Научная статья на тему 'Экзотические опционы продажи на диффузионном (b,p)-рынке облигаций в случае модели Халла Уайта'

Экзотические опционы продажи на диффузионном (b,p)-рынке облигаций в случае модели Халла Уайта Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
181
53
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОПЦИОН / ОБЛИГАЦИЯ / ХЕДЖИРОВАНИЕ / КАПИТАЛ / ПОРТФЕЛЬ / OPTION / BOND / HEDGING / CAPITAL / PORTFOLIO

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Демин Николай Серапионович, Толстобоков Вячеслав Васильевич

На основе опосредованного подхода осуществлен вывод формул для стоимости опциона, портфеля и капитала Европейского опциона продажи с гарантированным доходом для обладателя опциона и с ограничением выплат для инвестора на диффузионном (B,P)-рынке облигаций. Исследованы свойства решения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Демин Николай Серапионович, Толстобоков Вячеслав Васильевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

By making use of direct approach the option value, hedging strategy (portfolio) and corresponding capital of portfolio are calculated. The properties of options are investigated.

Текст научной работы на тему «Экзотические опционы продажи на диффузионном (b,p)-рынке облигаций в случае модели Халла Уайта»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010

Управление, вычислительная техника и информатика

№ 2(11)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.865

Н.С. Демин, В.В. Толстобоков

ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ ПРОДАЖИ НА ДИФФУЗИОННОМ (В,Р)-РЫНКЕ ОБЛИГАЦИЙ В СЛУЧАЕ МОДЕЛИ ХАЛЛА - УАЙТА

На основе опосредованного подхода осуществлен вывод формул для стоимости опциона, портфеля и капитала Европейского опциона продажи с гарантированным доходом для обладателя опциона и с ограничением выплат для инвестора на диффузионном (В,Р)-рынке облигаций. Исследованы свойства решения.

Ключевые слова: опцион, облигация, хеджирование, капитал, портфель.

Опцион на финансовых рынках является одной из наиболее распространенных вторичных (производных) ценных бумаг, поскольку дает право, а не обязанность, предъявить его к исполнению [1 - 5]. Покупатель опциона приобретает право покупки или продажи оговоренного в контракте базисного актива по оговоренной цене, а продавец опциона (эмитент, инвестор) за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование владельца опциона при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли (call option), а во втором - опцион продажи (put option). Если платежное обязательство характеризуется только ценой базисного актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения, то такие опционы являются стандартными.

Развитие финансовых рынков потребовало использования более сложных платежных обязательств, учитывающих, с одной стороны, желание обладателя опциона иметь гарантированный доход, а с другой - желание инвестора ограничить выплаты по опционам, что породило класс экзотических опционов [6, 7]. Эта проблематика достаточно исследована, когда в качестве базисного актива используется акция ((B, 5)-рынок), и является малоисследованной, когда в качестве базисного актива используется облигация ((B, Р)-рынок). В данной работе представляется исследование трех видов экзотических опционов продажи Европейского типа на диффузионном (B, Р)-рынке облигаций на основе опосредованного подхода: двух опционов с гарантированным доходом, которые дают преимущество владельцу опциона; опциона с ограничением выплат, который дает преимущество продавцу опциона.

Используемые обозначения: £{•} - математическое ожидание; Р{-} - вероятность события; N{b;D} - нормальная (гауссовская) плотность с параметрами b и D;

1. Постановка задачи

В теории облигаций используется два основных подхода к заданию стоимости облигации - опосредованный и прямой [2]. В случае опосредованного подхода стоимость облигации определяется через краткосрочную процентную ставку, а в случае прямого, известного как модель Хиса - Джерроу - Мортона (HJM-модель) [8], через форвардную процентную ставку. В данной работе используется опосредованный подход.

