Экзотический опцион продажи с ограничением выплаты по опциону и наличием выплаты дивидендов по рисковому активу Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 4(13)

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 519.865

У.В. Андреева, Н.С. Демин

ЭКЗОТИЧЕСКИЙ ОПЦИОН ПРОДАЖИ С ОГРАНИЧЕНИЕМ ВЫПЛАТЫ ПО ОПЦИОНУ И НАЛИЧИЕМ ВЫПЛАТЫ ДИВИДЕНДОВ ПО РИСКОВОМУ АКТИВУ

В данной работе приводится решение задачи хеджирования для одного вида экзотических опционов продажи европейского типа с ограничением выплаты по опциону и наличием выплаты дивидендов по рисковому активу. Получены формулы, определяющие стоимость опциона, портфель (хеджирующую стратегию) и соответствующий ему капитал. Рассматриваются свойства решения.

Ключевые слова: финансовый рынок, опцион, платежная функция, капитал, портфель, хеджирование.

Опцион является производной (вторичной) ценной бумагой и представляет собой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право покупки или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного актива по оговоренной цене, а продавец за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению [1 - 4]. В первом случае имеем опцион купли (call option), а во втором - опцион продажи (put option). Если платежные обязательства характеризуются только ценой базисного актива в фиксированный момент исполнения опциона (спотовая цена - sport price) и ценой исполнения контракта (страйковая цена - striking price), то такие опционы являются стандартными опционами европейского типа. Развитие рынка опционных контрактов потребовало более сложных платежных обязательств, учитывающих как желание эмитента ограничить выплаты по опционам, так и желание покупателя опциона иметь гарантированный доход. Платежные функции с дополнительными условиями породили класс экзотических опционов (exotic options) [5-7]. В обзорной работе [5], написанной по материалам иностранной научной печати, отмечается, что хотя на западных финансовых рынках, особенно на внебиржевых, в настоящее время имеют хождение несколько десятков экзотических опционов, теория этих опционов является малоразработанной и контракты по ним заключаются на основе эвристических соображений и опыта работы дилеров с корректировкой классических формул Блэка - Шоулса [8] и Кокса - Росса - Рубинштейна [9], определяющих цены стандартных опционов соответственно в диффузионной и биномиальной моделях. В данной работе рассматривается опцион продажи на диффузионном (В,5)-рынке с ограничением выплат, который дает преимущество продавцу опциона.

Используемые обозначения

Р{.} - вероятность события; E{.} - математическое ожидание; N{a;b} - нормальная (гауссовская) плотность с параметрами a и b; a+=max{a;0};

х 1 Г 2 Г

Ф(х) = J (p(y)dy, ф(у) =-J22= exp -j-y^ Г. (1)

1. Постановка задачи

Рассмотрение задачи проводится на стохастическом базисе (,F,F = (Ft)t>0,P) [1 - 3]. На финансовом рынке обращаются рисковые (акции) и безрисковые (банковский счет, государственные облигации) активы, текущие цены которых St и Bt в течение фиксированного интервала времени t е [0, T] определяются уравнениями [1 - 3]

dSt = St (fdt + cdWt), dBt = rBtdt, (2)

где первое уравнение есть стохастическое дифференциальное уравнение Ито, Wt -стандартный винеровский процесс, с > 0, r > 0, д е R = (-да, +да), S0 > 0, B0 > 0 , решения которых имеют вид

St (д) = S0 exp{-(c2/2))t + cWt] , Bt = B0 exp{rt}. (3)

Считаем, что текущее значение капитала инвестора Xt определяется в виде

Xt = PtBt + YtSt, (4)

где nt = (Pt, yt) есть пара Fгизмеримых процессов, составляющая портфель ценных бумаг инвестора (стратегию инвестирования). Аналогично [10] предполагается, что за обладание акцией происходят выплаты дивидендов в соответствии с процессом Dt со скоростью 5ytSt, пропорциональной рисковой части капитала с коэффициентом 5 , таким, что 0 < 5 < r, т.е. dDt = 5ytStdt. Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами происходит в виде

dXt = PtdBt + YtdSt + dDt.

