Экзотические опционы продажи на диффузионном (b,p)-рынке облигаций в случае модели Халла Уайта Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010

Управление, вычислительная техника и информатика

№ 2(11)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.865

Н.С. Демин, В.В. Толстобоков

ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ ПРОДАЖИ НА ДИФФУЗИОННОМ (В,Р)-РЫНКЕ ОБЛИГАЦИЙ В СЛУЧАЕ МОДЕЛИ ХАЛЛА - УАЙТА

На основе опосредованного подхода осуществлен вывод формул для стоимости опциона, портфеля и капитала Европейского опциона продажи с гарантированным доходом для обладателя опциона и с ограничением выплат для инвестора на диффузионном (В,Р)-рынке облигаций. Исследованы свойства решения.

Ключевые слова: опцион, облигация, хеджирование, капитал, портфель.

Опцион на финансовых рынках является одной из наиболее распространенных вторичных (производных) ценных бумаг, поскольку дает право, а не обязанность, предъявить его к исполнению [1 - 5]. Покупатель опциона приобретает право покупки или продажи оговоренного в контракте базисного актива по оговоренной цене, а продавец опциона (эмитент, инвестор) за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование владельца опциона при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли (call option), а во втором - опцион продажи (put option). Если платежное обязательство характеризуется только ценой базисного актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения, то такие опционы являются стандартными.

Развитие финансовых рынков потребовало использования более сложных платежных обязательств, учитывающих, с одной стороны, желание обладателя опциона иметь гарантированный доход, а с другой - желание инвестора ограничить выплаты по опционам, что породило класс экзотических опционов [6, 7]. Эта проблематика достаточно исследована, когда в качестве базисного актива используется акция ((B, 5)-рынок), и является малоисследованной, когда в качестве базисного актива используется облигация ((B, Р)-рынок). В данной работе представляется исследование трех видов экзотических опционов продажи Европейского типа на диффузионном (B, Р)-рынке облигаций на основе опосредованного подхода: двух опционов с гарантированным доходом, которые дают преимущество владельцу опциона; опциона с ограничением выплат, который дает преимущество продавцу опциона.

Используемые обозначения: £{•} - математическое ожидание; Р{-} - вероятность события; N{b;D} - нормальная (гауссовская) плотность с параметрами b и D;

1. Постановка задачи

В теории облигаций используется два основных подхода к заданию стоимости облигации - опосредованный и прямой [2]. В случае опосредованного подхода стоимость облигации определяется через краткосрочную процентную ставку, а в случае прямого, известного как модель Хиса - Джерроу - Мортона (HJM-модель) [8], через форвардную процентную ставку. В данной работе используется опосредованный подход.

Рассмотрение задачи ведется на стохастическом базисе (Q, F, (Ft)t>0, P) [2, 3]. Следуя [2, 3, 9], введем следующие характеристики (B, Р)-рынка облигаций. Стоимость B(t) в момент времени t банковского счета такова, что

B (t ) = exp jjr (5) ds J, (2)

где r(t) - некоторый стохастический процесс процентной ставки. Основное предположение относительно процесса r(t) состоит в том, что это есть диффузионный гауссовско-марковский процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением

dr(t) = (a(t) - b(t)r(t)) dt + d(t)dWt, r(0) = r0 , (3)

где Wt - винеровский процесс, функции a(t), b(t), d(t) - детерминированные функции, причем

T

J((t)| + |b(t)| + d2(t))t <<x . (4)

0

Замечание 1. Модель процентной ставки, описываемая уравнением (3) есть не что иное, как модель Халла - Уайта [10, 11], частными случаями которой являются модели Мертона, Васичека, Хо - Ли [2].

