ji = W5^T 1 expWexp f dx• l2'181

J2 =f J exp ||1 + f I x\ Ф

2h

(x + hT)

aJT

dx =

=r

a2 2 •

(2.19)

J =-

1

42ПТ

a

I exp ]|1+ah) x\ exp

(x + hT )2 2a2 T

dx.

(2.20)

ждению X^N{-hT;a2T} имеем, что c=1+[2h/a2], b=0. Тогда применение (1.6) из [1] к (2.20) дает, что

J3 = E jexp ji1 +ah )X \ I [ X < 0]| =

, 2h ^ 1L 2h

= exp\-hTI 1 +—г j + — I 1 +

хФ

a2) 2

hT-11 + Ia2T 1/aVT

a

a

(2.22)

В (2.18) согласно Утверждению для Х^ЩНтат имеем, что с=1, Ь=0. Тогда применение формулы (1.6) из [1] к (2.18) дает, что

J1 = Е{ехр{Х}1[X < 0]} =

= ехр{ИТ + (а2Т/2)}Ф(-( НТ + а2Т )/а>/Т). (2.21)

Использование (2.1), (2.5) в (2.21) приводит к тому, что /1=ехр{(г-5)7)ФЦ). В (2.20) согласно Утвер-

Использование (2.1), (2.5) в (2.22) приводит к тому, что

^ = J3 = ехр{(г -5)Т }Ф(-d1). (2.23)

Интегрирование по частям в (2.19) с учетом (2.20) дает, что

J2 = [а2/(а2 + 2Н)][Ф((Н/а)л/Т) - Jъ}. (2.24)

Подстановка (2.24) в (2.19) с использованием (2.1), (2.5) приводит к

J2 = (1 -а~')[Ф^2)-ехр{(г-5)Т}Ф(-d1)]. (2.25)

Подстановка (2.23), (2.25) в (2.17) с учетом свойства Ф(г)+(-г)=1 приводит к (2.10). Формулы (2.11)—(2.13) следуют из (2.10). Теорема доказана.

Выводы

Согласно Теореме 1 в случае опционов с платежной функцией УГ(Я) капитал формируется только на основе рискового актива (^¿0, Д=0), а безрисковый актив присутствует лишь виртуально в виде зависимости цены опциона от процентной ставки г, и в этом смысле подобный тип опционов является вырожденным. Это свойство объясняется отсутствием такого внешнего фактора, как договорная цена исполнения опциона К, и стоимость опциона определяется только эволюцией цены опциона Я на всем временном интервале /е[0,7] жизни опциона.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреева У.В., Данилюк Е.Ю., Рожкова С.В., Пахомова Е.Г Применение вероятностных методов к исследованию экзотических опционов купли европейского типа на основе экстремальных значений цены рискового актива // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 6. -С. 6-12.

2. Buchen P., Konstandatos O. A new method of pricing lookback options // Mathematical Finance. - 2005. - V. 15. - №2. -P. 245-259.

3. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т 39. - Вып. 1. - С. 80-129.

4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - М.: Фазис, 1998. - 544 с.

Поступила 05.02.2012 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.