Так как

dXt = PtdBt +YtdSt + Btdpt + Stdуt, то Btdpt + Stdyt = dDt, что является балансовым соотношением, заменяющим условие самофинансируемости Btdpt + Stdyt = 0 в стандартной задаче [1 - 3]. Тогда из (2) и (4) следует, что капитал определяется уравнением

dXt = rXtdt + cjtStdWf-+5, где согласно теореме Гирсанова [1 - 3] процесс r+5 = Wt + ((д-r + 5)/с)t яв-

ляется винеровским относительно меры Рд - r+5, такой, что

dpf-r+5 = zf-r+5dPt; (5)

zr= exp j- W - i 11. (6)

Так как Law(Wц-r+5 “r+5) = Law(W|P), то [1, 2]

Law

S0 exp

С ~2\

с- О

r - 5---------

t + cWt^-r+5 ;t < t|P^r+5

V IV 2 / J

= Law ^S0exp j^r - 5 - -°-j t + oWt j; t < T|P .

Таким образом, Law (s(ц,r, 5)P^-r+5 ) = Law(S(r, 5)P), т.е. вероятностные свойства процесса S (ц, r, 5), определяемого уравнением

dtSt (ц,r, 5) = St (ц,r, 5)((r -5)dt + cdW^-r+5), (7)

относительно P^~r+5 совпадают со свойствами процесса S(r, 5), определяемого уравнением

dtSt (r, 5) = St (r, 5) ((r - 5)dt + odWt), (8)

относительно меры P. Это означает, что мера P r+5, определяемая в виде (5), (6), является рискнейтральной (мартингальной) мерой [1 - 4].

Ставится задача: таким образом управлять капиталом, т.е. сформировать портфель (хеджирующую стратегию) п* = (у*, в*), чтобы соответствующий ему капитал X* = p*Bt + у*St обеспечил выполнение платежного обязательства X* = fT относительно платежной функции

fT = fr (St ) = min {({ - St )+, K2 }, (9)

где K1 > K2 > 0 , а также найти стоимость опциона р”” = Xи рассмотреть ее свойства.

Согласно платежному обязательству (9), если St < K1, то продавец опциона

получает выплату в размере Д = K1 - St , если St > K1 - K2, и в размере Д = K2,

если St < K1 - K2.

Замечание 1. Дополнительные условия, вносимые в платежные обязательства экзотических опционов, могут быть как в пользу покупателя, так и в пользу продавца опциона, что в первом случае должно приводить к увеличению, а во втором

- к уменьшению цены опциона относительно стандартного опциона с платежной функцией fT (St ) = (K1 - St )+ . Очевидно, что опционы с платежной функцией

frmm ( St ) соответствуют платежным обязательствам в пользу продавца опциона, так как ограничивают выплату величиной K2.

2. Основные результаты

Далее всюду

ln- (r - 5 - —)(T -1) ln Kj - K2 - (r - 5 - —)(T -1)

St 2 A ' , ч St 2

z0(t)=--------wT-7------* zJ(t)=-----------------------WT-7-----------*

1<Г е* 2 ЪГ — ЪГ гг 2

1п -1 - (г - 5 + 0-)(Т - ') 1п -I--2 - (г - 5 + 0-)(Т - ')

+ 2 2

^ ---------------------------------• -’=(Г) =---------------------------------------• "0)

а -0, -х, -2, -3 определяются формулами (10) при '=0.

Теорема 1. Для опциона продажи с платежной функцией вида (9) стоимость опциона р™", капитал Х™" и портфель л™п = (уШ”, РШ”) определяются форму-

лами

ртт = -1в-гТ [Ф(-0 ) - Ф(-1)] + -2Ф(-1) - ^е-5Т [Ф(-2 ) - Ф(-3 )]; (11)

-гТ

5Т г

Х'тт = -Хе-Г(Т-')[Ф(-0 (')) - Ф(- ('))] +

+-2(Т-')Ф(- (')) - V-517-')[Ф(-2 (')) - Ф(-3 ('))];

ушт = _е-5(Т-')[ф(-2 (')) - ф(-з ('))] ;

(12)

(13)

РШ” = (Кг/В,)е-г(т-<)[Ф(го(/)}-Ф(^(0)] + (К2/В{)е-г(т-,)Ф(^)). (14)