Рассмотрение задачи ведется на стохастическом базисе (Q, F, (Ft)t>0, P) [2, 3]. Следуя [2, 3, 9], введем следующие характеристики (B, Р)-рынка облигаций. Стоимость B(t) в момент времени t банковского счета такова, что

B (t ) = exp jjr (5) ds J, (2)

где r(t) - некоторый стохастический процесс процентной ставки. Основное предположение относительно процесса r(t) состоит в том, что это есть диффузионный гауссовско-марковский процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением

dr(t) = (a(t) - b(t)r(t)) dt + d(t)dWt, r(0) = r0 , (3)

где Wt - винеровский процесс, функции a(t), b(t), d(t) - детерминированные функции, причем

T

J((t)| + |b(t)| + d2(t))t <<x . (4)

0

Замечание 1. Модель процентной ставки, описываемая уравнением (3) есть не что иное, как модель Халла - Уайта [10, 11], частными случаями которой являются модели Мертона, Васичека, Хо - Ли [2].

Стоимость Pt (T1) в момент времени t бескупонной облигации со сроком погашения T1, согласно теореме 1, п. 5а из [2], определяется формулой

Pt (Г1) = E | exp j - J r (s)ds J

FtJ ,0 < Pt (T1) < 1. (5)

Утверждение 1 [2]. Если краткосрочная процентная ставка г(/) подчиняется уравнению (3) и выполнено условие (4), то уравнение (3) имеет, и при этом единственное, решение

г(,) = 8(,){г(0) , (6)

[ 0 Я (х) 0 Я (х) ]

где g(t) = exp j-J P(s)ds J (7)

- фундаментальное решение уравнения

t

g(t) = 1 -JP(s)g(s)ds . (8)

Утверждение 2 [2]. Процесс Pt(Tl) имеет эквивалентное (5) представление в виде уравнения

Pt (T1) = exp {At (T1) - r(t)Bt (T1)} , (9)

где

1 t1

A (T1) = - J

t

1

f g^u)d(s)du

S g(s)

2

ds -f f g(u)d(s)ds J J g (s)

du, (10)

T1

Bt (t1) = J gu) du, (

t g(t)

Замечание 2. Модели цен облигаций, которые представляются в виде (9), называются однофакторными аффинными моделями согласно терминологии п. 4c, гл. III из [2].

Что же касается динамики процесса цен P(Tl) облигации, то будем предполагать, что относительно исходной меры на (Q, F, (Ft)t>0, P) процесс

Pt (T1 ) = Pt (T1)/B (t), являющийся дисконтированной относительно банковского

счета ценой облигации, является мартингалом [2, 3], а в силу теоремы 1, п. 5а, гл. VII из [2], рассматриваемый рынок является безарбитражным [1 - 3].

Инвестор в момент времени t формирует капитал

X = etB (t) + ytPt (T1), t e [0, T], T < T1, (12)

состоящий из банковского счета B и бескупонной облигации P(T1) со сроком погашения T1. Задача инвестирования на таком (B, P^bm^ заключается в следующем: сформировать портфель (хеджирующую стратегию) п* = (Р*, у*) таким образом, чтобы эволюция капитала X* в соответствии с (12) обеспечила в момент T < T1 выполнение платежного обязательства

XT = fT, (13)

где fT > 0 - платежная функция, T - фиксированный момент исполнения опциона, то есть рассматриваются опционы европейского типа [1 - 3].

В данной работе исследуется проблема хеджирования для опционов купли с платежными функциями соответственно вида (a+=max{a;0})

fmax1 = max {*1 - Pt (T1), K2} ; (14)

frx2 = max {*1 - Pt (T1), K2}I [Pt (T1) < K ] ; (15)

fmin = min {(K1 - Pt (T1))+ , K2 j , (16)

где K1 > 0, K2 > 0, I[A] - индикатор события A, т. е. I[A]=1, если событие A происходит и I[A]=0, если событие A не происходит.

Согласно платежному обязательству (14), владелец опциона может всегда предъявить его к исполнению, получая гарантированную выплату К2 , если PT(T1) > K - K2, и выплату в размере K1 - PT(T1), если PT(T1) < K1 - K2. Согласно платежному обязательству (15), владелец опциона предъявляет его к исполнению

только при выполнении условия Р^Т1) < К\. В результате владелец опциона получает гарантированную выплату К2, если РТ(Т1) > К — К2, и выплату в размере К - РКТ1), если Р^Т1) < К] — К2. Согласно платежному обязательству (16), если РКТУКь то покупатель опциона предъявляет его к исполнению и получает выплату в размере К — Р^Т1), если Р^Т1) > Кь — К2, и в размере К2, если РТ(Т1) < К — К2.

