CC BY
32
Экономика
УДК 519.865
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЭКЗОТИЧЕСКИХ ОПЦИОНОВ КУПЛИ ЕВРОПЕЙСКОГО ТИПА НА ОСНОВЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЦЕНЫ РИСКОВОГО АКТИВА
У.В. Андреева, Е.Ю. Данилюк, Н.С. Демин, С.В. Рожкова*, Е.Г. Пахомова*
Томский государственный университет E-mail: [email protected]; [email protected] *Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Рассматриваются два вида экзотических опционов купли Европейского типа в диффузионной модели (B,S)-финансового рынка, основанных на экстремальных значениях цены рискового актива, по которому выплачиваются дивиденды. Получены формулы, определяющие стоимости опционов, портфели (хеджирующие стратегии) и соответствующие им капиталы. Рассматриваются свойства решения.
Ключевые слова:
Финансовый рынок, опцион, платежная функция, капитал, портфель, хеджирование.
Key words:
Financial market, option, payoff function, capital, portfolio, hedging.
Опцион - это производная ценная бумага, являющаяся контрактом, по которому покупатель опциона приобретает право покупки (call option) или продажи (put option) по оговоренной цене заявленного в контракте базисного актива, а продавец опциона за премию - цену опциона - обязан исполнить требование покупателя в момент исполнения опциона [1-5]. Если платежные обязательства характеризуются только ценой базисного актива в фиксированный момент исполнения опциона ST (спотовая цена, spot price) и ценой исполнения контракта K (страйковая цена - striking price), то такие опционы являются стандартными опционами Европейского типа. С развитием рынка деривативов стали появляться дополнительные требования к условиям заключения контракта. Возник класс экзотических опционов (exotic options) [6-8]. Одно из дополнительных условий - учет ценовой истории базисного актива от момента заключения контракта t=0 до момента исполнения t=T (path-dependent options, history-dependent options, look forward options, look back options) [4-11]. Важным частным случаем подобных опционов являются опционы, основанные на учете экстремальных
значений цены базисного актива на интервале te[0,7] (options on extremes). В достаточно подробном и обстоятельном обзоре [8] отмечается, что в настоящее время на рынках используется несколько десятков экзотических опционов, теория которых разработана в незначительной степени, и контракты по которым заключаются, исходя из эвристических соображений и опыта работы брокеров.
В данной работе на основе диффузионной модели (B, ^-финансового рынка с выплатой дивидендов по рисковым активам рассматриваются два вида экзотических опционов, основанных на экстремальных значениях цены рискового актива. В качестве спотовых цен рассматриваются экстремальные
значения актива ST1“ = max St и ST"n = min St с
1 0 <t<T 1 1 0 <t<T 1
фиксированной страйковой ценой K (соответственно fixed strike look back call option и reverse fixed strike look back call option [10]).
1. Постановка задачи
Рассмотрение задачи проводится на стохастическом базисе (fl,F,F=(Ff)f»,P) [1-3]. На финансо-
вом рынке обращаются рисковые (акции) и безрисковые (банковский счет, государственные безрисковые облигации) активы, текущие цены которых St и Bt в течение интервала времени te [0, T] определяются уравнениями
dSt = St (pdt + odWt), dBt = rBtdt, (1.1)
где Wt - стандартный винеровский процесс, S0>0, /deR=(-<x>,+cx>), o>0, B0>0, r>0, решения которых имеют вид
= SoexP{(M- (&2/2)) t
Bt = BoexP{rt}. (1.2)
Считаем, что текущее значение капитала инвестора Xt определяется в виде Xt=PtBt+ytSt, где Щ=(Р,у1) - пара ^-измеримых процессов, составляющая портфель ценных бумаг инвестора. Аналогично [12] предполагается, что за обладание акцией происходят выплаты дивидендов в соответствии с процессом Dt со скоростью 8ytSt, пропорциональной рисковой части капитала с коэффициентом 0<8<r, а именно: dDt=dyS/dt. Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами происходит в виде dXt=pdBt+ydSt+dDt. Так как dXt=pdBt+ydSt+BtdPt+Stdy„ то BdP+Sdy=dD,, что является балансовым соотношением, заменяющим условие самофинансируемости Btdpt+Sdyt=0 в стандартной задаче [1-3]. Тогда капитал определяется уравнением dXt=rXdt+aytS,dWrr+d [12], где процесс W'u-Y+d= Wt+((n-r+d)/o) t является винеровским относительно меры Pм-г+д такой, что dP,м-r+д=Zм-r+дdP,, а
Z „-,+д i-((M- r + 8)/o)Wt- 1
Z, = exp < „к
t [-(l/2)((Ц- r + 8)/o) tj
Так как
Law(WM-r+8 |PM-r +8) = Law(W |P),
то из [1]
f - со - \
Law Soexp< y-(aV2) ; , + ■;, < T |PM-r+5
V. +aW, M-r+5 )
£о^(В0 ехр{(г -8 -(ст2/2)), + ст^,}; t < Т |Р).