Стоимость Pt (T1) в момент времени t бескупонной облигации со сроком погашения T1, согласно теореме 1, п. 5а из [2], определяется формулой

Pt (Г1) = E | exp j - J r (s)ds J

FtJ ,0 < Pt (T1) < 1. (5)

Утверждение 1 [2]. Если краткосрочная процентная ставка г(/) подчиняется уравнению (3) и выполнено условие (4), то уравнение (3) имеет, и при этом единственное, решение

г(,) = 8(,){г(0) , (6)

[ 0 Я (х) 0 Я (х) ]

где g(t) = exp j-J P(s)ds J (7)

- фундаментальное решение уравнения

t

g(t) = 1 -JP(s)g(s)ds . (8)

Утверждение 2 [2]. Процесс Pt(Tl) имеет эквивалентное (5) представление в виде уравнения

Pt (T1) = exp {At (T1) - r(t)Bt (T1)} , (9)

где

1 t1

A (T1) = - J

t

1

f g^u)d(s)du

S g(s)

2

ds -f f g(u)d(s)ds J J g (s)

du, (10)

T1

Bt (t1) = J gu) du, (

t g(t)

Замечание 2. Модели цен облигаций, которые представляются в виде (9), называются однофакторными аффинными моделями согласно терминологии п. 4c, гл. III из [2].

Что же касается динамики процесса цен P(Tl) облигации, то будем предполагать, что относительно исходной меры на (Q, F, (Ft)t>0, P) процесс

Pt (T1 ) = Pt (T1)/B (t), являющийся дисконтированной относительно банковского

счета ценой облигации, является мартингалом [2, 3], а в силу теоремы 1, п. 5а, гл. VII из [2], рассматриваемый рынок является безарбитражным [1 - 3].

Инвестор в момент времени t формирует капитал

X = etB (t) + ytPt (T1), t e [0, T], T < T1, (12)

состоящий из банковского счета B и бескупонной облигации P(T1) со сроком погашения T1. Задача инвестирования на таком (B, P^bm^ заключается в следующем: сформировать портфель (хеджирующую стратегию) п* = (Р*, у*) таким образом, чтобы эволюция капитала X* в соответствии с (12) обеспечила в момент T < T1 выполнение платежного обязательства

XT = fT, (13)

где fT > 0 - платежная функция, T - фиксированный момент исполнения опциона, то есть рассматриваются опционы европейского типа [1 - 3].

В данной работе исследуется проблема хеджирования для опционов купли с платежными функциями соответственно вида (a+=max{a;0})

fmax1 = max {*1 - Pt (T1), K2} ; (14)

frx2 = max {*1 - Pt (T1), K2}I [Pt (T1) < K ] ; (15)

fmin = min {(K1 - Pt (T1))+ , K2 j , (16)

где K1 > 0, K2 > 0, I[A] - индикатор события A, т. е. I[A]=1, если событие A происходит и I[A]=0, если событие A не происходит.

Согласно платежному обязательству (14), владелец опциона может всегда предъявить его к исполнению, получая гарантированную выплату К2 , если PT(T1) > K - K2, и выплату в размере K1 - PT(T1), если PT(T1) < K1 - K2. Согласно платежному обязательству (15), владелец опциона предъявляет его к исполнению

только при выполнении условия Р^Т1) < К\. В результате владелец опциона получает гарантированную выплату К2, если РТ(Т1) > К — К2, и выплату в размере К - РКТ1), если Р^Т1) < К] — К2. Согласно платежному обязательству (16), если РКТУКь то покупатель опциона предъявляет его к исполнению и получает выплату в размере К — Р^Т1), если Р^Т1) > Кь — К2, и в размере К2, если РТ(Т1) < К — К2.

Замечание 3. Платежные функции (14), (15) дают преимущество владельцу опциона, так как гарантируют ему выплату, равную К2, в случае (14) всегда и в случае (15) при выполнении условия РТ(Т1) < К1. Платежная функция (16) дает преимущество инвестору, так как ограничивает его выплаты по опциону величиной К2.

Структура статьи следующая. В п. 2 вынесены основные результаты для опционов продажи, для которых получены формулы, определяющие цены опционов, а также хеджирующие стратегии (портфели) и соответствующие им капиталы, обеспечивающие выполнение платежных обязательств. В п. 3 исследуются свойства решения.