Замечание 3. Платежные функции (14), (15) дают преимущество владельцу опциона, так как гарантируют ему выплату, равную К2, в случае (14) всегда и в случае (15) при выполнении условия РТ(Т1) < К1. Платежная функция (16) дает преимущество инвестору, так как ограничивает его выплаты по опциону величиной К2.

Структура статьи следующая. В п. 2 вынесены основные результаты для опционов продажи, для которых получены формулы, определяющие цены опционов, а также хеджирующие стратегии (портфели) и соответствующие им капиталы, обеспечивающие выполнение платежных обязательств. В п. 3 исследуются свойства решения.

Обозначим

2. Основные результаты

'КХБЦ)

1п

Р (ТЬ)

+ 2 0Т(Ть) Б2(Ть)

1п

От (Т') Бт (Ть) (К] - К2 )Б(г)

Рг (ТЬ)

+ 2 оТ(Т ь) бТ(т ь)

1п

У1(г) =

От (Т') Бт (Т1) КхБ(г)

Р (Т1)

- 2 оТ(т ') б2(т ')

1п

У2 (г) =■

От (Т') Бт (Т1) (К - к2 )Б(г)

Рг (Т')

- 2 о2(т ') Б2(Т')

От (Т1) Бт (Т1)

(17)

(18)

где

Бт (Т') = |

ё (и) ё (Т)'

йи:

От (Т') =

' Т1 Г [ ё(и) й(5)йи >5 ^3

J Т V ' Я (^) )

(19)

(20)

ё (и) = ехр |-| |,

а й1, й2, уь у2 определяются формулами (17), (18) при г = 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема 1. В случае опциона купли с платежной функцией вида (14) стоимость опциона С™”1, капитал Хґтах1 и портфель (хеджирующая стратегия)

пГ1 = (уГх1> РГ”1) определяются формулами

с™ах1 = К^ ) - Ро (Т1 )Ф(У )+^ФМ2); (22)

Хтах1 = Кф(ґ)Ф(^2 (ґ)) - р (Т1 )Ф(у2 (ґ)) + К2Б(ґ)Ф(-^2 (ґ)); (23)

уГах1 = -Ф(У2 (ґ)), РГах1 = ^Ф (й2 (ґ)) + К 2Ф (-^ (ґ)). (24)

Доказательство. Согласно общей теории платежных обязательств на рынке облигаций [2, 3],

X = Б(ґ) Е{Б-\Т) }; (25)

dXt It =■ ‘

= -У, -У,Р,(Т'> (

р = р (Т1) Б(,)

В соответствии с теорией расчетов на полных безарбитражных рынках и в

предположении, что исходная вероятностная мера на (О, 2, (2,),>0, Р) является

мартингальной, полагая

Щ,Т) = Б(,)Б- (Т) = ехрг|, (27)

находим, используя (14), (25), что

Хтах1 = £{^(,, Т)уттах1 | ^ } = Е {щ, Т) тах {К1 - РТ (Т1), К2} | 2 } =

= КЕ {, Т)I [Рт (Т1) < К1 - К2 ] | 2, } - Е {}, Т)Рт (Т1)I [Рт (Т1) < 1 - 12] | 2 } +

+К2Е{Л(,, Т)I [Рт (Т1) > К1 - К2 ] | 2 } . (28)

Использование (9) дает, что события

{(Т1) > К1 - К2} = {Ат (Т1) - г(Т)Бт (Т1) > 1п(К - К2)} = {г(Т) < £} ; (29)

{Рт (Т1) < К1 - К2 } = { Ат (Т1) - г(Т)Бт (Т1) < 1п(К -12)} = {-г(Т) < -г^ } , (30)

1п(К - К 2) - Ат (Т1)

- Бт (Т1)

Пусть

где Гі2 =---------1—T-------------------------------------------------------. (31)

4 = r(T),n =| r(u)du, q = |r(u)du . (32)

0 0

Тогда из (28) - (30) находим, что

xmaxl = KxB(t)E{/ [-4 < -r*2 ] exp {-q} \Ft} - E{/ [-4 < -r/2 ] exp {-n} | Ft} +

+K2B(t)E{/ [4 < { ] exp {-q} \ F }. (33)

Для дальнейшего упрощения этой формулы полезной является следующая лемма из [2].