Таким образом,
1о^(^ (ц, г, 8) | Р ц-г+8) = 1о^(^ (г, 8) |Р),
т. е. относительно меры Рц-Г+8 вероятностные свойства процесса S(ц,r,8), определяемого уравнением
С$(ц, г,8) = $ (ц, г, 8)((г -8)С, + оСЩц-г+8),
совпадают со свойствами процесса S(r,8), определяемого уравнением
с$ (г, 8) = $ (г, 8)((г - 8)С, + ос1Щ),
относительно меры Р.
Задача: сформировать хеджирующие стратегии (портфели) щС=(Р!С,у!С), а также соответствующие им капиталы Хс таким образом, чтобы выполнить платежные обязательства Х]=/^т) относительно платежных функций
f = /“(S) = (max S, - K)+,
T T 0<,<T ‘
fT = fTmin(S) = (minS, -K)+, (1.3)
а также найти стоимости опционов CT=X0, где K>0, a+=max{a;0}.
Используемые обозначения: Р{-| - вероятность события; Е{-} - математическое ожидание; N{a;b} -плотность нормального распределения с параметрами a и b; / [Л] - индикаторная функция события A; интеграл без указания пределов означает интегрирование на интервале Л=(-<»,+<»);
x ___
Ф(х) = jVCyMj, ç(y) = [^^•\/2n]exp{-(//2)}.
Замечание. Дополнительные условия, вносимые в платежные обязательства экзотических опционов, могут быть как в пользу покупателя, так и в пользу продавца опциона, что в первом случае должно приводить к увеличению, а во втором - к уменьшению цены опциона относительно стандартного опциона купли с платежной функцией
f(ST)=(S-K)+. Так как max S, > ST и min S, < ST,
0<,<T ‘ T 0<,<T T
то опционы с платежной функцией fTnax(S) соответствуют платежному обязательству в пользу покупателя опциона, поскольку относительно стандартного опциона увеличивается вероятность исполнения опциона, а с fTmin(S) - в пользу продавца опциона, так как вероятность исполнения опциона уменьшается.
Утверждение. Если
J = [l/\/2nd] jexp{cx} exp{- (x - a)2 /2d} dx, (1.4) то
J = exp{ca + (c 2d/ 2)} [l/>/2nd] x x jexp{-[(x - (a + cd)2 )/2d] }dx. (1.5)
Пусть X^N{a;b}. Тогда
E{exp{cX}/[X < d]} =
= exp{ca + (c2d/2)}Ô((b - (a + cd))/л/d), (1.6)
E{exp{cX}/[X > d]} =
= exp{ca + (c2d/2)}Ô( -(b - ( a + cd)/Vd")), (1.7)
E{exp{cX}/[bj <X <b2]} = exp{ca + (c2d/2)} x x[Ô((b2 - (a + cd))/\/d) - Ô((b - (a + cd))/-s/d)]. (1.8)
Представление (1.5) для J следует из (1.4) в результате элементарных преобразований, (1.6) следует непосредственно из (1.4) и (1.5), (1.7) - из (1.6) с учетом того, что 1-Ф(г)=Ф(-г), а (1.8) - из (1.6).
