Исследование европейского опциона продажи с последействием в случае выплаты дивидендов Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 290

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Март

2006

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

УДК 519.865

А.В. Аникина, Н.С. Демин

ИССЛЕДОВАНИЕ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА ПРОДАЖИ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ В СЛУЧАЕ ВЫПЛАТЫ ДИВИДЕНДОВ

В работе проводится исследование стоимости опциона, портфеля и капитала для европейского опциона продажи с последействием при наличии выплат по дивидендам в случае непрерывного времени.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрение задачи проводится на стандартном вероятностном пространстве (, (, ¥ = (¥ )(>0, Р) [1, 2]. Через Р^. = Р \¥ обозначается сужение меры Р

на ¥. На финансовом рынке обращаются рисковые (акции) и безрисковые (банковский счет, государственные облигации) активы, текущие цены которых St и В в течение интервала времени / е [0, Т ] определяются уравнениями из [3, 4]

dSt = St + adWt), йВг = гВй, (1.1)

где ^ - стандартный винеровский процесс, с > 0, г > 0, S0 > 0, В0 > 0, решение которых имеет вид

t + cW( [■, Bt = B0 exp{rt} . (1.2)

^ = ^ехр |(^- —

Считаем, что текущее значение капитала инвестора X\ определяется в виде [1, 2]

X = РА+yísí, (1.3)

где п =(Рг, Yt) - пара ¥гизмеримых процессов, составляющая портфель ценных бумаг инвестора. За обладание акцией происходят выплаты дивидендов в соответствии с процессом Б1 со скоростью 8у^, пропорциональной рисковой части капитала с коэффициентом 5, таким, что 0 < 5< г , т.е.

dDt =5у,Stdt. (1.4)

Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами происходит в виде

dXt = в dBt + YtdSt + dDt.

Из (1.3) следует, что

dXt = + Y ^ + В^в + ^ Y t

Тогда, согласно (1.5), (1.6),

+ StdYt = Щ , что является балансовым соотношением, заменяющим условие самофинансируемости в стандартной задаче [3]. Из (1.2), (1.3) - (1.5) следует, что капитал определяется уравнением

йХ( = гХЙ + <туДй^-г+5

К

r+5 = W + Е-.+t .

(1.8)

(1.9)

Далее нам потребуется результат, связанный с преобразованием мер вида

dPt* = ZtdPt, (1.10)

математические ожидания относительно которых Е и

Е* соответственно.

Теорема Гирсанова [1, 2]. Пусть У( - диффузионный процесс, определяемый уравнением

dYt = Ь (t, У() dt + dWt, (1.11)

где Wt - винеровский процесс. Пусть

Zt = ехр|-}ь(т, Yт)dWт-1 }ь2 (т,Yт)dт^, (1.12)

причем EZt = 1. (1.13)

Тогда процесс Yt является винеровским относительно меры Р* .

Пусть Yt = г+5. Согласно (1.9),

dYt = dWУ+5 = Ц-Г +5dt + dWt.

II а і

Так как, согласно (1.1) и (1.14),

Ь (Т ^) = (^-г + 5)/ст ,

(1.14)

то

Z = zf~r+5 =

ц-r + 5 1 (ц-r + 5^2

= ЄХР і-Ц-^— Wt1 t

Так как

(1.5)

то EZf~r+5 =

(1.6) няется.

Пусть Р* :

(1.7)

(1.15)

(1.16)

Е exp {ст Wt} = exp{ CT2t},

1, т.е. условие (1.13) для Zt‘~r+5 выпол-

= рц

-r+5

определяемая преобразованием

(1.17)

dPf-r+5 = Zf~r+5d Pt

ц-r+5

и пусть Е* = Ец нова, процесс W^~r+& вида (1.9) является винеровским относительно меры P^-r+5

Ец-Г+s W-+s- W^

, т.е. для t > т

ц-г+5 рт) = 0,

Ец

-r+5

wr

-r+5

- wf

-r+5

Г Рт)

= t-т .

