Применение вероятностных методов в исследовании Европейского опциона Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Щербаков Р.Н. Щербаков Н.Р. Построение репера неголоном-ной поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2005. -Т 308. - № 3. - С. 11-16.

2. Кованцов Н.И. Теория комплексов. - Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1963. - 292 с.

3. Щербаков Р.Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. - Томск: Изд-во ТГУ, 1973. - 236 с.

4. Кованцов Н.И. К теории неголономных комплексов // Докл. Второй сибирской конф. по матем. и мех. - Томск, 1962. -С. 85-87.

5. Щербаков Р.Н. Эквиаффинная теория комплексов прямых // Докл. научной конф. по теоретич. и прикладным вопросам математики и механики. - Томск, 1960. - С. 82-83.

6. Щербаков Р.Н. Основной цилиндроид линейчатого комплекса // Известия вузов. Математика. - 1962. - № 3 (28). -С. 177-178.

7. Гринцевичюс К.И. О неголономном комплексе // Литовский математический сб. - 1969. - Т. 9. - № 1. - С. 85-99.

8. Близникас В.И. Некоторые вопросы теории неголономных комплексов // Труды геометрического семинара. - М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974. - № 5. - С. 69-96.

9. Барыктабасов Э.Д. К эквиаффинной теории неголономных комплексов. О связи неголономных конгруэнций Ж с точками неголономности // Труды Томского ун-та. Геометрический сб.

- 1975. - Т. 258. - № 15. - С. 122-151.

10. Печников И.А. Репераж сопряжённых пар пфаффовых подмногообразий // Геометрический сб. - 1978. - № 19. -С. 122-126.

11. Щербаков Р.Н. О неголономных конгруэнциях Ж// Доклады АН СССР. - 1961. - Т. 138. - № 4. - С. 802-804.

12. Кованцов Н.И. Линейчато-геометрический аналог триортого-нальной системы поверхностей // Доклады АН СССР. - 1957.

- Т. 113. - № 3. - С. 497-500.

13. Барыктабасов Э.Д. Неголономные конгруэнции в неголономном комплексе // Тр. Томского ун-та. Геометрический сб. -1974. - Т. 255. - № 14. - С. 172-191.

14. Широков П.А., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959. - 319 с.

УДК 519.865

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ В ИССЛЕДОВАНИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА

А.В. Аникина, Н.С. Демин*

Томский политехнический университет *Томский государственный университет E-mail: [email protected]

Проводится исследование стоимости опциона, портфеля и капитала для европейского опциона купли с последействием при наличии выплат по дивидендам в случае непрерывного времени.

1. Постановка задачи

Рассмотрение задачи проводится на стандартном вероятностном пространстве (^,^,ц=№)/>о,Р) [1, 2]. Через робозначается сужение меры р на На финансовом рынке обращаются рисковые (акции) и безрисковые (банковский счет, государственные облигации) активы, текущие цены которых 3, и Б, в течение интервала времени ,е[0,7] определяются уравнениями из [3, 4]

СБ1 = (рЛ + odWt), СВг = гВ¡Л, (1.1)

где Ж, - стандартный винеровский процесс, ст>0, г>0, £0>0, Б0>0, решение которых имеет вид

$ = $,ехр{(р-(ст2/2)), + аЩ}, В = В0ехр{^}. (1.2)

Считаем, что текущее значение капитала инвестора X, определяется в виде [1, 2]

х, = р,в, +у, $, (1.3)

где щ=(Р,у) пара - измеримых процессов, составляющая портфель ценных бумаг инвестора. За обладание акцией происходят выплаты дивидендов в соответствии с процессом Б, со скоростью 8/Д, пропорциональной рисковой части капитала с коэффициентом 8, таким, что 0<8<г, т.е.

dDt = 8у1Б1Л. (1.4)

Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами происходит в виде

сХ, = Р'Щ +У'($' + сЮ,. (1.5)

Из (1.3) следует, что

сх, = Р,Щ +Ъс$>, + В,СР,+ Б,СЪ . (1.6)