2. Основные результаты
Согласно (1.1), (1.2), (1.5)
S,(r,5) = Soexp{a^}, £, = W + (h/a),,
h = r-5-(a2 /2). (2.1)
Лемма 1. Пусть M = max а£ = max(aWT + hr)
0<т<7 0<т<7
для t<T. Тогда для х>0 и НєЯфункция распределения P{Mt<x} и плотность вероятности pM(t,x)=dP{Mt<x}/dx имеют вид
P{Mt < x} = Ф((x - ht)/ajt) -
- exp{(2h/ а2) х}Ф(- (x + ht)/ ojt), (2.2)
pM (t, x) = [l/-л/ 2nt ]exp{- (x - 4Т)2/2—27} -
-(2h/ a2)exp{(2 h/ a2) x^(-( x + ht) /а^) +
+[1/-л/2Л7]exp{(2h/a2)x}exp{-(x + ht) 2/2a2t}. (2.3)
Вывод формулы (2.2) проводится аналогично выводу формулы (5.9) в [1] и поэтому не приводится. Формула (2.3) - результат дифференцирования (2.2) по х. Пусть
d2(t) =
r -8 а
а
-а |л/г-7, а = 2
r -8
а
(2.4)
(t) [ln( KSt) - (r -8 + (а2/2))(Т -1)]
7l(t) = [ал/Т-Г ] ’
[ln( KSt) + (r -8- (а2/2))(Т -1)]
.V2(t) =■
[а<УГ-7 ]
y (t) = [ln(KSt) - (r - 8 - (а2/2))(Т -1)]
*(t) = [^VT-t] :
(2.5)
а Сь ^2, у!, у2, у3 определяются формулами (2.4), (2.5) при /=0.
Теорема 1. Цена опциона с платежной функцией //““(¿) задается формулами:
y-rmax ____
CT = S 0
(l + a_1) e-8T Ф( d1) + +(1 -a-1) e- rT Ф(-d2)
- Ke-
если S0 > K;
(2.6)
/-■max c*
CT = S0
(1 + a-') e-8T Ф( - y) -
-a 'e rT
f І Ф(-Л)
V So
- Ke-rT Ф(-уз),
если
к. (2.7)
Доказательство: поскольку платежная функция /ттх^ является естественной [1, 2], то
СГ = ехр{-гТ}£{/ттах( В (г, 8))}.
Тогда из (1.3), (2.1), (2.3) следует
CTmax = e-rTE{ /Tmax(S (r,8))} =
= e-rTE{(S0 exp{Mr} -K)+} = e-rTFt(S,),
Fr (S0) = E{(S0 exp{Mt} -K)+} =
да
= J(S0 exp{x} -K)+^M(T, x)dx.
(2.9)
а) Случай S0>K. Учет (2.3) в (2.9) и условие нормировки для pM( T, х) дают
FT(S0) = S0 Jexp (x}_pM(T, x)dx -K :
0
= s,( j - j + J3) - K,
1 7 , , I (x - hT)2
2а2Т
(x + hT)
Ji = ^5ПТ Jexpi '}exp
(2.10) dx, (2.11)
J .а Jjexp ji, аj
+^4 і x у фі -
а
л/Т
J3 =-
=^ г а2
1
(2.12)
а\/ 2пТ
xJexpІІ1+аі4expi- -2
2h | 1 j (x + hT)2
2а 2T
dx. (2.13)
В (2.11) согласно Утверждению для Х^Ж{йТ;а27) имеем, что с=1, Ь=0. Тогда применение (1.7) к (2.11) дает, что
/ = Е{ехр{ Х}1[ X > 0]} =
= ехр{АТ + (а2Т/2)}Ф((АТ + а 2Т)/а л/Т). (2.14)
Используя (2.1), (2.4) в (2.14), получаем /1=ехр{(г-8)Т]Ф(С1). В (2.13) по Утверждению Х^Щ-НТ^Т имеем, что с=1+[2А/а2], Ь=0. Тогда применение (1.7) к (2.13) дает, что
/ = Е{ехр{(1 + (2 А/ст2)) X} 1[ X > 0]} =
Г-АТ (1 + (2 к/а2)) + 1
еХР ”^+(^^2)(^1 + (2 А/ а2))2а2Т |Х
хФ((-АТ + (1 + (2к/ а2))а2Т )/ стл/Т). (2.15)
Использование (2.1), (2.4) в (2.15) приводит к тому, что
/ = / = ехр{(г-8)Т}ф(С1). (2.16)
Интегрирование по частям в (2.12) с учетом (2.13) дает, что
/2 = [а2/(а2 + 2А)][ /3 - Ф(-( А/а)л/Т)]. (2.17)
Подстановка (2.17) в (2.12) с использованием (2.1), (2.4) приводит к
