Опционы на диффузионном (b, р)-рынке облигаций в случае HJM-модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 4(5)

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 519.865

Н.С. Демин, В.В. Толстобоков

ОПЦИОНЫ НА ДИФФУЗИОННОМ (B, Р)-РЫНКЕ ОБЛИГАЦИЙ В СЛУЧАЕ HJM-МОДЕЛИ

На основе прямого подхода осуществлен расчет стоимости опциона, портфеля и капитала стандартного европейского опциона купли и продажи для непрерывного (B, /^-рынка облигаций.

Ключевые слова: опцион, облигация, хеджирование, капитал, портфель.

Опцион на финансовых рынках является одной из наиболее распространенных вторичных (производных) ценных бумаг, поскольку дает право, а не обязанность предъявить его к исполнению [1 - 5]. Покупатель опциона приобретает право покупки или продажи оговоренного в контракте базисного актива по оговоренной цене, а продавец опциона (эмитент, инвестор) за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование владельца опциона при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли (call option), а во втором - опцион продажи (put option). Если платежное обязательство характеризуется только ценой базисного актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения, то такие опционы являются стандартными.

Теория опционов достаточно развита для случая, когда в качестве базисного актива используется рисковый актив типа акции, математическая модель которого в виде некоторого случайного процесса (например, геометрического или экономического винеровского процесса) полностью определяется собственными параметрами (например, коэффициентами роста или доходности и изменчивости или волатильности). Когда в качестве базисного актива используются облигации, то ситуация оказывается более сложной, так как значение их стоимости в момент времени t зависит также от значения терминального момента T (момента погашения облигации), в который по этой облигации выплачивается некоторая фиксированная стоимость (например, для определённости равная единице) и от значения некоторого процесса rt, определяющего текущую процентную ставку. Простейшим примером облигации является банковский счет с постоянной или переменной, но детерминированной процентной ставкой rt, стоимость которого в момент времени t определяется формулой

которой соответствует два дифференциальных уравнения (прямое и обратное):

dT Bt (T) = -rT Bt (T )dT;

(2)

dtBt (T) = rtBt (T)dt.

(3)

Согласно (1), покупатель данной облигации, желающий получить в момент времени Т сумму, равную единице, при покупке в момент времени г должен заплатить величину Р(Т). В общем случае г1 является случайным процессом, что определяет Р(Т) так же, как случайный процесс.

В данной работе исследуются стандартные опционы купли и продажи с фиксированной ценой реализации, являющиеся аналогом стандартных опционов на рынке акций [1 - 3].

Используемые обозначения: £{•} - математическое ожидание; Р{-} - вероятность события; Ы{Ь П} - нормальная (гауссовская) плотность с параметрами Ь и П;

1 х Г г2 ] х

Ф(I ехр 1 _ V I ^ = I (4)

'ч2п —да [ 2 \ —да

ф(г)=Ж“Р {-т }■

1. Постановка задачи

В теории облигаций используются два основных подхода к заданию стоимости облигации - опосредованный и прямой [2]. В случае опосредованного подхода стоимость облигации определяется через краткосрочную процентную ставку, а в случае прямого, известного как модель Хиса - Джерроу - Мортона (ШМ-модель) [6], через форвардную процентную ставку. В данной работе используется прямой подход как более общий, поскольку краткосрочная ставка определяется как предельное значение форвардной ставки.

Рассмотрение задачи ведется на стохастическом базисе (О, ^, (^)>0, Р) [2, 3]. Следуя [2, 3, 7], введем следующие характеристики (В, Р)-рынка облигаций. Стоимость рТ1) в момент времени г бескупонной облигации со сроком погашения Т1 определяется формулой

Р () = ехр /' () & |, 0 < р (Т1) < 1, (5)

где форвардная процентная ставка ДТ1) определяется стохастическим дифференциальным уравнением

(т1) = а( (т1 №+о, (т1 ^, (6)

- винеровский процесс. Стоимость В(г) в момент времени г банковского счета

определяется формулой

В (г) = ехр |{ г (я) Ія |, (7)

где г(г) = ^(г) является краткосрочной процентной ставкой.

