Экзотические опционы купли с ограничением выплат и гарантированным доходом в модели Блэка Шоулса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ КУПЛИ С ОБЛИЧЕНИЕМ DMnnAT И rAPAHmDAHHblM ДОХОДОМ D МОДЕЛИ БЛЭKA-ШOУЛСД

H.C. Демин, У.В. Андреева

Дано решение задач хеджирования для трех видов экзотических опционов купли европейского типа с ограничением выплат и гарантированным доходом в случае выплаты дивидендов по базисному активу. Получены формулы, определяющие стоимости опционов, портфели (хеджирующие стратегии) и соответствующие им капиталы. Рассмотрены свойства решения.

Ключевые слова: финансовый рынок, опцион, платежная функция, капитал, портфель, хеджирование.

ВВЕДЕНИЕ

Опцион является производной (вторичной) ценной бумагой и представляет собой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право покупки или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного актива по оговоренной цене, а продавец за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению [1—4]. В первом случае имеем опцион купли (call option), а во втором — опцион продажи (put option). Если платежные обязательства характеризуются только ценой базисного актива в фиксированный момент исполнения опциона (спотовой ценой — spot price) и ценой исполнения контракта (страйковой ценой — striking price), то такие опционы являются стандартными опционами европейского типа. Развитие рынка опционных контрактов потребовало более сложных платежных обязательств, учитывающих как желание эмитента ограничить выплаты по опционам, так и желание покупателя опциона иметь гарантированный доход. Платежные функции с дополнительными условиями породили класс экзотических опционов (exotic options) [5—7]. В обзорной работе [5], написанной по материалам иностранной научной печати, отмечается, что хотя на западных финансовых рынках, особенно на внебиржевых, в настоящее время имеют хождение несколько десятков экзотических опционов, теория этих опционов мало разработана. Контракты по ним заключаются на основе эвристических сооб-

ражений и опыта работы дилеров с корректировкой классических формул Блэка—Шоулса [8] и Кокса—Росса—Рубинштейна [9], определяющих цены стандартных опционов соответственно в диффузионной и биномиальной моделях. В данной работе рассматриваются три вида опционов купли на диффузионном (B, S)-рынке: опционов с ограничением выплат, которые дают преимущество продавцу опциона; опционов с гарантированной выплатой, которые дают преимущество покупателю опциона.

Принятые обозначения:

P(-) — вероятность события; E(-) — математическое ожидание; I[A] — индикатор события A, т. е. I [A] = 1, если событие A происходит, и I[A] = 0, если не происходит; N{a; b} — нормальная (гауссовская) плотность с параметрами a и b; a+ = max{a; 0};

x 1 r \

Ф^) = J 9(y)dy, ф(у) = — expM-J . (В.1)

л/ — П

—ГУ1 ’

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Задача рассматривается на стохастическом базисе (О, F, ¥ = (¥){ > 0, Р) [1—3]. На финансовом рынке обращаются рисковые (акции) и безрисковые (банковский счет, государственные облигации) активы, текущие цены которых S^ и B^ в тече-

ние фиксированного интервала времени ? е [0, Т] определяются уравнениями [1—3]

с1Б{ = £^(цС? + стСЩ), СВ^ = гВ С, (1.1)

где первое уравнение есть стохастическое дифференциальное уравнение Ито, Щ — стандартный ви-неровский процесс, ст > 0, г > 0, ц е Я = (—да, + да), £о > 0, В0 > 0, решения которых имеют вид

^ = ^ехр{(ц - (ст2/2))? + стЩ},

В{ = В0ехр{г?}. (1.2)

Считаем, что текущее значение капитала инвестора X определяется в виде

Х = рА + уА (1.3)

где п ^ = (в, у) есть пара /-измеримых процессов, составляющая портфель ценных бумаг инвестора (стратегию инвестирования). Аналогично предполагается [10], что за обладание акцией выплачиваются дивиденды в соответствии с процессом со скоростью 8уД, пропорциональной рисковой части капитала с коэффициентом 8 таким, что 0 < 8 < г, т. е. = 8уДС?. Тогда капитал в задаче с дивидендами изменяется как с1Х( = р^СВ^ + + СБ.