Доказательство. Согласно общей теории платежных обязательств, на полных безарбитражных рынках [1 - 3]

Х'тіп = е-г (Т -')

Е ШЪ}, уШш =

дХ"

дs

Ршіп _ '=

5=5'

ушт Л#тт о

Х' -У' Б

Б'

(15)

где К* усреднение по рискнейтральной (мартингальной) мере Р*, а р"” = XО"1" . Так как, согласно (5) и (6), Р* = РД - г+5, то с учетом (3), (6) и (9),

X“п = е-(т-)К{ш1п{({ -%т)+,К2}|р}=(т-)е{-г+5 т1п{(Кг -8Т)+,К2}|р} =

= е-г(т-0 ^ ( Г Д - Г + 5(т - О Г Д - Г +

= е~г(Т -')Е < ехр <-

[Жт -Ж]--

сшіп <

—1 - 5' ехр

( о2 Л

уц -т

V У

(Т -')+о[Жт - Ж' Н , —2б }■.

у

Так как £(Т,') = [Жт - Ж] ~ N{0;Т -'}, то

■ ^ (Т-' )

т^шт _ ^

Х' =^2Г

ехр

- г + 5 Л

о -)Х

л/Т-Г--

(Т -') ( ц - г + 5

стіп <

—1 - Б' ехр

( _2 А

ц-

V ~ У

г (Т-')

(Т - ') + оWт - '

у

, -2 !> ехР <-

ёх =

.— I ехр <-ах -

л/2П і I

а2 I ) х2

Т Гехр ГТ

сшіп <

)( _2 л _ |у

—1 - Б' ехр I г - 5 —— (Т -') + ал/Т -' (х + а/ .

, —2 > ёх,

где а = [(ц - г + 5)/о]Т -' . Делая замену переменных - = х + а, получаем

T^mm _ Xt =

e r (T-t) 7 f z21

-----Imin

л/2п Очевидно, что

J exp<j—— Jmir

K1 - St exp

' 5 o2'

r - 5-----

V 2 У

(T-t)+zaVT-tl

Y

, K2\dz. (16)

min -

Kj - St exp

' 5 a2'

r - 5------

V 2 У

(T -1) + zaVT -1

\+

, k 2 =

0, если Kj - St exp{•} < 0;

= - Kj -St exp{•},если 0 < Kj -St exp{•} < K2; K2, если Kj - St exp{•} > K2.

Тогда из (16) и (17) следует, что

X

K р

mm _

r(T-t) z0(t)

\/2п

Z1(t)

J expJ-~zr1dz

Ke

r(T-t) Z[(t)

\/2л

J exp -- 1dz

Se-5(T-t) z°(t) f (z-a^T-tf 1

--jSГ J )exp {------------------2—J*,

где z0 (t) и z1 (t) являются корнями соответственно уравнений

St exp

' 5 a2'

r - 5------

V 2 У

St exp

' 5 a2'

r - 5------

V 2 У

(T -1) + za'jT-t J = K1,

(T -1) + zaVT-7 j = K1 - K2

(17)

(18)

и имеют вид (10). Замена переменных х = г - сл/т-7 в третьем интеграле в (18) с учетом того, что 20 (1) - <5уГГ~-1 = 22 (1) , 2Х (1) - Сл/ т - 1 = 23 (1) . "

а также свойств

__ и

(VV2n)Jexp{-х2Д}х = Ф(й)-Ф(а), Ф(х) + Ф(-х) = 1, Ф(да) = 1, (19)

приводит к (12), а (11) следует из того, что РШт = XШ1п [1-3].

Так как

дФ(Ь( 5)) = 1 ( 1 ,2 ( 0 56(£) дФ(-Ь(5)) дФ(Ь(5))

д5 >/2П ^2 | д5 ’ д5 д5

то дифференцирование (12) по 5 с учетом (20) дает, что

дх ш1п

-д-- = -е-5(т-1) [(Г2 (1)) - Ф(Гз (1))] + ¥ ;

д5

V = ¥1 - ¥2;

¥ = К е~г(т-) дф(20(1)) - 5е-8(т-) дФ(22(1)) .