Обозначим

2. Основные результаты

'КХБЦ)

1п

Р (ТЬ)

+ 2 0Т(Ть) Б2(Ть)

1п

От (Т') Бт (Ть) (К] - К2 )Б(г)

Рг (ТЬ)

+ 2 оТ(Т ь) бТ(т ь)

1п

У1(г) =

От (Т') Бт (Т1) КхБ(г)

Р (Т1)

- 2 оТ(т ') б2(т ')

1п

У2 (г) =■

От (Т') Бт (Т1) (К - к2 )Б(г)

Рг (Т')

- 2 о2(т ') Б2(Т')

От (Т1) Бт (Т1)

(17)

(18)

где

Бт (Т') = |

ё (и) ё (Т)'

йи:

От (Т') =

' Т1 Г [ ё(и) й(5)йи >5 ^3

J Т V ' Я (^) )

(19)

(20)

ё (и) = ехр |-| |,

а й1, й2, уь у2 определяются формулами (17), (18) при г = 0.

Теорема 1. В случае опциона купли с платежной функцией вида (14) стоимость опциона С™”1, капитал Хґтах1 и портфель (хеджирующая стратегия)

пГ1 = (уГх1> РГ”1) определяются формулами

с™ах1 = К^ ) - Ро (Т1 )Ф(У )+^ФМ2); (22)

Хтах1 = Кф(ґ)Ф(^2 (ґ)) - р (Т1 )Ф(у2 (ґ)) + К2Б(ґ)Ф(-^2 (ґ)); (23)

уГах1 = -Ф(У2 (ґ)), РГах1 = ^Ф (й2 (ґ)) + К 2Ф (-^ (ґ)). (24)

Доказательство. Согласно общей теории платежных обязательств на рынке облигаций [2, 3],

X = Б(ґ) Е{Б-\Т) }; (25)

dXt It =■ ‘

= -У, -У,Р,(Т'> (

р = р (Т1) Б(,)

В соответствии с теорией расчетов на полных безарбитражных рынках и в

предположении, что исходная вероятностная мера на (О, 2, (2,),>0, Р) является

мартингальной, полагая

Щ,Т) = Б(,)Б- (Т) = ехрг|, (27)

находим, используя (14), (25), что

Хтах1 = £{^(,, Т)уттах1 | ^ } = Е {щ, Т) тах {К1 - РТ (Т1), К2} | 2 } =

= КЕ {, Т)I [Рт (Т1) < К1 - К2 ] | 2, } - Е {}, Т)Рт (Т1)I [Рт (Т1) < 1 - 12] | 2 } +

+К2Е{Л(,, Т)I [Рт (Т1) > К1 - К2 ] | 2 } . (28)

Использование (9) дает, что события

{(Т1) > К1 - К2} = {Ат (Т1) - г(Т)Бт (Т1) > 1п(К - К2)} = {г(Т) < £} ; (29)

{Рт (Т1) < К1 - К2 } = { Ат (Т1) - г(Т)Бт (Т1) < 1п(К -12)} = {-г(Т) < -г^ } , (30)

1п(К - К 2) - Ат (Т1)

- Бт (Т1)

Пусть

где Гі2 =---------1—T-------------------------------------------------------. (31)

4 = r(T),n =| r(u)du, q = |r(u)du . (32)

0 0

Тогда из (28) - (30) находим, что

xmaxl = KxB(t)E{/ [-4 < -r*2 ] exp {-q} \Ft} - E{/ [-4 < -r/2 ] exp {-n} | Ft} +

+K2B(t)E{/ [4 < { ] exp {-q} \ F }. (33)

Для дальнейшего упрощения этой формулы полезной является следующая лемма из [2].