(1.18)

Таким образом, обозначая через Law (• |P) и

Law (• |рц-г+8) свойства процессов относительно P и рц-г+8, получаем

Law (ц-г+8 |Рц-г+8 ) = Law (W |P) . (1.19)

Тогда, согласно (1.2), (1.9), (1.19),

Law (; t < T | Рц-г+8) =

= Law(S0exp|(ц- —)t + CTWt |;t < T|Рц r+ ) =

= Law (S0 exp | (r - 5 - —)t + ct W^'

-r+5

; t < T |Рц-г+5) =

где

f (S) = max St - St

0<t <T

St (r5) = SoexP||r-5-y It+ctW r =

= So exp };

|t = Wt + -—t, h = r- 5- -

Далее Я = (-да, +да), N {а; Ь} - нормальное распределение с параметрами а и Ь, а Ф(х) - функция Лапласа, т.е. (Ф( х) = N {0;1})

Ф (х) = ~^= | e yll2dy .

(2.4)

Лемма 1 [2]. Пусть тх =inf(t>0:ctW(>х}, хеR .

Тогда процесс Wt такой, что

СТГ* =( °Wt, t <Т х,

t 12х-ctW,, t >тх

(2.5)

= Law(S0exp|(г-8-^-)t + oWt j;t < T|P). (1.20)

Таким образом,

Law (S (ц, г, 8)|P^-r+8) = Law (S (г,8)|P), (1.21)

т.е. вероятностные свойства процесса S (ц,г, 8), определяемого уравнением

dtSt (ц, г, 8) = St (ц,г, 8)((г - 8) dt + adWt^r+8), (1.22)

относительно Pц-г+8 совпадают со свойствами процесса S (г, 8), определяемого уравнением

dtSt (г,8) = St (г,8)((г-8)dt + adWt), (1.23)

относительно меры P .

Задача: Сформировать портфель П(8)=(Pt(8),Yt(8)) таким образом, чтобы формирование капитала, согласно (1.3), в конечный момент времени T обеспечило выполнение платежного условия

Xt = /т (S), (1.24)

является винеровским процессом.

Лемма 2. Пусть ф( у, 2) > 0 - биномиальная функция событий. Тогда

Еф(тах (aWт + Ат), + М) =

0<T<t

= E exp

-Wt--------гt |ф(maxctWt,ctW). (2.6)

ct 2ct2 J \0<х<г /

Доказательство. Относительно теоремы Гирсанова

h

Yt =£t,Ъ(t,Yt) = Ъ(t,)=-, Zt = exp|-стWi -2СТ21|. Тогда последовательно с учетом (1.10), (2.3) получаем Еф( max (ctWt + -т), ctW( + ht) =

= E* Z- ф(max ct^t , CT^i ) =

Zt \ T<t )

Zt

= E* exp |CT Wt +~—~t t |ф( max ct|t , ct^) =

= rexp ^ [?t -СТ^+z-^t |ф( max ct5’ , СТФ

=e* exp |ct it- 2—ctj ^(^ ct^t , CT^t)=

= Eexp|--Wt --—2t^(maxctWt,CTWt),

т.е. пришли к (2.6). Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть для t < T

Mt = maxст|т = max(ctWt + -т). (2.7)

0<T<t 0<T<t

Тогда для х > 0 и - е R функция распределения Р (Mt < х) и плотность вероятности

(1.25)

является платежной функцией с последействием в случае опциона продажи (пут - опцион) [3].

В данной работе: 1) находится формула, определяющая рациональную (справедливую) стоимость опциона РТ (5) как начального капитала Х0 = х, при котором достигается выполнение (1.24); 2) находятся формулы, определяющие эволюцию текущего капитала Х( (5) и портфеля п (5) = ( (5), Yt (5)); 3) исследуются свойства решения.

2. СТОИМОСТЬ ОПЦИОНА

Поскольку платежная функция вида (1.25) является естественной, то [3]

Рт (5) = в-гТЕ /т ((г, 5)). (2.1)

Согласно (1.1), (1.2), (1.20), (1.23),

(2.2)

(2.3)

p (t, х) = dP (Mt < х)/йх

имеют вид

Р (Mt < х) = Р (max (ct WT + -т) < х) =

., (х - ht = Ф|-----— I-exp

тл/t

Р (t, х ) = ■

2—х}ф|-

х + ht

ct“ J V стл/t

(2.8)

г-s/ 2nt

exp

2 Л

(х - ht) v 2CT2t ,

2h (2h^^ ( х + ht

'CTjexp(lir} l-^^/t

2

1 (2-х)

WTntexp (^r }exp

( (х + ht)2 ^

v ' 2CT2t ,

(2.9)

2

2

Доказательство. Пусть A и В - некоторые собы- Так как I(aWt >x)=I(Wt >(x/ст)), а Wt ~N{0;t}, то

тия. Тогда очевидно, что A = A П B + A П Ви i h )