Лемма. Пусть (X, У) — гауссовская пара случайных величин с вектором сред-

них значений (дх, дт) и матрицей ковариаций

2

°Х рХ¥

2

Vрхг ст )

. Тогда

Е(I[X < х]ехр(-7}} = ехр(1с^ - }ф(х) (34)

Е(I[X < х]Хехр(-7}} = ехр(2с7 - }{х -Рхт )Ф(х) - схф(х)} , (35)

где

х (дХ рХУ)

Х

Из (6) находим, что

^ = Е (г (Т)} = я(Т) і г (0) + |

а( s) Я (5)'

= Е<| | г(и)ёи ^ = г(0) | я(и)ёи + | | Я(и) а(s)ds

о

о о •

ёи:

Т и

= Е Л г(и)ёи 1 = г(0)| я(и)ёи +| |Я^ а(5)ё5 I о \ о о I оя (і)

с2 = Б (г(Т)}= Г ё2(5) Г^1 ;

о V я(і))

ёи

~2 _ ^2 . ■

- Б і Г г(и)ёи I - Г

о

Т

Я (и) Я ( 5)

ё (5)ёи

(

Р&

- СОУ

о

Т

- Б И г (и )ёи і - Г Г Я^ ё (5)ёи

Я (5)

ё,$;

ё5;

г (Т), Г г (и)ёи 1- ё 2(5) Г ёи

о і о І Я(5) і я(5)

ё5:

р;п

- СОУ

р-Й - рЙ;

1 Г Т 1

- СОУ

V о )

Т1

г (Т), Г г (и )ёи - соу г (Т), Г г (и )ёи + соу г (Т), | г (и )ёи

/

Я (и) я (Т )■

ёи.

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43) ()

(45)

(46)

(47)

и

с

с

Использование (33), (34) дает, что

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- М,- }Ф

Хґтах1 - К1В(ґ )ехр

Г-г1*2 - (М-^-р-^ ) 1

"ехр{^ ^П-Мл}ф

Г-г1*2 - (М-^-Р-^? ) 1 ст-^

+ К2 Б(ґ )ехр

)

Г г1*2 - (Д; - Р&) 1

. (48)

Тогда (23) следует в результате подстановки (37) - (47) в (48), а (22) из того,

^-»шах1 т^шах1 от

что Ст - Х о [2, 3].

Из (1) следует

5Ф(ф)) 1

72п

Согласно (17), (18),

ехр

е (і) І де (і) дФ(-е(і)) дФ(е( і))

ді

ді

ді

У2 (ґ) - ё2(ґ) - ст (Т')Бт (Т').

(49)

(5о)

Тогда из (23), (49) следует

дХГ

др

■--ф( У 2 (ґ)) + ¥, *-- р

дФ( У 2 (ґ ))

др .

+ (К - К2)Б(ґ)

дФ(ё2))

др

Использование (17), (18), (49) дает

дФ( У 2 (ґ))

1

др Рл/2псТ (Т')БТ (Т')

^єхр

дФ^(ґ)) др

Р 72ПсТ (Т') бт (Т')

-ехр

у 2)

ё22)

Из (17), (5о) получаем

у2 - ё2 21п

(К - К2)В(ґ) Р (Т1) .

(51)

(52)

(53)

(54)

Использование (52) - (54) в (51) дает, что ¥=о. Таким образом (24) следует из (23), (26), (51). Теорема доказана.

Теорема 2. В случае опциона купли с платежной функцией вида (15) стоимость опциона СГах2, капитал Хґтах2 и портфель (хеджирующая стратегия) птах2 - (уГах2,втах2) определяются формулами

СТ“ах2 - СТ“ах1 - К2Ф(-ё1);

Хтах2 - х^хі - к2В(/)Ф(-ё1 (ґ));

уГах2 - утахі - К2Б(ґ)Р- (Т1 )с-' (Т1)Б-1 (Т1 )ф(ё1 (ґ)) ;

втах2 - втах1 - к [Ф(-ё1 (ґ)) - с-1 (т 1)б- (т 1 )ф(ё1 (ґ))].