Лемма. Пусть (X, У) — гауссовская пара случайных величин с вектором сред-

них значений (дх, дт) и матрицей ковариаций

2

°Х рХ¥

2

Vрхг ст )

. Тогда

Е(I[X < х]ехр(-7}} = ехр(1с^ - }ф(х) (34)

Е(I[X < х]Хехр(-7}} = ехр(2с7 - }{х -Рхт )Ф(х) - схф(х)} , (35)

где

х (дХ рХУ)

Х

Из (6) находим, что

^ = Е (г (Т)} = я(Т) і г (0) + |

а( s) Я (5)'

= Е<| | г(и)ёи ^ = г(0) | я(и)ёи + | | Я(и) а(s)ds

о

(Т

о о •

ёи:

Т и

= Е Л г(и)ёи 1 = г(0)| я(и)ёи +| |Я^ а(5)ё5 I о \ о о I оя (і)

с2 = Б (г(Т)}= Г ё2(5) Г^1 ;

о V я(і))

ёи

~2 _ ^2 . ■

- Б і Г г(и)ёи I - Г

о

Т

Я (и) Я ( 5)

ё (5)ёи

(

Р&

- СОУ

о

Т

- Б И г (и )ёи і - Г Г Я^ ё (5)ёи

Я (5)

ё,$;

ё5;

г (Т), Г г (и)ёи 1- ё 2(5) Г ёи

о і о І Я(5) і я(5)

ё5:

р;п

- СОУ

р-Й - рЙ;

1 Г Т 1

- СОУ

V о )

Т1

г (Т), Г г (и )ёи - соу г (Т), Г г (и )ёи + соу г (Т), | г (и )ёи

/

Я (и) я (Т )■

ёи.

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43) ()

(45)

(46)

(47)

и

с

с

Использование (33), (34) дает, что

- М,- }Ф

Хґтах1 - К1В(ґ )ехр

Г-г1*2 - (М-^-р-^ ) 1

"ехр{^ ^П-Мл}ф

Г-г1*2 - (М-^-Р-^? ) 1 ст-^

+ К2 Б(ґ )ехр

)

Г г1*2 - (Д; - Р&) 1

. (48)

Тогда (23) следует в результате подстановки (37) - (47) в (48), а (22) из того,

^-»шах1 т^шах1 от

что Ст - Х о [2, 3].

Из (1) следует

5Ф(ф)) 1

72п

Согласно (17), (18),

ехр

е (і) І де (і) дФ(-е(і)) дФ(е( і))

ді

ді

ді

У2 (ґ) - ё2(ґ) - ст (Т')Бт (Т').

(49)

(5о)

Тогда из (23), (49) следует

дХГ

др

■--ф( У 2 (ґ)) + ¥, *-- р

дФ( У 2 (ґ ))

др .

+ (К - К2)Б(ґ)

дФ(ё2))

др

Использование (17), (18), (49) дает

дФ( У 2 (ґ))

1

др Рл/2псТ (Т')БТ (Т')

^єхр

дФ^(ґ)) др

Р 72ПсТ (Т') бт (Т')

-ехр

у 2)

ё22)

Из (17), (5о) получаем

у2 - ё2 21п

(К - К2)В(ґ) Р (Т1) .

(51)

(52)

(53)

(54)

Использование (52) - (54) в (51) дает, что ¥=о. Таким образом (24) следует из (23), (26), (51). Теорема доказана.

Теорема 2. В случае опциона купли с платежной функцией вида (15) стоимость опциона СГах2, капитал Хґтах2 и портфель (хеджирующая стратегия) птах2 - (уГах2,втах2) определяются формулами

СТ“ах2 - СТ“ах1 - К2Ф(-ё1);

Хтах2 - х^хі - к2В(/)Ф(-ё1 (ґ));

уГах2 - утахі - К2Б(ґ)Р- (Т1 )с-' (Т1)Б-1 (Т1 )ф(ё1 (ґ)) ;

втах2 - втах1 - к [Ф(-ё1 (ґ)) - с-1 (т 1)б- (т 1 )ф(ё1 (ґ))].