Так как йХ1 = Р^СВ^ + у(С£^ + В^Ср^ + StdYt, то В^Ср^ + + £^Су^ = СЬ , что является балансовым соотношением, заменяющим условие самофинансируемос-ти В^Ср^ + Stdft = 0 в стандартной задаче [1—3]. Тогда из выражений (1.1) и (1.3) следует, что капитал определяется уравнением СХ( = гХ^ + сту^СЩц - Г+8, где согласно теореме Гирсанова [1—3] процесс Щ - Г + 8 = Щ + ((Ц — г + 8)/ст)? является винеров-ским относительно меры Рц г+8 такой, что

срр- -г +8 = - г+8 ср, (1.4)

Так как Ьст(Щц г + 8|Рц г + 8) = Zaw(W |Р), то [1, 2]

Таким образом, Ьам>(Б(ц, г, 8)|Рц- г +8} = = Ьам>(Б(г, 8)|Р), т. е. вероятностные свойства процесса £(ц, г, 8), определяемого уравнением

СД(ц, г, 8) = S^(ц, г, 8)((г — 8)С? + стСЩц-г+8),

относительно Рц г + 8, совпадают со свойствами процесса Б(г, 8), определяемого уравнением

С£(г, 8) = Б(г, 8)((г — 8)С? + стСЩ),

относительно меры Р. Это означает, что мера Рц г + 8, определяемая в виде (1.4), (1.5), является риск-нейтральной (мартингальной) мерой [1—4].

Ставится задача: таким образом управлять капиталом, т. е. сформировать портфели (хеджирующие стратегии) п* = (у*, р*), чтобы соответствующие им капиталы X/ = р* В + у* £обеспечили

выполнение платежных обязательств X* = / относительно платежных функций

/т = /Г“ (£т) = шт{(^т — К/, К2}, (1.6)

/т = /Гах1 (£т) = шах{(£т — К,), К2}, (1.7)

/т = /Гах2(£т) = шах{(£т — К,), К2}1 [^ > К,], (1.8) где К1 > 0, К, > 0, а также найти стоимости опци-

^-г шт _ т^шт ^ тах 1 _ т^тах 1 ^ тах2 _ т^тах2

онов Ст — Хо , Ст — Хо , Ст — Хо и рассмотреть их свойства.

Согласно платежному обязательству (1.6) если £т > К1, то владелец опциона предъявляет его к исполнению и получает выплату в размере А = £т — К1, если £т < К1 + К2, и в размере А = К2, если £т 1 К1 + К2. Согласно платежному обязательству (1.7) владелец опциона может всегда предъявить его к исполнению, получая гарантированную выплату А = К2, если £т < К1 + К2, и выплату в размере А = £т — К1, если £т > К1 + К2. В случае платежного обязательства (1.8) опцион предъявляется к исполнению только при выполнении условия £т > К1, а далее выплаты осуществляются как и

шах1 для /т (£т).

Замечание 1. Дополнительные условия, вносимые в платежные обязательства экзотических опционов, могут быть как в пользу покупателя, так и в пользу продавца опциона, что в первом случае должно приводить к увеличению, а во втором — к уменьшению цены опциона относительно стандартного опциона с платежной функцией

/т(£т) = (£т — К1)+. Очевидно, что опционы с пла-

тежной функцией /“" (£т) соответствуют платежным обязательствам в пользу продавца опциона, а с платежными функциями /тах1 (£т) и /тах2 (£т) —

шах1

в пользу покупателя опциона, причем с /т (£т) в большей мере, чем с /тах2 (£т). ♦

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Далее всюду

- - (, - 5 - ^)( г- 0

** =-------------Ї7т=7----------■

, К, + К2 ( а2л _

Іп --ї--2 - - 6 - аг)< Т- О

г'{,) =--------------ОШ-------------■

|п - - (г - 6 + |)( Т - П

^2 = -------------Щ=,-----------’

ІП ЦЪ - (г - 6 + Й( Т - ,)

^ = * аУТ-7 -------------------■ (21)

а г0, z1, г2, г3 определяются формулами (2.1) при , = 0.