1 1 д5 д5 ’

¥2 = (К1 - К2 )е-г(т-1) дФ(^)) - 5е-5(т-1) дФ(Гз(1)) .

д5 д5

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Использование (20) с учетом (10) дает, что

дФ( z (t)) = exp {-z?(t V2}

i = 0;3 . (25)

ds sa*J 2n(T -1)

Так как, согласно (10), z2 (t) = z0 (t) - a*JT -1, z3 (t) = z1 (t) - a\!T -1, то из (25) следует, что

= K1 ,eXp fjM eXp { - 5)(T - „),

ds s2aj 2n(T -1)

дФ( f3(t)) =------( - K 2) exp {-exp {-(r - 5)(T -1}. (26)

д5 5 2о>/2п(т -1)

Использование (25) и (26) в (23) и (24) дает, что ¥1 = 0 и ¥2 = 0, т.е. согласно (22) ¥ = 0. Тогда (13) следует из (15) и (21), а (14) - из (15), (12) и (13). Теорема 1 доказана.

3. Свойства

Пусть по определению (ршт) = дршт /да есть коэффициент чувствительности, определяющий зависимость стоимости опциона от параметра а.

Теорема 2. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимость стоимости опциона от начальной цены 50> базисного актива, от цены исполнения опциона К1 и от величины К2, ограничивающей выплаты по опциону, определяются формулами

(Рттт ) =-е~5т [ф(22) -Ф(23)],

(.РГ )К1 = е-гт [ф(20)-Ф(2!)], (Ртт1П )К2 = е-гт Ф(^), (27)

и при этом

(ртт1П ) < 0 , (рГтт )К1 > 0, (ртт1П )К2 > 0, (28)

т.е. по К\ и К2 стоимость опциона является возрастающей, а по £0 - убывающей функцией.

Формулы (27) следуют из (11) в результате дифференцирования по £0, К и К2 с использованием (10), (20), (25) и (26), а свойства (28) следуют очевидным образом из (27) с учетом того, что Ф(х) > 0, ф(у) > 0 (см. (1)), функция Ф(х) является монотонно возрастающей от Ф(-да) = 0 до Ф(+ю) = 1 со свойством

Ф(х) + Ф(-х) = 1, а 20 > 21 и 22 > 23 .

Экономическая интерпретация свойств (28) заключается в следующем. Убывание стоимости опциона с возрастанием начальной цены базисного актива £0 объясняется тем, что при этом в среднем возрастает £т, что приводит к увеличению вероятности не предъявления опциона к исполнению, а за увеличение риска следует меньше платить. Поскольку при увеличении К увеличивается вероятность предъявления опциона к исполнению и величина выплаты, то этим объяс-

няется увеличение цены опциона, так как за увеличение дохода и уменьшение риска следует больше платить. Увеличением дохода объясняется и рост цены опциона с ростом К2.

Замечание 2. Из (9) следует, что

1Ш1 /тп1п (^ ) = /т (^ ) = (К, - ^)+ , (29)

К 2 —ШК1

где /т (£т) есть платежная функция стандартного опциона продажи [1 - 4].

Следствие 1. Пусть Рт, Х(, у(, Р1 есть пределы РтШ1П, хш1п, гШ1П, РШ” при

К2 — К1. Тогда

Рт = кхе-гТ Ф(2е) - ^0е-5т Ф(22) ; (30)

X, = Кхе-г(-т-1) Ф( 20(1)) - 8,е-Ъ(т-1) Ф(22(1)); (31)

У( = -е-5(т-1) Ф(22(1)), р( = (Кх/В, )е-г(т-1) Ф(20(1)). (32)

Так как 21 = 23 = -да при К2 = К1, а Ф(-да) = 0 , то формулы (30) - (32) следуют из (11) - (14). Данный результат представляет собой полное решение задачи хеджирования для стандартного опциона продажи при наличии выплат дивидендов. В случае 5 = 0 , когда выплаты дивидендов отсутствуют, формула (30) переходит в формулу Блэка - Шоулса для опциона продажи [8].