()

(56)

(57)

(58)

Доказательство. Использование (15), (25), аналогично (28) дает, что

Хтах2 = Е{Щ,Т)/Ттах212 } = Е{щ,Т)шах{х -Рт (Т1),К2}I\_РТ (Т1) <К ] | 2} =

= ^{{Т)I[Рт (Т1) < К - К2 ] 12 } - е},Т)Рт (Т1)I [рТ (Т1) < Кх - К2 ] 12 } + +К2е{,Т)1 [К1 - К2 < РТ (Т1) < К1 ] | 2 }=X}1 - К2е{Я(/,Т)1 [рт (Т1) > К1 ] 12, } =

= хтах1 - К2Б«)Е{I [4 < г,* ] ехр {-?} | 2 } , (59)

где 4,? имеют вид (32), а

* = 1п К1 - АТ (Т1)

Г1 = -Бт (Т') .

Преобразование (59) аналогично (28) с использованием (23), (34), (59) приводит к (56), а (55) следует из того, что СТ“ах2 = Xтах2 [2,3]. Из (56) с учетом (49) следует

дХ,тах2 дФ(й?, (/))

—д------= -Ф( У2«)) + К 2 Б(Г) (д 1()) +Т, (60)

др др

где ¥ имеет вид (51). Использование (17), (49) дает

дФ(^ =-1 11_________-ехр |-^ 1 . (61)

др р л/2пст (Т')Бт (Т') [ 2 ]

Так как при доказательстве теоремы 1 было доказано, что ¥ = 0, то (57) следует с учетом (24) из (26), (60), (61), (1), а (58) следует с учетом (24) из (26), (56), (57). Теорема доказана.

Теорема 3. В случае опциона купли с платежной функцией вида (16) стоимость опциона Сттт, капитал хтт и портфель (хеджирующая стратегия) птш = (ттш,РГ) определяются формулами

С”” = Кх [ФЦ) - Ф(^)] -Ро(Т1)[Ф(у) - Ф(у2)] + К2Ф(й?2); (62)

Хтш =К1Б(/)[Ф(^1(/))-Ф(^(0)]-Р(Т1)[ф(у1(/))-Ф(У2(,))]+К2Б(/)Ф(^(0); (63)

Ут1п =-[Ф( ух«)) -ф( У2(/))]; (64)

РГ = К] [ФЦ (/)) - Ф(^2 (0)] + К2Ф(^2 (/)) . (65)

Доказательство. Использование (16), (25), аналогично (28) дает, что

Хт1П = Е{Я((, Т)/тт1П | 2 } = Е {л(/, Т) т1п {(К1 - Рт (Т'))+ ,) } | 2 } =

=е{т ) [{ - Рт (Т')] I [кх - К2 < Рт (Т') < К1] 12}+ К2 е}т )I [Рт (Т') < Кх - К2 ]|2 }=

= К1Е{{, Т)I [Рт (Т') < К ] | 2 } - }Е{{, Т)I [Рт (Т') < К - К2 ] | 2 } -

-Е {Рт (Т1){, Т)I [Рт (Т') < К ] | 2 } + Е {Рт (Т1)Л(/, Т)I [Рт (Т') < К1 - К2 ] | 2 } +

+К2Е{л(/, Т)I [Рт (Т') < К - К2 ] | 2}. (66)

Преобразование (66) аналогично (28) приводит к (63), а (62) следует из (63) с учетом того, что С™” = XГ [2,3]. Из (63) с учетом (49) следует

dX“n

дФ( y2(t))

т = p---------------p

dp дФ( yx(t))

= -[( yi(t)) -Ф (У2 (t ))];

(67)

dp dp

Использование (18), (49) дает

дФ(^)) дФ(й?9 (t))

+ K1B(t)---(к1 -K2)B(t)--------. (68)

dp

dp

дФ( yi(t))

1

dp

Аналогично (54)

p V2ncr (T1)BT (T1)

KB)

ехр

У\1 )2

P (T *).

(69)

(70)

Использование (52) - (54), (61), (69), (70) в (68) дает, что ¥ = 0. Таким образом, (64) следует из (26), (67), а (65) следует из (27), (63), (64). Теорема доказана.