Теорема 1. Для опциона с платежной функцией вида (1.6) стоимость опциона С™п, капитал Хтп

, тіп / тіп „ тіп ч ,

и портфель п, = (у, , р, ) определяются фор-

мулами

стіп = *ое 5 Т[Ф^) - Ф(*2)] -

- Ків~гТ[Ф(іі) - Ф(го)] + -2Є~гТФ(-Іі), (2.2) х,тіп = *е-5(Т- ^(г^)) - Ф(^2(,))] -

- К,е-Г( Т-°[Ф(гі(,)) - Ф(2о(,))] +

+ -2вг{Т ^(-гДО),

(2.3)

утш = е 8(т ^)[ф(гз(?)) — ф(г2(/))], (2.4)

рШ“ = —(К1/В)е~г (т- ^(гДО) — ф^))] +

+ (К^е-^-^егДО). ♦ (2.5)

Теорема 2. Для опциона с платежной функцией

шах1 шах1

вида (1.7) стоимость опциона Ст , капитал Хт

і тахі / тахі птахі ч -л

и портфель п, = (у, , Р, ) определяются

формулами

С

тахі

= *оЄ 5ТФ(-гз) - -іе ГТФ(-гі) + + —2е- т ТФ(гі),

хтахі = *е-5( Т-/)Ф(-г3(,)) - Кіе + К2е-т( Т-,)

утахі = е- 5( т -/)ф(-гз(,))

-гТФ(-^і) +

(2.6)

- *^-т( Т-/)Ф(-гі(?)) + Ф(гі(0), (2.7)

(2.8)

втахі = -(—і/В/)е-т(Т -/)Ф(-гі(,)) +

+ (—2/В/)е-г( Т -/)Ф(гі(,)). ♦ (2.9)

Теорема 3. Для опциона с платежной функцией

тах2 тах2

вида (1.8) стоимость опциона С т , капитал Xт

тах2 тах2 тах2

и портфель п, = (у, , в/ ) определяются

формулами

С т

= *ое 5 ТФ(-гз) - —іе тТФ(-гі) + + —2е- т Т[Ф(гі) - Ф(2о)],

(2.10)

хт

тах2 = *е- 5( Т -,)ф—

г Ф(-гз(?)) - —іе т( Т ^(-^(О) +

[ф(гі(0) - Ф(го(?))], (2.11)

+ К2е- т( Т -,)

Утах2 = е- 5( Т - °[Ф(-г3(?)) +

+ I -=2

КЛ е-т( Т- ^

4Т-г

(2.12)

тах2 е

-Г (Т- ,)

В,

Кф(п№

К^(О) - Ф(%Ш

К2Ф( ^о( ,))

Тл/Т-7

(2.13)

Доказательства теорем 1—3 см. в Приложении. Следствие 1. Связь между решениями задач с платежными функциями (1.7) и (1.8) определяется формулами

СТах2 = СТах1 — К2е-гтф(г0), (2.14)

Хтах2 = Хтах1 — К2е-Г( т -°Ф(г0(0),

тах2 тах і

у,

У,

Кі\ е-т( Т- ’

г а

4т-і

^тах2 ____ о тах і

р, = р,

К2е

-т (Т-,)

В,

Ф( £о(,)) +

Ф ( ^о ( 0 )' а^Т-і -

Данное утверждение следует непосредственно из формул (2.6)—(2.13).

З. СВОЙСТВА

Пусть по определению (Ст)а = ЗСт/За есть коэффициент чувствительности, определяющий зависимости стоимостей опционов от параметра а.