/2 = (1 -а_1)[/3 - Ф(-С2)]. (2.18)
Тогда из (2.16), (2.18) следует, что / - /2 + /3 = (1 + а-1) /3 + (1 - а~')Ф(- С2). (2.19)
Подставляя (2.19) в (2.10), получаем (1 + а~')ехр{( г -8)}Ф( С1)
(2.8) Ft (So) = S(
+(1 -а~')Ф(-d2)
Тогда (2.6) следует из (2.8), (2.20). б) Случай S0<KИз (2.9) следует
Ft (S0) = Ft1 - Ft2,
-K. (2.20)
(2.21)
0
Fj = S0 Jexp{x}^M (T, x)dx,
0
да
FT2 = K J,pM(T,x)dx, b = ln(K/S0). (2.22)
0
При вычислении Fy пусть
да
J - J + J = Jexp{x},pM(T,x)dx. (2.23) FT(S0) = S(
Использование (2.3) в (2.23) дает, что /ь /2, /3 определяются формулами вида (2.11)—(2.13), интегралы в которых нижним пределом имеют величину Ь вида (2.22). Таким образом, аналогично (2.14), (2.15)
/ = Е{ехр{Х}/[Х > Ь]} =
= ехр{АТ + (ст2Т/2)}х хФ(-(Ь - (АТ + ст2Т))/ст ТТ),
(2.24)
J3 = E{exp{(1 + (2h/ а2)) X} /[ X > b]} = =exp l-hT i1)+2 i1+-1 -It}x
a r
хФ
-| -hT + | 1+ Щ- |а2Т
fа
vt
)
(2.25)
Fj = So
2а T
(2.28)
dx, (2.29)
Jexp^x УФ| -
J =-
/1 = / = Ф(-Уз), /2 = / - (^Во)а-1Ф(-У2). (2.32) Подстановка (2.32) в (2.22) дает, что
^Т2 = К[Ф(-Уз) + (К/Во)а-1Ф(- У2)] =
= КФ(-Уз) + $о(^Во)аФ(- У2). (2.33)
Используя (2.28), (2.33) в (2.21), получаем (1 + а_1) ехр{(г - 8)}Ф(-_у,1) -
-а"1 (*/$,)“ Ф( - У2) _
-КФ(-Уз). (2.34)
Тогда (2.7) следует из (2.8), (2.34). Теорема дока-
зана.
Использование (2.1), (2.5), (2.22) в (2.24), (2.25), интегрирование аналогично (2.18) дает
/ = / = ехр{( г -8)Т Ж-.^
/2 = (1 -а-')[/ -(К$о)аФ(-У2)]. (2.26)
Тогда из (2.23), (2.26) следует
/1 - /2 + /3 =
= (1 + а-1) / + (1 - а-')( */$,) аФ(- У2). (2.27)
Подставляя (2.27) в (2.22), получаем с учетом (2.23), (2.26), что
(1 + а-1) ехр((г - 8)Т)Ф(-у1) +
[+(1 + а-')( */$,) аФ( -У2) _
При вычислении //аналогично имеем
/1 =05т]ехр!1)ехрí <х-АТ)2
(Х+АТ) 1 йх = /2, (2.30)
Стл/Т ^ ст2 2
т2пт ]ехр {СТх}ехр {- íw}*■(231)
Из сравнения (2.29)—(2.31) с (2.11)-(2.13) следует, что вычисления по нахождению /ь /2, /3 будут аналогичны вычислениям при получении формул (2.26), только при применении (1.7) величина с будет принимать значения соответственно с=0 и с=2к/ст2. В результате получим
Теорема 2. Капитал и портфель в случае платежной функции //“^ определяются формулами:
Xmax = В,
(1+ a_1) e-8(T-t )Ф( d1( t)) + ' +(1 -a-1) e- r (T-t )Ф( - d2( t))
- Ke-r (T-t),
ytm“ = (1 + a_1) e-8(T -t )Ф( d1( t)) +
+(1 -a_1)e- r (T -t )Ф(-d2(t)),
0™ = -(K/Bt )e- r (T-t),
если St>K;
'(1 + a-‘)e-8(T-t)Ф(-*(t))- '
f v\a
Ф(- y2(t))
(2.35)
(2.36)
(2.37)
X= В,
-a-'e- r (T-t)
K
V St у
- Ke
,-r (T-t)
Ф(-.УзООХ
(2.38)
yf® = (1 + a-1) e-8(T-t )Ф( - y1( t)) + +(1 -a-‘)e-r (T -t)(K/S )aФ( - y2(t)),
РГ = -(V b7 ) e
-r (T-t)
(2.39)
(2.40)
^(-Уз(7 )) +
+St (K/St )a Ф( - y2(t)) если St<K.