A = В + A П В, если В с A . Пусть A = (ctW; + ht < x), Eexp { ctW; }i (ctW; > x) =

В = (max(ctWt + hx)< x). Так как В с A, то i “ г г, ^ Г ,,2

, ' > "Ж i exp{-CT^}exP{-id,. <2 .5)

P(max(ctWt + hT)< x) = P(Wt + ht < x)- x/ст

' t<; ' Утверждение 1. Если

-P(max(CTWT+hT)> x-ctW; +ht<x). (2.10) j = 1 f^^JexpLfcfffl*, (2.16)

V2nd I 2d I

Так как ст Wt ~ N {0, ст t}, то

P(ctW; + ht < x) = P(ctW; < x-ht)= то J = exp jca + ^

1 x-ht j

= i----- Г e~y '2ст tdy = Гг/ JM2 '

стл/гЛ; x_^_ rexpГ [x-(a + cd)]

V2nd I 2d

x-ht

Tni exp j-tdO+im.1 dx. (2,7)

= '°fe-z2l'-<k . (2.11) Пусть X ~N{a;d}. Тогда

^2n - 1стл/t J E exp{cX} I (X < b) =

= exp{ca+ — -----jd—- I. (2.19)

Пусть ф(max ст1т, CT^t )=1 (max CT^T> x CT^t < x), где Г , c 2d !( b-(a + cd ))

V t<; / V t<; / = exp {ca +—-— j ФI---^-=—-I, (2.18)

I (D) - идентификатор, т.е. EI (D) = P (D). Тогда с I J l ^d J

учетом (2.6) и Леммы 1 Eexp{cX}I(X > b) =

P (niax (ctWt + hT)> x, ctW; + ht < x)= = exp Jca + c2djm| b-(a + cd)

= Еф( max ст|т, ст|; ) =

' t<; t Представление (2.17) для J следует из (2.16) в ре-

Гh h2 | / \ зультате элементарных преобразований, (2.18) следу-

= E exp {ст Wt - 2ст2t j ^m^ctWt, ctW; ) = ет непосредственно из (2.16), (2.17), а (2.19) - из (2.18)

с учетом того, что 1 - Ф (z) = Ф (-z) .

= E exp <!hWt - t j I (max ctWt > x, ctW; < x) = применение (2.19) к (2.15) дает, что

jCT 2ст2 J V t<; / / h )

ih * h2 I EexpbW}1 (ctW > x) =

= Eexp{-Wt-------- 1 jx v ;

jCT 2CT J = Гh2t 1Ф( x + ht)

xI(maxctWt* > x,ctW* < x). (2.12) = 6Xp j2CT2 j l стЛ J . .

Так как ctW; <x для t<Tx , то на интервале te[0,tx], Использование (2.20) в (2.14) дает, что

где W* = Wt, события (ctW;* < x} и {maxctWt* > x} P(max(ctWt + hT)> x,ctW; + ht < x) =

T<t ' T<t /

являются несовместными. Таким образом, i2hx) ( x + ht)

ctW* = 2x-ctW; . =exp{^г}Ф[-^J. (2.21)

Тогда Подстановка (2.11), (2.21) в (2.10) приводит к (2.8), от-

)hW* h2 ;| = )2hx h2 ;| f hwr\ куда непосредственно следует (2.9). Лемма доказана.

expjCTW; -2СТ2;j=exp{^Г-2СТ2;Jexn-CTW^, Теорема 1. пусть

*1 ТГГ* ТГГ* \ d (8,t) = | —8 + СТ^л/т-1; (2.22)

I (max ctWt > x, ctW; < x) = (2.13) 1 v Ict 2)

= I (maxctWt > x,ctW; > x) = I (стWt > x) d2 (8,t) = ^“—8-CTT -1. (2.23)

и из (2.12), (2.13) следует Тогда

P(max(ctWt + hT) > x,ctW; + ht < x) = pt (8) = S0{e Ф(-d2(8))-e Ф(-d1 (8)) +

T< ct2

i2hx h2 I ih Ь 4 + iT^e^ [е(г-5)т ФМ (8)) -Ф (-d2 (8))]} , (2.24)

= exp {—2-jt j E exp {—Wt}I (ст Wt > x). (2.14) 2 (г 8)

j CT 2ct J где dj (8) = dj (8, t), d2 (8) = d2 (8, t) при t = 0 .