Теорема 4. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимости стоимостей опционов от начальной цены Б0 базисного актива, от цены исполнения опционов К1 и от величины К2, ограничивающей выплаты по опциону в случае платежной функции (1.6) и гарантирующей доход в случае платежных функций (1.7) и (1.8), определяются формулами £

(СТ“) ° = е-8т[Ф(гз) — ф^)],

• К „

(СТ11) = — е гт[Ф(г1) — Ф(г,)],

K2

min 2 r

(CT) = e Ф(-Zi),

K

, /-»maxK—б T-z \ / z-rmaxL 1 — rT^/ \

(CT ) = e Ф(-Z3), (CT ) = -e Ф(-Zi),

(3.1)

,/imaxK K2 —rT»/ ч

(CT ) = e Ф(^),

(3.2)

, ,^max24—5 тл/ ч . (К2) e -T / ч

( CT ) = e Ф(—Z3) + |К) — Ф(Zo),

So aJT

max2 K1

r

( CT"2) ■ = -e—rT0(-Zl) - Г2) -2-;= ф(5п)

К1) ajT

o

(CTax2 )K2 = erT[Ф(Zl) - Ф^)], (3.3)

при этом

. S0 . K, . K2

( c Tin) > о, ( cTin) < о, (CTin) > о,

1 S0 , k, , K2

(CTax1) > 0, (CT ) < 0, (CT ) > 0, (3.4)

!max!

max2 K1

max2 K2

(с^ ) > 0, (С^ ) < 0, (С ? ) > 0,

т. е. по *о и К2 опционы являются возрастающими, а по Кі — убывающими функциями. ♦

Формулы (3.1)—(3.3) следуют из формул (2.2), (2.6) и (2.10) в результате дифференцирования по *о, Кі и К2 с учетом формул (2.1) и выражений (П.6), (П.11) и (П.12) — см. Приложение, а свойства (3.4) следуют очевидным образом из формул (3.1)—(3.3) с учетом, что Ф(х) > 0, ф(у) > 0 (см. формулы (В.1)), функция Ф(х) монотонно возрастающая от Ф(-да) = 0 до Ф(+да) = 1 со свойством Ф(х) + Ф(-х) = 1, а гі > го и г3 > 1Т

Экономическая интерпретация свойств (3.4) заключается в следующем. Возрастание стоимостей опционов с возрастанием начальной цены базисного актива *о объясняется тем, что при этом в

среднем возрастает ST что приводит к увеличению выплат и к увеличению вероятности предъявления к исполнению опционов с платежными функциями (1.6) и (1.8) и к увеличению выплат в случае функции (1.7), а за уменьшение риска и увеличение дохода следует больше платить. Увеличением дохода объясняется и рост цен опционов с ростом K2. Поскольку при увеличении Kj уменьшается размер возможных выплат по всем опционам, а для опционов с платежными функциями (1.6) и (1.8) к тому же уменьшается и вероятность их предъявления к исполнению, то этим объясняется уменьшение цен опционов с ростом Kj, так как за уменьшение дохода и увеличение риска следует меньше платить.

Замечание 2. Из формул (1.6) и (1.8) следует, что

lim /min (St) = lim /Г"2 (ST) = fT(ST) =

K2 —— ^ K2 —— 0

= (St - Kx)+, (3.5)

где fT(ST) — платежная функция стандартного опциона купли [1—4]. ♦

Следствие 2. Пусть CT, Xt, Yt, Pt есть пределы

min x^min min n min Ts ^ 3

C t , Xt , Yt , Pt при K ^ го либо пределы

max 2 vmax 2 max 2 n max 2 Ts n rr -s

Ct , Xt , Yt , Pt при K ^ 0. Тогда

C t = S0e-5 тФ(-г2) - Kje~r тФ(-г0), (3.6)