Утверждение 1. Если форвардная ставка /¡(Т1) подчиняется уравнению (6), то процесс Рі(Т1) цены облигации определяется уравнением

ср (т1) = р (т1 )\г (ї)+ь, (т1)+2 а (т1) С+р (т1) а (т1) сП,, (8)

где

Данное утверждение следует из [7] (Предложение 2.3).

Утверждение 2. Процесс РДТ1) имеет эквивалентное (8) представление в виде уравнения

dp (т1) = р (т1) r (t) dt+р (t1) at (t 1) dw* (10)

с винеровским процессом

t

w* = Wt - J4s (1 ) (11)

0

* ^

относительно меры P , такой, что

dp* = Zt (T1 )dPt, (12)

где Zt ( ) = exp(J4s ()dws -1J42 ( )}, (13)

lo 2 0 J

а функция ^(T1) такая, что

bt (т1) + 2at2 (г1) + a (т1) (г1 ) = 0 . (14)

Действительно, так как E{Zt(T1)} = 1, то сформулированное свойство для процесса w* следует из теоремы Гирсанова [2, 3], а уравнение (10) следует в результате использования (11), (14) в (8).

Утверждение 3. Для двух моментов времени т и t, таких, что т < t, значения PT(T1) и Pt(T1) связаны соотношением

Pt (1) = P (Т1)-1 (т)B (t) еj J(Т1 )dw* J, (15)

где ejj4 (Т )dw**J = expj Jas (t 1 )dws -^2 JT )dsj (16)

есть стохастическая экспонента относительно P* [2, 3], т. е.

E* jejja, (Tl)dw]JJ = 1, (17)

а E* - усреднение по мере P*.

Формула (15) следует из (10) в результате применения формулы Ито к процессу р (т1) = ln {р (т 1)} с учетом (7), а свойство (17) следует непосредственно из (16). _

Из (15) при т = 0 следует, что процесс Pt (т1) = Pt (т1) / B (t), являющийся дисконтированной относительно банковского счета ценой облигации, определяется формулой

P (Г1 ) = P () j j а, (Г1 )dw* J, (18)

т.е. является мартингалом относительно меры P* [2, 3]. Таким образом, мера P* является для рассматриваемого (B, Р)-рынка рискнейтральной (мартингальной), а сам рынок - безарбитражным [1 - 3].

Инвестор в момент времени г формирует капитал

X, = р,В () + у,Р, (Т1), I 6 [0, Т], Т < Т1, (19)

состоящий из банковского счета В и бескупонной облигации Р(Т1) со сроком погашения Т1. Задача инвестирования на таком (В, Р)-рынке заключается в следующем: сформировать портфель (хеджирующую стратегию) п* = (в* ,у*) таким образом, чтобы эволюция капитала X* в соответствии с (19) обеспечила в момент Т < Т1 выполнение платежного обязательства

X* = /т, (20)

где / > 0 - платежная функция, Т - фиксированный момент исполнения опциона, то есть рассматриваются опционы европейского типа [1 - 3].

В данной работе исследуется проблема хеджирования для опционов купли и продажи с платежными функциями соответственно вида (а+=тах{а;0})

/Т = ((Т1) - КВ(Т))+ = В{Т) (в-1 (Т)Рт (Т1) - К)+ ; (21)

/тр = ((Т) - Рт (Т1})+ = В(Т) (к - ( (Т)РТ (Т1))+ . (22)

Согласно платежному обязательству (21), если дисконтированное значение стоимости облигации В-1(Т)Рг(Т1) превысит уровень К, то покупатель опциона предъявляет его к реализации и получает выплату в размере В(Т)(В-1(Т)Рг(Т1) - К), т.е. покупает облигацию по оговоренной цене КВ(Т) и продает по рыночной цене Рг(Т1). Согласно платежному обязательству (22), если дисконтированное значение стоимости облигации В-1(Т)Рг(Т1) меньше уровня К, то покупатель опциона предъявляет его к реализации и получает выплату в размере В(Т)(К - В-1(Т)Рг(Т1)), т. е. продает облигацию по оговоренной цене КВ(Т) и покупает по рыночной цене Рг(Т1).

Замечание 1. То, что в платёжных обязательствах (21), (22) используется дисконтированная величина В-1(Т)Рг(Т1)отражает желание инвестора учесть инфляцию и сравнивать величины в единицах банковского счёта, т. е. в реальном, а не в номинальном выражении.