3. Свойства решения

Утверждение 3. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимости стоимостей опционов от цены исполнения К1 и от величины К2, гарантирующей доход в случае платежных функций (14), (15) и ограничивающей выплаты по опциону в случае платежной функции (16), определяются формулами

дет

dK1

- = Ф(^),

дет

дК 2

■ = Ф(-2),

де

max2

K

дК

= Ф(^2) + -f o-1(T1) B- (T1 )<рЦ (t));

K

де max2 де min дС min

T ■ = Ф(^1)-Ф(^2), —T— = Ф(4)-Ф(^2), —T— = Ф(^2)

дK1

и при этом

дСТ

> 0,

дет

■> 0,

дет

-> 0,

дет

> 0,

деГ11 де^1” T - > 0, T

дК1 дК2 дК1 дК2 дК1 дк2

т.е. по К1 и К2 опционы продажи являются возрастающими функциями. Доказательство. Использование (22), (55), (62), (49) дает, что

дО

max1

1

дK1

де

1

max1

л/2п

1

- P0{T 1)exp |-

— 1— + (K1 -K2)exp|-

2 I дK1

дK.

2

л/2П

y2 1 ду2 2 \дK.

де.

max 2

де\

2

max1

дK1

дK1

K2 I d2

+Жexp I-T

d 2 1 д 2

2 J "д^:1

_d?' 1 д

2 Ik

д^

aKT ;

(71)

(72)

> 0, (73)

(74)

-Ф(^ 2);

+ Ф (-d2); (75) (76)

де””

дК1

л/2л

де

max 2

де

max1

дK2 дK2

— Ф(—d1);

P0(T')exp I-41%-(K1 - K2 )exp {-4}д

2 I дK1

P0(T ‘)exp |-

У1 1 дУ1

2 I дK1

- K1 exp | —-

d12 I dd

2 I dK

()

+ [ф(4) -Ф^2)]; (78)

де?

dK2

'■НП

P0(T 1)exp I- У2 }^y^ -(K1 - K2 )exp I-^ 1dd2

2 I dK2

P0 (T1) exp I - 4- K1 exp I - dL

2 I dK

d12 I dd1

2 I dK2

+ Ф(d2).

(79)

Тогда (71) - (73) следуют из (74) - (79), а свойства (73) следуют очевидным образом из (71) - (73) с учетом того, что d2 < й1.

Экономическая интерпретация свойств (73) заключается в следующем. Согласно (14), опцион всегда предъявляется к исполнению и при увеличении К1 увеличивается величина возможной выплаты по опциону, а за больший доход следует больше платить, что приводит к увеличению цены опциона купли с платежной функцией вида (14) при увеличении К1. Согласно (15), (16), опционы предъявляются к исполнению, если РТ{Т[) < К\. Таким образом, при увеличении К1 уменьшается риск не предъявить опцион к исполнению, а за меньший риск следует больше платить, что приводит к увеличению цен опционов с платежными функциями (15), (16) , при увеличении К!. Так как К2 - это максимальная величина, которую владелец опциона может получить при предъявлении к исполнению, то естественно, что цены опционов возрастают при увеличении К2, так как за возможность получить больший доход следует больше платить.

Замечание 4. Из (15), (16) следует, что

lim /Tmax2 = fT

lim /Tmin = fT

(80)

к2 Т к1 ‘

где ?Т = (К1 - Рт (Т'))+ (81)

может быть определена как платежная функция стандартного опциона продажи, соответствующая экзотическим опционам с платежными функциями (15), (16). В [2] (с. 970 - 979) на основе опосредованного подхода найдена стоимость опциона продажи Ст для стандартной платежной функции вида (81).

Утверждение 4. Пусть Ст,Хг,уг,(3г есть пределы СТ™2,Хгтах2,у)™”2,р™х2 при К2 ^ 0 либо СТ“т, Xт

in, Ymin, РГ при K2 t K1. Тогда Ct = K^) - P0(T 1)Ф( У1);

(82)

Xt = K1 B(t)Ф(dl (t)) - Pt (T1 )Ф(У1 (t));

(83)

Y t =-Ф( У1 (t)), P t = KlФ(dl(t)).