X = £e-5(T- 4(-z2(t)) - Kje~r{T- 4(-zo(0), (3.7)

tt

Yt

= e 5(T ^Ф/2—

'Ф(^2(0), 0—r(T — *W_

Р, = -(Кі/В,)е Т(Т г)Ф(-2о(?)).4 (3.8)

Так как Ф(гі) = Ф(г3) = 1 при К2 ^ да, то формулы (3.6)—(3.8) следуют из формул (2.2) — (2.5) с учетом свойства Ф(х) + Ф(- х) = 1. Так как z1 = 1о и £3 = £2 при К2 = 0, то аналогичным образом формулы (3.6)—(3.8) следуют из формул (2.10)—(2.13).

Данный результат представляет собой полное решение задачи хеджирования для стандартного опциона купли при наличии выплат дивидендов. В случае 8 = 0, когда выплаты дивидендов отсутствуют, формула (3.6) переходит в формулу Блэ-ка—Шоулса [8].

Следствие 3. Для стоимостей рассмотренных опционов справедливы соотношения

cmaxl > cm»2 > cT > c™11. ♦

(3.9)

~ /-гшах1 ^ /-гшах2

Свойство Ст > Ст следует непосредственно из формулы (2.14). Свойства СТ^2 > Ст > С™1 следуют из того, что согласно свойствам (3.4)

/-гшах2 /-гш1п ту

С т и С т — возрастающие функции К и при

этом, согласно следствию 2, Иш С^2 = Ст при

К2 4 0, а Иш СТ1п = Ст при К2 Т да.

Экономическая интерпретация свойств (3.9) заключается в следующем. Поскольку в случае стандартных опционов с платежной функцией вида (3.5) отсутствуют ограничения на размер выплаты

ш1п

по опциону, то С т < Ст, так как за наличие ограничений, уменьшающих размер возможного дохода, следует меньше платить. Свойства С^1 > Ст

и СТах2 > С объясняются тем, что за возможность получения гарантированного дохода следует боль-

гч « /-гшах2 / /-гшах1 г

ше платить. Свойство С т < С т объясняется наличием дополнительного условия £т > К1, в котором заключена возможность непредъявления опциона к исполнению, а за возрастающий риск следует меньше платить. На рисунке представлены

/-гт1п /-гшах1 /-гшах2 /-,

зависимости С т , С т , С т и С т от волатильности ст, вычисленные при К1 = 8, К2 = 10 и £0 = 12. Взаимное расположение кривых отражает свойство (3.9). Проведенные вычисления также подтвердили свойства возрастания стоимостей опционов по £0 и К2 и убывания по К1, т. е. свойства

(3.4), а также стремления С™1 к Ст при К2 ^ да и

Стах2 к Ст при К2 ^ 0, т. е. свойства следствия 2.

Отрицательные значения составляющих минимального портфеля (минимального хеджа) [1, 2]

п* = (У*, р*), капитал которого (см. формулу (1.3)) Х* = р* В, + у* £ обеспечивает выполнение платежного обязательства Х* = /т, означают взятие соответствующего актива в долг, причем в соот-

У,

ртіп >< 0,

Утахі > 0,

Ртахі >< 0,

ветствии с принципом безарбитражности в долг оба актива одновременно не могут браться. Анализ формул (2.4) и (2.5), (2.8) и (2.9), (2.12) и (2.13), а также (3.8) дает:

N. п шах1 N п шах2 Nч^ п \ п.

> 0, у, > 0, у, > 0, Уt > 0;

рш^2 >< 0, р, < 0.

Таким образом, для опционов купли акции в долг браться не могут, а банковский счет может быть как активом, так и пассивом, т. е. взятым в долг, причем в случае стандартного опциона он берется только в долг. Если р* < 0, то

у* £т = Х* + Гт|Вт = /т + | р*т |В т.