Следствие 2. Величина АРт = Рт - рш1п, равная разности между стоимостью стандартного опциона продажи Рт и стоимостью экзотического опциона продажи Ртш1п , определяется формулой

ДРт = (К1 - К2)е~гТФ(21) - £0е-5тФ(23) (33)

и при этом

ДРт > 0, Рт > Ртшп , (34)

т.е. стоимость стандартного опциона больше стоимости экзотического опциона.

Формула (33) следует из (11), (30). Свойство Рт > р"1" следует из того, что согласно (28), РШт является возрастающей функцией К2 и при этом, согласно следствию 1, Ит ртт = Рт при К2 Т К1.

Экономическая интерпретация свойства (34) заключается в следующем. Поскольку в случае стандартных опционов с платежной функцией вида (29) отсутствуют ограничения на величину выплаты по опциону, то р”1” < Рт , так как за наличие ограничений, уменьшающих величину возможного дохода, следует меньше платить.

На рис. 1 представлены зависимости ршт и Рт от коэффициента волатильности с, вычисленные при К1 = £0 = 1, г = 0,05, т = 5, 5 = 0,01, К2 = К = 0,1,

К 2 = К 2 = 0,4, К2 = К 2 = 0,7. Взаимное расположение кривых отражает свойст-

во (34) относительно К2, а также свойство р"1" — Рт при К2 Т К1. Проведенные вычисления также подтвердили свойства возрастания стоимости опциона по К1 и убывания по , т.е. свойства (28) относительно и К1.

Рис. 1. Зависимость р1™11 при различных значениях К2 и РТ от ст

Согласно [1, 2], отрицательные значения составляющих минимального портфеля (минимального хеджа) п* = (у*, в*), капитал которого (см. (4))

X* = в*В, + у*Б{ обеспечивает выполнение платежного обязательства хт = !т, означают взятие соответствующего актива в долг, причем в соответствии с принципом безарбитражности в долг оба актива одновременно не могут браться. Анализ формул (13), (14) и (32) дает

уШ” <0, у, <0, вШ” > 0, Р( > 0. (35)

Таким образом, для опционов продажи акции берутся в долг и являются пассивом, а банковский счет в долг браться не может и является активом капитала

X™" . Тогда из (4) следует

Ршт п т^шіп . |„,шіп|о /-шіп . |„,шіп|о

т Вт = Хт + ут 5т = ]т + ут 5т . (36)

Следовательно, в момент т предъявления экзотического опциона продажи с платежной функцией (9) к исполнению капитал вШ”Вт, содержащийся на банковском счете, расходуется на выплату по опциону, равную /Ш1П, и на возврат акци-онного долга, равного |уШт|Ят . Согласно (35), подобным свойством обладает и стандартный опцион продажи.

Заключение

Проведено исследование одного вида экзотических опционов продажи с ограничением выплат для продавца опциона в диффузионной модели (5,5) - финансового рынка при наличии выплаты дивидендов по рисковым активам. Получены формулы, определяющие стоимость опциона, а также эволюцию во времени капитала и портфеля (теорема 1). Исследованы зависимости цены опциона от на-

чальной цены базисного актива, от цены исполнения и от величины, ограничивающей выплаты (теорема 2). Исследована связь между решениями задач для экзотического и стандартного опционов (следствия 1, 2). Дана содержательная интерпретация свойств решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. II. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 80-129.

2. ШиряевА.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998. 1017 с.

3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001. 253 с.

4. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007. 1052 с.

5. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бумаг. 2002. № 15. С. 53-57; № 16. С. 61-64; № 17. С. 68-73.

6. Rubinstein M. Exotic options // Finance working paper. 1991. Berkeley: Inst. of Business and Econ. Research, 1991. No. 220. 43 p.

7. Zhang P.G. An introduction to exotic options // Europ. Financial Manag. 1995. V. 1. No. 1. P. 87-95.

8. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Political Economy. 1973. V. 81. No. 3. P. 637-659.

9. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach // J. Financial Economics. 1979. V. 7. No. 3. P. 229-263.

10. Шепп Л.А., Ширяев А.Н. Новый взгляд на расчеты «Русского опциона» // Теория вероятностей и ее применение. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 130-148.

Андреева Ульяна Викторовна Демин Николай Серапионович Томский государственный университет

E-mail: [email protected] [email protected] Поступила в редакцию 10 апреля 2010 г.