Структура статьи следующая. В п. 2 вынесены основные результаты для опционов купли и продажи, для которых получены формулы, определяющие цены опционов, а также хеджирующие стратегии и соответствующие им капиталы, обеспечивающие выполнение платежных обязательств. В п. 3 приводятся свойства решения. Доказательства вынесены в Приложение.

2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть ln

d+ (t) = -

P (T1)'

KB(t)

+21 a2 (T1 )ds ln

- , d- (t) =

P (T1)' KB(t)

-1 (T1 )ds =—--------------------------, (23)

(T1 )ds ífaí (Г1 )ds

[ / V /

а d+, d- определяются (23) при t = 0. Тогда в случае опциона купли стоимость опциона С£ , капитал Xtc и портфель (хеджирующая стратегия) %ct = (вС, Y) оп-

ределяются формулами

CT = р (T1 )ф«) - к Ф (d-c),

Xtc = P (T1 )Ф« (t)) - KB(t )Ф(^ (t)), (24)

YC = Ф(^ c+ (t )),ec =- к Ф(^ (t)).

Теорема 2. Пусть

ln

d+P (t) =-

KB(t) P (T1),

1 К(T1 )ds ln --jo-2(T1 )ds

2' d- (t) =

P (T1).

|R (T1 )ds flatS )ds

a d+, dp определяются (25) при t = 0. Тогда в случае опциона продажи стоимость

опциона С? , капитал Xtp и портфель (хеджирующая стратегия) n р = (в f,yf) оп-

ределяются формулами

CT = KФ^р) - P0 (T1 )Ф(^),. xp = KB(t mdp (t)) - p (t 1 mdp (t)), (26)

yf = ^(dp (t)), pf = KФ^+ (t)).

3. Свойства решения Утверждение 4. Портфели %ct = (PC, Yc ) и nf = (вf ,yf) обладают свойствами

yC > 0, ec < 0; (27)

Yf < 0, pf > 0 . (28)

Утверждение 5. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимости стоимостей опционов от цены исполнения опциона, определяются формулами

dCc dCp

дСТ = -0(d!), = Ф{(1Р) (29)

dK dK

dCc dCp

и при этом —— < 0, —— > 0, (30)

dK dK

т.е. по K опционы купли и продажи являются соответственно убывающей и возрастающей функциями.

Свойства (27), (28) следуют непосредственно из (24), (26). Формулы (29) следуют в результате дифференцирования €ст и Ср , определяемых формулами (24) и (26) по K, а свойства (30) следуют непосредственно из (29).

Замечание 2. Структура формул (24), (26) для CT и Cf совпадает со структурой соответствующих формул (формулы (1), (6), с. 975 - 976) из [2], которые по-

лучены на основе опосредованного подхода, когда в качестве модели краткосрочной процентной ставки используется модель Халла - Уайта [1, 9], а платежные

2

=^=-------------, (25)

■—■С / 1 \+ '"'Pi 1 \ +

функции имеют вид f t = yPT(T )-K I и f t = l( -PT(T )I и отличаются от

функций (21) и (22) отсутствием дисконтирования на банковский счет.

Приведем результаты для двух широко используемых моделей цен облигаций [1 - 3, 8, 9]. Для модели Хо - Ли функция as(Tl) представляется линейной функцией от времени, оставшегося до погашения облигации, вида

as (T1) = 5 (т1 - s) ,5 > 0 , (31)

а для модели Васичека

-

as (T1) = -[l - exp {-а (т1 - s)}} ,5 > 0,а > 0 , (32)

Тогда для модели Хо - Ли

T s2

|a2 (т1 )ds = - [(г1 -t)3 -(t 1 - t)3 ], (3)

t 3

а для модели Васичека

J (T1 )ds = ^ \(T -1) - - (exp {-a (T 1 - T)} - exp {-a (T1 -1)}) +

t

a L a

+—— (exp{-2a (T1 - T)} - exp |-2a (T1 -1

(34)

2a

Утверждение 6. Для моделей Хо - Ли и Васичека справедливы теоремы 1, 2 и

T

утверждения 4, 5, в которых величины |a2s (T1 )ds в (23), (25) выражаются соот-

t

ветственно формулами (33) и (34).