(84)

Доказательство. Из (17), (18) следует, что d2(t) = dj(t),y2(t) = yx(t) при K2 = 0. Таким образом, формулы (82) - (84) следуют из (55) - (58) с учетом (22) - (24). Аналогично d2(t) =-да,y2(t) = -да при K2 = Кх. Тогда с учетом свойств Ф(-да) = 0, Ф (+да) = 1, Ф(-х) + Ф( х) = 1 формулы (82) - (84) также следуют из (62) - (65).

Утверждение 5. Стоимости опционов С™”1, CTmax2, C™", Ct связаны следующими соотношениями:

С™"1 > CT“ax2 > Ct > CT“ln . (85)

Доказательство. Свойство CT™1 > CT“ax2 следует непосредственно из (56).

Свойства CT™2 > Ct > C™n следуют из того, что, согласно (73), CT™2 и C™” являются возрастающими функциями К2 и при этом, согласно утверждению 4, lim CTnax2 = Ct при К2 I 0 и lim CT3ln = Ct при К2 t Kj.

Экономическая интерпретация свойств (85) заключается в следующем. Поскольку в случае стандартных опционов с платежной функцией (81) отсутствуют ограничения на величину выплаты по опциону, то цена экзотического опциона с платежной функцией (16) меньше цены стандартного опциона, так как за наличие ограничений, уменьшающих величину возможного дохода, следует меньше платить. Цены экзотических опционов с платежными функциями (14), (15) больше цены стандартного опциона, так как за наличие возможности получения гарантированного дохода следует больше платить. При этом CT3ax1 > CT“ax2, так как платежная функция fTmx2 содержит дополнительное условие, в котором заключена возможность непредъявления опциона к исполнению, а за возрастающий риск следует меньше платить.

Приведем результаты для двух широко используемых моделей цен облигаций [1 - 3, 10, 11]. Для модели Хо - Ли b(t) = 0, d(t) = d, а для модели Васичека b(t) = b, d (t) = d. Тогда для модели Хо - Ли

1

( d ^ ^ 2

ат (T1)Bt (T1) = ^- [(T1 - T)3 ] J ( - T) , (86)

а для модели Васичека

1

От (T1)Вт (T1) = b^2_(1 - exp {-2bT}))2 (1 - exp {-b (т1 - T)}) . (87)

Утверждение 6. Для моделей Хо - Ли и Васичека справедливы теоремы 1 - 3 и утверждения 3 - 5, в которых величины от (T') Вт (T') выражаются соответственно формулами (86) и (87).

Заключение

Основные результаты заключаются в следующем:

1. Получены аналитические выражения для стоимостей опционов, хеджирующих стратегий (портфелей) и капиталов для опционов продажи с платежными функциями (14) - (16) (теоремы 1 - 3).

2. Проведено исследование свойств решения (утверждения 3 - 5).

3. Все общие результаты для опционов продажи с платежными функциями (14) - (16) конкретизированы для моделей Хо - Ли и Васичека (утверждение 6).

ЛИТЕРАТУРА

1. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007.

2. ШиряевА.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.

3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУВШЭ, 2001.

4. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М.: Тривола, 1995.

5. WilmottP. Derivatives: The Theory and Practice Financial Engineering. N.Y.: John Willey, 2000.

6. Rubinstein M. Exotic options // Finance Working Paper. Berkeley: Inst. of Business and Econ. Research, 1991. Мо 220.

7. Zang P.G. An introduction to exotic options // European Financ. Manag. 1995. V. 1 Мо 1. P. 87 - 95.

8. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation // Econometrica. 1992. V. 60. Мо. 1. P. 77 -105.

9. Бьорк Т. О временной структуре разрывных процентных ставок // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2. Вып. 4. С. 627 - 657.

10. Hull J., White A. Pricing interest rate derivative securities // Review of Financial Studies. 1990. V. 3. Мо 5. P. 573 - 592.

11. Hull J., White A. Bond option pricing on a model for the evolution of bond prices // Advances in Futures and Options Research. 1993. Мо. 6. P. 1 - 13.

Демин Николай Серапионович Толстобоков Вячеслав Васильевич Томский государственный университет

E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 26 декабря 2009 г.