Тогда согласно (1.5), (1.6), Б^Р+5^Уг^Б, что является балансовым соотношением, заменяющим условие самофинансируемости в стандартной задаче [3]. Из (1.1), (1.3)—(1.5) следует, что капитал определяется уравнением

СХ, = гХ,С, + ау^СИ р-г+8,

Ир-г+8 = И, + (р-г + 8),/а. (1.7)

Далее нам потребуется результат, связанный с преобразованием мер вида

с р,* = г с р,, (1.8)

математические ожидания относительно которых Е и Е* соответственно.

Теорема Бфсанова [1, 2]. Пусть ^ - диффузионный процесс, определяемый уравнением

dYt = b(t ,Yt )dt + dWt, где Wt - винеровский процесс. Пусть

Г t I t

Zt = exp I -J b(r, YT) dWT — J b 2(r, Yx)dx

I 0 2 0

причем

EZ, = I.

(1.9)

Тогда процесс У является винеровским относительно меры Р*.

Пусть УгЖ-+8. Согласно (1.7) dYt = СИ--г(8 = ((--г (8)/а)С, ( СИ, . (1.10)

Так как, согласно (1.10), г+8)/а, то

а 2 \ а

Так как

Е ехр{аИг1} = ехр{(а2,)/2},

то Е2рп+=1, т.е. условие (1.9) для выполняется.

Пусть Р*=Г-+8, определяемая преобразованием сСР--+ =И-^Г+8СР,, и пусть Е*=Еи-(8. Тогда, согласно теореме Гирсанова, процесс Ж--*8 вида (1.7) является винеровским относительно меры Р-*8, т.е. для От,

Ef‘-(W'+8—WГr+i\FI)=0, Е^а^Т"- Ж-8]2^- т

Таким образом, обозначая через /аЩР) и ХаЦ^Р-8) свойства процессов относительно Ри Р-8, получаем

1ам>(Ир-г(8 |рр-г+8) = Ьст(И |Р).

Тогда, согласно (1.2), (1.7), (1.11),

Ьам($;, < Т | Рр-г+8) =

= Law(S0 ехр{(- - (а2/2)), (

+аИ,};, < Т |рр-г(8) =

= Law(S0 ехр{(г -8 - (а2/2)),-

(1.11)

+aWtM-r+5}; t < T

’) =

В данной работе: 1) находится формула, определяющая рациональную (справедливую) стоимость опциона 0(8), как начального капитала Х0=х, при котором достигается выполнение платежного условия; 2) находятся формулы, определяющие эволюцию текущего капитала Х,(8) и портфеля п(8)=(Д(8),7((8)); 3) исследуются свойства решения.

2. Стоимость опциона

Поскольку платежная функция вида (1.14) является естественной, то [3]

Ст (8) = е-гТ Е /Т & (г ,8)). (2.1)

Согласно (1.1), (1.2), (1.12), (1.13)

$\(г,8) = $'0 ехр{(г -8 - (а2/2)),(аИ,} =

= $0ехр{а^,} (2.2)

£, = И, ((И,)/а, к = г -8- (а2 ¡2). (2.3)

Далее Л=(-<»,+<»), Ы[а;Ь} - нормальное ра-

спределение с параметрами а и Ь, а Ф(х) - функция Лапласа, т.е. (Ф(х)=Ж{0;1})

Ф(x) = -2= J yll2dy.

42л

Лемма 1 [2]. Пусть rI=inf{t>0:aWt>x}, xeR. Тогда процесс W* такой, что

&w; =

* = / TWt, t <i = \2x-aWt, t

= Law(S0exp{(г-8-(а2/!)), (аИ1 };, < Т |Р). (1.12)

Таким образом, Zaw(S(/ц,r,5)|P--'+8)=Zaw(S(/ц,r,5)|P), т.е. вероятностные свойства процесса S(-,r,8), определяемого уравнением

С$1 (-, г,8) = (-, г,8)((г -8)Л (аСИ, --г(8),

относительно Р-5 совпадают со свойствами процесса S(r,8), определяемого уравнением

С$1 (г,8) = (г,8)(( г-8) Л (аСЩ), (1.13)

относительно меры Р.