Доказательство. Из (2.1) с учетом (1.25), (2.2), (2.3), (2.7) последовательно получаем

P (5) = e~rT E (max St (r, 5)- ST (r, 5)) =

\0<t<T J

= Soe-

rT

5 exp \ max I aWt +

0<t <T

( 2 ^ Д

c? CT

r -5----------

2

v / /

2

Итак,

-e 5TEexp^ctWt +| r-^2

= S0e~rT [EeMT - e-5TerT ] .

PT (5) = S0 [e-rT EeMT - e-ST ] = e~rT j ex p (T, x )dx - e

= S,

Используя (2.9) в (2.26), получаем

-5T

Pt (5) = So \e~

CT-

Ыexp г

лр2жТ

(x - AT)2 2ct2T

+ x > dx -

2h

2

тл/2лТ

(x+hT )2 2ct2T

x + hT^,

Ф |--------1 dx +

ctvT

2hx\

+x +----------^dx

ct2

-5T I

+ 2(^)e-r(T-t ^-5)(T-t )Ф(d1 (5, t ))-

-ФН2 (5,t))]};

Yt (5) = e-r (T-t ^(-d 2 (5, t ))--e-s(T-t )ф(-d1 (5, t)) +

CT

+ 2^^) "^[є^^Ф^ (5,t))-

-Ф (-d2 (5, t))];

Pt (5) = 0.

Доказательство. Из [3] следует

X (5) = e-r(T-t)E [/t (S (r, 5))St ] =

= e-r (T-t) Ft-t (St);

Pt (5) =

Yt (5) = e 1

= e-r(T-t )dFT-1(s)

ds

(St);

Bt

Ft- (St)-S, ЩМ(S!

Из (2.1) и (4.3) следует, что вычисления по нахождению ¥Т — (5) аналогичны вычислениям по нахождению РТ (5) с заменой S0 на 5, Т на (Т -1) и л/Т на у/т— . Таким образом, получаем

¥т-t (5) = 5вг(-) {в-г(Т-t)ф(-й2 (5,t))-

-в-5(Т - }ф(-й (5, г)) +

-r(T-t) [e(r-5)(T-t)

(2.25)

(2.26)

Ф( (5,t))-

. (2.27)

Вычисление интегралов в (2.27) (см. Приложение) приводит к (2.24). Теорема доказана.

3. ПОРТФЕЛЬ И КАПИТАЛ

Теорема 2. Капитал Х( (5) и портфель

Пі (5) = (і (5), Рі (5)) определяется формулами

Хі (5) = ^ {е гт-і)Ф(^ (5,і))-

-е-Чт-і )ф(-d1 (5, і)) +

2 (г -8)

-Ф(^2 (8,t))]} . (3.7)

Использование (3.7) в (3.4) - (3.6) приводит к (3.1) -(3.3). Теорема доказана.

4. СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ

I. Утверждение 2 [5]. В случае стандартного опциона продажи, когда

fT (S) = max (К - ST ,0), (4.1)

где K - оговоренная цена продажи владельцем опциона рискового актива в момент исполнения T, решение имеет вид

PT (8) = Ке-гтФ(d2 (8)J- S0e-STФ^dx (8)); (4.2) Xt (8)=Ke-г(т-;)ф(d2 (8,t))-Ste~8T-;)Ф^ (8,t)) ; (4.3)

Yt (5) = -e-s(T-tW d (5, t)|;

Pt (5) = (K/Bt)Ф^2 (5,t)|;

(4.4)

(4.5)

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

^)-(г-51°72>)(Т -); (4.6)

ал/ Т - /

„2 (5,,)-№Нг-!1°У2))(Т-). (4.7)

аы Т - /

Сравним РТ (5) и РТ (5) при К - S0, когда цена

исполнения в случае стандартного опциона равна начальной цене рискового актива. Из (2.22), (2.23), (4.6)

и (4.7) следует, что в этом случае „1 (5) - -й1 (5),

„2 (5) - -й2 (5) и формула (4.2) принимает вид

РТ (5) - S0 [в-гТФ(-„2 (5))-в-5ТФ(-„ (5))] . (4.8) Тогда, согласно (2.25), (4.8),

PT (5) = PT (5) + S0

-rT

0 2(г-5) х[в(г-5)Тф(й (5))-Ф(-й2 (5))]- РТ (5) + ДРТ (5) . (4.9)

Из (2.22), (2.23) и свойства Ф(у2)>Ф(у1) при у2 > у1 следует, что ДРТ (5) > 0 , т.е. РТ (5) > РТ (5).