Доказательство: согласно [1, 2] для платежной функции //“(S)
Xtmax = e-r (T-t) E{/Tmax (S (r, 8)) |S} =
) Fj-t (St) = Xm“( St), (2.41)
= e-r (T-t)'
Fr-t (St) = E{/Tmax(S (r,8)) |St}.
Формулы (2.35), (2.38) с учетом (2.41) следуют из (2.6), (2.7) с заменами S0—>St, T—(T- t). Согласно [1, 2]
max / -TT-max / \ /-\ \
Yt = (dX (s)/ds)|s=S ,
etmax = (Xtmax (s) - ytmaxSt VB . (2.42)
Использование (2.35) в (2.42) приводит к (2.36), а (2.37) следует из (2.35), (2.36), (2.42).
Из определения Ф(х) вытекает
0
^ = ‘ exp {-i a 2(s) Ш,
3s V2n I 2 j ds
5®(-a(s)) = 5®(a(s))
3s 3s .
Тогда из (2.38), (2.43) следует 3Xt—(s)/3s = (1 + a_1)e-d(T-%(- _y1(t)) +
+(1 -a-1) e-r (T-t>(K/s) аФ( - y2( t)) + Щ Y = Y + sa_1Y 2,
Y = Ke-r (T-t )[ЗФ( y3(t))/d s] --se-8(T-t )[ЗФ( *(0)/ 3s],
Y 2 = e-r (T-t Ч*А)а[дФ( y2(t))/d s] -
-e
-8(T-t)
[дФ( уДО)/ ds].
Согласно (2.5)
.уД1) = .Уз О1)-а>/Т -,,
У(t) = .У2(t) - 2((г - 8)/а) >/Т-7.
Из (2.43), (2.5) следует, что ЗФ( Уз(0)/ & =
= -[1/ аЛ/2П(Т’-7) ]ехр{-у32(0/2}, ЗФ( У2(, ))/ & =
= -[1/ аЛ/2Л(Т~-’!) ]ехр{-_у2(,^2}.
Тогда из (2.48), (2.49), (2.5) следует ЗФ^ ))/ 3? =
(Кехр{-(г -8)(Т - г)})
(2.43)
(2.44)
(2.45)
(2.46)
(2.47)
(2.48)
(2.49)
(s 2ст^/2n(T -1))
дФ( >1(t »/ ds = (exp{-( r -8)(T -1)})
exp{->,32(tV2} (2.50)
(K/s)a
y-rmm ____ rr
CT = So
^ (В о) = Е{(В оехр{«Т} - К Г} =
о
= ]■ (Воехр{х} - К)+,рт(Т, х)Сх. (2.54)
Выражение под знаком интеграла в (2.54) больше нуля, если S0exp{x}-Z>0, т. е. если х>Ь, где Ь имеет вид (2.22). Так как х<0, то условие х>Ь может выполняться только для отрицательного Ь, когда S0>K. Таким образом, утверждение теоремы Ст™=0, если S0<K, очевидно, и из (2.54) следует
о
^Т (Во) = Во | ехр{х}рт (Т, х)Сх -
о
- К | ,рт (Т, х)Сх = Во / - к/. (2.55)
Использование (2.3) в (2.55) дает, что
/ /1 I /2 I /з ,
1
V2nT
О
0
J exp{x}
ехр
(x - hT )2 2o2T
(2.56) dx, (2.57)
J2 =О Jexp К1+O Jx jФ [ O+F1 dx =
2h
J2,
_ 2 2
(2.58)
J =-
л/2лГ
О
;Jexpjl1
2h
o
(x + hT )2 2o2T
dx. (2.59)
(ал/ 2п(Т -!)) х ехр{-у2(0/2}. (2.51)
Использование (2.49), (2.50) в (2.46) и (2.49), (2.51) в (2.47) дает, что Т;=0, Т2=0. Тогда, согласно (2.45), Т=0, и (2.39) следует из (2.42), (2.44), а (2.40) следует из (2.42), (2.38), (2.39). Теорема доказана.
Теорема 3. Цена опциона с платежной функцией /тт“(^ задается формулами
"(1 + а-') е-8Т [Ф(-С1) - Ф( 71)] +"
+(1 -а-1) е-гТ Ф( С2) +
_+а-1е-гТ (^Во)“Ф(72) _
- Ке-гТ Ф(-уз), (2.52)
если S0>K, и Ст™=0, если S0<K.