()

(56)

(57)

(58)

Доказательство. Использование (15), (25), аналогично (28) дает, что

Хтах2 = Е{Щ,Т)/Ттах212 } = Е{щ,Т)шах{х -Рт (Т1),К2}I\_РТ (Т1) <К ] | 2} =

= ^{{Т)I[Рт (Т1) < К - К2 ] 12 } - е},Т)Рт (Т1)I [рТ (Т1) < Кх - К2 ] 12 } + +К2е{,Т)1 [К1 - К2 < РТ (Т1) < К1 ] | 2 }=X}1 - К2е{Я(/,Т)1 [рт (Т1) > К1 ] 12, } =

= хтах1 - К2Б«)Е{I [4 < г,* ] ехр {-?} | 2 } , (59)

где 4,? имеют вид (32), а

* = 1п К1 - АТ (Т1)

Г1 = -Бт (Т') .

Преобразование (59) аналогично (28) с использованием (23), (34), (59) приводит к (56), а (55) следует из того, что СТ“ах2 = Xтах2 [2,3]. Из (56) с учетом (49) следует

дХ,тах2 дФ(й?, (/))

—д------= -Ф( У2«)) + К 2 Б(Г) (д 1()) +Т, (60)

др др

где ¥ имеет вид (51). Использование (17), (49) дает

дФ(^ =-1 11_________-ехр |-^ 1 . (61)

др р л/2пст (Т')Бт (Т') [ 2 ]

Так как при доказательстве теоремы 1 было доказано, что ¥ = 0, то (57) следует с учетом (24) из (26), (60), (61), (1), а (58) следует с учетом (24) из (26), (56), (57). Теорема доказана.

Теорема 3. В случае опциона купли с платежной функцией вида (16) стоимость опциона Сттт, капитал хтт и портфель (хеджирующая стратегия) птш = (ттш,РГ) определяются формулами

С”” = Кх [ФЦ) - Ф(^)] -Ро(Т1)[Ф(у) - Ф(у2)] + К2Ф(й?2); (62)

Хтш =К1Б(/)[Ф(^1(/))-Ф(^(0)]-Р(Т1)[ф(у1(/))-Ф(У2(,))]+К2Б(/)Ф(^(0); (63)

Ут1п =-[Ф( ух«)) -ф( У2(/))]; (64)

РГ = К] [ФЦ (/)) - Ф(^2 (0)] + К2Ф(^2 (/)) . (65)

Доказательство. Использование (16), (25), аналогично (28) дает, что

Хт1П = Е{Я((, Т)/тт1П | 2 } = Е {л(/, Т) т1п {(К1 - Рт (Т'))+ ,) } | 2 } =

=е{т ) [{ - Рт (Т')] I [кх - К2 < Рт (Т') < К1] 12}+ К2 е}т )I [Рт (Т') < Кх - К2 ]|2 }=

= К1Е{{, Т)I [Рт (Т') < К ] | 2 } - }Е{{, Т)I [Рт (Т') < К - К2 ] | 2 } -

-Е {Рт (Т1){, Т)I [Рт (Т') < К ] | 2 } + Е {Рт (Т1)Л(/, Т)I [Рт (Т') < К1 - К2 ] | 2 } +

+К2Е{л(/, Т)I [Рт (Т') < К - К2 ] | 2}. (66)

Преобразование (66) аналогично (28) приводит к (63), а (62) следует из (63) с учетом того, что С™” = XГ [2,3]. Из (63) с учетом (49) следует

dX“n

дФ( y2(t))

т = p---------------p

dp дФ( yx(t))

= -[( yi(t)) -Ф (У2 (t ))];

(67)

dp dp

Использование (18), (49) дает

дФ(^)) дФ(й?9 (t))

+ K1B(t)---(к1 -K2)B(t)--------. (68)

dp

dp

дФ( yi(t))

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

dp

Аналогично (54)

p V2ncr (T1)BT (T1)

KB)

ехр

У\1 )2

P (T *).

(69)

(70)

Использование (52) - (54), (61), (69), (70) в (68) дает, что ¥ = 0. Таким образом, (64) следует из (26), (67), а (65) следует из (27), (63), (64). Теорема доказана.