Следовательно, при К = S0 цена опциона продажи с последействием всегда больше цены стандартного опциона продажи. Очевидно, что при цене исполне-

2

CT

2

2

ния опциона, равной max St , риск его неисполнения

0<t <T

ниже, нежели при цене исполнения K = S0. Поскольку за меньший риск необходимо больше платить, то этим и объясняется полученное свойство.

II. Если в случае стандартного опциона капитал формируется из рисковых и безрисковых активов (уt ^(5)0, ßt (5)^ 0), причем рисковые активы берутся в долг (уt (5) < 0), то в случае опциона с последействием капитал формируется только на основе рискового актива (ßt (5) = 0). Последнее объясняется тем, что платежная функция зависит только от цены рискового актива.

III. Теорема 3. Асимптотические свойства решения в следующем:

1. lim Yt (5) = 0; lim yt (5) = да;

ст^0 ст^да

2. lim Xt (5) = 0; lim Xt (5) = да ; lim Xt (5) = 0;

СТ^0

lim Xt (5) = да;

S, ^0

ПРИЛОЖЕНИЕ

Пусть

1 да I

Ji ~=стт Jexp i"

(х --T )2 2ct2T

+ х I dх . (П.1)

Из сравнения (П.1) с (2.16), (2.19), следует: Ъ = 0, с = 1, a = -T, d = ct2T . Тогда, согласно (2.19), с уче-

(П.2)

том (2.3) из (П.1) следует

,,= е(-(^+СТ)).

Пусть

,2 =

2h да (2-х К

_ 1exp (_+х}Ф

х + -T ctVT

dr.

(П.3)

Воспользуемся формулой интегрирования по частям I udv = uv -1 vdu . Возьмем

., ( х + -T) (2-х )

и =Ф|-------■=- |, dv = exp<—— + х}dх.

VT ) Ict2 )

ct-

ctV 2nT

СТ2

Т d 1 I (х + -T)2, d

Тогда du =---------1 expI-----„ |dх,

и следовательно

,2 =

2h +ct

2h

-exp

2ct2T

(2h + ct2)

_ф,_ |+

Sj ——да

3. limPT (8) = 0; lim PT (5) = да; lim PT (5) = 0;

g—0 а—да So —0

lim PT (5) = да.

So ——да

Доказательство сформулированных результатов проводится непосредственно с использованием свойств функции Лапласа:

lim Ф(х) = 1; lim Ф(х) = 0; Ф(х) + Ф(-х) = 1;

х—да х—-да

Ф( х) - непрерывна справа по х.

Экономическая интерпретация этих свойств очевидна: стоимость опциона равна нулю в ситуации, когда предъявлять его к исполнению не имеет смысла; стоимость опциона резко возрастает, когда он всегда будет предъявлен к исполнению.

|2—х (х + -T )2

17 I2-х

I---- I exp I — + х -

WTnT 0 1ст2

2ct2T

(П.4)

Как и при нахождении для вычисления интеграла в

(П.4) применим Утверждение 1. Из сравнения (П.4) с

(2.16), (2.19) следует:

2А 2

Ь - 0, с - —- +1, а - -АТ , й - а Т . а

Тогда, согласно (П.2), с учетом (2.3) из (П.4) следует

,2 =

2

1-

2 (r -5)

e(r-5)T ф| VT

r-5 ст

ст '+ 2

-ф[-л/Т

r-5 ст

(П.5)

Пусть

,3 =■

ст-

Ыexp |-

yfinT

(х + -T )2 2-х

2ct2T ст2

+ х +—— I dх . (П.6)

Из сравнения (П.6) с (П.4) следует, что вычисление аналогично вычислению интеграла в (П.4), т.е., согласно (П.5),

Зъ - е(г-5)Т Ф [у[Т + а)) . (П.7)

Использование (П.2), (П.5), (П.7) в (2.27) с учетом (2.22), (2.23) и свойства 1 -Ф( 2 ) + Ф(-) приводит к (2.24).

ЛИТЕРАТУРА

1. ЛипцерР.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974. 696 с.

2. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. 568 с.

3. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 80 - 129.

4. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1 Вып. 5. С. 780 - 820.

5. Аникина А.В., Демин Н.С. Нахождение и анализ свойств цены, капитала и портфеля в случае непрерывных опционов купли и продажи с выплатой дивидендов // Международная конференция «Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения»: Труды. Минск: БГУ, 2005. С. 27 - 35.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 20 мая 2005 г.