Доказательство: из (1.3), (2.1), (2.4) аналогично (2.8), (2.9) следует, что
С™ = е-гТЕ{ /ТШ"(В (г, 8))} =
= е-гТЕ{(Во ехр{тТ} - К)+} = е-гТ^Т (В о), (2.53)
(2.60)
В (2.57) согласно Утверждению для Х^Щктат имеем, что Ь=Ь, Ь2=0, с=1, а=кт, й=а2т. Тогда применение (1.8) к (2.57) дает, что /1 = Е{ехр{X}/[6 < X < о]} =
= ехр{АТ + (а2Т )/2}х
Ф(-(АТ + а2Т)/ а^Т) -
-Ф((Ь - (АТ + а2Т))/аТТ)_
Использование (2.1), (2.4), (2.5) в (2.60) приводит к тому, что /1=ехр{(г-8)7][Ф(-С1)-Ф(у1)]. В (2.59) согласно Утверждению для Х^Л{-йт;а27) имеем, что Ь=Ь, Ь2=0, с=1+[2А/а2], а=—кт, й=а2т. Тогда применение (1.8) к (2.59) дает, что /з = Е{ехр{(1 + (2 А/ а2)) X} 1[Ь < X < о]} =
2А Л (, 2А Ла^"
^ , а у V а у 2
( -АТ + (1 + (2к/а2))а2Т
= exp ^-hT|1 + — l+l1 + 2
Ф
-Ф
О
л/Г
b - (-hT + (1 + (2h/ o2))o2T)
О
(2.61)
Использование (2.1), (2.4), (2.5) в (2.61) приводит к тому, что
/з = ехр{(г -8)Т}[Ф(-С1) - Ф( *)] = /1. (2.62)
0
b
X
Интегрирование по частям в (2.58) с учетом (2.59) дает, что
f WTЛ
а
а + 2h
Ф
- Ф|Ь±^ |х
2h
х exp Л 1 + — | b \-J
(2.63)
J2 = (1 -а“1)
(2.64)
Подстановка (2.63) в (2.58) с последующим использованием (2.1), (2.4), (2.5), (2.22), (2.62) приводит к тому, что
" Ф^ 2) - (K/S o)a Ф( у 2) -"
- exp{( r -8)T }х х[Ф(-dx) - Ф( у)] _
Тогда из (2.56), (2.62), (2.64) следует, что
J =(1 + a _1) exp{( r - 8)T}[^- d1) - Ф( У1)] +
+(1 -а_1)[Ф( d2) - (K/So) аФ( y2)]. (2.65)
Использование (2.3) в (2.55) дает, что J J1 I J2 I J3 ,
(x - hT )2
Ji =■
1
<-\l2nT
exP
dx,
(2.66)
(2.67)
- 2h 0 J2h Kf x + hT V _ r,
J2 =~r JexPаx \Ф| —гг Idx = 32 J2,
2h a
J3 =■
r-s/2nT
^ J 2h
J exp J- x \ exp
(x + hT )2 2a 2T
(2.68) dx. (2.69)
Вычисление J j из (2.67) проводится аналогично вычислению Jj при с=0. Получаем
^=Ф(-17у/т/а)-Ф((Ь-17у/т)/ау/т). (2.70) _
Использование (2.4), (2.5), (2.22) в (2.70) дает, что /1=Ф(-С1)-Ф(у3). Вычисление /3 в (2.68) проводится аналогично вычислению /3 при с=[2Н/а2\, (2.69) аналогично /2:
/з = Ф(-С1 ) - Ф(уз) = /1,
/ = Ф(С2)-(К/ВоГФ(у2) -Ф(-С2) + Ф(уз). (2.71)
Использование (2.71) в (2.66) дает, что / = Ф(-Уз) - (^Во)“-1Ф( у2) =
= Ф(-Уз) - (Во/К )(К/ВоГФ(у2). (2.72)
Подстановка (2.65), (2.72) в (2.55), а затем в (2.53) приводит к (2.52). Теорема доказана.
Теорема 4. Капитал и портфель в случае платежной функции /ттЬ(^) определяются формулами:
Хтт _
xS
(1 + а>-5(Т-t )[Ф(-di(t)) - Ф( yi(t))] + (1 -а“1) e- r (Т-t )Ф( d2( t)) +
+a_1e_r (Т-t )(^5( )а Ф( у 2 (t))
Ke
- r (Т-t)
Ф(-Уз(0Х
(2.73)
Yfm = (1 + a-V5(T-t)[Ф(- d1(t)) - Ф( у1( t))] +
+(1 -a_1)e"r(Т-t)[^^(d2(t))- (K/S)аФ(у2(0)], (2.74)
ßtmin = -(1/Bt)e-r(T-t) x x[КФ(-Уз (t)) - St(K/St)аФ(У2(t))], (2.75)
если S >K, и Xmin=0, Ymin=0, ßmin=0, если S<K.