Задача: сформировать портфель л(3)=(Р(3),у(5)) таким образом, чтобы формирование капитала согласно (1.3) в конечный момент времени Т обеспечило выполнение платежного условия Х=^, где

^ ($) = $Т - шт $ (1.14)

Т Т 0<1<Т 1

является платежной функцией с последействием в случае опциона купли (колл - опцион) [3].

является винеровским процессом.

Лемма 2. Пусть ф(у,£)>0 - биномиальная функция событий. Тогда

Еф(шт(аЖ_ (кт),аИ (к,) =

0<т <,

= Е ехр{(к/а)И, - (к2/2а2),}<р(тпаИт,аЖ1). (2.4)

0<т <,

Доказательство. Относительно теоремы Гирсанова У=4, Ь(,,У)=Ь( №=Н/а, ^=ехР{-(^/а) Ж-(И2/2а2),}. Тогда последовательно с учетом (1.8), (2.3) получаем

Еф(шт(а1¥т ( кт),аИ1 (к,) = Е',г-1^(тгп. а^ ,аЕ,1) =

т <, т <

= Е* ехр{—И1 (-И—г ,}ф(тт а%т ,а%,) = а 2а т«

= Е* ехр{0а(£,,-а,) (а,}ф(тт а^а) = а а 2а *

= Е* ехр{-0--а,}ф(тта^,а£,) = а 2а <,

а,- а

= E exp{hWt t}v(mm tWt, tW, ),

т.е. пришли к (2.4). Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть для t<T

m = min = min(aW_ + kr). (2.5)

0< t <t 0< t <t

Тогда для x<0 и heR функция распределения ¥(mt<x) и плотность вероятности p(t,x)=dP(mt<x)/dx имеют вид

P(m < x) = P(min—W_ + Ht) < x) =

0<T<t

, , -x + Ht Л Г 2Hx If x + Ht Л ^ ^

= Ф|-------— I - exp{ — }ф|----------, (2.6)

—

It

— I V —

Tyft

, ч 1 f (-x + Ht)2

p(l ■x)’-Шexp {"^-TI+

2H Г 2Hx 1 f x + Ht Л

+T2exp {— }ф[т/г Г

+—^exp(^exp(x+ h!)2 |. (2.7)

ryj2nt

2— t

— 2t I ' T<<

V - — . .

t 2t I T<‘

= E exp{ — W* --—-1 }I(min —WT* < x—W* > x). (2.10)

— 2—2

T

I(min—W* < x—W* > x) =

T<t

= I(min—WT < x—Wt < x) = I—Wt < x),

T <t

и из (2.10), (2.11) следует

P(min—WT + Ht) < x—Wt + Ht > x) =

T <t

= exp[—-T,}Eexp{--W<}I—W> < x)- (2.12) Так как I—W<x)=I( W<x/—)), a W~N{0;t}, то Eexp {-—Wt}I—Wt < x) =

jexp[— } {-2} dy. (H3)

1 x It J

Доказательство. Пусть A и В - некоторые события. Тогда очевидно, что А=АПВ+АПВ и А=В+А^В, если ВсА. Пусть

A = (min—WT + Ht) < x), B = —Wt + ht < x).

T<t

Так как ВсА, то

P(min(TWT + Ht) < x) = P—Wt + ht < x) +

+P(min—WT + Ht) < x—W + ht > x). (2.8)

T<t

Так как —W~N{0,—t}, то

P(tW, + ht < x) = P(tW, < x - ht) =

-t x-ht

= -2- J e-’’l2T"dy =

—42nt -L

x-ht

= -=L -t e~zI/2dz = Ф f J • (2.9)

4-П -L 1 -ft J

Пусть cp(mm—^T—^t) = I(min—^T < x—^t > x), где

T<t T<t

1(D) - индикатор, т.е. El(D)=P(D). Тогда с учетом (2.4) и Леммы 1

P(min—WT + Ht) < x, —Wt + ht > x) =

T<i

= Ety(m\n—E,T—^t) =

T<t

Г h h2 1

= Eexp{— Wt------- 1 }^(min —WT—Wt) =

[t 2- } T<>

Г h h2 1 .