Следовательно, если у инвестора имеется банковский долг, то в момент Т предъявления соответствующего опциона купли к исполнению капи*

тал у т £ *, содержащийся в акциях, расходуется на выплату по опциону, равную /т, и на возврат банковского долга, равного | р^ |Вт. Если р^ > 0, то на выплату по опциону используется сумма капиталов, содержащихся в акциях у*т £ * и на банковском счете р* В .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполнено исследование трех видов экзотических опционов купли с ограничением выплат для продавца опциона и гарантированным доходом для покупателя опциона в диффузионной модели (В, £)-финансового рынка при наличии выплаты дивидендов по рисковым активам. Получены формулы, определяющие стоимости опционов, а также эволюцию во времени капиталов и портфелей (теоремы 1—3). Исследованы зависимости цен опционов от начальной цены базисного актива, от цены исполнения и от величины, ограничивающей выплаты и гарантирующей доход (теорема 4). Исследована связь между решениями задач для экзотических и стандартных опционов (следствия 1—3). Дана содержательная интерпретация свойств решения.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Согласно общей теории платежных обязательств на полных безарбитражных рынках [1—3]

X* = е

е*{/#;}, у* =

_ ах;

дs

$ = St

у-,тах1 у-,тах2 ^

Соотношения между величинами Ст , Ст , Ст и Ст

в* =

_ X*-гл

в,

(П.1)

где E * усреднение по риск-нейтральной (мартингаль-

т =

ной) мере P *, а CT = X0 • Так как, согласно выражениям

(1.4) и (1.5), P* = Pц r +8, то с учетом соотношений

(1.2), (1.5) и (1.6),

Xtmin = e-r(T- *{min{(ST - Kj)+, K2}|Ft} =

= e-r(T- °£{Z£-Г +8 min{(ST - Kj)+, K2}|Ft} =

= e-r(T - {exp <| - -r + 8) [WT- Wt] -

- (7)0 (t-S+J)2 jmin{Stexp{(^ - a2/2)(T- t) +

+ а[Жт - WJ} - Kf, K2}\St|.

Так как £(T, t) = [WT - Wt] ~ #{О; T - t}, то

-r(T-t)

min e X =

л/2"Л

I exp-J--r + 8) xjT-t -

min{(Stexp{(^ - a/2)(T - t) +

+ axVT- t } - K1)+, K2}exp(-x2/2)dx =

e

,-r (T-t)

J2n

J exp(-ax - a2/2)exp(-x2 /2)min{(Stexp{(r - 8 -

- a2/2)(T - t) + a,/T-7 (x + a)} - K1)+, K2}dx,

где a = [(e - r + S)/a] VT- t . Делая замену переменных Z = x + a, получаем

X min = e

-r (T-t)

| exp{-z2/2)min{(Stexp{(r - 8 - ct2/2) s

л/2Й v

s (T - t) + za-/T-7 } - Kj)+, K2}dz. (П.2)

Очевидно, что

min{(Stexp{(r - 8 - a2/2)(T- t) + zaVT-7 } - Kj)+, K,} = ' 0, если Stexp (•) - Kj < 0;

= < Stexp(•) - Kj, если 0 < Stexp(•) - K < K2; (П.3)

^ K2, если Stexp (•) - K > K2.

Тогда из выражений (П.2) и (П.3) следует, что

-8(T-t) z1(t)

Т7-І1Ш1 ___

Xt =

Ste

jrn

I exp{ (z - ctVT- t ) /2}dz -

K1e

z0(t) -r(T-t) z1(t)

л/2Й

| exp(-z2/2)dz +

Zo( t)

+

K2e

,-r( T-t)

V2n

I exp{-z2/2}dz, (П.4)

Zi( t)

где Zq(7) и Zj(t) — корни соответственно уравнений

Stexp{r - 8 - (a2/2))(T- t) + zct*/T-7 } = K и Stexp{r - 8 - (a2/2))(T - t) + zctVT-7 } = K + K2

и имеют вид (2.1). Замена переменных х = z — а^Т-7 в первом интеграле в выражении (П.4) с учетом, что

Z0(t) - a,JT- t = Z2(t), Z1(t) - aVT- t = Z3(t),

а также

(1/72П ) |ехр(—х2/2)йХ = Ф(Ь) — Ф(а),

а

Ф(х) + Ф(—х) = 1, Ф(да) = 1, (П.5)

приводит к формуле (2.3), а формула (2.2) следует из то-

/-тшш ^шт м -ч-.