Дадим комментарии к свойствам (27), (28), (30).Свойство PC < 0 означает взятие безрискового актива в долг для перераспределения капитала в пользу рискового актива. Это объясняется тем, что в основе заключения контракта по опциону

купли лежит игра на повышении стоимости рискового актива. Свойство yf < 0

означает взятие в долг рискового актива для перераспределения капитала в пользу безрискового актива. Это объясняется тем, что в основе заключения контракта по опциону продажи лежит игра на понижении стоимости рискового актива. Убывание цены опциона купли по цене исполнения опциона K объясняется тем, что с ростом K согласно платежному обязательству (21) уменьшается вероятность предъявления опциона к исполнению, а за возрастающий риск следует меньше платить. Возрастание цены опциона продажи по цене исполнения опциона K объясняется тем, что с ростом K согласно платежному обязательству (22) увеличива-

ется вероятность предъявления опциона к исполнению, а за уменьшающийся риск следует больше платить.

4. Доказательство теорем

Доказательство теоремы 1. Согласно общей теории платежных обязательств на рынке облигаций [2, 3],

Xе = B(t) Е*{В-1 (Т) fCl Ft}; (35)

ec = - P (T1) ()

p = P(T1)’ B(t) . ( )

Yt =

ex;

dp

Использование (21) в (35) дает , что

Xtc = B(t)E* {(B-1 (T)P (T1) - K) + | Ft}. (37)

Подстановка (15), (16) в (37) с заменой т на t и t на T приводит к представле-

нию капитала в виде

Xtc = B(t )E* Я P (T1 )B-1 (t)exp j-Ija2, (T1 )ds +\as (T1 )dw* j-K j (38)

Поскольку процесс ws является винеровским относительно меры P, т. е. w** ~ N{0;s}, то

^ = fas (T1 )dw* ~ N{0,D(t,T)} = -^=exp j-^D^}; (39)

T

D(t, T ) = J a2 (T1 )ds. (40)

t

Тогда использование (39) в (38) с заменой переменных x = ^JD(t, T)z дает, что

XC = (°P(T1 )exp{^К(T1 )dsW)zj-*j expj—joZ . (41)

Пусть z0 (t ) - корень уравнения

B-1 (t)Pt (T1 ) exp j- 2 Ja2 (T1 )ds + ylD(t,T)z J = K,

KB(t) Pt (T1 ).

-1 K2 (T1 )ds

——----------------. (42)

ln

т. е. z0(t ) = —

J ia (TT1 )ds Тогда

Xtc = 4= 7 B-1 (t)P (T1 )exp (-1 T\a2s (T1 )ds + V D(t, T ) z} exp J-■Mdz -

^2n zo (t) l 2 t J l 2J

KB(t) +f J z2'

T expi-^

V2n zo (t) l 2

Запишем (43) в виде

Xc = X1 - X2 , (44)

где

X .4P 7 «-1(<)P(T1 )expJ-i. fa,2(T1 )ds wD(t.T) ' 1

Æ,!,'......*4 2iexp|-2. (45)

и с учетом свойства Ф(х) + Ф(—x) = 1 функции Ф(х)

X2 = KB(T) [1 - Ф(z0 (t))] = KB(t)Ф(-z0 (t)). (46)

Представим X1 в виде

X = Pt (T1 )exp j- ^ Jа2 (T1 )ds \ J;

z0 (t)

^ I _______ ^ 2 I

J exp wD(t, T)z - — I dz .

(47)

(48)

Сделаем замену y = z -^/D(t, T). Тогда из (40), (42) следует, что

' KB(t)'

ln

Jo(t) = zo(t) -VD(t ,T) =■

P (T1).

- 2 J as2 (T1 )ds

J a2 (T1 )ds

z 2 D(t, T) y 2

2

Использование (49), (50) в (48) с учетом (40) дает, что

= j expjD(^T) -уjdy = exp<|a2s(T1 )ifc|ф(-sy(г)).

(49)

(50)

(51)

(52)

Подстановка (51) в (47) дает, что

X] = р (Т1 )Ф(-у0 (/)).

Тогда Х,е из (24) следует в результате подстановки (46), (52) в (44) с учетом

того, что у0 (г) = -йс+ (г), z0 (г) = -dc_ (г), а С£ из того, что С£ = Х0 [2, 3].