= E exp {— Wt--^—-1} I (min —WT< x—Wt > x) =

Утверждение 1. Если

J =——= J exp{cx}exp{-(x - a)2 /ld}dx, (2.14)

c 2d

то

J = exp {ca +-^- }x

[ x - (a + cd )]2

dx. (2.15)

Так как аЩ<х для 1<т„ то на интервале ,е[0,тх], где Ж*=Ж, события {аЖ{>х} и {штаЖ<х} являются несовместными. Таким образом,т аЖ*<2х-аЩ. Тогда

[ кт„* к2 ] ехр- 2а,Г

= ехр I 2—х-Л-, | ехр |-—ц, }, (2.11)

42лС : 1 [ 2С

Пусть Х~Ща;С}. Тогда

Е ехр{сХ}1 (X < Ь) =

= ехр{са ((с 2с12)}Ф((Ь - (а ( сС))/4С), (2.16)

Е ехр{сХ}1 (X > Ь) =

= ехр{са ((с2С/2)}Ф(- (Ь - (а( сС))/4С). (2.17)

Представление (2.15) для / следует из (2.14) в результате элементарных преобразований, (2.16) следует непосредственно из (2.14), (2.15), а (2.17) -из (2.16) с учетом того, что 1-Ф(г)=Ф(-г). Применение (2.16) к (2.13) дает, что Е ехр{-(к/а)И}1 (аИ, < х) =

= ехр{к2,/ 2а2}Ф(( х ( к,)/а 4,). (2.18)

Использование (2.18) в (2.12) дает, что

Р(тт(а1Ит (кт) < х,аИ (к, > х) =

т<,

= ехр{2кх/а2}Ф(( х ( к,)/ а4,). (2.19)

Подстановка (2.9), (2.19) в (2.8) приводит к (2.6), откуда непосредственно следует (2.7). Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть

с,(8,,) = [г^(а^^Т-Г, (2.20)

С2(8,,) = ^ г^-аЛ^4Т-1. (2.21)

Тогда

Ст(8) = $0{е~8ТФ(С1(8)) - е~гТФ(С2(8)) (

—

е [Ф(d-(5))-ег5 Ф(-dt(5))]}, (2.22) 2(r -5)

где dl(5)=dl(5,t), d2(5)=d2(5,t) при t=0.

Доказательство. Из (2.1) с учетом (1.14), (2.2), (2.3), (2.5) последовательно получаем

CT (S) = e r E(ST(r,S) — min S,(r, S— =

T T 0<t<T

= se

e~STEexp\aWT +1 r----IT \ —

a

—E exp <{ min

aW, +| r — S — — 11

2

■ К

= S0e-rT [e~S1erl — Ee"

Итак,

CT (S) = S0[e ~ST — e~rT Ee"T ] =

= S0

e ST — e rT j exp(T, x)dx

(2.23)

Используя (2.7) в (2.23), получаем Ct (S) =

1

GyflnT

= So \e~ST — e—T

(—x + hT )2 2a2T

2h 0 12hx I f x + hT ,

+—— j exp {—— + x¡> Ф |----— I dx +

a

a

a

VT

a

i o

2ПТ Jexp

42nT

(x + hT )2 2a2T

(2.24)

—e

— r (T—t),

4>(d2(S, t)) + -

a

2(r — S)

xe-r (T—t) [Ф^2 (S, t)) — e(r—S)(T —t )Ф (— d1 (S, t))]}, (3.1)

Y, (S) = e-S(T—t ^(S, t)) —

2

, — r (T—t)