Доказательство: формула (2.73) следует из (2.52) аналогично тому, как формулы (2.35), (2.38) следовали из (2.6), (2.7). Аналогично (2.42)
уЩ* = (dXtmin(s)/ds)|=S ,
ßtmin = (Xtmin (s) - Ytmin St )/ßt. (2.76)
Из (2.73) с учетом (2.74) следует, что cXf1 (s)/ds = (1 + а-1 )e"5(T-t) x
х[Ф(-d1(t)) - Ф( y1(t))] +
+(1 -a“1)e-r(T-t) x х[Ф^2(0) -(КД)аФ(у2(t))] - Y, (2.77)
где Y определяется формулами (2.45)—(2.47). Поскольку, как было доказано, Y=0, то (2.74) следует из (2.76), (2.77), а (2.75) - из (2.73), (2.74), (2.76). Теорема доказана.
3. Обсуждение результатов
I. Пусть Stmax = max ST, Stmin = min ST. На
t 0<T<t T t 0<T<t T
рис. 1-6 приведены результаты численных расчетов, иллюстрирующие свойство цен опционов, как зависимостей от волатильности а, начальной цены S0 и цены исполнения K. Аргумент на всех графиках - а, а параметр семейства кривых - S0 (рис. j, 3, 5)и^(рис.2,4, 6).
Стах
Т
При возрастании а увеличивается степень хаотичности траекторий S„ что приводит к возрастанию выбросов вверх Smax и вниз Smшт. В результате этого вероятность предъявления к исполнению опционов с платежной функцией/тшах(^) увеличивается, с платежной функцией /ттЬ(^) - уменьшается. Поскольку за уменьшение риска следует платить больше, а за его увеличение - меньше, то стои-
Рис. 1. Зависимости С/'НЛ от о и S,
мость опционов на основе/ттах(^) должна быть возрастающей функцией а, а на основе /т^^ - убывающей. Эти свойства отражены соответственно на рис. 1-4 и рис. 5, 6.
Стах Т
Стах Т
Стах Т
Рис. 4. Зависимости Ст— от а и К (50=1)
Возрастание S0 влечет возрастание в среднем Sm¡a и Sm‘ШT, что увеличивает вероятности исполнения опционов с платежными функциями /тшзк№ и
fTmia(S). Стоимости опционов должны быть возрастающими функциями S0 (кривые должны подниматься вверх с ростом S0). Эти свойства отражены на рис. 1, 3, 5.
С min Т
Рис. 5. Зависимости CTmin от а и S0 (K=1)
/^min
Возрастание К приводит к уменьшению вероятности предъявления к исполнению опционов с платежными функциями /ттах($ и /т™п^. Следовательно, стоимости опционов должны быть убывающими функциями К (кривые должны опускаться вниз с ростом К). Эти свойства отражены на рис. 2, 4.
II. Существенным параметром, определяющим стоимости рассматриваемых опционов, является параметр ц0=K/S0, равный отношению цены исполнения к начальной цене рискового актива (Теоремы 1, 3), и существенным параметром, определяющим структуру портфеля и капитала, является параметр п=К/^, равный отношению цены исполнения к текущей цене рискового актива (Теоремы 2, 4). Так как Smi'1<Sl, то обнуление капитала Х™“ при условии St<K объясняется тем, что опционы с платежной функцией /-Т"^ не будут предъявлены к исполнению и нет необходимости формировать капитал для исполнения платежных обязательств.