3. Свойства решения

Утверждение 3. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимости стоимостей опционов от цены исполнения К1 и от величины К2, гарантирующей доход в случае платежных функций (14), (15) и ограничивающей выплаты по опциону в случае платежной функции (16), определяются формулами

дет

dK1

- = Ф(^),

дет

дК 2

■ = Ф(-2),

де

max2

K

дК

= Ф(^2) + -f o-1(T1) B- (T1 )<рЦ (t));

K

де max2 де min дС min

T ■ = Ф(^1)-Ф(^2), —T— = Ф(4)-Ф(^2), —T— = Ф(^2)

дK1

и при этом

дСТ

> 0,

дет

■> 0,

дет

-> 0,

дет

> 0,

деГ11 де^1” T - > 0, T

дК1 дК2 дК1 дК2 дК1 дк2

т.е. по К1 и К2 опционы продажи являются возрастающими функциями. Доказательство. Использование (22), (55), (62), (49) дает, что

дО

max1

1

дK1

де

1

max1

л/2п

1

- P0{T 1)exp |-

— 1— + (K1 -K2)exp|-

2 I дK1

дK.

2

л/2П

y2 1 ду2 2 \дK.

де.

max 2

де\

2

max1

дK1

дK1

K2 I d2

+Жexp I-T

d 2 1 д 2

2 J "д^:1

_d?' 1 д

2 Ik

д^

aKT ;

(71)

(72)

> 0, (73)

(74)

-Ф(^ 2);

+ Ф (-d2); (75) (76)

де””

дК1

л/2л

де

max 2

де

max1

дK2 дK2

— Ф(—d1);

P0(T')exp I-41%-(K1 - K2 )exp {-4}д

2 I дK1

P0(T ‘)exp |-

У1 1 дУ1

2 I дK1

- K1 exp | —-

d12 I dd

2 I dK

()

+ [ф(4) -Ф^2)]; (78)

де?

dK2

'■НП

P0(T 1)exp I- У2 }^y^ -(K1 - K2 )exp I-^ 1dd2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 I dK2

P0 (T1) exp I - 4- K1 exp I - dL

2 I dK

d12 I dd1

2 I dK2

+ Ф(d2).

(79)

Тогда (71) - (73) следуют из (74) - (79), а свойства (73) следуют очевидным образом из (71) - (73) с учетом того, что d2 < й1.

Экономическая интерпретация свойств (73) заключается в следующем. Согласно (14), опцион всегда предъявляется к исполнению и при увеличении К1 увеличивается величина возможной выплаты по опциону, а за больший доход следует больше платить, что приводит к увеличению цены опциона купли с платежной функцией вида (14) при увеличении К1. Согласно (15), (16), опционы предъявляются к исполнению, если РТ{Т[) < К\. Таким образом, при увеличении К1 уменьшается риск не предъявить опцион к исполнению, а за меньший риск следует больше платить, что приводит к увеличению цен опционов с платежными функциями (15), (16) , при увеличении К!. Так как К2 - это максимальная величина, которую владелец опциона может получить при предъявлении к исполнению, то естественно, что цены опционов возрастают при увеличении К2, так как за возможность получить больший доход следует больше платить.

Замечание 4. Из (15), (16) следует, что

lim /Tmax2 = fT

lim /Tmin = fT

(80)

к2 Т к1 ‘

где ?Т = (К1 - Рт (Т'))+ (81)

может быть определена как платежная функция стандартного опциона продажи, соответствующая экзотическим опционам с платежными функциями (15), (16). В [2] (с. 970 - 979) на основе опосредованного подхода найдена стоимость опциона продажи Ст для стандартной платежной функции вида (81).

Утверждение 4. Пусть Ст,Хг,уг,(3г есть пределы СТ™2,Хгтах2,у)™”2,р™х2 при К2 ^ 0 либо СТ“т, Xт

in, Ymin, РГ при K2 t K1. Тогда Ct = K^) - P0(T 1)Ф( У1);

(82)

Xt = K1 B(t)Ф(dl (t)) - Pt (T1 )Ф(У1 (t));

(83)

Y t =-Ф( У1 (t)), P t = KlФ(dl(t)).