Ф^2^, t)) +

a

2(r —S)

xe-r (T—t ^(d^S, t)) — e<r—S)(T —t }Ф (— d1(S, t))], (3.2)

P, (S) = 0. (3.3)

Доказательство. Из [3] следует (S) = e-'(T —)E[St (S(r,S)) Is, ] = e-'T-)F- — (S X (3.4)

Y.iS) = e----(SJ,

ds

в S = B

BT

Ft —t (St ) — St dFSSl(S ) ds

(3.5)

(3.6)

Из (2.1) и (3.4) следует, что вычисления по нахождению ВТ_(я) аналогичны вычислениям по нахож-

дению Cj(S) с заменой S0 на s, Tна (T—t) и Tна лlT-t. Таким образом, получаем

Ft—t (s) = s{e-S(T—t )Ф(di(S, t)) —

2

e-r (T—t) Ф^ 2(S, t)) + -

2(г -8)

хе-г (Т - >[Ф (С2(8,,)) - е(г-8yr-t >Ф (- Сг(8,,))]}. (3.7)

Использование (3.7) в (3.4)-(3.6) приводит к (3.1)—(3.3). Теорема доказана.

4. Свойства решения

I. Утверждение 2 [5]. В случае стандартного опциона купли, когда^Я)=тах^—К,0), где К - оговоренная цена продажи владельцем опциона рискового актива в момент исполнения Т, решение имеет вид:

СТ(8) = $0е~8ТФ(С1(8))- Ке-ТФ(С2(8)), (4.1)

Х,8) = $1е-8(Т-‘)Ф(С1(8,,)) -Ке-(Т- )Ф(С2(8,,)), (4.2)

(8) = е8 " )ф ^(8,,)),

Pt (S) = -( k/Bt Ф 2(S, t)),

d1(S, t) = [in( sjk ) +

+(r — S + (a2/2))(T — t)]lay[T—t,

(4.3)

(4.4)

Вычисление интегралов в (2.24) (см. Приложение) приводит к (2.22). Теорема доказана.

3. Портфель и капитал

Теорема 2. Капитал Х,(8) и портфель ж,(8)=(у,(8),Р(8)) определяются формулами

Х, (8) = $ {е^5(т-t )Ф(С1(8,,)) -

2

d2(S, t) = [ln( S,/K) +

+(r — S + (a2/2))(T — t)]lay[T—t. (4.5)

Сравним Cj(S) и CT(S) при K=Sfl, когда цена исполнения в случае стандартного опциона равна начальной цене рискового актива. Из (2.20), (2.21), (4.4) и (4.5) следует, что в этом случае i/1(5)=d1(5), d2(S)=d2(S) и формула (4.1) принимает вид

C т (S) = So [e-STФ(di (S)) — e^rT Ф( d2 (S))]. (4.6)

Тогда согласно (2.22), (4.8)

a2

CT (S) = C T (S) + S0

хе-'1 [Ф (С2 (8)) - е'-8)1 Ф (- С^))] = С т 88) (А Ст (8).

Из (2.20), (2.21) и свойства Ф(у2)>Ф(у1) при у2>у1 следует, что АСТ(8)>0, т.е. СТ(8)>СТ(8). Следовательно, при K=S0 цена опциона купли с последействием всегда больше цены стандартного опциона купли. Очевидно, что при цене исполнения опциона, равной тир St, риск его неисполнения ниже, нежели при цене исполнения K=S0. Поскольку за меньший риск необходимо больше платить, то этим и объясняется полученное свойство.

II. Если в случае стандартного опциона капитал формируеСтся из рисковых и безрисковых активов (С(8)^0,в(8)^0), см. (4.3), причем безрисковые активы берутся в долг (в(8)<0), то в случае опциона с последействием капитал формируется только на основе рискового актива pt(5)=0. Последнее объясняется тем, что платежная функция зависит только от цены рискового актива.

x

III. Теорема 3. Асимптотические свойства решения заключаются в следующем:

_8(T_t) _ е-т (Т-< ). llm „ (8) _ e-S<r _ >. ст—ад

ЩТ-t) _ e-r (Т _t )).

llm X. (8) _ 0; llm X. (8) _ад;

St —0 St —ад .