III. Проведенные по формулам из Теоремы 1 и 3 вычисления показывают, что в достаточно широком диапазоне значений параметров выполняются
свойства Сттах>Стта5>Стт1п, что подтверждается соответствующими значениями функций на приведенных рисунках. Эти свойства свидетельствуют, что покупатель опциона платит за тот тип опциона, вероятность предъявления которого к исполнению выше и по платежному обязательству которого он может получить больший доход. Проведенные вычисления стоимостей стандартных опционов Ст с платежной функцией /^т)=^т-К)+ показывают выполнение свойств Стш>Стт>Ст>Стта. В случае K=S0 для величин С/“ и Ст может быть проведено аналитическое сравнение. Действительно, согласно [1-3] с учетом (2.5)
Ст = Вое-8Т Ф(-У1) - Ке-гТ Ф(- Уз). (3.1)
Так как у1=-й1, у3=-С2 при K=S0, то из (2.6), (3.1) следует, что
Стх = СТ + Воа_1[е-8Т Ф(С1) - е- гТ Ф(-С2)] =
= СТ + Д СТ=\ (3.2)
Так как 0<8<г, ^>-4, то из (3.2) следует, что АСттах>0, т. е. величина АС/“ характеризует величину превышения стоимости опциона с платежной функцией //“^ над стоимостью стандартного опциона при цене исполнения (страйковой цене), равной начальной цене акции.
Заключение
В соответствии с поставленной задачей приведено решение, заключающее в себе формулы для цен опционов, хеджирующих стратегий и отвечающих им капиталов. Дана графическая демонстрация свойств решения задачи с последующей интерпретацией результатов. На величину цены опциона влияют колебания цен базисных активов, при этом дериватив на основе функции выплат //“(^ будет дорожать с увеличением хаотичности траектории цены актива. Стоимость опциона с платежным
обязательством /тт“(^ будет выше в условиях стабильного и незначительного изменения цены рисковой бумаги. При прочих равных условиях высокую цену рассматриваемых опционов обуславливает высокая начальная цена базисного актива и низкий страйк опционного контракта.
Выделен параметр, определяющий стоимость изучаемых опционов, и параметр, определяющий структуру портфеля и капитала. Последний параметр выступает в качестве показателя необходимости формировать капитал для исполнения платежных обязательств и дает информацию в любой момент до экспирации о том, будет ли предъявлен опцион к исполнению или нет.
Исследована связь между ценами одного из рассматриваемых экзотических и стандартного опционов, а также приведено соотношение цен ванильного и заявленных в статье опционов. С позиции покупателя самым надежным, а значит, и самым дорогим, является опцион на максимум цены базисного актива, начальная цена которого превышает договорную цену исполнения. Данный тип дериватива имеет смысл приобретать в расчете на значительные колебания стоимости основной ценной бумаги, и может ожидаемого «скачка» не произойти. В самом худшем случае все значения актива окажутся ниже страйка, тогда в роли максимального выступит начальное значение цены актива, тем самым опцион будет предъявлен к исполнению, а покупатель получит прибыль. Меньший риск и соответственно стоимость связаны с опционом на максимум цены актива при условии большей цены исполнения, чем начальная стоимость базисной бумаги. Аналогичные рассуждения приводят к тому, что стоимость ванильного опциона превосходит стоимость опциона на минимум цены актива, но меньше стоимости опционов на максимум цены актива.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т. 39. - Вып. 1. - С. 80-129.
2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - М.: Фазис, 1998. - 544 с.
3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. - М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 260 с.
4. Wilmott P. Derivatives: the theory and practice of financial engineering. - New-York: John Willey & Sons, 2000. - 768 p.
5. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. - М.: Вильямс, 2007. - 1056 с.
6. Rubinstein M. Exotic options // Finance working paper. Berkeley: Inst. of Business and Economic Research. - 1991. - № 220. -P. 3-45.
7. Zang P.G. An introduction to exotic options // European Financial Management. - 1995. - V. 1. - № 1. - P. 87-95.
8. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бумаг. - 2002. - Т. I. - № 15. - С. 53-57.
9. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бумаг. - 2002. - Т. II. - № 16. - С. 61-64.
10. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бумаг. - 2002. - Т. III. - № 17. - С. 68-73.
11. Conze A., Viswanathan V. Path dependent options: the case of lookback options // Journal of Finance. - 1991. - V. 46. - № 5. -P. 1893-1907.
12. Buchen P., Konstandatos O. A new method of pricing lookback options // Mathematical Finance. - 2005. - V. 15. - № 2. -P. 245-259.
13. Инглис-Тейлор Э. Производные финансовые инструменты. -М.: ИНФРА-М, 2001. - 224 c.
14. Шепп Л.А., Ширяев А.Н. Новый взгляд на расчеты «Русского опциона» // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. -Т. 39. - Вып. 1. - С. 130-148.
15. Котлобовский И.Б., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Оценка возможности внедрения «Русского опциона» на американском фондовом рынке // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12. - № 1. - С. 78-98.
Поступила 05.02.2012 г.