го, что Ст = Х0 [1—3].

Так как

ШШ - -^ехр (-162(-))§++),

д- Т2Л 4 2 ) д-

дФ ( -Z) ( s) ) = - дФ ( b( s) )

ds ds ,

то дифференцирование формулы (2.3) по s дает

(П.б)

дХ

t _ -s(T - t)

дя

= e 0(J Ч[Ф(^(0) - Ф(г,(/))] + V, (П.7)

(П.8)

¥1 = K1e-r(T-1)дФ (Z« ( t) ) - se-s(T-1)дФ (Z;( t)), (П.9)

дя

дя

¥2 = (K1 + K2)e

-r(T - t) дФ( Zi( t))

дя

- se-g(r - t) дФ (Z3 ( t) )

ds .

Из выражений (П.6) и (2.1) получим

(П.1О)

аФМО) = -ехр(^,(<)/2), ,= 5-з. (ПЛ[)

д- -а*/2 п(Т- г)

Так как, согласно формуле (2.1), z2(t) = z0(t) — а*/Т- г, Zз(t) = z1(г) - аУТ-7 , то из равенства (П.11) следует, что

= - -2-#= ехР(- z0 (г)/2) -

- а*/2п( Т- г)

X ехр[ (г - 8)(Т- г)],

дФ (53( г)) = - 2 ( К1 + ^2 ) ехр(-z2 (г)/2)ехр[-(г - 8) X д- - ал/2п( Т- г)

х (Т - г)]. (П.12)

Учет выражений (П.11) и (П.12) в формулах (П.9) и (П.10) дает, что ^1 = 0 и у2 = 0, т. е. согласно формуле (П.8), у = 0. Тогда формула (2.4) следует из выражений (П.1) и (П.7), а формула (2.5) — из выражений (П.1),

(2.3) и (2.4). Теорема 1 доказана.

да

да

Доказательство теоремы 2. С учетом формулы (1.7) получаем аналогично выражению (П.2), что

X

maxi

,-r(T-t)

л/2й

J exp(-z2/2)max{Stexp{(r - 8 - ст2/2) s

s (T- t) + zvJT-t } - K1, K2}dz. (П.1З)

Очевидно,

2/

ax{Stexp{(r - 8 - a/2)(T - t) + zctVT-7 } - Kj, K,} = [Stexp(•) - Kj, если Stexp(•) - K1 > K2,

L K2, если Stexp (•) - K1 < K2.

(П.14)

Тогда из выражений (П.13) и (П.14) с учетом формул (2.1) аналогично выражению (П.4) следует, что

се- 8(Т-0 ■» _____

^шах1 = ? _ | exp[-(z - )2/2]* -

л/2Й

K1e

Zl(t)

r(T-t)

J2n

I exp(-z2/2)dz +

Zl(t)

+

K2e

-r(T-t) zl(t)

л/2Й

I exp(-z2/2)dz. (П.15)

Замена переменных х = z - а*/Т- г в первом интеграле в формуле (П.15) с учетом выражения (П.5) и что

Z1(7) - а VТ- г = Zз(7), приводит к формуле (2.7), а фор-

/'ч /-,шах1 т^шах 1 г < -1

мула (2.6) следует из того, что Ст = Х [1—3].