3. llmCT(8) _ S0(e~5T _e_T); llm CT (8) _ S0e~

1. llm Yt(T) _ e ( ) _ er( ; llm yt(8) _ e

ст—0 - ' -

2. llmX.(8) _ St(e8-t) _ e-r(T-t)); llm X (8) _ Ste

(7—0 - ' -

llm

S, —0

ст —0

1 0

J _—r—\

ст ^nT _ад

6XP^ ) + dX' (П'1)

u _Ф

x + hT

а

dv _ exp <{ ^2hX + x ^ dx.

Тогда

du _ -

-42nT

exp

2h + ст

exp

(x + hT f 2ct2T 2hx

dx,

- + x

lim CT(5) = 0; lim CT(5) = да.

S0 ^0 ‘ S0 ‘

Доказательство сформулированных результатов проводится непосредственно с использованием

свойств функции Лапласа: limФ(х) = 1; lim Ф(х) = 0;

х^да х^-да

Ф(х) + Ф(-х) = 1; Ф(*) - непрерывна справа по x.

Экономическая интерпретация этих свойств очевидна: стоимость опциона равна нулю в ситуации, когда предъявлять его к исполнению не имеет смысла; стоимость опциона резко возрастает, когда он всегда будет предъявлен к исполнению.

Обозначения и терминология соответствуют принятым [1-5].

ПРИЛОЖЕНИЕ

Пусть

и следовательно

J 2 _

2h

(2h + ст2)

Ф

WT

V ,

V J

ЛЁГ

ст

г i 2hx (x + hT)

I exp <—— + x---------------------- —

J I ст2 2ст T

dx

(П'3)

Как и при нахождении /1 для вычисления интеграла в (П.3) применим Утверждение 1. Из сравнения (П.3) с (2.14), (2.17) следует: Ь=0, е=(2к/ст2)+1, а=—НТ, С=&Т. Тогда согласно (П.2) с учетом (2.3) из (П.3) следует

2

J2 _1 1 —

ст

_e

2(r _8)

(r 8 ф| _4Г

r _8 ст

ст 2

r _8 ст

(П.4)

Из сравнения (П.1) с (2.14), (2.17), следует: Ь=0, с=1, а=НТ, й=&Т. Тогда согласно (2.17) с учетом (2.3) из (П.1) следует

1 = е(г-8)ТФ(-4Т(((г - 8)/а) ((а/2))). (П.2)

Пусть

т 2к г 12кх I « Г х (кТ

12 = а 1“р о+хПаГ]*

Воспользуемся формулой интегрирования по частям \ыйу=ыу-\уйи. Возьмем

Пусть

J3 _■

>42nT

Í exP

(х ( кТ )2 2кх |

2 2Т + х(а \с (П.5)

2а Т а J

Из сравнения (П.5) с (П.3) следует, что вычисление /1 аналогично вычислению интеграла в (П.3), т.е., согласно (П.4),

1 = е(г-8)Т Ф(->!Т ((г - 8)/а ( а/2)). (П.6)

Использование (П.2), (П.4), (П.6) в (2.24) с учетом (2.20), (2.21) и свойства 1=Ф(г)+Ф(-г) приводит к (2.22).

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов.

- М.: Наука, 1974. - 696 с.

2. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. - 568 с.

3. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т. 39 (Вып. 1). - С. 80-129.

4. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики.

- 1994. - Т. 1 (Вып. 5). - С. 780-820.

5. Аникина А.В., Демин Н.С. Нахождение и анализ свойств цены, капитала и портфеля в случае непрерывных опционов купли и продажи с выплатой дивидендов // Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения: Труды Междунар. конф. - Минск: БГУ, 2005. - С. 27-35.