(84)

Доказательство. Из (17), (18) следует, что d2(t) = dj(t),y2(t) = yx(t) при K2 = 0. Таким образом, формулы (82) - (84) следуют из (55) - (58) с учетом (22) - (24). Аналогично d2(t) =-да,y2(t) = -да при K2 = Кх. Тогда с учетом свойств Ф(-да) = 0, Ф (+да) = 1, Ф(-х) + Ф( х) = 1 формулы (82) - (84) также следуют из (62) - (65).

Утверждение 5. Стоимости опционов С™”1, CTmax2, C™", Ct связаны следующими соотношениями:

С™"1 > CT“ax2 > Ct > CT“ln . (85)

Доказательство. Свойство CT™1 > CT“ax2 следует непосредственно из (56).

Свойства CT™2 > Ct > C™n следуют из того, что, согласно (73), CT™2 и C™” являются возрастающими функциями К2 и при этом, согласно утверждению 4, lim CTnax2 = Ct при К2 I 0 и lim CT3ln = Ct при К2 t Kj.

Экономическая интерпретация свойств (85) заключается в следующем. Поскольку в случае стандартных опционов с платежной функцией (81) отсутствуют ограничения на величину выплаты по опциону, то цена экзотического опциона с платежной функцией (16) меньше цены стандартного опциона, так как за наличие ограничений, уменьшающих величину возможного дохода, следует меньше платить. Цены экзотических опционов с платежными функциями (14), (15) больше цены стандартного опциона, так как за наличие возможности получения гарантированного дохода следует больше платить. При этом CT3ax1 > CT“ax2, так как платежная функция fTmx2 содержит дополнительное условие, в котором заключена возможность непредъявления опциона к исполнению, а за возрастающий риск следует меньше платить.

Приведем результаты для двух широко используемых моделей цен облигаций [1 - 3, 10, 11]. Для модели Хо - Ли b(t) = 0, d(t) = d, а для модели Васичека b(t) = b, d (t) = d. Тогда для модели Хо - Ли

1

( d ^ ^ 2

ат (T1)Bt (T1) = ^- [(T1 - T)3 ] J ( - T) , (86)

а для модели Васичека

1

От (T1)Вт (T1) = b^2_(1 - exp {-2bT}))2 (1 - exp {-b (т1 - T)}) . (87)

Утверждение 6. Для моделей Хо - Ли и Васичека справедливы теоремы 1 - 3 и утверждения 3 - 5, в которых величины от (T') Вт (T') выражаются соответственно формулами (86) и (87).

Заключение

Основные результаты заключаются в следующем:

1. Получены аналитические выражения для стоимостей опционов, хеджирующих стратегий (портфелей) и капиталов для опционов продажи с платежными функциями (14) - (16) (теоремы 1 - 3).

2. Проведено исследование свойств решения (утверждения 3 - 5).

3. Все общие результаты для опционов продажи с платежными функциями (14) - (16) конкретизированы для моделей Хо - Ли и Васичека (утверждение 6).

ЛИТЕРАТУРА

1. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007.

2. ШиряевА.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.

3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУВШЭ, 2001.

4. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М.: Тривола, 1995.

5. WilmottP. Derivatives: The Theory and Practice Financial Engineering. N.Y.: John Willey, 2000.

6. Rubinstein M. Exotic options // Finance Working Paper. Berkeley: Inst. of Business and Econ. Research, 1991. Мо 220.

7. Zang P.G. An introduction to exotic options // European Financ. Manag. 1995. V. 1 Мо 1. P. 87 - 95.

8. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation // Econometrica. 1992. V. 60. Мо. 1. P. 77 -105.

9. Бьорк Т. О временной структуре разрывных процентных ставок // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2. Вып. 4. С. 627 - 657.

10. Hull J., White A. Pricing interest rate derivative securities // Review of Financial Studies. 1990. V. 3. Мо 5. P. 573 - 592.

11. Hull J., White A. Bond option pricing on a model for the evolution of bond prices // Advances in Futures and Options Research. 1993. Мо. 6. P. 1 - 13.

Демин Николай Серапионович Толстобоков Вячеслав Васильевич Томский государственный университет

E-mail: dyomin@fpmk.tsu.ru; 4tvv@rambler.ru Поступила в редакцию 26 декабря 2009 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.