Дифференцирование (2.7) по - дает аналогично (П.7)—(П.10), что

шах1

дХ,

дд

= e-8(T- t)Ф(-Zз(t)) + ¥,

(П.1б)

¥ = se-g(T-1)дФ (-z3 ( Q ) - K1e-r(T-1)дФ (-z1 (0) +

дд

дд

+ K2e

_r(T - t) дФ ( Z1 ( t) )

д.5 '

(П.17)

Учет выражений (П.11) и (П.12) в формуле (П.17) дает, что у = 0. Тогда формула (2.8) следует из выражений (П.1) и (П.16), а формула (2.9) — из выражений (П.1), (2.7) и (2.8). Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. С учетом формулы (1.8) получаем аналогично выражениям (П.2) и (П.13), что

Xt

max2 e

-r(T-t)

V2n

I exp(-z2/2)max{Stexp{(r - 8 - ct2/2) x

s (T- t) + zctVT-7 } - Kj, K2}1[Stexp{(r - 8 - a2/2) s s (T- t) + zvjT-t } > Kj]dz. (П.18)

Очевидно, что max{Stexp{(r - 8 - a2/2)(T - t) + zctVT- t } -- Kj, K2}1[Stexp{(r - 8 - a2/2)(T- t) + zctVT-7 } > Kj] = ' 0, если Stexp (•) < K1,

= < K2, если K1 < Stexp(•) < K1 + K2, (П.19)

^Stexp(•) - K1, если Stexp(•) > K1 + K2.

Из выражений (П.18) и (П.19) с учетом формул (2.1) аналогично выражениям (П.4) и (П.15) следует

„ Se-8(T-t) ю _

X,m = t _ J exp{-(z - vjr-t )2/2}dz -

V2n

K1e

Zl( t) r(T-t)

I exp( z2/2)dz +

+

K2e

zl( t) r(T-t) zl(t)

I exp(-z2/2)dz. (П.2О)

л/2Й

Zo( t)

Тогда формула (2.11) следует из выражения (П.20) аналогично тому, как формула (2.7) следовала из выражения (П.15), а формула (2.10) следует из того, что

шах2 шах2

Ст = Х0 [1 3].

Дифференцирование формулы (2.11) по - дает аналогично выражению (П.16), что

шах2

дх;1

= e-s(T -1),

дд

- Ke-r(T -1)дФ (Zo ( t) )

K дs

Ф(^з(0) -

¥,

(П.21)

где у имеет вид (П.17). Так как у = 0, то формула (2.12) следует из выражений (П.1) и (П.21) с учетом формулы (П.11) при i = 0 и (В.1), а формула (2.13) — из выражений (П.1), (2.11), (2.12). Теорема 3 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения / А.Н. Ширяев, Ю.М. Кабанов, Д.О. Крамков, А.В. Мельников / — 1994. — Т. 39, вып. 1. — С. 80—129.

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: Фазис, 1998. — 1017 с.

3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. — М.: ГУ ВШЭ, 2001. — 253 с.

4. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. — М.: Вильямс, 2007. — 1052 с.

5. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бумаг. — 2002. — № 15. — С. 53—57; № 16. — С. 61—64; № 17. — С. 68—73.

6. Rubinstein M. Exotic options // Finance working paper. 1991. — Berkeley: Inst. of Business and Econ. Research, 1991, N 220. — 43 p.

7. Zhang P.G. An introduction to exotic options // Europ. Financial Manag. — 1995. — Vol. 1, N 1. — P. 87—95.

8. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. of Political Economy. — 1973. — Vol. 81, N 3. — P. 637—659.

9. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach // J. of Financial Economics. — 1979. Vol. 7, N 3. — P. 229—263.

10. Шепп Л.А., Ширяев А.Н. Новый взгляд на расчеты «Русского опциона» // Теория вероятностей и ее применение. — 1994. — Т. 39, вып. 1. — С. 130—148.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Е.Я. Рабиновичем.

Демин Николай Серапионович — д-р физ.-мат. наук, профессор, Андреева Ульяна Викторовна — аспирант, И [email protected], Томский государственный университет, S (3822) 52-92-99.

да

да

да