Пусть

Тогда

5Ф(й^))

Эя -\/2л 1 1 2 | Эя

Из Xе в (24) и (54) следует (рТ1) = р)

1 b(s) Г г2

Ф(Ь(s)) = .— J exp j--------------!• dx .

V2n I 2

1 exp I b2 (s) і db(s) 5Ф(-Ь(я)) = 3D(b(s)) exp j

dX[

dp

= [ф(< (t))] + p

дФ (d+ (t))

dp

ds

- KB(t)

ds

дФ^С (t))

dp

Использование (23), (54) дает ЭФ«) 1

dp

ЭФ«) 1

2n j a2 (T1 )ds

гехр

dp

2 n { a2s (T1 )ds

гехр

jc 2

jc 2

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

Из (23), (40) следует

dC2 = dC2 - 2ln

P (T 1

KB(t )

(58)

Использование (56), (57), (58) в (55) с учетом (36) дает у^ из (24). Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Аналогично (35), (36)

X,' = В(1) Е"{В-' (Т) //! Р,};

if = ^

dp

PrrV et = p = Pt(T )

Xf -yf Pt (T1 ) Bit)

(59)

(60)

(61)

(62)

Использование (39) в (62) с заменой переменных x = у/D(t, T)z дает, что xtp = ^=T f K - B-1 (t)Pt (T1 )exp j-ija? (T1 )ds W D(t,T ) zj! exp \-ÇU ■ (63)

Использование (22) в (59) дает , что

Xtp = B(t)E* - B-1 (T)Pt (T1 ))+ | )

Аналогично (3 8)

Xf = B(t)E* {f K - Pt (T1 )B-> (t) exp {-1 Jas2 (T1 )ds + Ja (T1 )dw]

Аналогично (43)

■-B2= T B-1 (< )P (T1 ) exp J-2 f a,2 (T1 )ds + V D(<, T ) Л exp J-¡2\dz. (64)

=KBr і exp і-т к-

—да

T

Запишем (64) в виде

X p — X2 — X1 X t X t X t ,

(65)

где

X1 = -B(=) “f b-1 (t)Pt (T1 )exp j-2 j a 2 s (T1 )ds w D(t, T ) z j. exp j-ÿ^, (66)

X2 = КІ)^ eXP ^ dZ = KB(t)Ф(z° (t)} •

(67)

Преобразование (66) аналогично (45) , с учетом (64), дает

X) = р (Т1 )Ф( у (/)). (68)

Тогда Хр из (26) следует в результате подстановки (67), (68) в (65) с учетом того, что у0 (г) = dp(t), z0 (г) = d1+ (г), а Су следует из того, что Су = X0 [2, 3].

Из Xр в (26) и (54) следует

дФ^р (t)) + ) дФ(dp (t))

(69)

dp L J dp

Использование (25), (54) дает

дФ« ) _ 1________1

dp dp

exp

(70)

дФ^р ) dP

1 1

exp

Аналогично (5 8)

L P (t 1 )

(71)

Использование (70) , (71) в (69) с учетом (60) дает yf ,Pf из (26). Теорема до-

Основные результаты заключаются в следующем:

1. Получено аналитическое выражение для стоимости стандартного опциона купли и продажи (Теоремы 1 и 2).

2. Найдена оптимальная хеджирующая стратегия и капитал портфеля для стандартного опциона купли и продажи (Теоремы 1 и 2).

3. Все общие результаты для стандартного опциона конкретизированы для модели Хо - Ли и Васичека (Утверждение 6).

1. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007.

2. ШиряевА.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.

3. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУВШЭ, 2001.

4. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М.: Тривола, 1995.

5. WilmottP. Derivatives: the theory and practice financial engineering. N.Y.: John Willey, 2000.

6. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology for contingent claims valuation // Econometrica. 1992. V. 60. No. 1. P. 77 - 105.

7. Бьорк Т. О временной структуре разрывных процентных ставок // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2. Вып. 4. С. 627 - 657.

8. Hull J., White A. Pricing interest rate derivative securities // Review of Financial Studies. 1990. V.3. No. 5. P. 573 - 592.

9. Hull J., White A. Bond option pricing on a model for the evolution of bond prices. // Advances in Futures and Options Research. 1993. No. 6. P. 1 - 13.

казана.

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 3 октября 2008 г.